（通用版）2017版高考数学一轮复习 第十章 概率（课件+习题）（打包6套）.zip

1分层限时跟踪练(五十三)(限时 40 分钟)[基 础 练 ]扣 教 材 练 双 基一、选择题1．从 6 个男生 2 个女生中任选 3 人，则下列事件中必然事件是( )A．3 个都是男生 B．至少有 1 个男生C．3 个都是女生 D．至少有 1 个女生【解析】 因为只有 2 名女生，所以选出的 3 人中至少有 1 名男生．【答案】 B2．从某校高二年级的所有学生中，随机抽取 20 人，测得他们的身高(单位：cm)分别为：162,153,148,154,165,168,172,171,173,150，151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级的所有学生中任抽一人，估计该生的身高在 155.5 cm～170.5 cm 之间的概率约为( )A. B. C. D.25 12 23 13【解析】 从已知数据得，在随机抽取的这 20 位学生中，身高在 155.5 cm～170.5 cm 之间的学生有 8 人，频率为 ，故可估计在该校高二所有学生中任取一人，身高在 155.5 25cm～170.5 cm 之间的概率为 .25【答案】 A3．在一个袋子中装有分别标注数字 1,2,3,4,5 的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出 2 个小球，则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率是( )A. B. C. D.310 15 110 112【解析】 由袋中随机取出 2 个小球的基本事件总数为 10，取出小球标注数字和为 3的事件为 1,2，取出小球标注数字和为 6 的事件为 1,5 或 2,4，所以取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率为 P＝ ＝ .1＋ 210 310【答案】 A4．(2015·湖北高考)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1 534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这2批米内夹谷约为( )A．134 石 B．169 石 C．338 石 D．1 365 石【解析】 设 1 534 石米内夹谷 x 石，则由题意知 ＝ ，解得 x≈169.故这批x1 534 28254米内夹谷约为 169 石．【答案】 B5．(2015·抚宁模拟)在一次随机试验中，彼此互斥的事件 A， B， C， D 的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是( )A． A＋ B 与 C 是互斥事件，也是对立事件B． B＋ C 与 D 是互斥事件，也是对立事件C． A＋ C 与 B＋ D 是互斥事件，但不是对立事件D． A 与 B＋ C＋ D 是互斥事件，也是对立事件【解析】 由于 A， B， C， D 彼此互斥，且 A∪ B∪ C∪ D 是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的韦恩图表示，由图可知，任何一个事件与其余 3 个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．【答案】 D二、填空题6．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出 1 个球，摸出红球的概率为 0.42，摸出白球的概率为 0.28，若红球有 21 个，则黑球有________个．【解析】 1－0.42－0.28＝0.30,21÷0.42＝50,50×0.30＝15.【答案】 157．(2015·潍坊模拟)连续 2 次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字 1,2,3,4,5,6)，记“两次向上的数字之和等于 m”为事件 A，则 P(A)最大时， m＝________.【解析】 m 可能取到的值有 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，对应的基本事件个数依次为 1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1，故两次向上数字之和等于 7 时对应的事件发生的概率最大．【答案】 78．下列四个命题中，真命题的序号为________．①将一枚硬币抛掷两次，设事件 A：“两次都出现正面” ，事件 B：“两次都出现反面”．则事件 A 与事件 B 是对立事件；②在命题①中，事件 A 与事件 B 是互斥事件；3③在 10 件产品中有 3 件是次品，从中任取 3 件．事件 A：“所取 3 件中最多有 2 件是次品” ．事件 B：“所取 3 件中至少有 2 件是次品” ，则事件 A 与事件 B 是互斥事件．④两事件对立是这两个事件互斥的充分不必要条件．【解析】 抛掷两次硬币，共有四种情况，所以 A、 B 不是对立事件，但是互斥的，①不对；②正确；③中事件 A、 B 可以同时发生，不互斥；④正确．【答案】 ②④三、解答题9．某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：医生人数 0 1 2 3 4 5 人及以上概率 0.1 0.16 x y 0.2 z(1)若派出医生不超过 2 人的概率为 0.56，求 x 的值；(2)若派出医生最多 4 人的概率为 0.96，最少 3 人的概率为 0.44，求 y、 z 的值．【解】 (1)由派出医生不超过 2 人的概率为 0.56，得0．1＋0.16＋ x＝0.56，∴ x＝0.3.(2)由派出医生最多 4 人的概率为 0.96，得0．96＋ z＝1，∴ z＝0.04.由派出医生最少 3 人的概率为 0.44，得y＋0.2＋0.04＝0.44，∴ y＝0.44－0.2－0.04＝0.2.10．(2015·陕西高考)随机抽取一个年份，对西安市该年 4 月份的天气情况进行统计，结果如下：日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴日期 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20天气 阴 晴 晴 晴 晴 晴 阴 雨 阴 阴日期 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30天气 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨(1)在 4 月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；(2)西安市某学校拟从 4 月份的一个晴天开始举行连续 2 天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．4【解】 (1)在容量为 30 的样本中，不下雨的天数是 26，以频率估计概率，4 月份任选一天，西安市不下雨的概率为 ＝ .2630 1315(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1 日与 2 日，2 日与 3 日等)．这样，在4 月份中，前一天为晴天的互邻日期对有 16 个，其中后一天不下雨的有 14 个，所以晴天的次日不下雨的频率为 .78以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为 .78[能 力 练 ]扫 盲 区 提 素 能1．已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为 ，乙胜的概率为 ，则甲胜的概率和甲不输的12 13概率分别为( )A. ， B. ，16 16 12 23C. ， D. ，16 23 23 12【解析】 “甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲胜”的概率为1－ － ＝ .12 13 16设“甲不输”为事件 A，可看做是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的和事件，所以 P(A)＝ ＋ ＝ .或设“甲不输”为事件 A，可看做是“乙胜”的对立事件，所以 P(A)16 12 23＝1－ ＝ .13 23【答案】 C2．若随机事件 A， B 互斥， A， B 发生的概率均不等于 0，且 P(A)＝2－ a， P(B)＝4 a－5，则实数 a 的取值范围是( )A. B.(54， 2) (54， 32)C. D.[54， 32] (54， 43]【解析】 由题意可知Error!⇒Error!⇒Error!⇒ ＜ a≤ .54 43【答案】 D3．甲、乙二人玩数字游戏，先由甲任想一数字，记为 a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为 b，且 a， b∈{1,2,3}，若| a－ b|≤1，则称甲、乙“心有灵犀” ．现任5意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为________．【解析】 甲想一数字有 3 种结果，乙猜一数字有 3 种结果，基本事件总数为3×3＝9.设“甲、乙心有灵犀”为事件 A，则 A 的对立事件 B 为“| a－ b|＞1” ，即| a－ b|＝2 包含 2 个基本事件，∴ P(B)＝ ，∴ P(A)＝1－ ＝ .29 29 79【答案】 794．若 A， B 互为对立事件，其概率分别为 P(A)＝ ， P(B)＝ ，且 x＞0， y＞0，则4x 1yx＋ y 的最小值为________．【解析】 由题意得 ＋ ＝1，则 x＋ y＝( x＋ y) ＝5＋ ≥9，当且仅当 ＝4x 1y (4x＋ 1y) (4yx＋ xy) 4yx，即 x＝2 y 时等号成立．xy【答案】 95．袋中有 12 个相同的小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是 ，得到黑球或黄球的概率是 ，得到黄球或绿球的概率也是 .13 512 512(1)求得到黑球、得到黄球及得到绿球的概率；(2)求得到的小球既不是黑球也不是绿球的概率．【解】 (1)从袋中任取一球，记事件 A 为“得到红球” ， B 为“得到黑球” ， C 为“得到黄球” ， D 为“得到绿球” ，则事件 A， B， C， D 两两互斥．由已知 P(A)＝ ， P(B∪ C)＝ P(B)＋ P(C)＝ ，13 512P(C∪ D)＝ P(C)＋ P(D)＝ ，512∴ P(B∪ C∪ D)＝1－ P(A)＝1－ ＝ .13 23∵ B 与 C∪ D， B∪ C 与 D 也互斥，∴ P(B)＝ P(B∪ C∪ D)－ P(C∪ D)＝ － ＝ ，23 512 14P(D)＝ P(B∪ C∪ D)－ P(B∪ C)＝ － ＝ ，23 512 14P(C)＝1－ P(A∪ B∪ D)＝1－( P(A)＋ P(B)＋ P(D))＝1－ ＝1－ ＝(13＋ 14＋ 14) 56 166故得到黑球、得到黄球、得到的绿球的概率分别是 ，， .1416 14(2)∵得到的球既不是黑球也不是绿球，∴得到的球是红球或黄球，即事件 A∪ C，∴ P(A∪ C)＝ P(A)＋ P(C)＝ ＋ ＝ ，13 16 12故得到的小球既不是黑球也不是绿球的概率为 .126．(2015·榆林模拟)如图 10­1­1 所示， A 地到火车站共有两条路径 L1和 L2，现随机抽取 100 位从 A 地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：图 10­1­1所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60选择 L1的人数 6 12 18 12 12选择 L2的人数 0 4 16 16 4(1)试估计 40 分钟内不能赶到火车站的概率；(2)现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．【解】 (1)由已知共调查了 100 人，其中 40 分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，∴用频率估计相应的概率为 0.44.(2)设 A1， A2分别表示甲选择 L1和 L2时，在 40 分钟内赶到火车站； B1， B2分别表示乙选择 L1和 L2时，在 50 分钟内赶到火车站．由频数分布表知，40 分钟赶往火车站，选择不同路径 L1， L2的频率分别为(6＋12＋18)÷60＝0.6，(4＋16)÷40＝0.5，∴估计 P(A1)＝0.6， P(A2)＝0.5，则 P(A1)＞ P(A2)，因此，甲应该选择路径 L1，同理，50 分钟赶到火车站，乙选择路径 L1， L2的频率分布为48÷60＝0.8,36÷40＝0.9，∴估计 P(B1)＝0.8， P(B2)＝0.9， P(B1)＜ P(B2)，因此乙应该选择路径 L2.1分层限时跟踪练(五十四)(限时 40 分钟)[基 础 练 ]扣 教 材 练 双 基一、选择题1．(2014·江西高考)掷两颗均匀的骰子，则点数之和为 5 的概率等于( )A. B. C. D.118 19 16 112【解析】 掷两颗骰子，点数有以下情况：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共 36 种，其中点数和为 5 的有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共 4 种，故所求概率为＝ .436 19【答案】 B2.(2015·广东高考)已知 5 件产品中有 2 件次品，其余为合格品，现从这 5 件产品中任取 2 件，恰有一件次品的概率为( )A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1【解析】 记 3 件合格品为 a1， a2， a3,2 件次品为 b1， b2，则任取 2 件构成的基本事件空间为 Ω ＝{( a1， a2)，( a1， a3)，( a1， b1)，( a1， b2)，( a2， a3)，( a2， b1)，( a2， b2)，(a3， b1)，( a3， b2)，( b1， b2)}，共 10 个元素．记“恰有 1 件次品”为事件 A，则 A＝{( a1， b1)，( a1， b2)，( a2， b1)，( a2， b2)，(a3， b1)，( a3， b2)}，共 6 个元素．故其概率为 P(A)＝ ＝0.6.610【答案】 B3.(2015·全国卷Ⅰ)如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3个数为一组勾股数，从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为( )A. B. C. D.310 15 110 1202【解析】 从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数共有如下 10 个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为 .故选 C.110【答案】 C4．(2014·陕西高考)从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中，任取 2 个点，则这 2 个点的距离小于该正方形边长的概率为( )A. B. C. D.15 25 35 45【解析】 取两个点的所有情况有 10 种，两个点距离小于正方形边长的情况有 4 种，所以所求概率为 ＝ .故选 B.410 25【答案】 B5．(2015·威海一模)从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数 a，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数 b，则向量 m＝( a， b)与向量 n＝(1，－1)垂直的概率为( )A. B. C. D.16 13 14 12【解析】 由题意可知 m＝( a， b)有：(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共 12 种情况．因为 m⊥n ，即 m·n＝0，所以 a×1＋ b×(－1)＝0，即 a＝ b，满足条件的有(3,3)，(5,5)共 2 个，故所求的概率为 .16【答案】 A二、填空题6．从长度分别为 2、3、4、5 的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．【解析】 从四条线段中任取三条有 4 种取法：(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中能构成三角形的取法有 3 种：(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，故所求的概率为 .34【答案】 347．(2015·唐山模拟)一枚质地均匀的正方体玩具，四个面标有数字 1，其余两个面标有数字 2，抛掷两次，所得向上数字相同的概率是________．【解析】 由题意知抛掷两次向上的数字情况为 16 个(1,1)，8 个(1,2)，8 个(2,1)，34 个(2,2)，故所求概率 P＝ ＝ .16＋ 416＋ 8＋ 8＋ 4 59【答案】 598．满足 a， b∈{－1,0,1,2}，且关于 x 的方程 ax2＋2 x＋ b＝0 有实数解的有序数对(a， b)的个数为________．【解析】 若 a＝0，则 b＝－1,0,1,2，此时( a， b)的取值有 4 个；若 a≠0，则方程 ax2＋2 x＋ b＝0 有实根，需 Δ ＝4－4 ab≥0，∴ ab≤1，此时( a， b)的取值为(－1,0)，(－1,1)，(－1，－1)，(－1,2)，(1,1)，(1,0)，(1，－1)，(2，－1)，(2,0)，共 9 个．∴( a， b)的个数为 4＋9＝13.【答案】 13三、解答题9．(2015·衡水模拟)随机抽取某中学高三年级甲乙两班各 10 名同学，测量出他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图 10­2­3，其中甲班有一个数据被污损．图 10­2­3(1)若已知甲班同学身高平均数为 170 cm，求污损处的数据；(2)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173 cm 的同学，求身高为 176 cm 的同学被抽中的概率．【解】 (1)设甲班的未知数据为 a，由 ＝x＝170，158＋ 162＋ 163＋ 168＋ 170＋ 171＋ 179＋ a＋ 18210解得 a＝179，所以污损处的数据是 9.(2)设“身高为 176 cm 的同学被抽中”为事件 A，从乙班 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173 cm 的同学有：{181,173}，{181,176}，{181,178}，{181,179}，{179,173}，{179,176}，{179,178}，{178,173}，{178,176}，{176,173}，共 10 个基本事件，而事件 A 有{181,176}，{179,176}，{178,176}，{176,173}，共 4 个基本事件，所以 P(A)＝ ＝ .410 254即身高为 176 cm 的同学被抽中的概率为 .2510．(2015·山东高考)某中学调查了某班全部 45 名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)参加书法社团 未参加书法社团参加演讲社团 8 5未参加演讲社团 2 30(1)从该班随机选 1 名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的 8 名同学中，有 5 名男同学A1， A2， A3， A4， A5,3 名女同学 B1， B2， B3.现从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人，求 A1被选中且 B1未被选中的概率．【解】 (1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有 30 人，故至少参加上述一个社团的共有 45－30＝15(人)所以从该班随机选 1 名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为 P＝ ＝ .1545 13(2)从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A1， B1}，{ A1， B2}，{ A1， B3}，{ A2， B1}，{ A2， B2}，{ A2， B3}，{ A3， B1}，{ A3， B2}，{A3， B3}，{ A4， B1}，{ A4， B2}，{ A4， B3}，{ A5， B1}，{ A5， B2}，{ A5， B3}共 15 个．根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．事件“ A1被选中且 B1未被选中” ，所包含的基本事件有：{ A1， B2}，{ A1， B3}，共 2个．因此 A1被选中且 B1未被选中的概率为 P＝ .215[能 力 练 ]扫 盲 区 提 素 能1．(2015·商丘二模)已知函数 f(x)＝ x3＋ ax2＋ b2x＋1，若 a 是从 1,2,3 三个数中任13取的一个数， b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( )A. B. C. D.79 13 59 23【解析】 f′( x)＝ x2＋2 ax＋ b2，要使函数 f(x)有两个极值点，则有 Δ ＝(2 a)2－4 b2＞0，即 a2＞ b2.由题意知所有的基本事件有 9 个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示 a 的取值，第二个数表示 b 的取值．满足 a2＞ b2的有 6 个基本事件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，所5以所求事件的概率为 ＝ .69 23【答案】 D2．(2015·石家庄一模)某单位计划在 3 月 1 日至 7 日举办人才交流会，某人随机选择其中的连续两天参加交流会，那么他在 1 日至 3 日期间连续两天参加交流会的概率为( )A. B. C. D.12 13 14 16【解析】 在 1 日至 7 日选连续两天，有基本事件：(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，共 6 个，符合条件的基本事件：(1,2)，(2,3)，共 2 个，∴所求概率 P＝ ＝ ，故选 B.26 13【答案】 B3．袋中有形状和大小都相同的小球 5 个，球的编号依次为 1,2,3,4,5，从袋中依次取三次球，每次取 1 个球，取后放回，若每个球被取出的可能性均等，则取出的球的最大号码为 3 的概率为________．【解析】 根据题意，从袋中依次有放回地取三次球，有 5×5×5＝125 (种)情况；为求出取出的球的最大号码为 3 的情况数目，用间接法：先算只有 1,2,3 三个球的情况，再排除其中只有 1,2 的情况，则取出的球的最大号码为 3 的情况有 33－2 3＝19(种)，则其概率为 .19125【答案】 191254．若将( x－ a)(x－ b)逐项展开得 x2－ ax－ bx＋ ab，则 x2出现的概率为 ， x 出现的概14率为 ，如果将( x－ a)(x－ b)(x－ c)(x－ d)(x－ e)逐项展开，那么 x3出现的概率为12________．【解析】 ( x－ a)(x－ b)(x－ c)(x－ d)(x－ e)的展开式共有 25＝32 项(未合并同类项之前)，其中要出现 x3项的话，就要在 5 个括号中选择 3 个 x 相乘，其余的 2 个括号都不选 x，因此共有 10 种不同的情况，即在( x－ a)(x－ b)(x－ c)(x－ d)(x－ e)的展开式中含有10 个 x3项，故所求概率为 ＝ .1032 516【答案】 5165．(2015·四川高考)一辆小客车上有 5 个座位，其座位号为 1,2,3,4,5.乘客P1， P2， P3， P4， P5的座位号分别为 1,2,3,4,5，他们按照座位号从小到大的顺序先后上6车．乘客 P1因身体原因没有坐自己的 1 号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就座：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位；如果自己的座位已有乘客就座，就在这 5 个座位的剩余空位中任意选择座位．(1)若乘客 P1坐到了 3 号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有 4 种坐法．下表给出了其中两种坐法，请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处)；乘客 P1 P2 P3 P4 P53 2 1 4 53 2 4 5 1座位号(2)若乘客 P1坐到了 2 号座位，其他乘客按规则就座，求乘客 P5坐到 5 号座位的概率．【解】 (1)余下两种坐法如下表所示：乘客 P1 P2 P3 P4 P53 2 4 1 5座位号3 2 5 4 1(2)若乘客 P1坐到了 2 号座位，其他乘客按规则就坐，则所有可能的坐法可用下表表示：乘客 P1 P2 P3 P4 P52 1 3 4 52 3 1 4 52 3 4 1 52 3 4 5 12 3 5 4 12 4 3 1 52 4 3 5 1座位号2 5 3 4 1于是，所有可能的坐法共 8 种．设“乘客 P5坐到 5 号座位”为事件 A，则事件 A 中的基本事件的个数为 4，所以 P(A)＝ ＝ .48 12即乘客 P5坐到 5 号座位的概率是 .126．(2016·宁德二模)某中学刚搬迁到新校区，学校考虑，若非住校生上学路上单程所7需时间人均超过 20 分钟，则学校推迟 5 分钟上课．为此，校方随机抽取 100 个非住校生，调查其上学路上单程所需时间(单位：分钟)，根据所得数据绘制成如下频率分布直方图，其中时间分组为[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50]．(1)求频率分布直方图中 a 的值；(2)从统计学的角度说明学校是否需要推迟 5 分钟上课；(3)若从样本单程时间不小于 30 分钟的学生中，随机抽取 2 人，求恰有一个学生的单程时间落在[40,50]上的概率．图 10­2­4【解】 (1)时间分组为[0,10)的频率为 1－10×(0.06＋0.02＋0.003＋0.002)＝0.15，∴ a＝ ＝0.015，所以所求的频率直方图中 a 的值为 0.015.0.1510(2)100 个非住校生上学路上单程所需时间的平均数：x＝0.15×5＋0.6×15＋0.2×25＋0.03×35＋0.02×45＝16.7，因为 16.720，所以该校不需要推迟 5 分钟上课．(3)依题意满足条件的单程所需时间在[30,40)中的有 3 人，不妨设为 a， b， c，单程所需时间在[40,50)中的有 2 人，不妨设为 A， B，从单程所需时间不小于 30 分钟的 5 名学生中，随机抽取 2 人共有以下 10 种情况：(a， b)，( a， c)，( a， A)，( a， B)，( b， c)，( b， A)，( b， B)，( c， A)，( c， B)，(A， B)，其中恰有一个学生的单程所需时间落在[40,50]中的有以下 6 种：( a， A)，( a， B)，(b， A)，( b， B)，( c， A)，( c， B)，故恰有一个学生的单程所需时间落在[40,50]中的概率 P＝ ＝ .610 351分层限时跟踪练(五十五)(限时 40分钟)[基 础 练 ]扣 教 材 练 双 基一、选择题1．(2015·韶关模拟)在区间[0,2]之间随机抽取一个数 x，则 x满足 2x－1≥0 的概率为( )A. B. C. D.34 12 14 13【解析】 由 2x－1≥0 得 x≥ ，故所求概率 P＝ ＝ .12 2－ 122－ 0 34【答案】 A2．如图 10­3­2， M是半径为 R的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点 N，连接 MN，则弦 MN的长度超过 R的概率是( )2图 10­3­2A.15B.14C.13D.12【解析】 由题意知，当 MN＝ R时，∠ MON＝ ，所以所求概率为 1－ ＝ .2π2 2×π22π 12【答案】 D3．在棱长为 3的正方体 ABCD­A1B1C1D1内任取一点 P，则点 P到正方体各面的距离都不小于 1的概率为( )A. B. C. D.127 2627 827 18【解析】 正方体中到各面的距离不小于 1的点的集合是一个中心与原正方体中心重2合，且棱长为 1的正方体，该正方体的体积是 V1＝1 3＝1，而原正方体的体积为V＝3 3＝27，故所求的概率为 P＝ ＝ .V1V 127【答案】 A4.(2015·河南三市联考)在区间[－π，π]内随机取两个数分别为 a， b，则使得函数f(x)＝ x2＋2 ax－ b2＋π 2有零点的概率为( )A．1－ B．1－π8 π4C．1－ D．1－π2 3π4【解析】 函数 f(x)＝ x2＋2 ax－ b2＋π 2有零点，需 Δ ＝4 a2－4(－ b2＋π 2)≥0，即a2＋ b2≥π 2成立．而 a， b∈[－π，π]，建立平面直角坐标系，满足 a2＋ b2≥π，点(a， b)如图阴影部分所示，所求事件的概率为 P＝ ＝ ＝1－ .2π ×2π － π 32π ×2π 4π 2－ π 34π 2 π4【答案】 B5．(2015·昌平模拟)设不等式组Error!表示的平面区域为 D.在区域 D内随机取一个点，则此点到直线 y＋2＝0 的距离大于 2的概率是( )A. B.413 513C. D.825 925【解析】 作出平面区域 D，可知平面区域 D是以 A(4,3)， B(4，－2)， C(－6，－2)为顶点的三角形区域，当点在△ AED区域内时，点到直线 y＋2＝0 的距离大于 2.∴ P＝ ＝ ＝ .S△ AEDS△ ABC12×6×312×10×5 925【答案】 D3二、填空题6．(2015·烟台模拟)在区间 上随机取一个数 x，则 cos x的值介于 0到 之[－π2， π2] 12间的概率为________．【解析】 当－ ≤ x≤ 时，由 0≤cos x≤ ，得－ ≤ x≤－ 或 ≤ x≤ ，由几π2 π2 12 π2 π3 π3 π2何概型概率公式得 P＝ .13【答案】 137．(2015·武汉调研)在区间(0,1)内随机地取出两数，则这两数之和小于 的概率是65________．【解析】 设随机取出的两个数分别为 x， y，则 0＜ x＜1,0＜ y＜1，依题意有 x＋ y＜ ，由几何概型知，65所求概率为P＝ ＝ .12－ 12×(1－ 15)×(1－ 15)12 1725【答案】 17258．如图 10­3­3所示，在△ ABC中，∠ B＝60°，∠ C＝45°，高 AD＝ ，在∠ BAC内3作射线 AM交 BC于点 M，则 BM＜1 的概率为________．图 10­3­3【解析】 因为∠ B＝60°，∠ C＝45°，所以∠ BAC＝75°，在 Rt△ ABD中， AD＝ ，∠ B＝60°，3所以 BD＝ ＝1，∠ BAD＝30°.ADtan 60°记事件 N为“在∠ BAC内作射线 AM交 BC于点 M，使 BM＜1” ，则可得∠ BAM＜∠ BAD时事件 N发生．由几何概型的概率公式，得 P(N)＝ ＝ .30°75°254【答案】 25三、解答题9．已知正方体 ABCD­A1B1C1D1的棱长为 1，在正方体内随机取点 M，求使四棱锥 M­ABCD的体积小于 的概率．16【解】 如图，正方体 ABCD­A1B1C1D1.设 M­ABCD的高为 h，则 ×SABCD×h＜ ，13 16又 SABCD＝1，∴ h＜ ，12即点 M在正方体的下半部分，∴所求概率 P＝ ＝ .12V正 方 体V正 方 体 1210．身处广州的姐姐和身处沈阳的弟弟在春节前约定分别乘 A， B两列火车在郑州火车站会面，并约定先到者等待时间不超过 10分钟．当天 A， B两列火车正点到站的时间是上午 9点，每列火车到站的时间误差为±15 分钟，不考虑其他因素，求姐弟俩在郑州火车站会面的概率．【解】 设姐姐到的时间为 x，弟弟到的时间为 y，建立坐标系如图，由题意可知，当|y－ x|≤ 时，姐弟俩会面，又正方形的面积为 ，阴影部分的面积为 ，所求概率16 14 536P＝ ＝ .53614 595[能 力 练 ]扫 盲 区 提 素 能1．在△ ABC中，∠ ABC＝60°， AB＝2， BC＝6，在 BC上任取一点 D，则使△ ABD为钝角三角形的概率为( )A. B. C. D.16 13 12 23【解析】 如图，当 BE＝1 时，∠ AEB为直角，则点 D在线段 BE(不包含 B， E点)上时，△ ABD为钝角三角形；当 BF＝4 时，∠ BAF为直角，则点 D在线段 CF(不包含 C、 F点)上时，△ ABD为钝角三角形，所以△ ABD为钝角三角形的概率为 ＝ .1＋ 26 12【答案】 C2．(2015·佛山二模)已知函数 f(x)＝ x2＋ bx＋ c，其中 0≤ b≤4,0≤ c≤4.记函数 f(x)满足条件Error! 为事件 A，则事件 A发生的概率为( )A. B.14 58C. D.12 38【解析】 由题意，得Error!即Error! 表示的区域如图阴影部分所示，可知阴影部分的面积为 8，所以所求概率为 ，12故选 C.【答案】 C3．如图 10­3­4所示，图②中实线围成的部分是长方体(图①)的平面展开图，其中四边形 ABCD是边长为 1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是 ，则此长方体的体积是________．146图 10­3­4【解析】 设长方体的高为 h，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率 P＝ ＝ ，解得 h＝3 或 h＝－ (舍去)，2＋ 4h 2h＋ 2  2h＋ 1 14 12故长方体的体积为 1×1×3＝3.【答案】 34.如图 10­3­5，在圆心角为直角的扇形 OAB中，分别以 OA， OB为直径作两个半圆．在扇形 OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是____________．图 10­3­5【解析】 如图，设 OA＝2， S 扇形 AOB＝π， S△ OCD＝ ×1×112＝ ， S 扇形 OCD＝ ，∴在以 OA为直径的半圆中，空白部分面积 S1＝ －2 ＝1，12 π4 π2 (π4－ 12)所有阴影面积为 π－2.故所求概率 P＝ ＝1－ .π － 1×2π 2π【答案】 1－2π5．将一个质点随机投放在关于 x， y的不等式组Error!所构成的三角形区域内，求该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于 1的概率．【解】 画出关于 x， y的不等式组Error!所构成的三角形区域，如图，三角形 ABC的7面积为 S1＝ ×3×4＝6，离三个顶点距离都不大于 1的地方的面积为 S2＝ π，所以其恰12 12在离三个顶点距离都不小于 1的地方的概率为 P＝1－ ＝1－ .π26 π126．已知关于 x的一元二次方程 x2－2( a－2) x－ b2＋16＝0.(1)若 a， b是一枚骰子先后投掷两次所得到的点数，求方程有两个正实数根的概率；(2)若 a∈[2,6]， b∈[0,4]，求一元二次方程没有实数根的概率．【解】 (1)基本事件( a， b)共有 36个，且 a， b∈{1,2,3,4,5,6}，方程有两个正实数根等价于 a－2＞0,16－ b2＞0， Δ ≥0，即 a＞2，－4＜ b＜4，( a－2) 2＋ b2≥16.设“一元二次方程有两个正实数根”为事件 A，则事件 A所包含的基本事件数为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)共 4个，故所求的概率为 P(A)＝ ＝ .436 19(2)试验的全部结果构的区域 Ω ＝{( a， b)|2≤ a≤6,0≤ b≤4}，其面积为 S(Ω )＝16.设“一元二次方程没有实数根”为事件 B，则构成事件 B的区域为 B＝{( a， b)|2≤ a≤6,0≤ b≤4，( a－2) 2＋ b2＜16}，其面积为 S(B)＝ ×π×4 2＝4π.14故所求的概率为 P(B)＝ ＝ .4π16 π47．(2015·山西质量检测)如图 10­3­6，一个靶子由四个同心圆组成，且半径分别为1,3,5,7.图 10­3­6规定：击中 A， B， C， D区域分别可获得 5分，3 分，2 分，1 分，脱靶(即击中最大圆之外的某点)得 0分．(1)甲射击时脱靶的概率为 0.02，若未脱靶则等可能地击中靶子上的任意一点，求甲射击一次得分的数学期望；8(2)已知乙每次射击击中的位置与圆心的距离不超过 4，丙每次射击击中的位置与圆心的距离不超过 5.①乙、丙二人各射击一次，且二人击中各自范围内每一点的可能性相等，求乙得分比丙高的概率；②乙、丙二人各射击一次，记 U， V分别为乙、丙二人击中的位置到圆心的距离，且U， V取各自范围内的每个值的可能性相等，求乙获取(即 U＜ V)的概率．【解】 (1)设甲射击一次得分为 X，则 X的所有可能取值为 5,3,2,1,0，P(X＝5)＝ ×(1－0.02)＝0.02，π72πP(X＝3)＝ ×(1－0.02)＝0.16，32π － π72πP(X＝2)＝ ×(1－0.02)＝0.32，52π － 32π72πP(X＝1)＝ ×(1－0.02)＝0.48，72π － 52π72πP(X＝0)＝0.02，故 X的数学期望 E(X)＝5×0.02＋3×0.16＋2×0.32＋1×0.48＋0×0.02＝1.7.(2)①设乙、丙射击一次的得分分别为 Y， Z，则 Y的所有可能取值为 5,3,2， Z的所有可能取值为 5,3,2，P(Y＝5)＝ ＝ ， P(Y＝3)＝ ＝ ，π42π 116 32π － π42π 816P(Y＝2)＝ ＝ ，42π － 32π42π 716P(Z＝5)＝ ＝ ， P(Z＝3)＝ ＝ ，π52π 125 32π － π52π 825P(Z＝2)＝ ＝ .52π － 32π52π 1625故所求概率 P1＝ × ＋ × ＋ × ＝ .116 825 116 1625 816 1625 1950②由题意得Error!不等式组Error!所表示的可行域如图中阴影部分所示，9根据几何概型的概率计算公式可知乙获胜的概率 P2＝ ＝ .12× 1＋ 5 ×44×5 35