1、-1-CAD/CAM 技术葛友华 主编主讲 沈庆云13006736856机械工业出版社-2-第一章 概述第一节 CAD/CAM 基本概念一、 CAD/CAM 技术原理CAD: Computer Aided Design计算机辅助设计CAM: Computer Aided Manufacturing计算机辅助制造广义的 CAD/ CAM 技术：利用计算机辅助技术进行产品设计与制造的整个过程，以及与之直接或间接相关的活动，包括产品设计、工艺准备、生产作业计划、生产控制、质量控制及工程数据库管理等。狭义的 CAD/ CAM 技术：CAD 主要功能：概念设计、结构设计、装配设计、复杂曲面设计、工程图绘
2、制、工程分析、真实感及渲染、数据交换接口等。CAM 主要功能 ：刀具路径规划、NC 程序编制、刀位文件生成、刀具轨迹仿真及 NC 代码生成等。二、 CAD/CAM 与制造模式传统的设计与制造方式：以技术人员为中心展开的，产品及其零件在进行加工过程中所处的状态，设计、工艺、制造、设备等环节的延续与保持等，都由人工进行检测并反馈，所有的信息均交汇到技术和管理人员处，由技术人员进行对象的相关处理。以 CAD/CAM 技术为核心的设计与制造方式：充分发挥了计算机存储容量大、运行速度快、信息处理能力强的优势，大大缩短了产品设计制造周期、提高了产品的质量。两种设计与制造方式的实例比较：实例 1：无线扩音机
3、的设计（周期 6 人半年减少到 3 人 20 天，电子装配无装配超差、自动绘图联动修改） ；实例 2：美国波音（Boeing ）飞机公司采用 CAD/CAM 技术应用于Boeing777 全机的设计与制造。 （原设计周期为 56 年，并且有 2 万多处超差！现在只需一年半左右，只有十几处“人为”超差） 。-3-三、 CAD/CAM 的生存环境1、操作系统(Windows 或 Unix)2、计算机网络(主要是 Intranet)3、数据管理平台(PDM)4、集成制造环境(CIMS)四、 CAD/CAM 系统的工作过程学生自学第二节 CAD/CAM 技术的发展CAD/CAM 技术的历史地位1990
4、 年美国国家工程科学院将 CAD/CAM 技术评为当代最杰出的十大工程技术成就，CAD/CAM 技术居第六位。CAD/CAM 技术的发展和应用水平已成为衡量一个国家科技现代化和工业现代化水平的重要标志之一，从根本上改变了产品的技术管理模式和生产模式。应用领域日益广泛最初：航空航天、汽车、船舶。现在：机械、电子、轻工、建筑、电影制作等等几乎所有行业。一、 CAD/CAM 技术的发展1950s:MIT 首次研制成功数控机床；1960s:（萌芽阶段）MIT 的 I.E.Sutherland 博士在其博士论文“人机对话图形通信系统”以及开发的软件 SKETCH PAD 系统中首次提出了 “计算机图形学
5、”、 “交互技术”等重要概念与思想。代表软件：洛克希德飞机公司的 CADAM 系统。1970s:（初始阶段）硬件以小型机、超小型机为主。软件既有通用型的，又有专用型的。-4-主要面向航空部门，商品化程度不高。软件只是二维绘图与三维线框系统。1980s:（蓬勃发展阶段）32 位字长的工作站及微机的性能已达到或超过了过去的小型机，而且价格低廉。软件主要具有三维线框造型、曲面造型、机械制图、有限元分析、数控自动编程等功能。1990s:（成熟阶段）朝着标准化、集成化、并行化、智能化及自动化方向发展。数据标准和数据交换。出现 PDM。典型软件：法国 Dassault Systems 公司 CATIA 系
6、统;法国 Matra Datavision 公司 Euclid 系统;美国 UG II 公司 UG II 系统、SolidEdge 系统；美国 SDRC 公司 I-DEAS 系统；美国 PTC 公司 Pro/E 系统；美国 CNC Software 公司 MasterCAM 系统；以色列 Cimatron 公司的 Cimatron 系统；二、 我国 CAD/CAM 技术现状老师简要介绍，学生课后自学。三、 CAD/CAM 的发展趋势老师简要介绍，学生课后自学。第三节 CAD/CAM 技术的学习方法老师简要介绍广东企业应用 CAD/CAM 技术的情况。作业：p9：3、7补充题：CAD/CAM 技
7、术的历史地位-5-第二章 CAD/CAM 系统CAD/CAM 系统组成，见图 2-1。第一节 CAD/CAM 系统的软、硬件配置硬件：计算机（大型机、小型机、工作站、高档微机） 、输入输出设备（鼠标、键盘、数字化仪、扫描仪/打印机、绘图机） 、数控加工设备等软件：操作系统软件、CAD/CAM 支撑软件（著名的商品化 CAD/CAM 通用软件系统） 、专业应用软件。主要功能：概念设计、结构设计、装配设计、复杂曲面设计、工程图绘制、工程分析、真实感及渲染、数据交换接口等。（学生可课后自行阅读 p1220）第三章 计算机图形学基础计算机图形学是 CAD 技术最早研究的内容之一。第一节 计算机图形学概
8、述一、计算机图形学的基本概念矢量图形：记录了图形元素的形状参数与属性参数。点阵图形：记录了图形的点的灰度与色彩。计算机图形学的任务：（1）由计算机内的数据生成与之对应的图形，并显示在显示器上；（2）对图形作各种处理，如几何变换、投影、消隐等。二、图形生成技术与算法学生自修。三、图形的编辑修改技术见第二、三节。-6-四、真实图形技术1、消隐技术2、光色效应处理技术五、二维工程图生成方法1、交互式准确绘图；2、程序参数化绘图；3、交互式参数化绘图；4、三维实体投影自动生成工程图第二节 图形变换一、窗口区及视图区的坐标变换1、窗口区：用户选定的矩形观察区域。表示方法：（1）左下角点(w 1,w3)，
9、右上角点(w 2,w4)；（2）左下角点(w 1,w3)及矩形的长、宽。2、视图区：用户定义的小于或等于屏幕大小的范围的图形显示区域。表示方法：（1）左下角点(v 1,v3)，右上角点(v 2,v4)；（2）左下角点(v1,v3)及矩形的长、宽。3、窗、视变换：(xw,yw) (x v,yv)xv- v1/ v2,-v1 = xw- w1/ w2,-w1yv- v3/ v4,-v3 = yw- w3/ w4,-w3-7-所以得到（3-5） 。二、二维图形的几何变换图形变换是指对图形的几何信息经过几何变换后产生新的图形，主要包括平移、旋转、对称、比例等几个基本变换。1、基本变换主要包括：平移变换
10、、旋转变换、比例变换、对称变换、错切变换。平移变换设点 p(x,y)沿矢量（l,m）移动到点 p(x,y)，则由矢量加法的三角形法则，得（x ， y） = (x,y) +（l,m）若用矩阵之和表示法，则有x y = x y+l m绕坐标原点旋转变换设点 p(x,y) 绕坐标原点 o 逆时针转动 角移动到点 p(x,y)，利用复数相乘原理，则有x+yi = (x+yi)(cos+isin)即x = xcos-ysiny = xsin+ycos若用矩阵相乘表示法，则得也可利用直角坐标与极坐标的关系导出上式。x = Rcosy = Rsinx = Rcos( +) = Rcoscos- sinsin
11、 = Rcoscos Rsin ysin = xcos-ysiny = Rsin( +) = Rsincos+ cos sin cosiniyx-8-= Rcossin + R sin cos = xsin + ycos以原点为中心的比例变换以原点 o 为中心对图形上任意一点 p(x,y)按比例进行放大或缩小，得到点 p(x,y)，则有x = xSxy = ySy矩阵形式为当 Sx = Sy 1 时，为等比例放大；当 Sx = Sy 对称变换图形上任意一点 p(x,y)关于一条直线 l 作对称，得到点 p(x,y)。当 l 为 X 轴时：x = xy = -y矩阵形式为当 l 为 Y 轴时：x
12、 = -xy = y矩阵形式为当 l 为直线 y=x 时：x = yy = xyxS010yx10yx-9-矩阵形式为当 l 为直线 y=-x 时：x = -yy = -x矩阵形式为特别地，若关于原点 o 对称，则有x = -xy = -y矩阵形式为错切变换（感兴趣的学生自学）简要介绍沿 x 轴方向错切概念。2、复合变换：一个复杂的图形变换都可以看作是由若干个基本变换组合而成。例：P(x,y)关于固定点 C(l ,m)逆时针旋转 90o。这个变换可以看作是，先将 P 点和 C 点平移，使得固定点 C 恰好与坐标原点重合。然后将P 点的新位置 P*(x*,y*)点关于坐标原点 o 逆时针旋转 9
13、0o，得到P*(x*,y*)点。最后将 P*点平移，使得 C 点恰好回到原来位置，得到的点 P(x,y)即为所求。由基本变换公式：x* y* = x y + -l -m = x y + T1x* y* = x* y* T2 =（x y + T1）T 2 = x y T2 +T1T2x y = x* y* + l m = x y T2 +T1T2 + T1 -1故平移变换的矩阵给计算带来了麻烦。01yx01yx10yx-10-在求复合变换的变换矩阵时，平移变换的变换矩阵由于用加法表示，而其他变换却用简单的乘法表示，这使得计算变得复杂起来，于是引入齐次坐标概念。齐次坐标：n 维空间的点用 n+1
14、维矢量表示的方法。(x1, x2, , xn )(kx 1, kx2, , kxn, k) (k 0)或(x1, x2, , xn )(X 1, X2, , Xn, k) (k 0)其中x1 = X1/k, x2 = X2/k, , xn = Xn/k当 k=1 时称为 规格化形式，此时 x1 = X1, x2 = X2, , xn = Xn考虑下面两种特殊情况：二维空间点、三维空间点。例：(2,3) (4,6,2)或(-2,-3,-1)，(8,4,2) (4,2)，(3,5,-1) (9,15,-3，3)、(6,10,-2，2)(6,9,-10) (-3/5,-9/10)学生上讲台现场做题在
15、齐次坐标下基本变换都可以表示为两个矩阵的乘积：x y 1 = x y 1T齐次坐标下的变换矩阵 T平移变换：旋转变换：比例变换：10mlT10cosinT-11-对称变换：(1)关于 x 轴对称(2)关于 y 轴对称(3)关于 y = x 直线对称(4)关于 y = -x 直线对称(5)关于坐标原点对称这样一来，复合变换的变换矩阵恰好就是构成此复合变换的基本变换的变换矩阵依次从左到右相乘即可。在齐次坐标下几何变换的基本公式是：其中 T 是变换矩阵。T = T 1T2Tnyxyx110yxST10T10T10T10T10T-12-例：求三角形 A(10,6)B(15,6)C(12,11)关于直线
16、 x = 6 对称的变换，并绘出图形。解：这是一个复合变换，可以依次分解为以下三个基本变换：1） 平移图形，使对称轴从直线 x = 6 移到 Y 轴上，变换矩阵为2） 图形关于 Y 轴作对称，变换矩阵为3） 再平移图形，使得对称轴移回到直线 x = 6 位置上，变换矩阵为因此，这个复合变换的变换矩阵 T 为利用公式可以得到 A、B、C 三点关于直线 x = 6 对称的对称点 A、B、C的齐次坐标。A：B：C：10210610321T1061T102T1063TTyyx1121601 Tyx635 0-13-也可以这样解：所以，三角形 ABC 关于直线 x = 6 对称的图形，就是三角形 A(2
17、,6)B(-3,6)C(0,11)。绘图如下：课堂练习：求点 p(8,2)关于直线 y = x + 3 对称的点 p。作业：p47, 第 6,7 题。三、三维图形的几何变换三维几何变换的基本原理与二维几何变换相同，所以三维空间几何变换在齐次坐标下基本变换可以表示为两个矩阵的乘积：x y z 1 = x y z 1T其中 T 是一个 4 x 4 的矩阵。1、平移变换设点 p(x,y,z)沿矢量（l,m,n ）移动到点 p(x,y,z)，则有x=x+ly=y+mz=z+n相应的齐次坐标下的变换矩阵为 10nmlTCBA :10362120165-14-2、比例变换设点 p(x,y,z)关于原点 o
18、 比例变换为点 p(x,y,z)，则有x=xSxy=ySyz=zSz相应的齐次坐标下的变换矩阵为3、旋转变换1)绕 z 轴旋转 2)绕 x 轴旋转 3)绕 y 轴旋转 10zyxST100cosin1xT10cossinicyT100cosinzT-15-4、对称变换1）关于 xoy 平面2）关于 yoz 平面3）关于 zox 平面4）关于坐标原点 o例：求三维空间点 P(5,-2,8)关于直线 x = 2，z=3 旋转 60的变换矩阵及变换后点的坐标。解：这是一个复合变换，可以依次分解为以下三个基本变换：1）平移图形，将直线 x = 2，z=3 移到 Y 轴上，变换矩阵为10xoyT10yo
19、zT10zoxT10oT13021T-16-2）图形绕 Y 轴旋转 = 60，变换矩阵为3）将旋转轴平移回直线 x = 2，z=3 位置，变换矩阵为此复合变换的变换矩阵为将点 P(5,-2,8)代入公式x y z 1= x y z 1T，则得10cossinic2T13023T 1320/310/ 1sin2co3sin3co2 001sis 13201co3in2i3co200n1sis 132010cosin0ics3201321 T-17-即所以点 P(5,-2,8)变换后点的坐标为作业1、求三维空间点 P(9,12,4)关于直线 y = -1, z = 5 旋转 45的变换矩阵及变换后
20、点的坐标。2、求齐次坐标(8,-3,5,2),(4,2,6,2),(18,-6,-3,3)所对应的三维空间点的坐标。四、投影变换（自修，只要求掌握基本概念）第三节 图形裁剪技术一、点的裁剪（自修，只要求掌握基本概念）二、线段的裁剪（自修，只要求掌握基本概念）三、多边形的裁剪（自修，只要求掌握基本概念）四、字符的裁剪（自修，只要求掌握基本概念）32157zyx),3257(P1/203/205283/1/12037/25/2 -18-第四节 图形的消隐技术（自修，只要求掌握基本概念）第五节 图形的光照处理技术（自修，只要求掌握基本概念）-19-第四章 三维几何建模技术三维几何建模是 CAD/CA
21、M 系统的理论基础的核心内容。第一节 基 本 概 念一、几何建模的定义20 世纪 70 年代中期发展起来的，它是一种通过计算机表示、控制、分析和输出几何实体的技术。几何建模就是以计算机能够理解的方式，对几何实体进行确切的定义，赋予一定的数学描述，再以一定的数据结构形式对所定义的几何实体加以描述，从而在计算机内部构造一个实体的模型。定义、描述的几何实体必须是完整的、唯一的。而且能够从计算机内部模型上提取该实体的全部信息。二、二维绘图与三维建模二维绘图是早期的 CAD/CAM 系统的主要功能，但图形不能自动绘制，也不能联动更新。现代 CAD/CAM 系统都是采用三维几何建模，可以真实地、完整地、清
22、晰地描述物体，是 CAD/CAM 技术发展的主流。三、三维建模技术基础1、三维形体的几何信息和拓扑信息几何信息：一个物体在三维欧氏空间中的形状、位置和大小。强调对一个单一基本几何元素的具体准确描述。举例：直线的表示。拓扑信息：多个单一基本几何元素之间的邻接关系。举例：立方体的面、边、点之间的关系。-20-2、形体的定义(1)体：由封闭表面围成的有效空间，其边界是有限个面的集合。(2)壳：由一组连续的面围成的，实体的边界称为外壳，如果壳所包围的空间是个空集则为内壳。(3)面：形体表面的一部分，具有方向性，它由一个外环和若干个内环界定其有效范围。(4)环：有序、有向的边组成的封闭边界。环有内环、外
23、环之分，外环最大且只有一个，内环的方向与外环相反。(5)边：两相邻或多个邻面的交线。(6)点：是边的端点。(7)体素：如立方快、圆柱、球、环等。3、正则集合运算见 p57 图 4-5。四、三维几何建模技术的发展早期的 CAD 系统以平面图形的处理为主。最早的三维 CAD 系统所用到的数据模型是线框模型，用线框表示三维形体，没有面和体的休息。第一次 CAD 革命：法国 Renault 汽车公司的 Bezier 提出了Bezier 曲线、曲面。第二次 CAD 革命：美国 SDRC 公司于 1979 年发布世界上第一个完全基于实体造型技术的大型 CAD/CAM 系统 I-DEAS。第三次 CAD 革
24、命：参数化建模理论诞生。典型代表，美国PTC 公司推出的基于特征、全尺寸约束、全数据相关、尺寸驱动设计修改的 Pro/E 系统。第四次 CAD 革命：基于变量化技术的造型技术。美国 SDRC公司推出的 I-DEAS Master SeriesCAD/CAM 系统。-21-第二节 线 框 建 模一、线框建模的原理线框建模由一系列的点、直线、圆弧及某些二次曲线组成，描述产品的轮廓外形。其数据结构是表结构。二、线框建模的特点所需信息量少，数据运算简单，对硬件占据的存储空间比较小，要求不高。但没有面的信息，存在多义性，不能进行消隐。关于曲线、曲面的预备知识：三维空间向量的基本概念、向量的加减、向量与标
25、量的乘法、向量的点乘与叉乘、向量平行或垂直的判别方法。对于非零向量 A=a1,a2,a3，B=b 1,b2,b3，AB = a1 b1 + a2 b2+ a3 b3AB 的充要条件是 AB = 0。AB 的充要条件是 AB = 0点二维空间 P(x,y)，三维空间 P(x,y,z)。平面直线 两点式方程：已知直线上的点 p1(x1,y1)和 p2(x2,y2)，则方程为：)(2112xxyy 标准方程（由两点式方程推出）Ax+By+C=0 (A2+B2 0) 斜截式方程：已知斜率 k 和 Y 轴上的截距 by=kx+b321bkji-22- 点斜式方程：已知斜率 k，直线通过点（x 0,y0）
26、y=k(x-x0)+y0 法线式方程设 N 为从原点 o 到直线 l 的垂足，D=|ON|，为矢量 ON 与 x 轴正向夹角。设 P(x,y)为直线上任意一点，则有而 sin,cosin,coDONyxP于是(*) 变为xcos+ysin=D注：利用这种思想推导点到直线的距离公式 直线的参数方程（让学生上来推导）设直线 l 的倾斜角为 ，且通过点 P0(x0,y0)，则有(其中 t 为任意实数，表示 P0P 的有向长度。)若直线通过两点 p1(x1,y1)、p 2(x2,y2)，则(其中 t 为任意实数，表示 P1P 是 P1P2 在有向长度上的倍数。 )特别地，如果 0t1，则动点 p 在
27、P1、P 2 两点之间。矢量形式：P = (1-t)P1+tP2t = p1p/p1p2平面圆与圆弧*).(Psinco0tyx(121ytyxx-23-圆的解析方程(x-xc)2+(y-yc)2=R2其中(x c,yc)为圆心， R 为半径。圆的参数方程(02)，若限定 ab，即为圆弧的参数方程。曲线的矢量方程与参数方程对于空间任意一点 P，可以用对应的位置矢量 r = OP 表示。所以对于空间曲线，只需研究曲线上动点的位置矢量的变化规律。空间曲线的方程可表示为：r = r(t) = x(t), y(t) , z(t)所以，参数方程就是例题：求空间右手螺旋线的矢量方程与参数方程。设螺旋线以正
28、 Z 坐标轴为轴线，起点 S 落在正 X 轴上, 螺旋线的半径为a，动点 P 在螺旋线上的运动角速度为，沿轴线向上匀速运动的速度为 v，所以参数方程为(其中 t 表示运动时间。)矢量方程为，r = r(t) = acost, asint,vt曲面的矢量方程与参数方程sinoyxc12(),)xtytztcosinxatyzvt-24-对于平面域0,a0,b上的任意一点 p(u0,v0)，按照函数的映射关系对应于三维空间中的点 R(u0,v0)。空间曲面的矢量方程可表示为：R = R(u,v) = x(u,v), y(u,v) , z(u,v)所以，参数方程就是矢函数的求导矢函数导矢仍然是一个矢
29、函数，它表示曲线上一点的切线矢量，并指向曲线参数增长的方向。关于导矢的基本运算法则：C = 0 (C 为常矢) ；r1(t)+r2(t) = r1(t)+r2(t)；Kr(t) = K r(t) (其中 K 为常数)；f(t)r(t) = f(t) r(t)+ f(t) r(t) (其中 f(t)为数量函数)；r1(t)r2(t) = r1(t) r2(t)+ r1(t) r2(t)；r1(t)r2(t) = r1(t) r2(t)+ r1(t) r2(t)；r(t) = x(t),y(t),z(t)；222)()()( tztytxtr(,)(,0,),xuvyabz-25-r(n)(t)
30、= x(n) (t),y(n) (t),z(n) (t)。矢函数的导矢及其应用利用导矢可以求出空间曲线 r = r(t) = x(t), y(t) , z(t)上任意一点 t = t0 的切线方程与法平面方程。切线方程：r = r(u) = r(t0) + u r(t0)= x(t0), y(t0) , z(t0) + u x(t0), y(t0) , z(t0)相应的参数方程为x = x(t0) + u x(t0)y = y(t0) + uy(t0)z = z(t0) + uz(t0)其中 u 为实数。法平面方程：(r - r(t0)r(t0) = 0即rr(t0) =r( t0)r(t0)
31、或者x(t0)x + y(t0)y + z(t0)z = x(t0) x(t0)+ y(t0) y(t0)+ z(t0) z(t0)对空间曲线 r = r(t)，导矢的物理意义是，若 t 表示时间，则一阶导矢就是速度矢，二阶导矢是加速度矢。练习 1、求空间曲线方程为 r = t,t2,t3 在 t = 2 处的切线方程及法平面方程。练习 2、对于非零向量 A，B，试证明：AB 的充要条件是 AB = 0。A B 的充要条件是 AB = 0第三节 曲 面 建 模一、曲面建模的原理二、曲面建模的特点1、能够较完整的定义较复杂的立体的表面，如汽车、飞机机身等都-26-可以采用曲面建模的方法构造其模型
32、。2、另外，曲面建模可以对物体作剖切面、面面求交、线面投影、数控编程以及彩色渲染图所需的曲面信息。3、但曲面建模没有面与面之间的联系，缺乏对实体表达的完整性。-27-三、曲面建模的方法Bzier 曲线背景：上世纪 60 年代法国雷诺(Renault)汽车公司的 Bzier 先生研究提出，并由此开发了一套自由曲线曲面造型系统 UNISURF。Bzier 曲线的定义: 设有 n+1 个点 Q0,Q1,Q2,Qn，则可以构造一条 n 次的 Bzier 曲线，,0()()01iniPuBQu其中Bn,i(u)称为伯恩斯坦基函数。Qi(0in)称为顶点，他们顺次连接形成的开口多边形 Q0Q1Q2,Qn称
33、为特征多边形。当 n=3 时，这时伯恩斯坦基函数为： 所以，得到常用的 3 次 Bzier 曲线为, !()(1), 0,1.()iniiinnnCCin0330,33()(1)()BuCu221,212,33()()()03,uu3,0230123()()1)(1)iii TPuBuQuuQ-28-n 次 Bzier 曲线的重要几何性质： 端点性质：p(0) = Q 0，P(1) = Q n； 切线性质：P(0) = nQ 0Q1，P(1) = nQ n-1Qn； 对称性：把特征多边形的编号顺序完全颠倒，曲线的形状不变。Bzier 曲线的一个奇妙特性注：绘制 Bzier 曲线图形可以采用“三
34、点”法：两个端点（应反映上述的端点性质及切线性质） 、中点。B 样条曲线背景：Bzier 曲线有两个明显的缺点：曲线的次数等于特征多边形的边数，所以当顶点较多时会出现“振荡” ；修改一个顶点或改变顶点数时，将影响整个曲线，不方便修改。由于 Bzier 曲线的明显缺点，美国人提出了“分段构造”的 B 样条曲线，它保留了 Bzier 曲线的优点，克服了 Bzier 曲线的缺点，具有便于修改、次数不随顶点数增加而提高的优点。三次 B 样条曲线的定义: P(u) = 1/6(1-3t+3t2-t3)V0+1/6(4-6t2+3t3)V1+1/6(1+3t+3t2-3t3)V2+1/6t3V3-29-三
35、次 B 样条曲线的重要几何性质： 端点性质：V 1r(0) = V1M/3，V 2r(1) = V2N/3；即r(0) = (1-1/3)V1+1/3(V0+V2)/2 = (V0+V2)/6 + 4 V1/6r(1) = (1-1/3)V2+1/3(V1+V3)/2 = (V1+V3)/6 + 4 V2/6 切线性质：r(0) = V 0V2/2 =( V2-V0)/2 r(1) = V1V3/2 =( V3-V1)/2 二阶导矢：r(0) = 2V1M = (V0+V2) - 2 V1r(1) = 2V2N = (V1+V3) - 2 V2参数曲面S = S(u,v)，(u,v 0,1)规
36、范定义域：R = 0,10,1两个坐标系之间的映射；u,v 向的参数线及 u,v 向的等参数线 S(u,v0) ，S(u 0,v)概念。-30-1）Bzier 曲面Bzier 曲面片的一般定义如下：设 Qi,j(i=0,1,m; j=0,1,n)为给定的(m+1)(n+1)个空间点列，则 mn 次参数 Bzier 曲面为其中 Bi,m(u),Bj,n(v)是伯恩斯坦基函数；Q i,j 是控制多边形顶点的(m+1)(n+1)二维阵列。逐次用线段连接点列 Qi,j 中相邻两点所形成的空间网格，称为特征网格。当 m=n=3 时，得到常用的双三次 Bzier 曲面。图形见 p58 图 4-13。2）B 样条曲面P59 公式 4-8，与 Bzier 曲面类似。3）NURBS 曲线、曲面NURBS(Non uniform Rational B-Spline)非均匀有理 B 样条，将描述自由型曲线、曲面的 B 样条方法与精确表示二次曲线与二次曲面的数学方法相互统一。常用曲面构造方法：线性拉伸曲面设平面曲线为 r =r(u) (u 0,1)，沿着单位向量 A 拉伸位移为v，则根据矢量加法的三角形法则，其向量方程为P = r(u)+vA)1,0()(),( ,0, vuvBuvuPjiminjnji
