1、熟 识 几何 基 本 模型 实 现 数 学解 题 化 繁为简 研 究胡清山摘 要：“反 A 型”旋转相似直角三角形模型在近几年的中考题中常常出现，并经过中考命题专家的变式演绎，出现了常考常新的情况。为了更好地解答这种模型的几何题，教师应引导学生注意观察图形和分析图形，学会从复杂的图形中分离出这种几何基本模型，理解这种基本的几何模型所蕴含的基本结论并掌握基本的解法，提高解题能力。关键词：数学教学;解题;几何模型;灵活应用中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1008-3561（2020）15-0084-04旋转变换是初中几何的一个重要考点，而相似是中考的核心考点，相似与旋转有机结合
2、成为近年来中考的一大核心模块，也是考查学生的几何分析能力的重要载体，使几何综合题难度变大。要突破这个难点，不仅要求学生牢固掌握旋转变换的性质、相似三角形的性质和基本的判定方法，而且要求学生熟识一些基本的图形模型。为此，教师要在课堂教学中有意识地对一些基本的几何图形模型进行提炼和识别，并对这些基本的图形模型的应用进行专题训练，以提高学生解决几何综合题的能力。本文重点介绍如何应用“反 A 型”旋转相似直角三角形模型中的两个基本结论迅速解题，让学生充分地体会到几何基本图形在解决几何综合题时可起化繁为简、化难为易的作用。一、模型感知“反 A 型”旋转相似直角三角形模型：如图 1，ACB 和ADE 都是
3、 Rt，且ACB=ADE=90。若点 E、D 分别落在边 AC、AB 上，ABC 固定不动，将ADE 绕点 A 逆时针旋转，如图 2。把旋转中的 RtADE 和 RtABC 组成的几何模型称为“反 A 型”旋转相似直角三角形模型。（教师用几何画板演示旋转）二、基本图形的结论探究1.特殊发现如图 3，ACB 和ADE 都是 Rt，且ACB=ADE=90。若点 E、D 分别落在边 AC、AB 上，连接 BE，点 O 为 BE 的中点，连接 OC、OD，试判断线段 OC 和 OD之间的数量关系以及COD 和ABC 之间的数量关系，并加以证明。教师引导学生独立思考：根据特殊情况中的条件发现结论，并思考
4、如何证明结论。答：OC=OD，COD=2ABC。证明：因为ADE=ACB=90，O 为 BE 的中点，所以 OC=OD=OB=OE=1/2BE。所以点 B、C、E、D 四点在以点 O 为圆心、OC 为直径的圆上。再根据圆周角定理易得：COD=2ABC。利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半”得到 OC=1/2BE 和OD=1/2BE，进而证得 OC=OD。利用“等边对等角”以及“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”这两个性质得到“等腰三角形与顶角相邻的外角等于底角的两倍”即COE=2OBC，DOE=2OBD，进而证得COD=2ABC。利用对角互补的四边形的四个顶点共圆，再利用“
5、同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”证得COD=2ABC。设计意图：教师通过对特殊情况的观察和探究，培养学生的观察能力以及简单的几何问题的分析能力和推理能力，為接下来的一般情况的探究做铺垫。2.深化探究图 3 中 RtABC 固定不动，将 RtADE 绕点 A 逆时针旋转任意的角度（如图4 或图 5），请你观察、思考、分析、判断上述结论是否成立，并证明你的判断。活动 1：教师借助几何画板演示 RtADE 绕点 A 旋转过程，并让学生观察RtADE 在旋转过程线段 OC 和 OD 之间的数量关系以及COD 和ABC 之间的数量关系，并做出猜想判断。活动 2：教师用几何画板演示 RtADE
6、绕点 A 旋转到不同位置，并同时给出在某一位置线段 OC 和 OD 的度量值以及COD 和ABC的度量值，让学生判断一下自己的猜想是否正确。设计意图：教师有意识地引导学生进行几何基本图形的识别，并总结出蕴含在基本几何图形中的基本结论，有助于培养学生的观察能力和总结归纳能力。3.证法点拨提问 1：证明“有公共端点的两条线段相等”有哪些常用的方法？（学生独立思考后进行讨论交流，举手回答，教师补充说明）利用“等角对等边”这一性质来证明。利用“全等三角形的对应边相等”这一性质来证明。利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质来证明。提问 2：与线段中点有关的引辅助线方法有哪些？取与已知线段有
7、公共端点的线段中点（或倍长与已知线段有公共端点的线段）构造中位线。构造直角三角形斜边上的中线。有以线段中点为端点的线段时，常倍长此线段，构造“X 型”的全等三角形。设计意图：考虑到这两个结论证明的困难性，教师借助两个问题引发学生思考，教授学生解决此类问题的基本方法，使不同水平的学生有不同的发现，加深学生对一些几何基本模型以及基本方法的理解，也为反“A”型旋转相似直角三角形模型的基本结论的证明做好铺垫。提问 3：请学生们用几何的方法证明“OC=OD，COD=2ABC”。4.证法展示和评析证法一：如图 6，分别取 AB、AE 的中点 M、N，连接 OM、ON、CM、DN，易证四边形 OMAN 是平
8、行四边形，所以OMA=ONA。根据“三角形的中位线定理”和“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得 CM=ON，OM=DN。易证：AMCADN，所以AMC=DNA，于是可得OMC=OND，进而可证CMODNO，所以 OC=OD，OCM=DON。因为 ONAB，所以MHO=DON。根据等量代换，有MHO=OCM。因为OGC=HGM，所以COD=AMC。因为AMC=2ABC，所以CON=2ABC。这种证法是分别取两 Rt斜边的中点，构造三角形中位线和直角三角形斜边上的中线，进而构造全等三角形;而证明角与角的关系主要是通过“8”字型来导角。证法二：如图 7，延长 CO 至点 F，使得 OF=OC
9、，连接 CD、DF、EF，易证EOFBOC，所以 EF=BC，FEB=EBC，所以 EFBC，所以AMF=ACB=90。进而可证AME=ADE=90，因为ENM=AND，所以DEF=DAC。易证DACDEF，所以=，ADC=EDF，可推得CDF=ADE。又因为=，即tanCFD=tanABC，所以CFD=ABC，易证COD=2CFD，所以COD=2ABC。这种证法是采用倍长两线段中的一条的方法，构造“A 型”旋转相似模型和直角三角形斜边上的中线。证法三：如图 8，延长 BC 至 F，使 CF=BC;延长 ED 至 G，使 DG=DE;连接 EF、AF、BG、AG，易证：AF=AB，AG=AE，
10、AEGFAB。所以FAB=EAG，可得EAF=GAB，进而可证AEFAGB。所以 EF=BG，AFE=ABG，易得OC=1/2EF，OD=1/2BG，所以 OC=OD。因為 AF=AB，所以AFC=ABC，所以COD=EOD+COE=ABG+ABE+OBC+OCB=AFE+ABC+CFE=AFC+ABC=2ABC。这种证法是采用分别倍长两 Rt无公共端点的直角边的方法，构造线段的垂直平分线、三角形中位线以及“手拉手”相似模型，并利用“手拉手”相似模型的“一拖二”性质来证明AEFAGB。（“手拉手”相似三角形会衍生出“手拉手”相似三角形;当“手拉手”相似的两个三角形是等腰三角形时，一定会衍生出“
11、手拉手”全等三角形，把这样的性质称为“手拉手”相似模型的“一拖二”性质）而证明角与角的关系主要是利用两直线平行，同位角相等、三角形外角的性质以及等边对等角等性质来导角。三、模型应用1.直接应用基本图形模型解题当几何图形中出现“反 A 型”旋转相似直角三角形的基本图形模型时，可直接利用模型及模型所蕴含的基本结论的证明方法高效地解决问题。例题：在RtACB 和 RtAEF 中，ACB=AEF=90，若点 P 是 BF 的中点，连接 PC、PE。如图 9，若点 E、F 分别落在边 AB、AC 上，则结论“PC=PE”成立（不要求证明）。把图 9 中的AEF 绕着点 A 顺时针旋转。（1）如图 10，
12、若点 E 落在边CA 的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明;若不成立，请说明理由。（2）如图 11，若点 F 落在边 AB 上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明;若不成立，请说明理由。（3）记 AB/BC=k，当 k 为何值时，CPE 总是等边三角形？（请直接写出 k 的值，不必说明理由）分析：（1）首先过点 P 作 PMCE 于点 M，由 EFAE，BCAC，可推得EFMPCB，进一步推得=，然后根据点 P 是 BF 的中点，可得 EM=MC，据此可推得 PC=PE。（2）过点 F 作 FDAC 于点 D，再过点 P 作 PMAC 于点 M，连接PD，可通过证明DAF
13、EAF 和DAPEAP，即可推得 AD=AE 和 PD=PE;由FDAC，BCAC，PMAC，可得 FDBCPM，根据点 P 是 BF 的中点，推得PC=PD，再根据 PD=PE，进而可推得 PC=PE。（3）首先根据CPE 总是等边三角形，可得CEP=60，再推得CAB=60;然后根据ACB=90，求出CBA=30。根据 tan30=k，可求出当CPE 为等边三角形时 k 的对应值。解答：（1）答：PC=PE 成立，理由如下：如图 12，过点 P 作 PMCE 于点 M，因为 EFAE，BCAC，所以 EFMPCB，根据平行线分线段成比例定理易证PC=PE。（2）答：PC=PE 成立，理由如
14、下：如图 13，过点 F 作 FDAC 于点 D，过点 P 作 PMAC 于点 M，连接 PD，易证DAFEAF（AAS），推得 AD=AE。进而可证DAPEAP（SAS），推得 PD=PE，因为 FDAC，BCAC，PMAC，所以 FDBCPM，根据平行线分线段成比例定理可证得 DM=MC，因为 PMAC，所以 PC=PD。又因为 PD=PE，所以 PC=PE。（3）答：如图 14，因为CPE 总是等边三角形，所以CEP=60，所以CAB=60，因为ACB=90，所以CBA=90-CAB=90-60=30，所以 k=tan30=。本题借助从特殊到一般的递进式的探究活动，体现了基础与深究并重，
15、并采取分散的形式对基本图形中的两个基本结论进行考查，降低了难度，加深了学生对“反 A 型”旋转相似直角三角形图形模型的理解。2.离析提炼应用基本图形模型解题当复杂的几何图形中隐含着“反 A 型”旋转相似直角三角形模型时，要从复杂的图形中离析出基本的图形模型，进而运用基本的图形模型所蕴含的基本结论的证明方法有效地解决问题，这也是学生解决几何综合题必备的能力之一。例题：如图 15，矩形 ABCD 中，AD=AB，E 为矩形对角线 BD 上一点，过 E 点作EFBD 交 CD 于 F，连接 BF，G 为 BF 中点，连接 CG、EG。（1）试判断线段 CG和 EG 之间的数量关系，试求CGE 的度数
16、。（2）将图 15 中DEF 绕 D 点顺时针旋转，使 DF 落在对角线 BD 上，如图 16 所示，取 BF 中点 G，连接 CG、EG、EC。猜想：CEG 是否是等边三角形？若是，请证明;若不是，说明理由。（3）将图 15 中DEF 绕 D 点旋转任意角度，如图 16 所示，再连接相应的线段，问（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由。提问：你能运用上面你自己发现的模型的相应的基本证法来解决这道题吗？思考：（1）你能从图 15、图 16 和图 17 中找出“反 A 型”旋转相似直角三角形模型吗？若能，是 Rt和 Rt组成了“反 A 型”旋转相似直角三角形模型。这
17、道题是综合 2015 年重庆中考数学试卷第 25 题和 2009 年山东省莱芜市中考数学试卷的第 24 题进行变式得到的试题。如果去掉图 15 中线段 AB 和 AD（如图18），就成了反“A”型旋转相似直角三角形模型中的特殊情景;去掉图 16 中线段 AB 和 AD（如图 19），就成了反“A”型旋转相似直角三角形模型中将 RtDEF 绕点 D 顺时针旋转 60后的图形模型;去掉图 17 中线段 AB 和 AD（如图 20），并连接 BD，就成了反“A”型旋转相似直角三角形模型中将 RtDEF 绕点 D 顺时针旋转任意的角度 a 后的一般情景。这样通过对复杂图形的分析，从中提炼出反“A”型旋
18、转相似直角三角形的基本图形模型，复杂的问题就变得简单化了。解答：（1）CG=EG;EGC=60。（解题过程略）（2）答：CEG 是等边三角形。证明：如图 21，延长 CG 至点 H，使得 GH=CG，连接 FH、EH，易证FGHBGC，可得 HF=BC，HFG=CBG，所以 HFBC，所以HFG=DBC=30。易知EFD=DBC=30，EDF=BDC=60，進而可证EFH=EDC=120。因为=tanCDB=tan60=，=tanEDF=tan60=，即=，所以HEFCED，所以=，HEF=CED。易证 tanECG=，所以ECG=60。所以CEG 是等边三角形。（3）答：（2）的结论仍然成立
19、。证明：如图 22，延长 CG 至点 H，使得 GH=CG，连接 FH、EH、BD。延长 CD，交 EF于点 N，交 HF 的延长线于点 M。易证FGHBGC，所以 HF=BC，HFG=CBG，所以 HFBC，所以HMN+BCD=180。因为BCD=90，所以HMN=90。进而可证得HFE=CDE。因为=tanCDB=tan60=，=tanEDF=tan60=，即=，所以HEFCED。所以=，HEF=CED，易证=tanECG=，所以ECG=60，所以CEG 是等边三角形。故（2）中的结论仍然成立。设计意图：教师通过两个例题的巩固训练，引导学生学会借助基本图形模型以及模型相应的基本证法来解决此
20、问题，进一步巩固反“A”型旋转相似直角三角形这一基本模型，提高学生运用基本模型解决综合题的能力，使复杂问题简单化，陌生问题熟悉化。教师还通过比较，让学生深刻体验到同一种方法在不同位置的证明难易度不同和同一种方法在相同位置的证明难易度不同，从而体验到一题多解的妙处。总之，从近几年的许多中考试题看，反“A”型旋转相似直角三角形的图形模型有着相对比较广泛的应用。反“A”型旋转相似直角三角形模型的两个基本结论在解决相关的压轴题时起着至关重要的作用，证明反“A”型旋转相似直角三角形模型的两个基本结论的三种方法对解决同类问题具有一定的导向作用，所以在教学时要引导学生重视三种方法的解题功能。师生共同探究反“
21、A”型旋转相似直角三角形的图形模型和两个性质，让学生熟识反“A”型旋转相似直角三角形的图形模型，掌握反“A”型旋转相似直角三角形模型的两个基本结论证明的三种方法，可以使学生利用反“A”型旋转相似直角三角形的图形模型解决与该模型有关的试题，从而培养学生应用图形模型有效地分析问题和高效地解决问题的能力。参考文献：1罗庆友.方法引领拓展迁移J.中学数学教学参考，2012（11）.2张良江.欲擒故纵巧应变化 静为动逸待劳J.中国数学教育，2013（11）.3秦秀华.初中几何教学中存在的问题及解决对策J.成才之路，2015（06）.4何雄瑛.利用基本几何图形解题的教学探讨J.福建中学数学，2018（01
22、）.5张丽.基于图形分析的初中几何变式教学的应用探究D.南京师范大学，2015.Research on Familiar with the Basic Geometric Model to Realize theSimplification of Mathematical Problem SolvingHu Qingshan（Zhongshan Middle School，Putian County，Fujian Province，Putian351100，China）Abstract：Anti-A type rotation similar right triangle model ofte
23、n appears inthe middle school examination questions in recent years，and afterthe variation deduction of the experts in the middle schoolexamination questions，there is a new situation of constantexamination.In order to better solve the geometric problems of thismodel，teachers should guide students to
24、 observe and analyze thegraphics，learn to separate this basic geometric model from thecomplex graphics，understand the basic conclusions contained in thisbasic geometric model，master this basic solution，and improve theability of solving problems.Key words：mathematics teaching;problem solving;geometric model;flexibleapplication
