（通用版）2017版高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用（课件+习题）（打包26套）.zip

1分层限时跟踪练(十)(限时 40分钟)[基 础 练 ]扣 教 材 练 双 基一、选择题1．(2015·衡水模拟)函数 y＝ 的图象可能是( )xln |x||x|【解析】 易知函数 y＝ 为奇函数，故排除 A、C，当 x＞0 时， y＝ln x，只有xln |x||x|B项符合，故选 B.【答案】 B2．已知函数 f(x)＝log a(2x＋ b－1)( a＞0， a≠1)的图象如图 2­7­3所示，则 a， b满足的关系是( )图 2­7­3A．0＜ a－1 ＜ b＜1B．0＜ b＜ a－1 ＜1C．0＜ b－1 ＜ a＜1D．0＜ a－1 ＜ b－1 ＜1【解析】 由函数图象可知， f(x)在 R上单调递增，故 a＞1.函数图象与 y轴的交点坐标为(0，log ab)，由函数图象可知－1＜log ab＜0，解得 ＜ b＜1.综上有 0＜ ＜ b＜1.1a 1a【答案】 A3．(2015·青岛模拟)已知函数 f(x)＝e |ln x|，则函数 y＝ f(x＋1)的大致图象为( )2【解析】 当 x≥1 时， f(x)＝e ln x＝ x，其图象为一条直线；当 0＜ x＜1 时， f(x)＝e －ln x＝ .函数 y＝ f(x＋1)的图象为函数 y＝ f(x)图象向左平移 1个单位长度后得到1x的．故选 D.【答案】 D4．用 min{a， b}表示 a， b两数中的最小数，若 f(x)＝min{| x|，| x＋ t|}的图象关于直线 x＝－ 对称，则 t的值为( )12A．－2 B．2 C．－1 D．1【解析】 依题意， y＝| x|的图象与 y＝| x＋ t|的图象关于直线 x＝－ 对称， y＝| x|12的图象与 y＝| x＋ t|的图象分别关于 x＝0， x＝－ t对称，故 x＝0， x＝－ t也关于 x＝－对称，则 t＝1.12【答案】 D5．(2015·丰台一模)已知奇函数 y＝Error!如果 f(x)＝ ax(a＞0 且 a≠1)对应的图象如图 2­7­4所示，那么 g(x)＝( )图 2­7­4A. － x B．－ x(12) (12)C．2 － x D．－2 x【解析】 由函数 f(x)＝ ax图象经过 ，解得 a＝ ；又因为函数为奇函数，所以(1，12) 12函数经过 ，故 g(x)＝－2 x.(－ 1， －12)【答案】 D二、填空题3图 2­7­56．已知函数 f(x)的图象如图 2­7­5所示，则函数 g(x)＝log f(x)的定义域是2________．【解析】 当 f(x)＞0 时，函数 g(x)＝log f(x)有意义，由函数 f(x)的图象知满足2f(x)＞0 的 x∈(2,8]．【答案】 (2,8]7．直线 y＝1 与曲线 y＝ x2－| x|＋ a有四个交点，则 a的取值范围是________．【解析】 y＝Error!作出图象，如图所示．此曲线与 y轴交于(0， a)点，最小值为 a－ ，14要使 y＝1 与其有四个交点，只需 a－ ＜1＜ a，14∴1＜ a＜ .54【答案】 (1，54)8．(2014·湖北高考)如图 2­7­6所示，函数 y＝ f(x)的图象由两条射线和三条线段组成．图 2­7­6若∀ x∈R， f(x)＞ f(x－1)，则正实数 a的取值范围是________ ．【解析】 根据图象可知，两条射线分别过点(3 a,0)和(－3 a,0)(其中 a＞0)且斜率均等于 1，所以可得两条射线方程，分别为 y＝ x－3 a(x≥2 a)和 y＝ x＋3 a(x≤－2 a)．数形结合知，当 y＝ x－3 a(x≥2 a)时，令 f(x)＝ a，得 x＝4 a.当 y＝ x＋3 a(x≤－2 a)时，令 f(x)＝－ a，得 x＝－4 a.若∀ x∈R ， f(x)＞ f(x－1)恒成立，结合图象，需 4a－(－2 a)＜1 且42a－(－4 a)＜1，即 a＜ .又因为 a＞0，故正实数 a的取值范围为 .16 (0， 16)【答案】 (0，16)三、解答题9．已知函数 f(x)＝ .x1＋ x(1)画出 f(x)的草图；(2)指出 f(x)的单调区间．【解】 (1) f(x)＝ ＝1－ ，函数 f(x)的图象是由反比例函数 y＝－ 的图象向x1＋ x 1x＋ 1 1x左平移 1个单位后，再向上平移 1个单位得到，图象如图所示．(2)由图象可以看出，函数 f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(－1，＋∞)．10．已知函数 f(x)的图象与函数 h(x)＝ x＋ ＋2 的图象关于点 A(0,1)对称．1x(1)求 f(x)的解析式；(2)若 g(x)＝ f(x)＋ ，且 g(x)在区间(0,2]上为减函数，求实数 a的取值范围．ax【解】 (1)设 f(x)图象上任一点 P(x， y)，则点 P关于(0,1)点的对称点P′(－ x,2－ y)在 h(x)的图象上．即 2－ y＝－ x－ ＋2，1x∴ y＝ f(x)＝ x＋ (x≠0)．1x(2)g(x)＝ f(x)＋ ＝ x＋ ，ax a＋ 1xg′( x)＝1－ .a＋ 1x2∵ g(x)在(0,2]上为减函数，∴1－ ≤0 在(0,2]上恒成立，a＋ 1x2即 a＋1≥ x2在(0,2]上恒成立，∴ a＋1≥4，即 a≥3，5故 a的取值范围是[3，＋∞)． [能 力 练 ]扫 盲 区 提 素 能1．(2015·山东实验中学模拟)函数 f(x)＝ 的图象可能是( )sin xln x＋ 2【解析】 由题意知Error!∴ x＞－2 且 x≠－1，故排除 B、D，由 f(1)＝ ＞0，sin 1ln 3可排除 C，故选 A.【答案】 A2．(2014·辽宁高考)已知 f(x)为偶函数，当 x≥0 时， f(x)＝Error!则不等式 f(x－1)≤的解集为( )12A. ∪[14， 23] [43， 74]B. ∪[－34， － 13] [14， 23]C. ∪[13， 34] [43， 74]D. ∪[－34， － 13] [13， 34]【解析】 先画出 y轴右边的图象，如图所示．∵ f(x)是偶函数，∴图象关于 y轴对称，∴可画出 y轴左边的图象，再画直线 y＝ .12设与曲线交于点 A， B， C， D，先分别求出 A， B两点的横坐标．6令 cos π x＝ ，∵ x∈ ，∴π x＝ ，∴ x＝ .12 [0， 12] π3 13令 2x－1＝ ，∴ x＝ ，∴ xA＝ ， xB＝ .12 34 13 34根据对称性可知直线 y＝ 与曲线另外两个交点的横坐标为 xC＝－ ， xD＝－ .12 34 13∵ f(x－1)≤ ，则在直线 y＝ 上及其下方的图象满足，12 12∴ ≤ x－1≤ 或－ ≤ x－1≤－ ，13 34 34 13∴ ≤ x≤ 或 ≤ x≤ .43 74 14 23【答案】 A3．设函数 f(x)＝| x＋ a|， g(x)＝ x－1，对于任意的 x∈R，不等式 f(x)≥ g(x)恒成立，则实数 a的取值范围是________．【解析】 如图，要使 f(x)≥ g(x)恒成立，则－ a≤1，∴ a≥－1.【答案】 [－1，＋∞)4．(2015·日照一模)已知 f(x)＝Error!则函数 y＝2 f2(x)－3 f(x)＋1 的零点个数是________．【解析】 方程 2f2(x)－3 f(x)＋1＝0 的解为 f(x)＝ 或 1.作出 y＝ f(x)的图象，由12图象知零点的个数为 5.【答案】 575．已知函数 f(x)＝2 x，当 m取何值时方程| f(x)－2|＝ m有一个解，两个解？【解】 令 F(x)＝| f(x)－2|＝|2 x－2|， G(x)＝ m，画出 F(x)的图象如图所示．由图象看出，当 m＝0 或 m≥2 时，函数 F(x)与 G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解；当 0＜ m＜2 时，函数 F(x)与 G(x)的图象有两个交点，原方程有两个解．6．已知函数 f(x)＝ x|m－ x|(x∈R)，且 f(4)＝0.(1)求实数 m的值；(2)作出函数 f(x)的图象；(3)根据图象指出 f(x)的单调递减区间；(4)若方程 f(x)＝ a只有一个实数根，求 a的取值范围．【解】 (1)∵ f(4)＝0，∴4| m－4|＝0，即 m＝4.(2)f(x)＝ x|x－4|＝Error!f(x)的图象如图所示．(3)f(x)的减区间是[2,4]．(4)从 f(x)的图象可知，当 a＞4 或 a＜0 时， f(x)的图象与直线 y＝ a只有一个交点，方程 f(x)＝ a只有一个实数根，即 a的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．1分层限时跟踪练(十一)(限时 40分钟)[基 础 练 ]扣 教 材 练 双 基一、选择题1．(2015·天津模拟)函数 f(x)＝| x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3【解析】 由题意可知 f(x)的定义域为(0，＋∞)．在同一直角坐标系中画出函数y1＝| x－2|( x＞0)， y2＝ln x(x＞0)的图象，如图所示：由图可知函数 f(x)在定义域内的零点个数为 2.【答案】 C2．(2015·太原一模)已知实数 a＞1,0＜ b＜1，则实数 f(x)＝ ax＋ x－ b的零点所在的区间是( )A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)【解析】 ∵ a＞1,0＜ b＜1， f(x)＝ ax＋ x－ b，∴ f(－1)＝ －1－ b＜0， f(0)1a＝1－ b＞0，则由零点存在性定理可知 f(x)在区间(－1,0)上存在零点．【答案】 B3．已知函数 f(x)＝Error!若有 f(x1)＝ f(x2)＝ a(x1≠ x2)成立，则实数 a的取值范围是( )A．(0,2e) B．[1,2e)C．(0,1] D．[1，＋∞)【解析】 由解析式知函数 f(x)在(－∞，2)上是增函数，在[2，＋∞)上也是增函数．由于 f(x1)＝ f(x2)＝ a(x1≠ x2)，当 x＜2 时， f(x)∈(0,2e)；当 x≥2 时， f(x)≥ f(2)＝1，即 f(x)∈[1，＋∞)．由题意得直线 y＝ a与函数 f(x)的图象有 2个交点，故有1≤ a＜2e.故选 B.【答案】 B4．已知 e是自然对数的底数，函数 f(x)＝e x＋ x－2 的零点为 a，函数 g(x)＝ln x＋ x－2 的零点为 b，则下列不等式成立的是( )A． f(a)＜ f(1)＜ f(b) B． f(a)＜ f(b)＜ f(1)2C． f(1)＜ f(a)＜ f(b) D． f(b)＜ f(1)＜ f(a)【解析】 函数 f(x)， g(x)均为定义域上的单调递增函数，且 f(0)＝－1＜0， f(1)＝e－1＞0，g(1)＝－1＜0， g(e)＝e－1＞0，所以 a∈(0,1)， b∈(1，e)，即 a＜1＜ b，所以 f(a)＜ f(1)＜ f(b)．故选 A.【答案】 A5．(2015·开封模拟)对实数 a和 b，定义运算“⊗”： a⊗b＝Error!设函数 f(x)＝( x2－2)⊗( x－1)， x∈R.若函数 y＝ f(x)－ c的图象与 x轴恰有两个公共点，则实数 c的取值范围是( )A．(－1,1]∪(2，＋∞) B．(－2，－1]∪(1,2]C．(－∞，－2)∪(1,2] D．[－2，－1]【解析】 根据运算“⊗”的定义可得 f(x)＝( x2－2)⊗( x－1)＝Error!即 f(x)＝Error!画出分段函数 f(x)＝Error!的图象，而函数 y＝ f(x)－ c的图象与 x轴恰有两个公共点，即 f(x)－ c＝0⇒ f(x)＝ c有两个根，因此 f(x)与 y＝ c的图象有两个公共点，而 y＝ c的图象为一条平行于 x轴的直线，由图可得当－2＜ c≤－1 或 1＜ c≤2 时， f(x)与 y＝ c的图象有两个公共点，故选 B.【答案】 B二、填空题6．已知关于 x的方程 x2＋ mx－6＝0 的一个根比 2大，另一个根比 2小，则实数 m的取值范围是________．【解析】 设函数 f(x)＝ x2＋ mx－6，则根据条件有 f(2)＜0，即 4＋2 m－6＜0，解得m＜1.【答案】 (－∞，1)7．(2015·安徽高考)在平面直角坐标系 xOy中，若直线 y＝2 a与函数 y＝| x－ a|－1的图象只有一个交点，则 a的值为________．3【解析】 函数 y＝| x－ a|－1 的图象如图所示，因为直线 y＝2 a与函数y＝| x－ a|－1 的图象只有一个交点，故 2a＝－1，解得 a＝－ .12【答案】 －128．已知函数 f(x)＝log ax＋ x－ b(a＞0，且 a≠1)．当 2＜ a＜3＜ b＜4 时，函数 f(x)的零点 x0∈( n， n＋1)， n∈N ＋ ，则 n＝________.【解析】 ∵2＜ a＜3＜ b＜4，当 x＝2 时，f(2)＝log a2＋2－ b＜0；当 x＝3 时， f(3)＝log a3＋3－ b＞0，∴ f(x)的零点 x0在区间(2,3)内，∴ n＝2.【答案】 2三、解答题9．关于 x的二次方程 x2＋( m－1) x＋1＝0 在区间[0,2]上有解，求实数 m的取值范围．【解】 显然 x＝0 不是方程 x2＋( m－1) x＋1＝0 的解，0＜ x≤2 时，方程可变形为1－ m＝ x＋ ，1x又∵ y＝ x＋ 在(0,1]上单调递减，[1,2]上单调递增，1x∴ y＝ x＋ 在(0,2]上的取值范围是[2，＋∞)，1x∴1－ m≥2，∴ m≤－1，故 m的取值范围是(－∞，－1]．10．是否存在这样的实数 a，使函数 f(x)＝ x2＋(3 a－2) x＋ a－1 在区间[－1,3]上与x轴有且只有一个交点．若存在，求出 a的范围；若不存在，说明理由．【解】 ∵ Δ ＝(3 a－2) 2－4( a－1)＝9 2＋ ＞0，(a－89) 89∴若存在实数 a满足条件，则只需 f(－1)· f(3)≤0 即可．f(－1)· f(3)＝(1－3 a＋2＋ a－1)·(9＋9 a－6＋ a－1)＝4(1－ a)(5a＋1)≤0，所以 a≤－ 或 a≥1.154检验：①当 f(－1)＝0 时， a＝1.所以 f(x)＝ x2＋ x.令 f(x)＝0，即 x2＋ x＝0，得 x＝0 或 x＝－1.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故 a≠1.②当 f(3)＝0 时， a＝－ ，15此时 f(x)＝ x2－ x－ .135 65令 f(x)＝0，即 x2－ x－ ＝0，135 65解得 x＝－ 或 x＝3.25方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故 a≠－ .15综上所述， a的取值范围是 ∪(1，＋∞)．(－ ∞ ， －15)[能 力 练 ]扫 盲 区 提 素 能1．如图 2­8­1是二次函数 f(x)＝ x2－ bx＋ a的部分图象，则函数 g(x)＝e x＋ f′( x)的零点所在的区间是( )图 2­8­1A．(－1,0) B．(0,1)C．(1,2) D．(2,3)【解析】 由图象知 ＜ ＜1 得 1＜ b＜2.12 b2因为 f′( x)＝2 x－ b，所以 g(x)＝e x＋ f′( x)＝e x＋2 x－ b，因为 g(x)单调递增，且 g(－1)＝ －2－ b＜0，1eg(0)＝1－ b＜0， g(1)＝e＋2－ b＞0，所以 g(0)·g(1)＜0.故选 B.【答案】 B2．函数 f(x)＝ |x－1| ＋2cos π x(－2≤ x≤4)的所有零点之和等于( )(12)5A．2 B．4 C．6 D．8【解析】 由 f(x)＝ |x－1| ＋2cos π x＝0，(12)得 |x－1| ＝－2cos π x，(12)令 g(x)＝ |x－1| (－2≤ x≤4)，(12)h(x)＝－2cos π x(－2≤ x≤4)，又因为 g(x)＝ |x－1| ＝Error!(12)在同一坐标系中分别作出函数 g(x)＝ |x－1| (－2≤ x≤4)和 h(x)＝－2cos (12)π x(－2≤ x≤4)的图象(如图)，由图象可知，函数 g(x)＝ |x－1| 关于 x＝1 对称，(12)又 x＝1 也是函数 h(x)＝－2cos π x(－2≤ x≤4)的对称轴，所以函数 g(x)＝ |x－1| (－2≤ x≤4)和 h(x)＝－2cos π x(－2≤ x≤4) 的交点也关于 x＝1 对称，且两函(12)数共有 6个交点，所以所有零点之和为 6.【答案】 C3．[ x]表示不超过 x的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知 f(x)＝ x－[ x](x∈R)， g(x)＝log 4(x－1)，则函数 h(x)＝ f(x)－ g(x)的零点个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4【解析】 函数 h(x)＝ f(x)－ g(x)的零点个数可转化为函数 f(x)与 g(x)图象的交点个数，作出函数 f(x)＝ x－[ x]＝Error!与函数 g(x)＝log 4(x－1)的大致图象如图，由图可知两函数图象的交点个数为 2，即函数 h(x)＝ f(x)－ g(x)的零点个数是 2，故选 B.【答案】 B4．(2015·长望浏宁四县联考)设 a为大于 1的常数，函数 f(x)＝Error!若关于 x的方6程 f2(x)－ bf(x)＝0 恰有三个不同的实数解，则实数 b的取值范围是( )A．0＜ b≤1 B．0＜ b＜1C．0≤ b≤1 D． b＞1【解析】 函数 f(x)＝Error!的图象如图所示，由 f2(x)－ bf(x)＝0 可得 f(x)[f(x)－ b]＝0，则 f(x)＝0 或 f(x)－ b＝0.当 f(x)＝0 时， x＝1.当 f(x)－ b＝0，即 b＝ f(x)时，结合图象可知：0＜ b≤1 时，函数 f(x)与直线 y＝ b有两个交点，故当 0＜ b≤1 时，方程 f2(x)－ bf(x)＝0 恰有三个不同的实数解．【答案】 A5．已知函数 f(x)＝ x3－ x2＋ ＋ .x2 14证明：存在 x0∈ ，使 f(x0)＝ x0.(0，12)【证明】 令 g(x)＝ f(x)－ x.∵ g(0)＝ ，14g ＝ f － ＝－ ，(12) (12) 12 18∴ g(0)·g ＜0.(12)又函数 g(x)在 上连续，[0，12]∴存在 x0∈ ，使 g(x0)＝0，(0，12)即 f(x0)＝ x0.6．已知函数 f(x)＝4 x＋ m·2x＋1 有且仅有一个零点，求 m的取值范围，并求出该零点．【解】 ∵ f(x)＝4 x＋ m·2x＋1 有且仅有一个零点，即方程(2 x)2＋ m·2x＋1＝0 仅有一个实根．设 2x＝ t(t＞0)，7则 t2＋ mt＋1＝0.令 Δ ＝0，即 m2－4＝0，∴ m＝－2 时， t＝1； m＝2 时， t＝－1(不合题意，舍去)，∴2 x＝1， x＝0 符合题意；当 Δ ＞0，即 m＞2 或 m＜－2 时，t2＋ mt＋1＝0 有两正根或两负根，即 f(x)有两个零点或没有零点．∴这种情况不符合题意．综上可知， m＝－2 时， f(x)有唯一零点，该零点为 x＝0.1分层限时跟踪练(十二)(限时 40 分钟)[基 础 练 ]扣 教 材 练 双 基一、选择题1．某工厂 6 年来生产某种产品的情况是：前 3 年年产量的增长速度越来越快，后 3 年年产量保持不变，则该厂 6 年来这种产品的总产量 C 与时间 t(年)的函数关系图象正确的是( )【解析】 前 3 年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有 A、C 图象符合要求，而后 3 年年产量保持不变，故选 A.【答案】 A2．(2014·湖南高考)某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为 p，第二年的增长率为 q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A. B.p＋ q2  p＋ 1  q＋ 1 － 12C. D. －1pq  p＋ 1  q＋ 1【解析】 设年平均增长率为 x，则(1＋ x)2＝(1＋ p)(1＋ q)，∴ x＝ －1. 1＋ p  1＋ q【答案】 D图 2­9­73．在如图 2­9­7 所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于 300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长 x(单位：m)的取值范围是( )A．[15,20] B．[12,25]C．[10,30] D．[20,30]【解析】 设与矩形的边长 x m 相邻的边长为 y m，则由三角形相似知， ＝ ，x40 40－ y40∴ y＝40－ x.∵ xy≥300，∴ x(40－ x)≥300，2∴ x2－40 x＋300≤0，∴10≤ x≤30.【答案】 C图 2­9­84．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图 2­9­8，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长 x， y 应为( )A． x＝15， y＝12 B． x＝12， y＝15C． x＝14， y＝10 D． x＝10， y＝14【解析】 由三角形相似得 ＝ ，得 x＝ (24－ y)，24－ y24－ 8 x20 54∴ S＝ xy＝－ (y－12) 2＋180，∴当 y＝12 时， S 有最大值，此时 x＝15.54【答案】 A5．(2014·北京高考)加工爆米花时，爆开且不糊的图 2­9­9粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率” ．在特定条件下，可食用率 p 与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系 p＝ at2＋ bt＋ c(a， b， c 是常数)，如图 2­9­9 记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )A．3.50 分钟 B．3.75 分钟C．4.00 分钟 D．4.25 分钟【解析】 根据图表，把( t， p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得Error! 消去 c 化简得Error!解得 Error!3所以 p＝－0.2 t2＋1.5 t－2.0＝－ ＋ －2＝－ 2＋ ，所以当15(t2－ 152t＋ 22516) 4516 15(t－ 154) 1316t＝ ＝3.75 时， p 取得最大值，即最佳加工时间为 3.75 分钟．154【答案】 B二、填空题图 2­9­106． A、 B 两只船分别从在东西方向上相距 145 km 的甲乙两地开出． A 从甲地自东向西行驶． B 从乙地自北向南行驶， A 的速度是 40 km/h， B 的速度是 16 km/h，经过________小时， AB 间的距离最短．【解析】 设经过 x h， A， B 相距为 y km，则 y＝ ，求得函数取得最小值时， x 的值为 145－ 40x 2＋  16x 2(0≤ x≤298).258【答案】 2587．某种病毒经 30 分钟繁殖为原来的 2 倍，且知病毒的繁殖规律为 y＝e kt(其中 k 为常数， t 表示时间，单位：小时， y 表示病毒个数)，则 k＝________，经过 5 小时，1 个病毒能繁殖为________个．【解析】 当 t＝0.5 时， y＝2，∴2＝e k，∴ k＝2ln 2，12∴ y＝e 2tln 2，当 t＝5 时， y＝e 10ln 2＝2 10＝1 024.【答案】 2ln 2 1 0248．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过 800 元，不享受任何折扣，如果顾客购物总金额超过 800 元，则超过 800 元部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算.可以享受折扣优惠金额 折扣率不超过 800 元的部分 5%超过 800 元的部分 10%某人在此商场购物总金额为 x 元，可以获得的折扣金额为 y 元，则 y 关于 x 的解析式为y＝Error!4若 y＝30 元，则他购物实际所付金额为________元．【解析】 若 x＝1 300，则 y＝5%(1 300－800)＝25(元)＜30(元)，因此 x＞1 300.∴由 10%(x－1 300)＋25＝30，得 x＝1 350(元)．【答案】 1 350三、解答题9．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本 y(万元)与年产量 x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为 y＝ －48 x＋8 000，已知此生产线年产量最x25大为 210 吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为 40 万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？【解】 (1)每吨平均成本为 (万元)．yx则 ＝ ＋ －48≥2 －48＝32，yx x5 8 000x x5·8 000x当且仅当 ＝ ，即 x＝200 时取等号．x5 8 000x∴年产量为 200 吨时，每吨平均成本最低为 32 万元．(2)设年获得总利润为 R(x)万元，则 R(x)＝40 x－ y＝40 x－ ＋48 x－8 000x25＝－ ＋88 x－8 000x25＝－ (x－220) 2＋1 680(0≤ x≤210)．15∵ R(x)在[0,210]上是增函数，∴ x＝210 时，R(x)有最大值为－ (210－220) 2＋1 680＝1 660.15∴年产量为 210 吨时，可获得最大利润 1 660 万元．10．在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以 5.8 万元的优惠价格转让给了尚有 5 万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支 3 600 元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件 14 元；②该店5月销量 Q(百件)与销售价格 P(元)的关系如图 2­9­11 所示；③每月需各种开支 2 000 元．图 2­9­11(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？【解】 设该店月利润余额为 L，则由题设得 L＝ Q(P－14)×100－3 600－2 000，①由销量图易得 Q＝Error!代入①式得L＝Error!(1)当 14≤ P≤20 时， Lmax＝450 元，此时 P＝19.5 元；当 20＜ P≤26 时， Lmax＝ 元，此时 P＝ 元．1 2503 613故当 P＝19.5 元时，月利润余额最大，为 450 元．(2)设可在 n 年后脱贫，依题意有 12n×450－50 000－58 000≥0，解得 n≥20.即最早可望在 20 年后脱贫． [能 力 练 ]扫 盲 区 提 素 能1．如图 2­9­12，有一直角墙角，两边的长度足够长，在 P 处有一棵树与两墙的距离分别是图 2­9­12a m(0＜ a＜12)，4 m，不考虑树的粗细，现在用 16 m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃 ABCD.设此矩形花圃的面积为 S m2， S 的最大值为 f(a)，若将这棵树围在花圃内，则函数 u＝ f(a)的图象大致是( )6【解析】 设 CD＝ x，则 S＝ x(16－ x)(4≤ x≤16－ a)，Smax＝ f(a)＝Error!故选 C.【答案】 C2．某种新药服用 x 小时后血液中的残留量为 y 毫克，如图 2­9­13 所示为函数 y＝ f(x)的图象，当血液中药物残留量不小于 240 毫克时，治疗有效．设某人上午 8：00 第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为( )图 2­9­13A．上午 10：00 B．中午 12：00C．下午 4：00 D．下午 6：00【解析】 当 x∈[0,4]时，设 y＝ k1x，把(4,320)代入，得 k1＝80，∴ y＝80 x.当 x∈[4,20]时，设 y＝ k2x＋ b.把(4,320)，(20,0)代入得Error!解得Error!∴ y＝400－20 x.∴ y＝ f(x)＝Error!由 y≥240，得Error! 或Error!解得 3≤ x≤4 或 4＜ x≤8，∴3≤ x≤8.故第二次服药最迟应在当日下午 4：00.故选 C.【答案】 C3．某企业制定奖励条例，对企业产品的销售取得优异成绩的员工实行奖励，奖励金额(元) f(n)＝ k(n)(n－500)( n 为年销售额)，而 k(n)＝Error!若一员工获得 400 元的奖励，那么该员工一年的销售额为( )A．800 B．1 000C．1 200 D．1 500【解析】 根据题意，奖励金额 f(n)可以看成年销售额 n 的函数，那么该问题就是已知函数值为 400 时，求自变量 n 的值的问题．据题中所给的函数关系式可算得 n＝1 500，7故选 D.【答案】 D4．一个容器装有细沙 a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出， t min 后剩余的细沙量为 y＝ ae－ bt(cm3)，经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．【解析】 当 t＝0 时， y＝ a；当 t＝8 时， y＝ ae－8 b＝ a，故 e－8 b＝ .当容器中的沙12 12子只有开始时的八分之一时，即 y＝ ae－ bt＝ a，e － bt＝ ＝(e －8 b)3＝e －24 b，则 t＝24，所以18 18再经过 16 min 容器内沙子只有开始时的八分之一．【答案】 16图 2­9­145．(2015·鄂州模拟)如图 2­9­14 所示，已知边长为 8 米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中 AE＝4 米， CD＝6 米．为合理利用这块钢板，在五边形 ABCDE 内截取一个矩形BNPM，使点 P 在边 DE 上．(1)设 MP＝ x 米， PN＝ y 米，将 y 表示成 x 的函数，求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形 BNPM 面积的最大值．【解】 (1)作 PQ⊥ AF 于 Q，所以 PQ＝(8－ y)米，EQ＝( x－4)米．又△ EPQ∽△ EDF，所以 ＝ ，EQPQ EFFD即 ＝ .x－ 48－ y 42所以 y＝－ x＋10，12定义域为{ x|4≤ x≤8}．(2)设矩形 BNPM 的面积为 S 平方米，8则 S(x)＝ xy＝ x ＝－ (x－10) 2＋50，(10－x2) 12S(x)是关于 x 的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为 x＝10，所以当 x∈[4,8]时，S(x)单调递增．所以当 x＝8 米时，矩形 BNPM 的面积取得最大值，为 48 平方米．6．某工厂统计资料显示，一种产品次品率 p 与日产量 x(x∈N *,80≤ x≤100)件之间的关系如下表所示：日产量 x 80 81 82 … x … 98 99 100次品率 p 128 127 126 … p(x) … 110 19 18其中 p(x)＝ (a 为常数)．已知生产一件正品盈利 k 元，生产一件次品损失 元( k1a－ x k3为给定常数)．(1)求出 a，并将该厂的日盈利额 y(元)表示为日生产量 x(件)的函数；(2)为了获得最大盈利，该厂的日生产量应该定为多少件？【解】 (1)根据列表数据可得 a＝108，所以 p(x)＝ (x∈N *,80≤ x≤100)，1108－ x由题意，当日产量为 x 时，次品数为 ·x，正品数为 ·x，所以 y＝1108－ x (1－ 1108－ x)·x·k－ ·x· k，整理得 y＝ kx (x∈N *,80≤ x≤100)．(1－1108－ x) 1108－ x 13 13 (3－ 4108－ x)(2)令 t＝108－ x， t∈[8,28]， t∈N *.则 y＝ k(108－ t) ＝ k13 (3－ 4t) 13[328－ 3(t＋ 144t)]≤ k ＝ k.13(328－ 3×2·t·144t) 2563当且仅当 t＝ ，即 t＝12 时取得最大盈利，此时 x＝96.144t所以为了取得最大盈利，该工厂的日生产量应定为 96 件．1分层限时跟踪练(十三)(限时 40 分钟)[基 础 练 ]扣 教 材 练 双 基一、选择题1．已知函数 f(x)的导函数为 f′( x)，且满足 f(x)＝2 x·f′(1)＋ln x，则 f′(1)等于( )A．－e B．－1 C．1 D．e【解析】 ∵ f′( x)＝2 f′(1)＋ ，∴ f′(1)＝2 f′(1)＋1，即 f′(1)＝－1.1x【答案】 B2．(2015·豫东、豫北十所名校联考)已知 f(x)＝2e xsin x，则曲线 f(x)在点(0， f(0))处的切线方程为( )A． y＝0 B． y＝2 xC． y＝ x D． y＝－2 x【解析】 ∵ f(x)＝2e xsin x，∴ f(0)＝0， f′( x)＝2e x·(sin x＋cos x)，∴ f′(0)＝2，∴曲线 f(x)在点(0， f(0))处的切线方程为 y＝2 x.【答案】 B3．物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间 T 内完成预测的运输任务 Q0，各种方案的运输总量 Q 与时间 t 的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )【解析】 由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应逐渐增大，故函数的图象应一直是下凹的，故选 B.【答案】 B4．(2015·吉林模拟)已知曲线 y＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( )A．e B．－e C. D．－1e 1e【解析】 y＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且 y′＝ ，设切点为( x0，ln x0)，则1xy′| x＝ x0＝ ，切线方程为 y－ln x0＝ (x－ x0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln 1x0 1x02x0＝－1，解得 x0＝e，故此切线的斜率为 .1e【答案】 C5．直线 y＝ kx＋1 与曲线 y＝ x3＋ ax＋ b 相切于点 A(1,3)，则 2a＋ b 的值等于( )A．2 B．－1 C．1 D．－2【解析】 依题意知， y′＝3 x2＋ a，则Error!由此解得Error!所以 2a＋ b＝1，选 C.【答案】 C二、填空题6．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝ ax3＋ x＋1 的图象在点(1， f(1))处的切线过点(2,7)，则 a＝ .【解析】 ∵ f′( x)＝3 ax2＋1，∴ f′(1)＝3 a＋1.又 f(1)＝ a＋2，∴切线方程为 y－( a＋2)＝(3 a＋1)( x－1)．∵切线过点(2,7)，∴7－( a＋2)＝3 a＋1，解得 a＝1.【答案】 17．已知函数 f(x)＝ x(x－1)( x－2)( x－3)( x－4)( x－5)，则 f′(0)＝ .【解析】 令 g(x)＝( x－1)( x－2)( x－3)( x－4)( x－5)，则 f(x)＝ xg(x)，∴ f′( x)＝ g(x)＋ xg′( x)，∴ f′(0)＝ g(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120.【答案】 －1208．经过原点(0,0)作函数 f(x)＝ x3＋3 x2图象的切线，则切线方程为 ．【解析】 f′( x)＝3 x2＋6 x.当(0,0)为切点时， f′(0)＝0，故切线方程为 y＝0.当(0,0)不为切点时，设切点为 P(x0， x ＋3 x )，则切线方程为 y－( x ＋3 x )30 20 30 20＝(3 x ＋6 x0)(x－ x0)，又点(0,0)在切线上，所以－ x －3 x ＝－3 x －6 x ，解得 x0＝0(舍20 30 20 30 20去)或 x0＝－ ，故切线方程为 9x＋4 y＝0.32【答案】 y＝0 或 9x＋4 y＝0三、解答题9．已知函数 f(x)＝ x3＋ x－16.(1)求曲线 y＝ f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线 l 为曲线 y＝ f(x)的切线，且经过原点，求直线 l 的方程及切点坐标．【解】 (1)可判定点(2，－6)在曲线 y＝ f(x)上．3∵ f′( x)＝( x3＋ x－16)′＝3 x2＋1.∴ f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为 k＝ f′(2)＝13.∴切线的方程为 y＋6＝13( x－2)，即 y＝13 x－32.(2)设切点坐标为( x0， y0)，则直线 l 的斜率为 f′( x0)＝3 x ＋1，20y0＝ x ＋ x0－16，30∴直线 l 的方程为 y＝(3 x ＋1)( x－ x0)＋ x ＋ x0－16.20 30又∵直线 l 过坐标原点(0,0)，∴0＝(3 x ＋1)(－ x0)＋ x ＋ x0－16，20 30整理得， x ＝－8，30∴ x0＝－2，∴ y0＝(－2) 3＋(－2)－16＝－26，得切点坐标(－2，－26)，k＝3×(－2) 2＋1＝13.∴直线 l 的方程为 y＝13 x，切点坐标为(－2，－26)．10．已知函数 f(x)＝ x3＋(1－ a)x2－ a(a＋2) x＋ b(a， b∈R)．(1)若函数 f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求 a， b 的值；(2)若曲线 y＝ f(x)存在两条垂直于 y 轴的切线，求 a 的取值范围．【解】 f′( x)＝3 x2＋2(1－ a)x－ a(a＋2)．(1)由题意得Error!解得 b＝0， a＝－3 或 a＝1.(2)∵曲线 y＝ f(x)存在两条垂直于 y 轴的切线，∴关于 x 的方程 f′( x)＝3 x2＋2(1－ a)x－ a(a＋2)＝0 有两个不相等的实数根，∴ Δ ＝4(1－ a)2＋12 a(a＋2)0，即 4a2＋4 a＋10，∴ a≠－ .12∴ a 的取值范围为 ∪ . (－ ∞ ， －12) (－ 12， ＋ ∞ )[能 力 练 ]扫 盲 区 提 素 能1．直线 y＝ x＋ b 是曲线 y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数 b 的值为( )12A．2 B．ln 2＋14C．ln 2－1 D．ln 2【解析】 y＝ln x 的导数为 y′＝ ，由 ＝ ，解得 x＝2，∴切点为(2，ln 2)．将1x 1x 12其代入直线方程 y＝ x＋ b，可得 b＝ln 2－1.12【答案】 C2．已知曲线方程 f(x)＝sin 2x＋2 ax(x∈R)，若对任意实数 m，直线 l： x＋ y＋ m＝0 都不是曲线 y＝ f(x)的切线，则 a 的取值范围是( )A．(－∞，－1)∪(－1,0)B．(－∞，－1)∪(0，＋∞)C．(－1,0)∪(0，＋∞)D． a∈R 且 a≠0， a≠－1【解析】 f′( x)＝2sin xcos x＋2 a＝sin 2 x＋2 a，直线 l 的斜率为－1.由题意知关于 x 的方程 sin 2x＋2 a＝－1 无解，所以|2 a＋1|＞1，解得 a＜－1 或 a＞0.【答案】 B3．已知曲线 C： f(x)＝ x3－ ax＋ a，若过曲线 C 外一点 A(1,0)引曲线 C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则 a 的值为 ．【解析】 设切点坐标为( t， t3－ at＋ a)．由题意知， f′( x)＝3 x2－ a，切线的斜率为 k＝ f′( t)＝3 t2－ a，①所以切线方程为 y－( t3－ at＋ a)＝(3 t2－ a)(x－ t)．②将点(1,0)代入②式得－( t3－ at＋ a)＝(3 t2－ a)(1－ t)，解得 t＝0 或 t＝ .32分别将 t＝0 和 t＝ 代入①式，32得 k＝－ a 和 k＝ － a，274由题意得它们互为相反数得 a＝ .278【答案】 2784．曲线 y＝ln 2 x 上任意一点 P 到直线 y＝2 x 的距离的最小值是 ．5【解析】 如图，所求最小值即曲线上斜率为 2 的切线与 y＝2 x 两平行线间的距离，也即切点到直线 y＝2 x 的距离．由 y＝ln 2 x，则 y′＝ ＝2，1x得 x＝ ，12y＝ln ＝0，(2×12)即与直线 y＝2 x 平行的曲线 y＝ln 2x 的切线的切点坐标是 ， y＝ln 2x 上任意一(12， 0)点 P 到直线 y＝2 x 的距离的最小值，即 ＝ .15 55【答案】 555．设函数 f(x)＝ x3－ ax(a＞0)， g(x)＝ bx2＋2 b－1.若曲线 y＝ f(x)与 y＝ g(x)在它13们的交点(1， c)处有相同的切线，求实数 a， b 的值，并写出切线 l 的方程．【解】 因为 f(x)＝ x3－ ax(a＞0)， g(x)＝ bx2＋2 b－1，所以 f′( x)＝ x2－ a， g′( x)13＝2 bx.因为曲线 y＝ f(x)与 y＝ g(x)在它们的交点(1， c)处有相同的切线，所以 f(1)＝ g(1)，且 f′(1)＝ g′(1)，即 － a＝ b＋2 b－1，且 1－ a＝2 b，13解得 a＝ ， b＝ ，得切点坐标为(1,0)．13 13切线方程为 y＝ (x－1)，即 2x－3 y－2＝0.236．已知函数 f(x)＝ x－1＋ (a∈R，e 为自然对数的底数)．aex(1)若曲线 y＝ f(x)在点(1， f(1))处的切线平行于 x 轴，求 a 的值；(2)当 a＝1 时，若直线 l： y＝ kx－1 与曲线 y＝ f(x)相切，求 l 的直线方程．【解】 (1) f′( x)＝1－ ，因为曲线 y＝ f(x)在点(1， f(1))处的切线平行于 x 轴，aex6所以 f′(1)＝1－ ＝0，解得 a＝e.ae(2)当 a＝1 时， f(x)＝ x－1＋ ， f′( x)＝1－ .1ex 1ex设切点为( x0， y0)，∵ f(x0)＝ x0－1＋ ＝ kx0－1，①1ex0f′( x0)＝1－ ＝ k，②1ex0①＋②得 x0＝ kx0－1＋ k，即( k－1)( x0＋1)＝0.若 k＝1，则②式无解，∴ x0＝－1， k＝1－e.∴ l 的直线方程为 y＝(1－e) x－1.