1、1离散数学刘任任（第二版）习题答案第20章 群1. 设 是群， .试证：Gba,a1)(11b证明：设 是单位元（下同），直接根据定义即有：e, aebabaeae1111,()()()111 (), 2. 试举一个只有两元素的群。解：设 ，并且 的单位元为0,则可以确定乘法表中的三个元素，G,01 G0 0=0；0 1=1；1 0=1；由群的定义，任意元素都有逆元，0的逆元为0，1的逆元为1，因此1 1=0。因此乘法运算 有如下表：0 10 0 11 1 0易知，单位元 ，运算满足封闭性和结合律，且 。 故 是群。e1G3. 设 的乘法表为4,321A21432431问： 是否成为群？若不是
2、群，结合律是否成立？ 有无单位元?AA2解：如果A是一个群，则一定有单位元i，乘法表中第i行第i列元素保持不变，而定义的乘法表不满足此性质。因此A无单位元，故A不成群。且 ,无结合律。42341()()4. 设 是群.试证：若对任何 ，均有 ，GGba, 554433 )(,)(,)(abba则 是交换群.证明：利用消去律，将各等式降阶。 ()ababab332221()(),(又 ()ba554442(),因此， , 于是， (abba42421222() )()()得 , 再由(1)知， , 故有 .22 ba222 ba5. 设 是群.试证：若对任何 ，有 ，则 是交换群。GGa1G证明
3、：利用群的性质(3),(4),对任意 ，有 。故 是交换b, abab11()G群。6. 设 是群， 是正整数.试证：存在 ，使 . Gn,2|eG,证明：任取 。若 ，则 和 在 中成对出现。注意到群 的元素个数为偶数，xx11因此，在 中满足 即 的元素个数也是偶数。但 满足 . 故除 之外，yee2e至少还有一个 , 使得 .aa27. 试证：1阶群，2阶群，3阶群和4阶群都是交换群，并构造一个不是交换群的6阶群.证明：设 至 阶群分别为GeaGeabeabc34, 1) 显然， 是交换群。12) 是交换群。 ea23) 对 ，若 ，则有 ，即 , 从而 （矛盾）;3bab()()abb
4、e3同理，若 , 则有 （矛盾）。因此必有 。又abeabeba()(111故 是交换群。G34) 对于 。 (i) 若 中两个元素互为逆元，不妨设 ，则必有 且4c, abeacb, 否则有 或 。同理可证 。cabeabc(ii) 若 各自以自身为逆元，即 ，则必有b, c.cc, 总之， 是交换群。(其实可以用第5题的结论直接得出)G4设 。由 上的所有3元置换所组成的集合 对于置换Sabc,SS3126, 的乘法运算构成一个群。但它不是交换群，即 ijij ij 16,8. 设 是群， .试证：Gab, （1） 有相同的周期；, 1（2） 与 有相同的周期。证明：（1） 因为对任意整数
5、 ， 当且仅当 。所以kae()aek1的周期是无限的，当且仅当 的周期是无限的. 若 的周期是 （正数），则 的a1 a1周期 . 由对称性有 . 因此， . 故 与 的周期相同。注意到k1kk11，于是 当且仅当 当且仅当 。因此 ()babk()abe1baeaek与 的周期相同。1（2） 由（1), 只须证对任意整数 ， 当且仅当 .k()ek()bek当 时，结论显然成立。今设 。则 当且仅当 当且仅当 k00abkak1当且仅当 当且仅当 . ()ba11()()bak11()ek4再设 。令 ，由上有 当且仅当时 。注意到对任意 , k0lk0()abel()baelxG当且仅当
6、 ，于是 当且仅当 . 故 xel xexl xk当且仅当 .()abk()ek9. 设 是群，令G，对任意xaZ|)( Gx试证： 是 的子群. 称为 的中心， 的元素称为 的中心元素.)(Z)(ZG证明：任取 ,则对任意 , 有 ，从而abG,()xaxb, xbx1111()()() 因此， .故 是 的子群.abZ110.设 是一个群， 且 ， 和 的周期分别为 和 ， 与 互质，证GGb,bamn明： 的周期等于 .amn分析：设 周期为 ，利用定理17.2.5(2)，分两步分别证明 , .t tt证明：设 的周期为 。由 得 。于是 (定理17.2.5)。abtab()abemnn
7、tmn又 。令 。设 的周期为 .ett()cttcp(定理17.2.5). 又 , 于是，caepmtmt, cbepnnt,。但 ,故 .从而 于是，有pn(,)gcd()n1aett,.。即 ,而 ，因此， , 故 .t, tc(,) mntn11.设 是群 的一个元素，其周期为 是 的子群，试证：如果 ，且 与aGHn,GHamn互质.则 .mH分析：因为 ， 互质，利用整除性质，见n书定理16.1.3，易证 .5证明：因为 ,所以存在整数 使得 .于是gcd( )mn,1st,mtn1. 但 , 是 的子群. 故 .astnsaHGaH12.设 是群， 且 ， 和 的周期分别为 和
8、.试证：若 ，Gb,bast )(eba则 的周期等于 与 的最小公倍数.ast分析：设 的周期为 ， 和 的最小公倍数为 ，要证明 ,只需证明 ， 即mnmnnm可。利用定理17.2.5易证 ；利用整除的基本性质，定理16.1.1，分别可以将 表示成 ,n s的倍数与余数之和，利用 ，可得 ,即 是 , 的倍数， .t )(ebast st证明（一）：设 和 的最小公倍数为 。 的周期为 。因为 ,stnamab所以， ，从而 . 又设()abennmpsrsqtrt11200 ,因为 ，所以 。又 ，()abeabifrr1212eababmr()12因此， ，从而， 。于是 , 即 。因
9、此 . 故 rr12120smtst,n.mn证明（二）：设 的周期为 。 因为 且 ，所以 abeabm()()abe（否则， ，从而得 。此与 的假设矛盾）。aem,mm()1 0于是， ，即 是 和 的公倍数。若 的最小公倍数不是 而是 ，则ststst, ，且 此与 的假设矛盾。得证。0(),abem13. 设 是一个群， 且 ， 的周期为质数 ，且 .试证：GG,bap)(ba.)(eba分析：用反证法，则有非单位元 ， ，利用 为质数，整除性质有 ，xabstpmsnp1容易推出矛盾 。6证明：若 ,则存在 且 , 即存在整数 ，使 abexabxest,xabst且 。因 是质数
10、，所以存在整数 ,使 .于是，1spmnsp1，即 , 矛盾。故 .mnstmabe14. 写出 的群表.3S解：设 123456123132, 于是，根据置换的乘法运算规则，有123456 123456216543 351624 465132 534261 64231515. 证明：任何对换都是一个奇置换，又恒等置换是偶置换.分析：根据对换的定义，命题17.3.4即可证。证明：(1) 设 为 元对换， 可分解成一些对换的乘积，显然有 ，由命题17.3.4n可知，对换 是一个奇置换。(2) 设 为 元恒等置换， 是 元对换，显然有 ，由命题17.3.4可知，对换n1是一个偶置换。716. 设
11、元置换 ，其中 互不相交，且 .试证：nr21r21 rili ,1,|的周期（即满足 的最小正整数 ）等于 的最小公倍数.ennrl,1分析：设周期为 ，最小公倍数为 ，根据定义易证 ；由 互不相交，证dmdm1, r。liri 12,证明：设 的周期为 . 的最小公倍数为 。因 互不相交，所以 dlr1, 1, r. 于是 。另一方面，因为 且 mrme12 edd2互不相交，因此， 。, r12drd于是， . 由最小公倍数的性质知， ,故 .ldiri 2, md17. 设 15264314136565是 的两个置换.6S（1）写出 的轮换表示，并求出 和 的周期., （2）计算 .1
12、321,解：(1) . 由题16有 和 的周期为 。()546 =()46(2) ()123153264()()5464()()()132156345624() 821546215426145()()()()()316241563241635246()()()()()318. 试找出 的所有子群.3S解。设 .1261,(), 2(3), (12), 3其子群有： ,GG(), , , S45631, 23 (1), 23, () , ,19. 设 1,(),()4,4,1,(42)e 3),(,23)(,1,32,2G试判断 和 是否是 的子群，并说明理由.124S解：因 和 均有限，且不难
13、验证， 和 对乘法运算均封闭。故由定理17.2.2知，G12和 均为 的子群。12320. 设 和 是群 的子群，试证： 是 的子群当且仅当 .ABABBA分析：充分性证明分两步，利用子群的性质分别证明 ， ；利用定理17.2.3证明 是 的子群。证明：设 是 的子群。任取 , 有ab ,Gab。即存在 , 使 ，()abAB11aAbB1, ()11ab于是， , 从而 。反之，任取 ,则 b()11BA. 于是，()ba1 从而 。(),ba1 9总之， . 另一方面，设 .任取 . 因 是 的子群。ABABabAB12, ,G所以， . 又因 。因此, 存在 ,使得 ()ab2121b3
14、3. 从而，13()()()()abababba121211313AB14345其中， 。由定理17.2.3知， 是 的子群。AB4545,G21. 设 是群 的子群， ，试证： 是 的正规子群.HG2|:|H证明：因为 , 所以H在G中只有两个左陪集： 和 .也只有两个右陪集:2H和 .任取 , 若 ，则 .若 ，xxx则 ,故恒有 .即H是G的正规子群。x22. 求 对子群4A的左陪集分解. 称为 Klein 四元群.)23(14),(),3(12,eK K分析：根据定理 17.3.2， 的阶为 12，4A， 4,(12)3,(),(123),( 12),(43 ),(2 14),(23
15、4)Ae，任意取 ，得左陪集 ， 为另一左陪集。:K4,xKx4AKx解。令 。共有三个左陪集：e()1(),(), ,()234243 132, (4), 1 (), 142, (3), 14AKK4()23. 证明：Klein四元群是 的正规子群.4A分析：利用22题结论，易证 满足正规子群定义17.4.4.证明：注意到 KK()()()23234, 132, (4), 110KK() ()243243(), 142, (3), 1因此， 关于 的左、右陪集分解相同，且此分解是一个等价类分解。所以，对任意A4，有 , 其中 或 或 , 从而，xaHa()()，故 是 的正规子群。xA424
16、. 设 是群 的子群.试证： 在 中的所有左陪集中恰有一个子群，即 .GGHe分析：利用群的性质， 是子群，则 ；如果陪集 是子群，则有 ，由陪集eHaa的性质 5，可知 。Ha证明：设 是群 的单位元。因 ，所以子群 是 的一个左陪集。若另有一个陪e集 也是 的子群，则 . 于是， .ae由17.4节的性质5知， 。故结论成立。a25. 设 是有限群， 是 的子群， 是 的子群.试证： .GKGHK|:|:|:|GHK证明：由 定理，有 , , 。于是，Lagrne:, 从而H:GK:26. 设 是质数，试证： 阶群中必含一个 阶子群，其中 是正整数.pmppm分析：因为 是质数， 阶群的任
17、意非单位元群的子群周期 均可写成n。npk, 1证明：设 是 阶群，任取 。设 的周期为 ，则 ，且 。又因为GmaGe, anpmn1是质数，所以， . 若 ，则 是 阶子群; 若 ，令 , pnpk, 11()k1kpab则 的周期为 。 于是, 是 阶子群。b()b27. 设 是群， .试证： .G,G分析：根据定义 17.5.1 即可证。11证明：显然， 是 到 上的复合映射，且对任意 有G“abG,()()()abab()()b故 .28. 设 是群， ，映射 定义如下：GaG:1)(x试证： 是 到 的一个自同构.分析：利用定义17.5.2，17.5.3，分别证明 是 到 的同态，
18、并且是双射。G证明：对任意 , 显然 . 因此, 是单射.又对任意 , 有xyG, axy11 bG, 使 . 故 是满射, 从而 是 到 的双xab1()()b1 射. 再任取 .有()()()()xyaxyaxayxy111综上可知, 是 到 的一个自同构.G29. 证明：循环群的同态象必是循环群.分析：利用同态像的性质 以及循环群的定义可证。()()kka证明：设 是循环群， 是生成元， 是 到 的同态，且 。令 .于GG()GbaG()是，对任意 ，存在整数 ，使xkabk()()这说明 . 即 是循环群。b()30. 设群 是 的核， 是 的正规子群，并且 .试证,GKHG)(,HK
19、明： （第一同构定理）H/分析：利用定理 17.4.2 易证 是 的正规子群，由定理 17.5.3 知存在 到 的自 G然同态 ，则有 到 的同态 ，利用同态定义 17.5.4 证明 ，根er()据定理 17.5.4 证明结论成立。12证明：先证 是 的正规子群。对任意 有 使 。因为 是 的正HGaG()aHG规子群，所以， .于是, . 即a1()(H11故 是 的正规子群。设 是 到 的自然同态。令 .则 . 由GGHaaHaaKer()()()()K1(,得 . 从而，由第三同态定理得 。er()GH31. 设 和 都是群 的正规子群， .由第一同构定理证明：HKGKHG/分析：对照第
20、一同构定理形式，本题的证明关键是定义一个以 为核的同态 ，令/K，容易验证 满足同态的性质，并且 。(),xx er()/证明：令 .由 不难知道, 是 到 的映射,且显然是,K HKG满射。又, 对任意 ,yG()()()()xxxyHyK从而， . 同态核为：GKH er() ()=HxGxK,xGH ,. 由第一同构定理，得 .H32. 设 是群 的正规子群， 是 的任意子群，试证：KGG（第二同构定理）/分析：分别构造两个同态： 到 的满同态 以及 到 的同态 ；由子群的性fHK13质 是 的正规子群，因此 是自然同态。证明 到 的同态 核HKGHKgf，利用第三同态定理得证。er(g)证明：可以证明 是 的子群， 是 的正规子群，显然也是 的正规子群。令 G, . 不难验证， 是 到 的满同态。fhkkK, f又设 是 到 的自然同态。于是， 是从 到 的满同态。并且，g对任意 ,H, ghkfhkhHK()()hkK故 . 由第三同态定理有， .Ker
