1、离散数学习题集第五章图与子图2、设G（p,q）是简单二分图求证：。)( mpmq 则2mpm =22)2(4mpp=mpVmVVVGqpG =2121,),(),(证明：设4/2pq 所以，因为0)2(2 mp4/2pq 3、设G（p,q）是简单图,求证:qp(p-1)/2，在什么情况下, q=p(p-1)/2? 证明：因是简单图。所以G中任意两颗点之间最多只有一条边。故。z当G为完全图时，有q=p(p-1)/2。),( qpG2/)1(2= ppCqp4、试画出四个顶点的所有非同构的简单图. z共有11个。即5、证明图5.14中的两个图是同构的, 图5.15中的两个图不是同构的.试问,图5.
2、16中的两个图是否同构?agebdcfhjiabcdefghij图）（Petersena）（b14.5图1.令，xx=)(, jihgfedcbax, jihgfedcbaxz（2）如下图，若(a)与(b)同构，则对任何双射，z必有。于是推得z但d(b) d(v)，故(a)与(b)不同构。,: edcba), yxwvuua =)(vbye = )(,)( bedac）（awu）（bxvy15.5图(3)下面两个图是同构。令, xx=)(, gfedcbax, gfedcbxfgabceadbcdefg）（b）（a16.5图6、设G（p,q）是简单二分图，且,求证.GG0p)4(mod1pzG
3、, 且z于是|E(G)|=p(p-1)/4。z显然|E(G)|是整数。于是P或P-1是4的倍数。z因此，或。或G0p)4(mod1p）（）GEGE =(2/)1()()( =+ ppGEGE7、构造一个简单图G,使得.Gz如下图，令，z则有.G5,4,3,2,1, =iiiGG1234512345GG8、求证:对任何图G（p,q）,有:z而zz因此z即=piivdq1)(2=piiGpvdGp1)()()()()()( GvdGi)(/2)( GpqG =piiGvdpG1)()(1)()(/2)( GpqG 9 、设G（p,q）是简单图,p2.求证:G中至少有两个顶点的度数相等.证明：假设G
4、（p,q)中任何顶点的度均不相等, 则p个顶点的度分别为0,1,2, ,p-1。（1）设，则中存在孤立点；（2）设，则中无顶点v 满足，此与（1）矛盾。总之，0和p-1不能同时出现。由抽屉原理知，必有，使。),( qpG0)( =ivdiv1)( = pvdj0)( =vdjiGVvvji ),(,)()(jivdvd =),( qpG10、求证:在图G（p,p+1）中,至少有一个顶点v,满足d(v) 3.证明：若对任意，均有，则有即，也即。从而，矛盾。故存在，使。)(Gvv2)( vd=+piipvdqp12)(2)1(2pp 2)1(2 +pp + 101 )(Gvv3)( vd11、求证
5、:在任何有n(n2)个人的人群中,至少有两个人在其中恰有相同个数的朋友.z证明：作一个n阶简单图，n个顶点分别表示n个人。两个人是朋友当且仅当表示这两个人的顶点邻接。这样，问题就转化成中至少有两个顶点的度数相等。此结论题9已证。12、求证:每一个p阶简单图G,都与Kp的子图同构.证明：因任何一个P阶简单图GKp。又。故结论成立。GG 13、求证:任何完全图的每个点导出子图仍是完全图.z证明：由点导出子图的定义及完全图的结构即知结论成立。14、求证:二分图的每个顶点数不小于2的子图仍是二分图.z证明：设，且。令，显然，且。因此。GHVVGG = ),(212|)(| HV)(11VuHVuV =
6、)(22VvHVvV =,)(21VVHV= =21VV)(21VVHH=15、设G（p,q）是简单图，整数n满足1 p 1,则G 中必含回路;证明：设。若G不含回路，则必有满足。于是仍连通且无回路，而恰有条边。如此下去，连通无回路且恰含条边，一个顶点，此时是一个平凡图。从而即。此与矛盾。故G必含回路。1 pq)(1GVv 1)(1=vd11vGG =1vG 1q,1211 =ppvvvGG 1pG)1( pqpv1pG0)1( = pq1= pq1 pq16.(3)设G（p,q）是连通图，求证:若q = p 1,则G至少有两个悬挂点. 证明：设，若对任何，均有，则，即。此与矛盾。故G中至少有
7、一个悬挂点.。又若G中最多只有一个悬挂点，则即。从而得出（矛盾）。故G中至少有两个悬挂点。1= pq)(GVv2)( vdpvdqpii2)(21=pq 1= pq=+=piippvdq112)1(21)(21222)1(22 = pppq2117、求证:若边e 在图G的一条闭链中,则e 必在G 的一条回路中.证明：设，G中含e的闭链为。若E不是回路，则必有。（因为回路定义是：没有重复点）从E中去掉，得到仍为闭链。如此下去，就可得到含的回路。21vve =121vvvvl=jivv =lji 2jivv 1+1121vvvvvvlji+21vve =18、求证:对于图G(p,q),若,则G中必
8、含回路.证明：G中无悬挂点。任取，设v1与v0邻接。如此下去，可得G中的一条链又因G是有限图,由此可得一条闭链，由第题的证明过程可知，故此链上必有回路。2)( G2)( G)(0Gvv pvvvv 21019、设G（p,q）是简单图，且,求证:G是连通图.证明：若G不连通，则可将V(G)划分成V1,V2，使得V1中的顶点与V2中的顶点不邻接。令，于是，且( )11| pV =22| pV =21ppp +=2)1()1(2211+=pppp2,1,01 = ipi21pCq2221ppCCq +2)1)(1()1)(1(221121+pppppp2)2)(1( =pp21=pC2)2)(1(2
9、121+=pppp即矛盾！故连通。21pCq另解：z考虑。则有z（因为p(p-1)/2是完全图的边数）即不连通，于是，G 连通。qppq =2)1(212)1(1,作一个的非连通图. 21=pCq),( qpG证明：令。作如下，故G不连通。1,322= Cqp),( qpG21、（1）证明：若(p,q) 是简单图，且,则G 连通.证明：（1）设。若G不连通，则G的顶点可划分成两个集合，使得V1与V2中的顶点互不邻接。不妨设，则。由G是简单图知，( 因为)从而矛盾。故G必连通。21,VV|21VV 2|1pV,1)( pG212)()(11pVGVG2|1pV 12/)( pG 12/)( pG21、（2）当p 为偶数时,作一个非连通的k 正则简单图,其中z取p=6。则。z作非连通图G如下：,12=pk 212/6 =k
