1、2.3 二次函数与幂函数,高考文数 (北京市专用),考点 二次函数 1.(2014北京,8,5分,0.64)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食 用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常 数),下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为( ),A组 自主命题北京卷题组,五年高考,A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟,答案 B 解法一:由已知得 解得 p=-0.2t2+1.5t-2=- + ,当t= =3.75时p最大,即最佳加工时间为3.
2、75分钟.故选B. 解法二:p(t)=at2+bt+c(a0). p(4)0.7p(5), 存在t0(4,5)使得p(t0)=0.7. p(t0)=p(3)=0.7, 二次函数p(t)的顶点的横坐标为t= ,即最佳加工时间为 分钟. t0(4,5), (3.5,4), 选B.,2.(2011北京,8,5分)已知点A(0,2),B(2,0).若点C在函数y=x2的图象上,则使得ABC的面积为2的 点C的个数为 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1,答案 A 解法一:易知A、B所在直线的方程是x+y-2=0. 设C到直线x+y-2=0的距离为d, SABC= |AB|d= 2 d=2,d= ,
3、设C(x,x2),则d= = , x2+x-4=0或x2+x=0. 对于方程x2+x-4=0,判别式=170,方程有两个不等实根; 解方程x2+x=0得x1=0,x2=-1,故C点的个数为4,故选A. 解法二:由已知易求得C到直线AB:x+y-2=0的距离d= ,过C且与直线x+y-2=0平行的直线方程 设为x+y+c=0,则 = ,|c+2|=2,c=0或c=-4. 又直线x+y=0与抛物线y=x2有两个交点,直线x+y-4=0与抛物线y=x2有两个交点,交点即为所求点 C,故C点个数为4,故选A.,3.(2017北京,11,5分)已知x0,y0,且x+y=1,则x2+y2的取值范围是 .,
4、答案,解析 解法一:由题意知,y=1-x, y0,x0,0x1, 则x2+y2=x2+(1-x)2=2x2-2x+1=2 + . 当x= 时,x2+y2取最小值 , 当x=0或x=1时,x2+y2取最大值1, x2+y2 . 解法二:由题意可知,点(x,y)在线段AB上(如图),x2+y2表示点(x,y)与原点的距离的平方. x2+y2的最小值为(0,0)到直线x+y-1=0的距离的平方,即 = ,又易知(x2+y2)max=1,x2+y2 .,考点一 二次函数 1.(2013辽宁,12,5分)已知函数f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.设H1(x
5、)=maxf(x),g(x),H 2(x)=minf(x),g(x)(maxp,q表示p,q中的较大值,minp,q表示p,q中的较小值).记H1(x)的最小 值为A,H2(x)的最大值为B,则A-B= ( ) A.a2-2a-16 B.a2+2a-16 C.-16 D.16,B组 统一命题、省(区、市)卷题组,答案 C f(x)=g(x),即x2-2(a+2)x+a2=-x2+2(a-2)x-a2+8,即x2-2ax+a2-4=0,解得x=a+2或x=a-2.f(x) 与g(x)的图象如图.由图及H1(x)的定义知H1(x)的最小值是f(a+2), H2(x)的最大值为g(a-2), 则A-
6、B=f(a+2)-g(a-2) =(a+2)2-2(a+2)2+a2+(a-2)2-2(a-2)(a-2)+a2-8=-16.,2.(2017浙江,5,5分)若函数f(x)=x2+ax+b在区间0,1上的最大值是M,最小值是m,则M-m ( ) A.与a有关,且与b有关 B.与a有关,但与b无关 C.与a无关,且与b无关 D.与a无关,但与b有关,3.(2015浙江,20,15分)设函数f(x)=x2+ax+b(a,bR). (1)当b= +1时,求函数f(x)在-1,1上的最小值g(a)的表达式; (2)已知函数f(x)在-1,1上存在零点,0b-2a1,求b的取值范围.,解析 (1)当b=
7、 +1时, f(x)= +1, 故对称轴为直线x=- .当a-2时,g(a)=f(1)= +a+2. 当-22时,g(a)=f(-1)= -a+2. 综上,g(a)= (2)设s,t为方程f(x)=0的解,且-1t1,则 由于0b-2a1,因此 s (-1t1).当0t1时, st ,由于- 0和- 9-4 , 所以- b9-4 . 当-1t0时, st , 由于-2 0和-3 0,所以-3b0. 故b的取值范围是-3,9-4 .,评析 本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数、不等式性质等基础知识,同时考查推 理论证能力,分类讨论等分析问题和解决问题的能力,属较难题.,4.(2017课标全国
8、,20,12分)在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐 标为(0,1).当m变化时,解答下列问题: (1)能否出现ACBC的情况?说明理由; (2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.,考点二 幂函数 (2016课标,7,5分)已知a= ,b= ,c=2 ,则 ( ) A.bac B.abc C.bca D.cab答案 A a= = ,c=2 = ,而函数y= 在(0,+)上单调递增,所以 ,即bac,故选 A.,方法总结 比较大小的问题往往利用函数的性质及图象来解决,其中单调性是主线.,评析 本题主要考查幂函数的性质,属中档题.,考点一 二次
9、函数 1.(2016浙江,6,5分)已知函数f(x)=x2+bx,则“b0”是“f(f(x)的最小值与f(x)的最小值相等”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,C组 教师专用题组,答案 A 记g(x)=f(f(x)=(x2+bx)2+b(x2+bx)= - = - . 当b0时,- + 0,即当 - + =0时,g(x)有最小值,且g(x)min=- ,又f(x)= - ,所 以f(f(x)的最小值与f(x)的最小值相等,都为- ,故充分性成立.另一方面,当b=0时, f(f(x)的最小 值为0,也与f(x)的最小值相等.故必要性不成
10、立.选A.,解后反思 判定非必要很容易,只需举出反例.要使f(f(x)的最小值与f(x)的最小值相等,只需满 足- - ,即b0或b2.,评析 本题考查二次函数求最值,对运算能力和推理能力有较高要求.,2.(2014浙江,9,5分)设为两个非零向量a,b的夹角.已知对任意实数t,|b+ta|的最小值为1. ( ) A.若确定,则|a|唯一确定 B.若确定,则|b|唯一确定 C.若|a|确定,则唯一确定 D.若|b|确定,则唯一确定,答案 B |b+ta|2=|a|2t2+2abt+|b|2 =|a|2t2+2|a|b|cos t+|b|2, 设f(t)=|a|2t2+2|a|b|cos t+|
11、b|2, 则二次函数f(t)的最小值为1, 即 =1, 化简得|b|2sin2=1. |b|0,0,|b|sin =1, 若确定,则|b|唯一确定, 而|b|确定,不确定,故选B.,3.(2015福建,16,4分)若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p0,q0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可 适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于 .,答案 9,解析 依题意有a,b是方程x2-px+q=0的两根,则a+b=p,ab=q,由p0,q0可知a0,b0. 由题意可知ab=(-2)2=4=q,a-2=2b或b-2=2a, 将a-2=2b代入ab=4可解得a=4
12、,b=1,此时a+b=5; 将b-2=2a代入ab=4可解得a=1,b=4,此时a+b=5, 则p=5,故p+q=9.,评析 本题主要考查等差数列、等比数列等基础知识,考查函数与方程思想、化归与转化思 想.,4.(2013重庆,15,5分)设0,不等式8x2-(8sin )x+cos 20对xR恒成立,则的取值范围 为 .,答案 ,解析 由8x2-(8sin )x+cos 20对xR恒成立, 得=(-8sin )2-48cos 20, 即64sin2-32(1-2sin2)0,得到sin2 , 0,0sin , 0 或 , 即的取值范围为 .,评析 本题考查了一元二次不等式恒成立问题以及二倍角
13、公式和正弦函数的性质,考查了运 算求解能力.解三角不等式出错是失分的主要原因.,5.(2015广东,21,14分)设a为实数,函数f(x)=(x-a)2+|x-a|-a(a-1). (1)若f(0)1,求a的取值范围; (2)讨论f(x)的单调性; (3)当a2时,讨论f(x)+ 在区间(0,+)内的零点个数.,解析 (1)f(0)=a2+|a|-a(a-1)=|a|+a. 当a0时, f(0)=01对于任意的a0恒成立; 当a0时, f(0)=2a,令2a1,解得0a时, f (x)=2x-(2a-1)=2(x-a)+10, 所以f(x)在区间(a,+)上单调递增.(3)令h(x)=f(x)
14、+ ,由(2)得,h(x)= 则h(x)= 当0a时,因为a2,所以x2,所以00, 所以h(x)在区间(a,+)上单调递增. 因为h(1)=40,h(2a)=2a+ 0, 若a=2,则h(a)=-a2+a+ =-4+2+2=0,此时h(x)在(0,+)上有唯一一个零点; 若a2,则h(a)=-a2+a+ =- =- 2时, f(x)+ 在区间(0,+)内有两个零点.,考点一 二次函数 (2016北京第八十中学零模,12)某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3 000元时,可 全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要 维护费150元,未租
15、出的车每辆每月需要维护费50元,要使租赁公司的月收益最大,则每辆车的 月租金应定为 元. 答案 4 050,三年模拟,A组 20162018年高考模拟基础题组,解析 设每辆车的月租金为x(x3 000)元,租赁公司的月收益为y元,则y=x -50- 150=- +162x-21 000. 根据题意得 解得3 000x8 000. y=- +162x-21 000=- (x-4 050)2+307 050. 当x=4 050时,ymax=307 050. 故每辆车的月租金应定为4 050元.,考点二 幂函数 1.(2018北京海淀期末,2)已知a,bR,若ab,则 ( ) A.a2b B.abb
16、2 C. D.a3b3,答案 D 已知a,bR,若ab,则A.a2b,当 时不成立;B.abb2,当b=0时,不成立;C. , 当a,b均小于0时,没有意义,故不正确;D.a3b3,y=x3是增函数,故正确.,2.(2016北京海淀一模,12)在 , ,log32这三个数中,最小的数是 .,答案,解析 1,0log3 = , 这三个数中最小的数是 .,考点 二次函数 1.(2017北京西城二模,8)函数f(x)=x|x|,若存在x1,+),使得f(x-2k)-k0,则k的取值范围是 ( ) A.(2,+) B.(1,+) C. D.,B组 20162018年高考模拟综合题组,答案 D 易知f(
17、x)=x|x|= 在R上单调递增, 在1,+)上, f(x-2k)的最小值为f(1-2k)=(1-2k)|1-2k|. (1-2k)|1-2k|0. =(-3)2-441=-70恒成立.k . 当k 时,(1-2k)2-k0.整理得4k2-5k+10.解得 k1, 又k , k .综上,k .,思路分析 本题为存在性问题.若存在x1,+),有f(x-2k)-k0,则只需f(x-2k)mink.,解后反思 函数的存在性问题往往转化成函数最值问题.,2.(2016北京东城期末,8)已知函数f(x)=a-x2(1x2)与g(x)=x+1的图象上存在关于x轴对称的 点,则实数a的取值范围是 ( ) A
18、. B.1,2 C. D.-1,1,答案 D 解法一:设(x,x+1)为函数g(x)=x+1的图象上的点,则(x,-x-1)为函数f(x)=a-x2(1x2) 的图象上的点,所以-x-1=a-x2, 故问题转化为方程x2-x-1-a=0在区间1,2上有解. 设h(x)=x2-x-1-a,则有 所以 解得-1a1,故选D. 解法二:同解法一得a-x2=-x-1,即a=x2-x-1在区间1,2上有解.令g(x)=x2-x-1,1x2. g(x)=x2-x-1的图象是开口向上,且以直线x= 为对称轴的抛物线,故当x=1时,g(x)取最小值-1, 当x=2时,g(x)取最大值1.故a-1,1,选D.,
19、思路分析 解题关键是弄清关于x轴对称的点的坐标特征.解法一:由题意知(x,a-x2)与(x,x+1)关 于x轴对称(1x2),故a-x2=-x-1在1,2上有解,进一步转化成x2-x-1-a=0在1,2上有解,再构造 函数研究即可.解法二:转化成a=x2-x-1,构造函数g(x)=x2-x-1,求g(x)的值域.,3.(2017北京石景山一模,12)已知函数f(x)= 若f(a)f(2-a),则a的取值范围是 .,答案 a1,解析 当x0时, f(x)=x2+x,易知f(x)在0,+)上单调递增; 当xf(2-a),a2-a.解得a1.,思路分析 利用二次函数的图象和性质,判断函数f(x)的单调性,利用单调性即可求解.,解后反思 熟练掌握二次函数的图象与性质以及增函数的定义是解题的关键.,
