1、第十一章 三角形,11.1 与三角形有关的线段 11.1.1 三角形的边,课前预习 1.图中三角形的个数有 个,8,2.三角形按边可分为（ ） A等腰三角形，直角三角形，锐角三角形 B直角三角形，不等边三角形 C等腰三角形，不等边三角形 D等腰三角形，等边三角形 3.下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（ ） A1，2，1 B1，2，2 C1，2，3 D1，2，4,C,B,课堂精讲 知识点1.三角形的有关概念 （1）定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接 所组成的图形叫做三角形. 有关概念及其表示方法 如下图所示，线段AB，AC，BC叫做ABC的三条边
2、，点A，B，C叫 做ABC的三个顶点A，B，C叫做ABC的三个内角，简称三角形的角，顶点是A， B，C的三角形，记作“ABC”，读作“三角形ABC”. 拓展：数三角形个数的方法： 按图形形成的过程（即重新画一遍图形，按照三角形形成的先后 顺序去数） 按大小顺序 可从图中的某一条线段开始沿着一定方向去数 先固定一个顶点，变换另两个顶点来数,课堂精讲 【例1】如图，以BC为边的三角形有几个？以A为顶 点的三角形有几个？分别写出这些三角形解析：此题主要考查了三角形的定义，根据三条 线段，两两相交在一起所构成的一个密闭的平面 图形叫做三角形得出所有三角形是解题关键 解：以BC为边的三角形有ABC，DB
3、C，EBC， OBC； 以A为顶点的三角形有ABE，ADC，ABC,变式拓展 1.数一数图中共有 个三角形,12,课堂精讲 知识点2 三角形的分类 （1）按边的相等关系分类：三角形 （2）按角的大小分类：三角形 提示：(1)等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三 角形包括等边三角形(2)不等边三角形是指三条边 都不相等的三角形无论按哪一标准对三角形进行分 类，原则都是不重不漏。,【例2】至少有两边相等的三角形是（ ） A等边三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D锐角三角形 解析：本题需要分类讨论：两边相等的三角形称为 等腰三角形，该等腰三角形可以是等腰直角三角形， 该等腰三角形有可能是锐角三
4、角形，也有可能是钝角 三角形；当有三边相等时，该三角形是等边三角 形等边三角形是一特殊的等腰三角形 本题中三角形的分类是： 答案：B,变式拓展 2.一个等腰三角形的顶角是50度，它的一个底角是 度；按角分类，这个三角形是三角形,65,锐角,课堂精讲 知识点3 三角形的三边关系 （1）三边关系的性质：三角形两边的和大于第三边， 三角形两边的差小于第三边三角形的三边关系反映 了任意三角形边的限制关系， （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角 形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则 这三条线段可以组成三角形；否则不能组成三角形， 已知三角形两边长，求第三边长的取值范围， 注意：(1)
5、这里的“两边”指的是任意的两边(2)三角 形的三边关系的依据是“两点之间，线段最短”,【例3】下列线段能构成三角形的是（ ） A2，2，4 B3，4，5 C1，2，3 D2，3，6 解析：根据三角形的任意两边之和大于第三边，对各 选项的数据进行判断即可A.2+2=4，不能构成三角 形，故A选项错误；B.3、4、5，能构成三角形，故B 选项正确；C.1+2=3，不能构成三角形，故C选项错 误；D.2+36，不能构成三角形，故D选项错误 答案：B,变式拓展 3.已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是（ ）A5 B10 C11 D12,B,随堂检测 1.如图中三角形的个数是（ ）A
6、6 B7 C8 D9,C,2.有长度分别为1，3，5和7的4条线段，选择其中3条首尾连接构成三角形，则可以构成不同的三角形的个数是（ ）A4 B3 C2 D1 3.如图中的三角形的个数是 个,D,9,4.如图的三角形，按角的大小分类是 三角形，按边的长短分类是 三角形5.三角形的三条边长分别是2，2x3，6，则x的取值范围是 6.等腰三角形两边长分别是3和6，则该三角形的周长为 ,锐角,等腰,3.5x5.5,15,11.1.2-11.1.3 三角形的高、中线与角平分线 三角形的稳定性,课前预习 1.三角形的角平分线是（ ） A直线 B线段 C射线 D三种情况都可能 2.不一定在三角形内部的线段
7、是（ ） A三角形的角平分线 B三角形的中线 C三角形的高 D三角形的中位线 3.三角形的下列四种线段中一定能将三角形分成面积相等的两部分的是（ ） A角平分线 B中位线 C高 D中线,B,C,D,4.下列图形中，（ ）具有稳定性 A长方形 B正方形 C平行四边形 D三角形,D,课堂精讲 知识点1.三角形的高、中线、角平分线 （1）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边 所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形 的高 （2）三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和 它对边中点的线段叫做三角形的中线， （3）三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的 平分线和对边相交，这个角的顶点与交点之
8、间的线段 叫做三角形的角平分线,【例1】下列说法中错误的是（ ） A三角形三条角平分线都在三角形的内部 B三角形三条中线都在三角形的内部 C三角形三条高都在三角形的内部 D三角形三条高至少有一条在三角形的内部 解析：在三角形的角平分线、中线、高三个概念中，特别 注意三角形三条角平分线和中线一定都在三角形的内部， 只有高不一定都在三角形的内部，直角三角形有两条高就 是直角三角形的边，一条在内部，钝角三角形有两条高在 外部，一条在内部A.三角形三条角平分线都在三角形的 内部，故正确；B.三角形三条中线都在三角形的内部，故 正确；C.直角三角形有两条高就是直角三角形的边，一条 在内部，钝角三角形有两
9、条高在外部，一条在内部，故错 误D.三角形三条高至少有一条在三角形的内部，故正确 答案：C,【例2】如图，AD，BE，CF依次是ABC的高、中线和角平分 线，下列表达式中错误的是（ ）AAE=CE BADC=90 CCAD=CBE DACB=2ACF 解析：A.BE是ABC的中线，所以AE=CE，故本表达式正确； B.AD是ABC的高，所以ADC=90，故本表达式正确；C.由三 角形的高、中线和角平分线的定义无法得出CAD=CBE，故 本表达式错误；D.CF是ABC的角平分线，所以ACB=2ACF， 故本表达式正确 答案：C,变式拓展 1.如图，在三角形ABC中，1=2，G为AD的中点，延长B
10、G交AC于EF为AB上的一点，CFAD于H下列判断正确的有（ ） AD是三角形ABE的角平分线；BE是三角形ABD边AD上的中线；CH为三角形ACD边AD上的高A1个 B2个 C3个 D0个,A,2.如图，ADBC，垂足为D，BAC=CAD，下列说法正确的是（ ）A直线AD是ABC的边BC上的高 B线段BD是ABD的边AD上的高 C射线AC是ABD的角平分线 DABC与ACD的面积相等,B,课堂精讲 知识点2.三角形的稳定性 三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形 的稳定性 【例3】不是利用三角形稳定性的是（ ） A自行车的三角形车架 B三角形房架 C照相机的三角架 D矩形门框的斜拉条
11、 解析：关键是分析能否在同一平面内组成三角形照 相机的三脚架构成的是立体图形，不是三角形 答案：C,变式拓展 3.三角形具有稳定性，所以要使六边形木架不变形，至少要钉上 根木条,3,随堂检测 1.以下是四位同学在钝角三角形ABC中画BC边上的高，其中画法正确的是（ ）A B.C D,B,2.如图，CD，CE，CF分别是ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）AAB=2BF BACE= ACB CAE=BE DCDBE,C,3.BM是ABC中AC边上的中线，AB=5cm，BC=3cm，那么ABM与BCM的周长之差为 cm 4.如图，在ABC中，BD是ABC的角平分线，已知ABC=8
12、0，则DBC= ,2,40,5王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图所示，要使木架不变形，他至少要再钉上木条( )A.O根 B1根 C2根 D3根,B,11.2 与三角形有关的角 11.2.1 三角形的内角,课前预习 1.在ABC中，已知A=18，C=54，则B的度数是（ ） A90 B94 C98 D108 2.一个三角形中如果两个锐角互余，那么这个三角形是（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不确定 3.在ABC中，A=30，B=45，则C= ,D,B,105,课堂精讲 知识点1.三角形的内角和定理 定理：三角形三个内角的和等于180. 【例1】ABC中，已知：A=50，C
13、B=70，则 B的度数是（ ） A30 B50 C100 D65 解析：根据三角形的内角和等于180求出B+C，然后 联立求解即可 在ABC中，B+C=180A=18050=130， CB=70， 得，B=30 答案：A,变式拓展 1.已知ABC中，B是A的2倍，C比A大20，则A等于（ ） A40 B60 C80 D90,A,课堂精讲 知识点2.直角三角形的性质与判定 （1）直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余， （2）直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角 形 【例2】已知在ABC中，C=A+B，则ABC的形状是 （ ） A等边三角形 B锐角三角形 C直角三角形 D钝角三角
14、形 解析：根据在ABC中，A+B=C，A+B+C=180可 求出C的度数，进而得出结论 在ABC中，A+B=C，A+B+C=180， 2C=180，解得C=90，、 ABC是直角三角形 答案：C,变式拓展 2.三角形中，若一个角等于其他两个角的差，则这个三角形是（ ） A钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D等腰三角形,B,随堂检测 1.如图，是一块三角形木板的残余部分，量得A=95，B=45，这块三角形木板另外一个角是（ ）A40 B45 C50 D55,A,2.已知ABC的三个内角满足，B+C=2A，则A的度数为（ ） A30 B45 C60 D90 3.具备下列条件的ABC中，不是直
15、角三角形的是（ ） AA=2B=3C BAB=C CA：B：C=2：3：5 DA= B= C,C,A,4.在ABC中，A=36，C是直角，则B= 5.若一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形中的最大的角度是 ,54,90,11.2.2 三角形的外角,课前预习 1.三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（ ） A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D无法确定 2.如图，ABC，A=70，点D在BC的延长线上，若ACD=130，则B= 3.（2014广州）ABC中，已知A=60，B=80，则C的外角的度数是 ,B,60,140,课堂精讲 知识点.三角形的外角 （1）三角形外
16、角的定义：三角形的一边与另边的延 长线组成的角，叫做三角形的外角 （2）三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相 邻的两个内角的和 三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角，所以 三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角因 为三角形的每个外角和与它相邻的内角是邻补角，由三 角形的内角和是180，可推出三角形的三个外角和是 360 三角形内角和定理与三角形外角的性质是角的有关计算 及推理论证时经常使用的理论依据 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角,【例】如图所示是某零件的平面图，其中B=C=30， A=40，则ADC的度数为（ ） A70 B80 C90 D100 解析：延长AD
17、交BC于E，根据三角形的外角与内角的关系 可得DEC=70，再得ADC的度数 延长AD交BC于E， B=30，A=40， DEC=70， C=30， ADC=70+30=100， 答案：D,变式拓展 1.如图A=50，B=D=30，那么BCD的度数是（ ）A70B80C110D130,C,2.如图，图中的1= 度,65,随堂检测 1.如图是一失事飞机的残骸图形，若B=30，BCD=70，那么A的度数是（ ）A30 B40 C60 D70,B,2.如图，ABCD，BE交CD于点F，B=45，E=21则的D为（ ）A21 B24 C45 D66,B,3.估计图中1、2、3的大小，并用“”号把它们连
18、接起来 4.如图，在ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，点F在BC的延长线上，DEBC，A=44，1=57，则2= ,321,101,11.3 多边形及其内角和,课前预习 1.下列图形中，多边形有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个,B,2从n边形的一个顶点出发共有对角线 ( ) A(n-2)条 B.(n-3)条 C.(n-1)条 D（n-4）条 3.（2015惠山区一模）如果一个多边形的内角和等于1260，那么这个多边形的变数为（ ） A7 B8 C9 D10 4.正多边形的一个外角等于20，则这个正多边形的边数是 ,B,C,18,课堂精讲 知识点1.多边形及正多边形 （1）多边形：在平
19、面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做 多边形. （2）正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形 【例1】如图所示的图形中，属于多边形的有（ ）个 A3个 B4个 C5个 D6个 解析：根据多边形的定义：平面内不在同一条直线上的几条线段首 尾顺次相接组成的图形叫多边形显然只有第一个、第二个、第五 个 答案：A,变式拓展 1.图中的各图形是不是多边形？如果是，说出是几边形,解：图(1)是多边形，是四边形；图(2)是多边形，是五边形；图(3)不是多边形；图(4)是多边形，是五边形,2下列各图形中是正多边形的是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.长方形 D正方形,D,
20、课堂精讲 知识点2.多边形的对角线 连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 【例2】画出下图中多边形的所有对角线，猜想七 边形、八边形有多少条对角线？n边形呢？解析：从行边形的一个顶点出发有(n-3)条对角线，因为它有n个顶点， 所以共有n(n-3)条对角线，其中每条对角线都重复一次，因此共有 条对角线 解：画图，如上图所示七边形有14条对角线；八边形有20条对角 线；n边形有 条对角线,变式拓展 3填空：(1)如图，六边形每个顶点都有 条对角线，六边形有 个顶点，共有对角线 条，但每条对角线被算了两次，所以实际是 条；(2)n边形每个顶点都有 条对角线，n边形有 个顶点，共有
21、对角线 条，但每条对角线被算了两次，所以实际是 条.,3,6,18,9,n-3,n,n（n-3）,课堂精讲 知识点3.n边形的内、外角和公式 (1)n边形的内角和公式：（n-2）180 (2)多边形的外角和：（每个顶点处取一个外角） 定理：多边形的外角和等于360 多边形外角和定理的证明：多边形的每个内角与它相邻的外 角都是邻补角，所以n边形的内角和加外角和为n180，所 以外角和等于n180- (n-2)180-360 外角和定理的应用：a.已知外角的度数求正多边形的边数； b.已知正多边形的边数求外角的度数. 提示：(1)多边形的外角和恒等于360，而与边数多少无关 (2)内角和随边数的变
22、化而变化：边数每增加1，内角和就增加 180,【例3】（2015梧州一模）一个多边形的内角和与外角和之比 为11：2，则这个多边形的边数是（ ） A13 B12 C11 D10 解析：据多边形的内角和公式，多边形的外角和，可得方程， 再解方程，可得答案 解：设这个多边形的边数是n，由题意得（n2）180： 360=11：2 解得n=13 答案：A,变式拓展 4.若一个正n边形的每个内角为156，则这个正n边形的边数是（ ） A13 B14 C15 D16 5.（2015杭州模拟）正八边形的每个外角为（ ） A60 B45 C35 D36,C,B,随堂检测 1.从一个七边形的某个顶点出发，分别连
23、接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成（ ）个三角形 A6 B5 C8 D7 2.（2014来宾）如果一个多边形的内角和是720，那么这个多边形是（ ） A四边形 B五边形 C六边形 D七边形 3.已知一个n边形的内角和是其外角和的5倍，则n= ,B,C,12,4.如图，五边形ABCDE中，ABCD，1、2、3分别是BAE、AED、EDC的外角，则1+2+3= ,180,5.连接四边形任意不相邻的两个顶点的线段叫做四边形的对角线，如图：从四边形的一个顶点可以引出 1 条对角线，把四边形分成 2 个三角形； 从五边形的一个顶点可以引出 2 条对角线，把五边形分成 3 个三角形； 从六边形的
24、一个顶点可以引出 3 条对角线，把六边形分成 4个三角形； ,从n边形的一个顶点可以引出 条对角线， 把n边形分成 个三角形； 已知任意三角形的内角和为180，则： 四边形的内角和为：1802 五边形的内角和为：1803 六边形的内角和为：1804 n边形的内角和为： （用含n的代数式表示） 根据上面你所找到的规律尝试计算十二边形的内角和，你一定能行,（n3）,（n2）,（n2）180,拓展：镶嵌,课前预习 1.下列图形中，不能镶嵌成平面图案的（ ） A正三角形 B正四边形 C正五边形 D正六边形 2.能和正八边形一起铺满地面的是（ ） A正十边形 B正六边形 C正四边形 D正三角形 3.（2
25、015德化模拟）请写出能单独铺满地面的正多边形： （至少写出2种）,C,C,正三角形或正四边形或正六边形,课堂精讲 知识点.能单独进行镶嵌的多边形 正多边形能够进行平面镶嵌（密铺），即几个内角合起来必须为 360，而正多边形的每个内角相等，所以必须满足正多边形的一个 内角能整除360 【例】幼儿园的小朋友们打算选择一种形状、大小都相同的多边 形塑胶板铺活动室的地面，为了保证铺地时既无缝隙又不重叠，请 你告诉他们下面形状的塑胶板：正三角形； 正四边形；正 五边形；正六边形，可以选择的是（ ） A B C D 解析：根据一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360求 解即可正三角形的每个内角是
26、60，能整除360，能够铺满地 面；正四边形的每个内角是90，能整除360，能够铺满地面； 正五边形每个内角是1803605=108，不能整除360，不 能够铺满地面；正六边形的每个内角是120，能整除360，能 够铺满地面 答案：C,变式拓展： 1.下列组合中不能铺满地板的是（ ） A正八边形和正方形 B正六边形和正三角形 C正方形、正五边形和正十二边形 D正十二边形和正三角形 2.用正三角形和正六边形密铺成平面，共有_种拼法（ ） A1 B2 C3 D无数,C,B,随堂检测 1.在下面这四种瓷砖中，用一种瓷砖不能密铺平面的是（ ） A. B.C. D.,C,2.商店出售下列形状的地砖： 正方形；长方形；正五边形；正六边形 若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（ ） A1种 B2种 C3种 D4种 3.用三种不同的正多边形地砖铺满地面，若其中有正三角形，正八边形，则另一个为正 边形 4.只用一种正多边形铺地板，则只有 、 、三种正多边形能铺满地面,C,24,正三角形,正方形,正六边形,
