1、平行四边形中的折叠问题一、选择题1.如图18-4-1,将矩形ABCD折叠,使点D与点B重合,点C落在C处,折痕为EF,若AB=1,BC=2,则ABE和BCF的周长之和为()图18-4-1A.3 B.4 C.6 D.8答案C由折叠的性质得CD=BC=AB,FCB=C=90,EBC=D=90.ABE+EBF=CBF+EBF=90,ABE=CBF.在BAE和BCF中,BAEBCF(ASA).BE=BF,AE=CF,又由折叠知CF=CF,AE=CF,DE=BF,EB=DE,ABE的周长=AB+AE+EB=AB+AE+ED=AB+AD=1+2=3,ABE和 BCF的周长之和为23=6.故选C.2.如图1
2、8-4-2,在菱形ABCD中,A=120,EFAD交BD于点F,沿BE折叠ABE,点A恰好落在BD上的点F处,那么BFC的度数是()图18-4-2A.60 B.70C.75 D.80答案C四边形ABCD是菱形,AB=BC,A+ABC=180,BD平分ABC.A=120,ABC=60,FBC=30.根据折叠可得AB=BF,FB=BC.BFC=BCF=(180-30)2=75.故选C.3.如图18-4-3,在正方形ABCD中,AB=6,点E在边CD上,且CD=3DE.将ADE沿AE对折至AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG,CF,有下列结论:ABGAFG,BG=CG,AGCF,SEGC=SAF
3、E,AGB+AED=145.其中正确的个数是()图18-4-3A.2 B.3 C.4 D.5答案C易知AB=AD=AF,又AG=AG,B=AFG=90,RtABGRtAFG,故正确.由已知得EF=DE=CD=2,CE=CD=4.设BG=FG=x,则CG=6-x.在RtECG中,根据勾股定理,得(6-x)2+42=(x+2)2,解得x=3.BG=3=CG.故正确.CG=BG,BG=GF,CG=GF,FGC是等腰三角形,GFC=GCF,又RtABGRtAFG,AGB=AGF,AGB+AGF=2AGB=180-FGC=GFC+GCF=2GFC=2GCF,AGB=AGF=GFC=GCF,AGCF.故正
4、确.SGCE=GCCE=34=6,SAFE=AFEF=62=6,SEGC=SAFE.故正确.由RtABGRtAFG得BAG=FAG,又由折叠知DAE=FAE.而BAD=90,GAE=45.AGB+AED=180-GAE=135.故错误.应选C.二、填空题4.在ABCD中,AB=6,AD=8,B是锐角,将ACD沿对角线折叠,点D落在ABC所在平面内的点E处,如果AE恰好经过BC的中点,那么ABCD的面积是.答案12解析如图,连接BE,设AE,BC的交点为O,则O是BC的中点.在ABC和CDA中,AB=CD,BC=DA,AC=CA,ABCCDA,ABCCEA,ACB=CAE,由折叠知AD=AE,B
5、C=AE.在AOC中,ACB=CAE,AO=OC,又O是BC的中点,AO=OC=BO=OE,四边形ABEC是矩形,则ABCD的面积与矩形ABEC的面积相等,在RtAEC中,AC=6,AE=AD=8,由勾股定理得EC=2,ABCD的面积=ACCE=62=12.5.如图18-4-4,矩形ABCD中,AB=8,AD=17,将此矩形折叠,使顶点A落在BC边的A处,折痕所在直线同时经过AB,AD(包括端点).设BA=x,则x的取值范围是.图18-4-4答案2x8解析如图,四边形ABCD是矩形,AB=8,AD=17,BC=AD=17,CD=AB=8.当折痕经过点D时,由翻折的性质得AD=AD=17,在Rt
6、ACD中,AC=15,BA=BC-AC=17-15=2;当折痕经过点B时,由翻折的性质得BA=AB=8.综上,x的取值范围是2x8.三、解答题6.如图18-4-5,将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠,点D落在点E处,AE恰好经过BC边的中点F.若AB=3,BC=6,求B的度数.图18-4-5解析四边形ABCD为平行四边形,ADBC,ACB=DAC.平行四边形ABCD沿对角线AC折叠,点D落在点E处,DAC=EAC,ACB=EAC,FC=FA.F为BC边的中点,BC=6,AF=CF=BF=6=3.又AB=3,ABF是等边三角形,B=60.7.如图18-4-6,将菱形ABCD折叠,使点A恰好落在菱形的对角线交点O处,折痕为EF.若菱形的边长为2 cm,BAD=120,求EF的长.图18-4-6解析四边形ABCD是菱形,ACBD,AC平分BAD.BAD=120,BAC=60,ABO=90-60=30.AOB=90,AO=AB=2=1(cm).由勾股定理,得BO=DO= cm.点A沿EF折叠后与点O重合,EFAC,EF平分AO.ACBD,EFBD,EF为ABD的中位线,EF=BD=(+)=(cm).3
