1、数学建模试题及答案1设某产品的供给函数 与需求函数 皆为线性函数：)(p)(pf9(,43)( kf其中 为商品单价，试推导 满足什么条件使市场稳定。pk解：设 Pn 表示 t=n 时的市场价格，由供求平衡可知：2 分)(1nnpf943k即： pnn51经递推有： 6 分kpkpnn5)3()3(102表示初始时的市场价格0p若 。 10 分: 时当 n 则则则 ,30,13npk即k2某植物园的植物基因型为 AA、Aa、aa ，人们计划用 AA 型植物与每种基因型植物相结合的方案培育后代（遗传方式为常染色体遗传） ，经过若干代后，这种植物后代的三种基因型分布将出现什么情形？总体趋势如何？依
2、题意设未杂交时 aa 、Aa、AA 的分布分别为 ，杂交 n 代后分别为 an 0,acbbn cn (向为白分手)由遗传学原理有：4 分11111200nnnnncbacb设向量 Tnnax).(1XM式中 120M递推可得： 0Xn对 M 矩阵进行相似对角化后可得：102其相似对角阵 112pp从而 102)1(1021nnpM1)2()1(0nnnM8 分01010 )2()2() bacbabnnnn 当 时， 。 10 分n,nba3试建立人口 Logistic(逻辑)模型，并说明模型中何参数为自然增长率，为什么？解：人口净增长率与人口极限以及目前人口均相关。人口量的极限为 M，当前
3、人口数量为 N（t） ，r 为比例系数。建立模型：)(1()tNMd4 分0|t求解得到6 分rtmeNt)1()0注意到当 时， 并说明 r 即为自然增长率。 10 分MtN)( rtr)1(41968 年，介壳虫偶然从澳大利亚传入美国，威胁着美国的柠檬生产。随后，美国又从澳大利亚引入了介壳虫的天然捕食者澳洲瓢虫。后来，DDT 被普通使用来消灭害虫，柠檬园主想利用 DDT 进一步杀死介壳虫。谁料，DDT 同样杀死澳洲瓢虫。结果，介壳虫增加起来，澳洲瓢虫反倒减少了。试建立数学模型解释这个现象。解：依据题意，设介壳虫的数量为 x(t)，澳洲瓢虫的数量为 y(t),则有数模方程组：（1） 式中 a
4、 b c f 均大于零。 4 分yfcdtybxa解方程组（1） yfcxdx得： dxyba)( kbyfclnlexyfa（3） kbyfc式（3）给出一族封闭曲线，显然 x(t)、y(t) 即为以下为周期（ T0）的周期函数，由于调查的虫子的数量为一个周期内的均值则有 dtcyfTx)(106 分taby0 baTbayfcyfcx=+=(0)(lnlll当使用杀虫剂 DDT 后，设杀死介壳虫， ，澳洲瓢虫tx)(ty则有模型为： fxycfxycdtybabax)(显然此时有： bfx即介壳虫的数量增加，澳洲瓢虫的数量反而减小。 10 分5根据水情资料， 某地汛期出现平水水情的概率为
5、0.9, 出现高水水情的概率为 0.05，出现洪水水情的概率为 0.05。位于江边的某工地对其大型施工设备拟定三个处置方案：（1） 运走，需支付运费 15 万元。（2） 修堤坝保护，需支付修坝费 5 万元。（3） 不作任何防范，不需任何支出。若采用方案（1） ，那么无论出现任何水情都不会遭受损失；若采用方案（2） ，则仅当发生洪水时，因堤坝冲垮而损失 400 万元的设备；若采用方案（3） ，那么当出现平水水位时不遭受损失，发生高水水位时损失部分设备而损失 200 万元，发生洪水时损失设备 400 万元。根据上述条件，选择最佳决策方案。解：我们利用数学期望来评判方案的优劣：运走 -15不发生洪水
6、 0.95 -5 A -15 修坝 B 发生洪水 0.05 -405平水 0.9 0C 高水 0.05 -200洪水 0.05 -400E(A)=-15 （2 分）E(B)=0.95(-5)+0.05（-405 ）= -25 （5 分）E(C)=00.75+(-200)0.05+0.05(-400)=-30 （8 分）所以-E(A) -E(B) -E(C)，因而 A 方案是最佳决策方案。 （10分）6某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供 10,15,25,20 台同一规格的柴油机。已知该厂各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如下表所示，如果生产出的柴油机当季不交货，每台积压一个季度需储存
7、、维护等费用 0.15 万元，建立一个数学模型（不要求求解） ，要求在完成合同的情况下，使该厂全年生产（包括储存、维护）费用最小。季度 生产能力（台） 三位成本（万元/台）一 25 10.8二 35 11.1三 30 11.0四 10 11.3解：设 为第 季度生产的用于第 季度交货的柴油机的台数，则由题意 ：ijxj（3 分）=+205143241xx又由生产能力的要求，有（6 分）+2530141234xx再设 表示第 季度生产的用于第 季度交货的每台柴油机的实际成本，其值如ijcij下表：ij1 2 3 41 10.8 10.95 11.10 11.252 11.10 11.25 11.
8、403 11 11.154 11.30设 表示第 j 季度的生产能力， 表示第 季度的合同供应量，则建立本问题模iajbi型： =41ijijxczmin（10 分）041=ijjiijxbats.7考虑某地区影响青年生长发育主要因素分析。已知 13 岁至 18 岁各年龄组的四项指标为 生长发育不良的比率； 五项身体素质不及格的比0X1X率； 营养不良比率； 患病比率，数据见下表：2X3X年龄 13 14 15 16 17 18040.39 46.08 47.06 47.26 48.98 49.061X32.29 34.31 33.33 35.40 37.68 42.16237.25 37.2
9、5 25.50 12.75 9.8 16.6736.36 8.23 9.36 7.3 5.2 6.5请利用关联分析法分析影响发育的三项指标哪个对生长发育不良影响大？分辨系数 .50解：（1）进行初始化处理（2 分）7,1.24)0,.,1.65,.(.,4090.3968.439.67.3.8.0=X同理得到 ,.305),.69.32,.(,.,0X及 ， 2X3（5 分）（2）利用公式 )()()()()( 00 kXkXk ikiii iiiikiii maxmn+=计算各个关联系数： 91,.84)78,0.(1,.6=352（8,.7),.(,.3分） （3）计算关联度利用公式 得到
10、)(1nkiir=， ，87601.r.582=r0.763r从而 即五项身体素质不及格的比率对生长发育不良的比率影响最大。 （10 分）1X2004数学建模课程成绩分析理学院 沈继红这次考试面对的对象是三个班：03-1121,03-1131,03-1132，共有 111 人参加考试，课程为考查课。1. 覆盖面情况分析数学建模课程共讲授 8 章内容，其中第一章是数学建模概述，考试中未出题，其它各章皆有试题。数学建模课程主要是锻炼学生利用所学的数学知识解决实际问题。由于数学系各专业的学生数学专业课相对滞后，因此，很多数学建模所需的知识未学，因此，在学生比较熟悉的初等模型与微分方程模型中出题比例较
11、大；在学生以前未接触的第五章数学规划、第六章图论及第七章概率论与数理统计中，出了一道综合题。试卷共出 7 道题，具体分布如下：内容 第二章：初等模型第三章：微分方程第四章：数学规划第五章数学规划、第六章图论及第七章概率统计综合题第八章：灰色系统理论题目数 2 2 1 1 12. 难易程度分析由于数学建模课程主要是锻炼学生利用所学的数学知识解决实际问题，而客观世界的实际问题比较复杂，根本不是一次考试可以完成的。因此，我们并未出那种真实的客观实际问题。我们出的题目是参考所讲的书本内容后比较理想化的题目。只要学生认真听讲，认真看书，都可以获得比较理想的成绩。当然，由于毕竟是解决实际问题，因此，题目仍
12、有一定难度。3. 成绩分析经统计，考试三个班（03-1121,03-1131,03-1132）成绩分布如下：等级 优秀 良好 中等 及格 不及格数目 14 22 35 28 12考试平均成绩为 73.7 分，考试成绩分布呈现正态分布。4. 学生对知识点掌握情况分析总的看，学生对建立数学模型的基本步骤清晰，对利用什么方法解决实际问题也基本掌握。具体到题目类型上，对需要仔细分析后建模的题目掌握稍差些，对计算性的建模题目掌握得比较好，如对数学规划的建模题目普遍答的不好。5. 工作中存在的不足和今后努力方向由于本学期的数学建模课程采用的是双语教学，导致课堂效果不理想。由于是首次进行双语教学，没有任何经
13、验。开始尝试英语电子教案、双语教学（即先用英语讲完后再翻译一遍） ，起初学生很有兴趣，但坚持不了多久，有很多学生因为听不懂而放弃听课，最后只有 30%的学生在坚持听课。我开始改变方式，用汉语电子教案，还是双语讲授，情况略有好转，听课率能上升到60%。最后几堂我干脆都用汉语教学，听课率可上升到 90%。因此，双语教学对我还是一个新生事物，我将认真总结双语教学的课堂规律，争取良好的课堂教学效果。2005 数学建模试题 1 （10 分）设某产品的供给函数 与需求函数 皆为线性函数：)(p)(pf7865)( fp其中 为商品单价，试判断市场是否稳定并给出推理过程。p2 （10 分）某植物园的植物基因
14、型为 AA、Aa、aa，人们计划用 AA 型植物与每种基因型植物相结合的方案培育后代（遗传方式为常染色体遗传） ，经过若干代后，这种植物后代的三种基因型分布将出现什么情形？总体趋势如何？3（10 分）建立捕鱼问题的模型，并通过求解微分方程的办法给出最大的捕捞量。4. （10 分）试建立 Lanchester 游击战模型，并在无自然损失及没有增援的条件下求解模型，给出敌对双方获胜的条件。5. （10 分）根据水情资料， 某地汛期出现平水水情的概率为 0.7, 出现高水水情的概率为 0.2, 出现洪水水情的概率为 0.1。.位于江边的某工地对其大型施工设备拟定三个处置方案：a) 运走，需支付运费
15、20 万元。b) 修堤坝保护，需支付修坝费 8 万元。c) 不作任何防范，不需任何支出。若采用方案（1） ，那么无论出现任何水情都不会遭受损失；若采用方案（2） ，则仅当发生洪水时，因堤坝冲垮而损失 600 万元的设备；若采用方案（3） ，那么当出现平水水位时不遭受损失，发生高水水位时损失部分设备而损失 300 万元，发生洪水时损失设备 600 万元。根据上述条件，选择最佳决策方案。6 （10 分）由七种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。包装箱的宽和高时一样的，但厚度（t，以厘米计）及重量（ ，以公斤计）是不同的。下表给出了每种包装箱的厚度、重量以及数量。每辆平板车有 10.2 米的地方可
16、用来装包装箱（像面包片那样） ，载重为 40 吨。由于当地货运得限制，对C5，C 6，C 7 类的包装箱的总数有一个特别的限制：这类箱子所占的空间（厚度）不能超过 302.7 厘米。试把包装箱（见下表）装到平板车上去使得浪费的空间最小。C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7t(厘米) 48.7 52.0 61.3 72.0 48.7 52.0 64.0W(公斤) 2000 3000 1000 500 4000 2000 1000件数 8 7 9 6 6 4 87 （10 分）以你的专业知识举一个灰色系统理论方面的问题，论述其灰色特征，并提出你的解决办法。2005 数学建模考试参考答案1.解：
17、由题意： 138)()5pf需求与供给有交点， ),(把时间区间 等分， 为步长， 为 时的价格，则由供求平衡的需要，nntnPt由于供给由上一时刻的需求决定于是有（4 分）)()(11nnPf即 递推得 )(138)(53811nnPP为初始价格 （8 分）1)3()850Pnn 01 当 ， 收敛，市场稳定。 （10 分）n2解：设 分别表示第 代中， 占总体的百分率，ncba, aA,则 1b考虑第 代基因型与第 代的关系，选用 AA 型植物培育后代，则（4 分）111120nnnnncbac0aAA021aAaA令 设 则 210M)(nXcb TnnncbaXXM),(0)0 )0(
18、1（6 分）相对 M 进行相似变换，对角仪， 1PDM1021P故 1020)21()(11 nnnD（8 分）00211nn02121000nnnnccbcba令 ，有 ，经过若干代后，将全部培育成 AA 型植1na0nncb物，Aa 型与 aa 型全部消失。 （10 分）3解：设某水域现有鱼量 ，由于受资源限制所能容纳的最大鱼量 ，高自然x mx增长率 ，捕捞增长率 ，按人口的逻辑模型建立微分方程。rk（2 分）kxrdtm)1(要保持鱼量平衡 ，设平衡点为 ，解得0t0mxrk0设 考虑 在 的泰勒展式),(xfdt)(fx00f rkxf)(0当 0 时 与 同号 为不稳定平衡点)(x
19、 )(xf 0当 0 时 与 异号 为稳定平衡点f 0x0 即 （6 分）)(xrk设 由于 )1(1mxfkxf)(2r曲线 与 有交点，因 在原点切线为)1f2f1f xy解得，易知当 时，取得最大捕捞量0mx， rk2mxrf42)(0最大捕捞量为 （10 分）mx44 解： 设 为两支部队兵力， 为作战损失率，)(,tyxba, )0,(ba建立模型（2 分）bxydta则 解 )()(00yaxb（6 分）y令 0xL某部分获胜，即对方部队先减少到 0，于是，若 同时为 00,xyab,若 0，即 当 时， 获胜L,0bLyx若 0，即 当 时， 获胜 （10 分）,0xyaba05
20、.解：设三种方案分别为 A，B，C，通过判断三种方案的期望效益大小选择方案，最佳方案即期望效益最大。期望效益（3 分）20)(AE（6 分）68)0(1.9.8B（9 分）)(.37)(C120 )(AE)(E采取方案 A 为最佳。 （10 分）6 解： 设 型箱的原度， 米，重 公斤，在其一辆车上装 件，另一车上Ciiaibix装 件，设 型箱的总数为 则 ，则则归结为以下的线性规划问iyidiiidyx题（4 分）)2.10()2.10max(8181iiii yax ),(表 中 已 给 出iidb（8 分）为 整 数且 yxidaybxabiiiiiiiiiiiiii,0, 7,21.
21、3402.17340.7517571给出两个约束条件 （10 分）7 答：黑色系统一般为只知输入与输出，却不知它们的关系，白色系统一般为全部知道输入与输出的关系和具体参数，灰色系统为知道输入与输出的部分关系。 （5 分） 如经济系统的投资开发资源量的关系问题，更确切点给密切协作一经验数据及某年的投资预测，由于经济问题其原理并不明确，其内部诸要素之间存在复杂的高度非线性相互作用，所以相对我们的认识而言经济系统是一个灰色系统。考虑到逐年统计数据可能存在受诸多因素影响的误差，可以采用一次累加做生成数，对投资与产量分别作业成数，然后用 模型求解，最后再用一次累)1,(GM减得到要求的结果。 （10 分
22、）2005 年数学建模试卷分析1. 数学建模课程共有 8 章内容，除第一章数学建模概述未出题外，其余各章都有考核的试题；2. 参加考试共 7 人，其中，90 分以上为 1 人，8089 分的为 5 人，7079 分的为 1 人； 3. 由于参加考试人数较少，仅为 7 人，因此，分布并不一定典型，但从成绩看，平均成绩为 82.9 分，其分布基本符合正态分布； 4. 7 位考生中有 6 人在 80 分以上，成绩不错，由于是硕士研究生，学习主动性强，学习积极性高，学习态度认真，所以答的不错。在第 3 题通过求解微分方程的办法给出最大捕鱼量的问题，学生都按照书上现有的方法去做，暴露出只求及格不善思考的毛病。在最后举例论述灰色系统问题时，也是泛泛地举了个书上的例子，有应付之嫌。总之，试题基本合理，也基本反映了硕士研究生的真实水平。
