1、1专题限时集训(十三) 圆锥曲线中的综合问题(对应学生用书第 143 页)建议用时：45 分钟1已知椭圆 C： 1( a b0)的离心率为 ，右顶点 A(2,0)x2a2 y2b2 32(1)求椭圆 C 的方程；(2)过点 M 的直线 l 交椭圆于 B， D 两点，设直线 AB 的斜率为 k1，直线 AD 的斜率(32， 0)为 k2，求证： k1k2为定值，并求此定值解 (1)由题意得Error!解得Error!所以 C 的方程为 y21. 4 分x24(2)证明：由题意知直线 l 的斜率不为 0，可设直线 l 的方程为 x my ，与 y2132 x24联立得( m24) y23 my 0
2、， 6 分74由 0，设 B(x1， y1)， D(x2， y2)，则 y1 y2 ， y1y2 ， 8 分 3mm2 4 74m2 4k1k2 y1y2 x1 2 x2 2 y1y2(my1 12)(my2 12) y1y2m2y1y2 12m y1 y2 14 ， 74 74m2 32m2 14 m2 4 74 k1k2为定值，定值为 . 15 分742已知椭圆 C： 1( a b0)的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径x2a2 y2b2 12的圆与直线 x y120 相切7 5(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 A(4,0)，过点 R(3,0)作与 x 轴不重合的直线 l 交
3、椭圆 C 于 P， Q 两点，连接AP， AQ 分别交直线 x 于 M， N 两点，若直线 MR， NR 的斜率分别为 k1， k2，试问：163k1k2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由解 (1)由题意得Error!2Error! 故椭圆 C 的方程为 1. 4 分x216 y212(2)设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，直线 PQ 的方程为 x my3，由Error!(3 m24)y218 my210， y1 y2 ， y1y2 . 6 分 18m3m2 4 213m2 4由 A， P， M 三点共线可知 ， yM . 8 分yM163 4 y1x1 4 28y1
4、3 x1 4同理可得 yN ， k1k2 .28y23 x2 4 yM163 3 yN163 3 9yMyN49 16y1y2 x1 4 x2 410 分( x14)( x24)( my17)( my27) m2y1y27 m(y1 y2)49， k1k2 . 14 分16y1y2m2y1y2 7m y1 y2 49 127 k1k2为定值 . 15 分1273(2017杭州高级中学高三最后一模)已知抛物线 C1： x22 py(p0)与圆 C2： x2 y28的两个交点之间的距离为 4， A， B 为抛物线 C1上的两点(1)求 p 的值；(2)若 C1在点 A， B 处切线垂直相交于点 P
5、，且点 P 在圆 C2内部，直线 AB 与 C2相交于C， D 两点，求| AB|CD|的最小值图 136解 (1)由题易得抛物线与圆的两个交点坐标为(2,2)，(2,2)，则代入 x22 py 得 p1. 5 分(2)设 A ， B ，(x1，x212) (x2， x22)又 x 2 y1，则 PA 的斜率为 y 1 x1.21同理 PB 的斜率为 y 2 x2，所以 x1x21，3两切线为 y x1x x ， y x2x x ，1221 122交点为 P ， 8 分(x1 x22 ， 12)点 P 在圆内得 x x 33，21 2直线 AB 为 y x 过抛物线的焦点 ，x1 x22 12
6、 (0， 12)|AB| p (x x 2)， 10 分x212 x22 12 21 2设 d 为圆心到直线 AB 的距离，则| AB|CD| (x x 2)2 ，12 21 2 8 d2d ， 13 分1x21 x2 2t x x 24,35)，21 2则| AB|CD| ，8t2 t最小值为 2 . 15 分314已知中心在原点 O，焦点在 x 轴上，离心率为 的椭圆过点 .32 (2， 22)(1)求椭圆的方程；图 137(2)设不过原点 O 的直线 l 与该椭圆交于 P， Q 两点，满足直线 OP， PQ， OQ 的斜率依次成等比数列，求 OPQ 面积的取值范围【导学号：6833413
7、4】解 (1)由题意可设椭圆方程为 1( a b0)，x2a2 y2b2则 (其中 c2 a2 b2， c0)，且 1，故 a2， b1.ca 32 2a2 12b2所以椭圆的方程为 y21. 4 分x24(2)由题意可知，直线 l 的斜率存在且不为 0.故可设直线 l： y kx m(m0)，设P(x1， y1)， Q(x2， y2)，4由Error! 消去 y 得(14 k2)x28 kmx4( m21)0， 5 分则 64 k2m216(14 k2)(m21)16(4 k2 m21)0，且 x1 x2 ， x1x2 . 6 分8km1 4k2 4 m2 11 4k2故 y1y2( kx1
8、 m)(kx2 m) k2x1x2 km(x1 x2) m2， 7 分因为直线 OP， PQ， OQ 的斜率依次成等比数列，所以 k2，y1x1 y2x2 k2x1x2 km x1 x2 m2x1x2即 m20. 8 分8k2m21 4k2又 m0，所以 k2 ，即 k . 9 分14 12由于直线 OP， OQ 的斜率存在，且 0，得 0 m22，且 m21.设 d 为点 O 到直线 l 的距离，则 d ， 10 分|2m|5|PQ| ， 11 分 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 5 2 m2所以 S |PQ|d 1( m21)，12 m2 2 m2 m2 2 m22故 OPQ 面积的取值范围为(0,1). 15 分
