1、2.4 指数函数与对数函数,高考文数 (北京市专用),考点一 指数与指数函数 1.(2017北京,5,5分)已知函数f(x)=3x- ,则f(x) ( ) A.是偶函数,且在R上是增函数 B.是奇函数,且在R上是增函数 C.是偶函数,且在R上是减函数 D.是奇函数,且在R上是减函数,A组 自主命题北京卷题组,五年高考,答案 B 本题考查函数的奇偶性、单调性. 易知函数f(x)的定义域为R, f(-x)=3-x- = -3x=-f(x),f(x)为奇函数, 又y=3x在R上为增函数,y=- 在R上为增函数, f(x)=3x- 在R上是增函数.故选B.,2.(2015北京,10,5分,0.94)2
2、-3, ,log25三个数中最大的数是 .,答案 log25,解析 2-3= 2, 这三个数中最大的数为log25.,考点二 对数与对数函数 1.(2011北京,3,5分)如果lo xlo y0,那么 ( ) A.yx1 B.xy1 C.1xy D.1yx,答案 D lo xy1,故选D.,评析 本题考查对数函数的性质,属容易题.,2.(2017北京,8,5分)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通 物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与 最接近的是 ( ) (参考数据:lg 30.48) A.1033 B.1053 C.1073 D.1093,答案 D
3、 设 = =t(t0), 3361=t1080,361lg 3=lg t+80, 3610.48=lg t+80,lg t=173.28-80=93.28,t=1093.28.故选D.,3.(2012北京,12,5分)已知函数f(x)=lg x.若f(ab)=1,则f(a2)+f(b2)= .,答案 2,解析 f(x)=lg x, f(ab)=1,lg(ab)=1,则f(a2)+f(b2)=lg a2+lg b2=2lg a+2lg b=2lg(ab)=2.,考点定位 本题考查对数函数,要求学生会利用对数的运算公式进行化简,同时也要求学生对 于基础的对数运算比较熟悉.,考点一 指数与指数函数
4、1.(2015山东,3,5分)设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是 ( ) A.abc B.acb C.bac D.bca,B组 统一命题、省(区、市)卷题组,答案 C 因为指数函数y=0.6x在(-,+)上为减函数, 所以0.60.60.61.5,即ab, 又01, 所以ac,所以bac,故选C.,2.(2014山东,5,5分)已知实数x,y满足axy3 B.sin xsin y C.ln(x2+1)ln(y2+1) D. ,答案 A axy,x3y3.,3.(2014陕西,7,5分)下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数
5、是 ( ) A. f(x)=x3 B. f(x)=3x C. f(x)= D. f(x)=,答案 B 对于选项A, f(x+y)=(x+y)3f(x)f(y)=x3y3,排除A;对于选项B, f(x+y)=3x+y=3x3y=f(x)f(y), 且f(x)=3x在其定义域内是单调递增函数,B符合题意;对于选项C, f(x+y)= f(x)f(y)= =,排除C;对于选项D, f(x+y)= = =f(x)f(y),但f(x)= 在其定义域内是单调递减 函数,排除D.故选B.,4.(2016四川,7,5分)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入 研发资金130万元
6、,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的 研发资金开始超过200万元的年份是 ( ) (参考数据:lg 1.120.05,lg 1.30.11,lg 20.30) A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年,答案 B 设第n(nN*)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元.根据题意得130(1+1 2%)n-1200, 则lg130(1+12%)n-1lg 200, lg 130+(n-1)lg 1.12lg 2+2, 2+lg 1.3+(n-1)lg 1.12lg 2+2, 0.11+(n-1)0.050.30, 解得n , 又nN*,
7、n5, 该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年.故选B.,5.(2015天津,7,5分)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数.记a=f(log0.53),b=f(log2 5),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为 ( ) A.abc B.cab C.acb D.cba,答案 B 因为f(x)是偶函数,所以m=0,所以f(x)=2|x|-1,且f(x)在0,+)上为增函数,由题意得a=f (log0.53)=f(-log23)=f(log23),因为log25log230,所以f(log25)f(log23)f(0),即bac,故选B.,
8、考点二 对数与对数函数 1.(2018课标全国,7,5分)下列函数中,其图象与函数y=ln x的图象关于直线x=1对称的是 ( ) A.y=ln(1-x) B.y=ln(2-x) C.y=ln(1+x) D.y=ln(2+x),答案 B 本题考查函数图象的对称性. 解法一:y=ln x图象上的点P(1,0)关于直线x=1的对称点是它本身,则点P在y=ln x图象关于直线x =1对称的图象上,结合选项可知,B正确.故选B. 解法二:设Q(x,y)是所求函数图象上任一点,则其关于直线x=1的对称点P(2-x,y)在函数y=ln x图 象上, y=ln(2-x).故选B.,小题巧解 用特殊点的对称性
9、解决函数图象的对称性问题.,2.(2018天津,5,5分)已知a=log3 ,b= ,c=lo ,则a,b,c的大小关系为 ( ) A.abc B.bac C.cba D.cab,答案 D 本题主要考查指数、对数式的大小比较. b= log33=1, c=lo =log35log3 =a, cab.故选D.,方法总结 比较对数式的大小的方法: 若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需要对底 数进行分类讨论;若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较;若 底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.,3.(2014天津,4,5分)设a
10、=log2,b=lo ,c=-2,则 ( ) A.abc B.bac C.acb D.cba,答案 C 3,a=log21,b=lo cb,选C.,4.(2016浙江,5,5分)已知a,b0且a1,b1.若logab1,则 ( ) A.(a-1)(b-1)0 C.(b-1)(b-a)0,答案 D 解法一:logab1=logaa,当a1时,ba1; 当0a1时,0ba1.只有D正确. 解法二:取a=2,b=3,排除A、B、C,故选D.,评析 本题考查对数函数的性质,不等式的性质.属于中等难度题.,5.(2016课标,8,5分)若ab0,0cb,答案 B 0b1时,logaclogbc,A项错误
11、; 0b0, logcab0,acbc,C项错误; 0b0,cacb,D项错误.故选B.,评析 本题主要考查了幂函数、指数函数、对数函数的图象和性质,熟练掌握幂函数、指数 函数、对数函数的图象和性质是解题的关键.,6.(2015陕西,10,5分)设f(x)=ln x,0p C.p=rq,答案 C 由题意知f( )=ln = ln(ab) = (ln a+ln b)= (f(a)+f(b),从而p=r. 因为 , f(x)=ln x在(0,+)上为增函数, 所以f f( ), 即qp,从而p=rq,选C.,7.(2018课标全国,13,5分)已知函数f(x)=log2(x2+a).若f(3)=1
12、,则a= .,答案 -7,解析 本题主要考查函数的解析式及对数的运算. f(x)=log2(x2+a)且f(3)=1, f(3)=log2(9+a)=1, a+9=2,a=-7.,8.(2015浙江,9,6分)计算:log2 = , = .,解析 log2 =log2 =- . log43= = log23=log2 , = = =3 .,考点一 指数与指数函数 1.(2016浙江,7,5分)已知函数f(x)满足: f(x)|x|且f(x)2x,xR. ( ) A.若f(a)|b|,则ab B.若f(a)2b,则ab C.若f(a)|b|,则ab D.若f(a)2b,则ab,C组 教师专用题组
13、,答案 B 依题意得f(a)2a, 若f(a)2b,则2af(a)2b,2a2b, 又y=2x是R上的增函数,ab.故选B.,2.(2014安徽,11,5分) +log3 +log3 = .,答案,解析 原式= +log3 = +log31= +0= .,考点二 对数与对数函数 1.(2015四川,4,5分)设a,b为正实数,则“ab1”是“log2alog2b0”的 ( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件,答案 A y=log2x是增函数, 当ab1时,有log2alog2blog21=0. 另一方面,当log2alog2b0=log21时,有
14、ab1.故选A.,2.(2014安徽,5,5分)设a=log37,b=21.1,c=0.83.1,则 ( ) A.bac B.cab C.cba D.acb,答案 B 由321=2得b2,由0.83.10.80=1得c1,因此c ab,故选B.,评析 本题考查指数函数、对数函数单调性的应用,解题时借助特殊值比较是关键.,3.(2014辽宁,3,5分)已知a= ,b=log2 ,c=lo ,则 ( ) A.abc B.acb C.cba D.cab,答案 D 由a= 知01,cab.故选D.,4.(2014山东,6,5分)已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a0,且a1)的图象如图
15、,则下列结论成 立的是 ( )A.a1,c1 B.a1,01 D.0a1,0c1,答案 D 由题图可知,函数在定义域内为减函数,所以00,即logac0,所以0 c1.,5.(2014福建,8,5分)若函数y=logax(a0,且a1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是 ( ),答案 B 由y=logax的图象可知loga3=1,所以a=3.对于选项A:y=3-x= 为减函数,A错误;对于 选项B:y=x3,显然满足条件;对于选项C:y=(-x)3=-x3在R上为减函数,C错误;对于选项D:y=log3(-x), 当x=-3时,y=1,D错误.故选B.,6.(2014山东,6,5分)已知函
16、数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a0,a1)的图象如图,则下列结论成立 的是 ( )A.a1,c1 B.a1,01 D.0a1,0c1,答案 D 由题图可知,函数在定义域内为减函数,所以00,即logac0,所以0 c1.,7.(2014四川,7,5分)已知b0,log5b=a,lg b=c,5d=10,则下列等式一定成立的是 ( ) A.d=ac B.a=cd C.c=ad D.d=a+c,答案 B log5b=a,b0,故由换底公式得 =a,lg b=alg 5.lg b=c,alg 5=c,又5d=10,d= log510,即 =lg 5,将其代入alg 5=c中得 =c,即
17、a=cd.,8.(2015四川,12,5分)lg 0.01+log216的值是 .,答案 2,解析 lg 0.01+log216=lg +log224=lg 10-2+4=-2+4=2.,9.(2015安徽,11,5分)lg +2lg 2- = .,答案 -1,10.(2014陕西,12,5分)已知4a=2,lg x=a,则x= .,答案,解析 4a=2,a=log42= log44= . 又lg x=a,lg x= ,x=1 = .故填 .,评析 考查对数式与指数式的互化及运算,考查转化与化归的数学思想方法及灵活处理问题 的能力.,解析 原式=lg +lg 4-2=lg -2=lg 10-2
18、=-1.,考点一 指数与指数函数 1.(2017北京丰台一模,5)如果a=21.2,b= ,c=2log2 ,那么 ( ) A.cba B.cab C.abc D.acb,三年模拟,A组 20162018年高考模拟基础题组,答案 D a=21.22,b= cb.故选D.,2.(2017北京朝阳期末,5)已知a0,且a1,则“函数y=ax在R上是减函数”是“函数y=(2-a)x3在 R上是增函数”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,答案 A a0且a1,若函数y=ax在R上为减函数,则a(0,1);若“函数y=(2-a)x3在R上是
19、增函 数”,则a(0,1)(1,2). a(0,1)可推出a(0,1)(1,2),但a(0,1)(1,2)推不出a(0,1).故选A.,方法点拨 本题将充分必要条件的判断转化为集合与集合之间的关系,使问题简化.,3.(2017北京海淀二模,10)在log23,2-3,cos 这三个数中最大的数是 .,答案 log23,解析 log23log22=1,2-3= (0,1),cos =-1, 这三个数中log23最大.,考点二 对数与对数函数 1.(2018北京顺义二模,6)若a=log3 ,b=log39.1,c=20.8,则a,b,c的大小关系为 ( ) A.abc B.bac C.acb D
20、.cab,答案 C 由对数函数的性质可知,a=log3 log39=2,由指数函数的性质可 知,1=2020.821=2, 所以acb,故选C.,2.(2018北京东城期末,6)已知a= ,b=log2 ,c=lo ,则 ( ) A.abc B.acb C.cba D.cab,答案 D 0log22=1,cab,故选D.,3.(2018北京西城期末,5)若log2a+lo b=2,则有 ( ) A.a=2b B.b=2a C.a=4b D.b=4a,答案 C 因为log2a+lo b=log2a-log2b=log2 =2,所以 =22=4,则a=4b,故选C.,4.(2017北京东城一模,3
21、)如果a=log41,b=log23,c=log2,那么这三个数的大小关系是 ( ) A.cba B.acb C.abc D.bca,答案 A a=log41=0,1ba,故选A.,5.(2017北京海淀期中,9)计算lg 2-lg +3lg 5= .,答案 3,解析 lg 2-lg +3lg 5=lg 2+lg 4+lg 53=lg(2453)=lg(2353)=lg 103=3.,6.(2016北京顺义尖子生素质展示,10)已知函数f(x)=log2x.若a=4b,则f(a)-f(b)= .,答案 2,解析 f(x)=log2x,且a=4b, f(a)-f(b)=log2a-log2b=l
22、og2 =log24=2.,考点一 指数与指数函数 1.(2018北京丰台一模,3)已知a B. 2b D.a3b3,B组 20162018年高考模拟综合题组,答案 A 构造函数y= ,在(-,0)上是减函数,已知a ,故A正确; ,故B不 正确;C.构造函数y=2x,在(-,+)上是增函数,故2a2b,故C不正确; D.构造函数y=x3,在(-,+)上是增函数,故a3b3,所以D不正确.,2.(2018北京西城期末,8)已知A,B是函数y=2x的图象上的相异两点.若点A,B到直线y= 的距离 相等,则点A,B的横坐标之和的取值范围是 ( ) A.(-,-1) B.(-,-2) C.(-,-3
23、) D.(-,-4),答案 B 因为点A,B到直线y= 的距离相等,所以可设A(x1,y0),y0 ,则B(x2,1-y0),点A,B在y=2 x的图象上,y0= ,1-y0= ,x1=log2y0,x2=log2(1-y0),则x1+x2=log2y0+log2(1-y0)=log2y0(1-y0)log2=-2,y01-y0,x1+x2-2,即点A,B的横坐标之和的取值范围是(-,-2),故选B.,点睛方法 本题主要考查指数函数的性质、对数的运算以及利用基本不等式求范围,属于难 题.求范围问题往往先将所求问题转化为函数问题,然后根据配方法、换元法、不等式法、三 角函数法、图象法、函数单调性
24、法等求解.利用基本不等式求最值时,一定要正确理解和掌握 “一正,二定,三相等”的实质:一正,首先要判断参数是不是正数;二定,其次要看和或积是不是 定值;三相等,最后一定要验证等号能否成立.,3.(2018北京海淀二模,4)已知xy0,则 ( ) A. B. C.cos xcos y D.ln(x+1)ln(y+1),答案 D f(x)= 在(0,+)上单调递减,当xy0时, y0时, y0时,ln(x+1)ln(y+1).故选D.,思路分析 本题考查函数的单调性.,考点二 对数与对数函数 1.(2017北京朝阳期末,7)已知函数f(x)= 则函数g(x)=f(f(x)- 的零点个数是 ( )
25、A.4 B.3 C.2 D.1,答案 B 由g(x)=f(f(x)- =0,得f(f(x)= ,则f(x)=- 或f(x)= .如图, f(x)与y=- 的图象有两个 交点,f(x)与y= 的图象只有一个交点.则g(x)=f(f(x)- 的零点个数为3.故选B.,思路分析 将函数零点个数转化为函数图象的交点个数,再根据分段函数的性质即可求解.,解后反思 将函数零点问题转化为函数图象交点问题,利用数形结合求解.,2.(2017北京西城二模,13)函数f(x)= 则f = ;方程f(-x)= 的解是 .,答案 -2;- ,1,解析 0,f =log2 =-2. 当-x0,即x0时, f(-x)=log2(-x)= ,解得x=- . 当-x0,即x0时, f(-x)=2-x= ,解得x=1. 故f(-x)= 的解是- ,1.,思路分析 (1)将x= 代入相应的解析式计算即可; (2)对-x0和-x0分类讨论即可.,
