（通用版）2017届高考数学 考前3个月知识方法专题训练 第一部分 知识方法篇 专题1 集合与常用逻辑用语 文（打包4套）.zip

1第 1 练 小集合，大功能[题型分析·高考展望] 集合是高考每年必考内容，题型基本都是选择题、填空题，题目难度大多数为低档，有时候在填空题中以创新题型出现，难度稍高，在二轮复习中，本部分应该重点掌握集合的表示、集合的性质、集合的运算及集合关系在常用逻辑用语、函数、不等式、三角函数、解析几何等方面的应用．同时注意研究有关集合的创新问题，研究问题的切入点及集合知识在相关问题中所起的作用．体验高考1．(2015·重庆)已知集合 A＝{1,2,3}， B＝{2,3}，则( )A． A＝ B B． A∩ B＝∅C． A B D． B A答案 D解析 由于 2∈ A,2∈ B,3∈ A,3∈ B,1∈ A,1∉B，故 A，B，C 均错，D 是正确的，选 D.2．(2015·福建)若集合 A＝{i，i 2，i 3，i 4}(i 是虚数单位)， B＝{1，－1}，则 A∩ B 等于( )A．{－1} B．{1}C．{1，－1} D．∅答案 C解析 集合 A＝{i，－1,1，－i}， B＝{1，－1}， A∩ B＝{1，－1}，故选 C.3．(2016·山东)设集合 U＝{1,2,3,4,5,6}， A＝{1,3,5}， B＝{3,4,5}，则∁ U(A∪ B)等于( )A．{2,6} B．{3,6} C．{1,3,4,5} D．{1,2,4,6}答案 A解析 ∵ A∪ B＝{1,3,4,5}，∴∁ U(A∪ B)＝{2,6}，故选 A.4．(2015·四川)设集合 A＝{ x|－1＜ x＜2}，集合 B＝{ x|1＜ x＜3}，则 A∪ B 等于( )A．{ x|－1＜ x＜3} B．{ x|－1＜ x＜1}C．{ x|1＜ x＜2} D．{ x|2＜ x＜3}答案 A解析 借助数轴知 A∪ B＝{ x|－1＜ x＜3}．5．(2016·北京)已知集合 A＝{ x||x|0 的解集是集x2－ y合{ x|－2≤ x≤2}的子集，则实数 a 的取值范围是( )A．－2≤ a≤2 B．－1≤ a≤1C．－2≤ a≤1 D．1≤ a≤2答案 C解析 因为( x－ a)⊗(x＋1－ a)0，所以 0，x－ a1＋ a－ x即 a0}，若 A⊆B，则实数 c 的取值范围是( )A．(0,1] B．[1，＋∞)C．(0,1) D．(1，＋∞)答案 B解析 A＝{ x|y＝lg( x－ x2)}＝{ x|x－ x20}＝(0,1)，B＝{ x|x2－ cx0}＝(0， c)，因为 A⊆B，画出数轴，如图所示，得 c≥1.应选 B.810．已知 a， b 均为实数，设集合 A＝{ x|a≤ x≤ a＋ }， B＝{ x|b－ ≤ x≤ b}，且 A， B 都是45 13集合{ x|0≤ x≤1}的子集．如果把 n－ m 叫做集合{ x|m≤ x≤ n}的“长度” ，那么集合 A∩ B 的“长度”的最小值是________．答案 215解析 ∵Error!∴0≤ a≤ ，∵Error!15∴ ≤ b≤1，利用数轴分类讨论可得集合 A∩ B 的“长度”的最小值为 － ＝ .13 13 15 21511．对任意两个集合 M、 N，定义： M－ N＝{ x|x∈ M，且 x∉N}， M*N＝( M－ N)∪( N－ M)，设M＝{ y|y＝ x2， x∈R}， N＝{ y|y＝3sin x， x∈R}，则 M*N＝____________________.答案 { y|y3 或－3≤ y3}， N－ M＝{ y|－3≤ y3}∪{ y|－3≤ y3 或－3≤ y0}．12．已知集合 A＝{ x|1＜ x＜3}，集合 B＝{ x|2m＜ x＜1－ m}．(1)当 m＝－1 时，求 A∪ B；(2)若 A⊆B，求实数 m 的取值范围；(3)若 A∩ B＝∅，求实数 m 的取值范围．解 (1)当 m＝－1 时， B＝{ x|－2＜ x＜2}，则 A∪ B＝{ x|－2＜ x＜3}．(2)由 A⊆B 知Error!解得 m≤－2，即实数 m 的取值范围为(－∞，－2]．(3)由 A∩ B＝∅，得①若 2m≥1－ m，即 m≥ 时， B＝∅，符合题意；13②若 2m＜1－ m，即 m＜ 时，13需Error! 或Error!得 0≤ m＜ 或∅，即 0≤ m＜ .13 13综上知 m≥0，即实数 m 的取值范围为[0，＋∞)．1第 2 练 用好逻辑用语，突破充要条件[题型分析·高考展望] 逻辑用语是高考常考内容，充分、必要条件是重点考查内容，题型基本都是选择题、填空题，题目难度以低、中档为主，在二轮复习中，本部分应该重点掌握四种命题的真假判断、否命题与命题的否定的区别、含有量词的命题的否定的求法、充分必要条件的判定与应用，这些知识被考查的概率都较高，特别是充分、必要条件几乎每年都有考查．体验高考1．(2015·山东)若 m∈R, 命题“若 m0，则方程 x2＋ x－ m＝0 有实根”的逆否命题是( )A．若方程 x2＋ x－ m＝0 有实根，则 m＞0B．若方程 x2＋ x－ m＝0 有实根，则 m≤0C．若方程 x2＋ x－ m＝0 没有实根，则 m＞0D．若方程 x2＋ x－ m＝0 没有实根，则 m≤0答案 D解析 原命题为“若 p，则 q”，则其逆否命题为“若綈 q，则綈 p”．∴所求命题为“若方程 x2＋ x－ m＝0 没有实根，则 m≤0” ．2．(2016·山东)已知直线 a， b 分别在两个不同的平面 α ， β 内，则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 α 和平面 β 相交”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析 若直线 a 和直线 b 相交，则平面 α 和平面 β 相交；若平面 α 和平面 β 相交，那么直线 a 和直线 b 可能平行或异面或相交，故选 A.3．(2015·重庆)“ x＞1”是“ (x＋2)＜0”的( )12logA．充要条件B．充分不必要条件2C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析 (x＋2)＜0⇔ x＋2＞1⇔ x＞－1，12log因此选 B.4．(2015·四川)设 a， b 为正实数，则“ a＞ b＞1”是“log 2a＞log 2b＞0”的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析 若 a＞ b＞1，那么 log2a＞log 2b＞0；若 log2a＞log 2b＞0，那么 a＞ b＞1，故选 A.5．(2016·浙江)命题“∀ x∈ R，∃ n∈N *，使得 n≥ x2”的否定形式是( )A．∀ x∈R，∃ n∈N *，使得 n＜ x2B．∀ x∈R，∀ n∈N *，使得 n＜ x2C．∃ x∈ R，∃ n∈N *，使得 n＜ x2D．∃ x∈ R，∀ n∈N *，使得 n＜ x2答案 D解析 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题， n≥ x2的否定是 n＜ x2，故选 D.高考必会题型题型一 命题及其真假判断常用结论：(1)原命题与逆否命题等价，同一个命题的逆命题、否命题等价；(2)四个命题中，真命题的个数为偶数；(3)只有 p、 q 都假， p∨ q 假，否则为真，只有 p、 q 都真， p∧ q 真，否则为假；(4)全称命题的否定为特称命题，特称命题的否定为全称命题，一个命题与其否定不会同真假．例 1 (1)(2015·安徽)已知 m， n 是两条不同直线， α ， β 是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A．若 α ， β 垂直于同一平面，则 α 与 β 平行B．若 m， n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行C．若 α ， β 不平行，则在 α 内不存在与 β 平行的直线3D．若 m， n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面(2)命题 p：若 sin x＞sin y，则 x＞ y；命题 q： x2＋ y2≥2 xy.下列命题为假命题的是( )A． p 或 q B． p 且 qC． q D．綈 p答案 (1)D (2)B解析 (1)对于 A， α ， β 垂直于同一平面， α ， β 关系不确定，故 A 错；对于 B， m， n平行于同一平面， m， n 关系不确定，可平行、相交、异面，故 B 错；对于 C， α ， β 不平行，但 α 内能找出平行于 β 的直线，如 α 中平行于 α ， β 交线的直线平行于 β ，故 C错；对于 D，若假设 m， n 垂直于同一平面，则 m∥ n，其逆否命题即为 D 选项，故 D 正确．(2)取 x＝ ， y＝ ，可知命题 p 不正确；由( x－ y)2≥0 恒成立，可知命题 q 正确，故綈π 3 5π6p 为真命题， p 或 q 是真命题， p 且 q 是假命题．点评 利用等价命题判断命题的真假，是判断命题真假快捷有效的方法．在解答时要有意识地去练习．变式训练 1 已知命题 p：∀ x∈R， x2＞0，命题 q：∃ α ， β ∈R，使 tan(α ＋ β )＝tan α ＋tan β ，则下列命题为真命题的是( )A． p∧ q B． p∨(綈 q)C．(綈 p)∧ qD． p∧(綈 q)答案 C解析 因为∀ x∈R， x2≥0，所以命题 p 是假命题，因为当 α ＝－ β 时，tan( α ＋ β )＝tan α ＋tan β ，所以命题 q 是真命题，所以 p∧ q 是假命题， p∨(綈 q)是假命题，(綈 p)∧ q是真命题， p∧(綈 q)是假命题．题型二 充分条件与必要条件例 2 (1)(2015·北京)设 α ， β 是两个不同的平面， m 是直线且 m⊂α .则“ m∥ β ”是“α ∥ β ”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析 m⊂α ， m∥ β ⇒/ α ∥ β ，但 m⊂α ， α ∥ β ⇒m∥ β ，所以“ m∥ β ”是“ α ∥ β ”的必要不充分条件．(2)已知( x＋1)(2－ x)≥0 的解为条件 p，关于 x 的不等式 x2＋ mx－2 m2－3 m－1＜0( m＞－ )23的解为条件 q.4①若 p 是 q 的充分不必要条件时，求实数 m 的取值范围；②若綈 p 是綈 q 的充分不必要条件时，求实数 m 的取值范围．解 ①设条件 p 的解集为集合 A，则 A＝{ x|－1≤ x≤2}，设条件 q 的解集为集合 B，则 B＝{ x|－2 m－1＜ x＜ m＋1}，若 p 是 q 的充分不必要条件，则 A 是 B 的真子集Error!解得 m＞1.②若綈 p 是綈 q 的充分不必要条件，则 B 是 A 的真子集Error!解得－ ＜ m≤0.23点评 判断充分、必要条件时应注意的问题(1)先后顺序：“ A 的充分不必要条件是 B”是指 B 能推出 A，且 A 不能推出 B；而“ A 是 B的充分不必要条件”则是指 A 能推出 B，且 B 不能推出 A.(2)举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．(3)准确转化：若綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，则 p 是 q 的充分不必要条件；若綈 p 是綈q 的充要条件，那么 p 是 q 的充要条件．变式训练 2 (2015·湖北)设 a1， a2，…， an∈R， n≥3.若 p： a1， a2，…， an成等比数列；q：( a ＋ a ＋…＋ a )·(a ＋ a ＋…＋ a )＝( a1a2＋ a2a3＋…＋ an－1 an)2，则( )21 2 2n－ 1 2 23 2nA． p 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件B． p 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件C． p 是 q 的充分必要条件D． p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件答案 B解析 若 p 成立，设 a1， a2，…， an的公比为 q，则( a ＋ a ＋…＋ a )(a ＋ a ＋…＋ a21 2 2n－ 1 2 23)＝ a (1＋ q2＋…＋ q2n－4 )·a (1＋ q2＋…＋ q2n－4 )＝ a a (1＋ q2＋…＋ q2n－4 )2n 21 2 2122，( a1a2＋ a2a3＋…＋ an－1 an)2＝( a1a2)2(1＋ q2＋…＋ q2n－4) 2，故 q 成立，故 p 是 q 的充分条件．取 a1＝ a2＝…＝ an＝0，则 q 成立，而 p 不成立，故 p 不是 q 的必要条件，故选 B.题型三 与命题有关的综合问题例 3 下列叙述正确的是( )A．命题：∃ x0∈ R，使 x ＋sin x0＋21 且 y1， q：实数 x， y 满足 x＋ y2，则 p 是 q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析 Error! ⇒故 p 是 q 的充分不必要条件8．下列 5 个命题中正确命题的个数是( )①“若 log2a＞0，则函数 f(x)＝log ax(a＞0， a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；② m＝3 是直线( m＋3) x＋ my－2＝0 与直线 mx－6 y＋5＝0 互相垂直的充要条件；③已知回归直线的斜率的估计值为 1.23，样本点的中心为(4,5)，则线性回归方程为＝1.23 x＋0.08；y^ ④若实数 x， y∈[－1,1]，则满足 x2＋ y2≥1 的概率为 ；π 4⑤命题“若 a∈ M，则 b∉M”与命题 “若 b∈ M，则 a∉M”等价．A．2 B．3 C．4 D．5答案 A解析 ①错，若 log2a＞0＝log 21，则 a＞1，所以函数 f(x)＝log ax 在其定义域内是增函数；②错，当 m＝0 时，两直线也垂直，所以 m＝3 是两直线垂直的充分不必要条件；③正确，将样本点的中心的坐标代入，满足方程；④错，实数 x， y∈[－1,1]表示的平面区域为边长为 2 的正方形，其面积为 4，而x2＋ y2＜1 所表示的平面区域的面积为 π，所以满足 x2＋ y2≥1 的概率为 ；4－ π4⑤正确，不难看出，命题“若 a∈ M，则 b∉M”与命题“若 b∈ M，则 a∉M”是互为逆否命题，因此二者等价，所以正确．99．在直角坐标系中，点(2 m＋3－ m2， )在第四象限的充要条件是2m－ 32－ m____________________．答案 －1 m 或 2m332解析 点(2 m＋3－ m2， )在第四象限2m－ 32－ m⇔Error!⇔－1 m 或 2m3.3210．已知函数 f(x)＝4| a|x－2 a＋1.若命题：“∃ x0∈(0,1)，使 f(x0)＝0”是真命题，则实数 a 的取值范围为________．答案 (12， ＋ ∞ )解析 由于 f(x)是单调函数，在(0,1)上存在零点，应有 f(0)·f(1)＜0，解不等式求出实数 a 的取值范围．由 f(0)·f(1)＜0⇒(1－2 a)(4|a|－2 a＋1)＜0⇔Error!或Error!⇒a＞ .1211．下列结论：①若命题 p：∃ x0∈R，tan x0＝2；命题 q：∀ x∈R， x2－ x＋ ＞0.则命题“ p∧(綈 q)”是假12命题；②已知直线 l1： ax＋3 y－1＝0， l2： x＋ by＋1＝0，则 l1⊥ l2的充要条件是 ＝－3；ab③“设 a， b∈R，若 ab≥2，则 a2＋ b2＞4”的否命题为：“设 a， b∈R，若 ab＜2，则a2＋ b2≤4” ．其中正确结论的序号为__________．(把你认为正确结论的序号都填上)答案 ①③解析 在①中，命题 p 是真命题，命题 q 也是真命题，故“ p∧(綈 q)”是假命题是正确的．在②中，由 l1⊥ l2，得 a＋3 b＝0，所以②不正确．在③中， “设 a， b∈R，若 ab≥2，则 a2＋ b2＞4”的否命题为：“设 a， b∈R，若 ab＜2，则 a2＋ b2≤4”正确．1012．已知条件 p： ≤－1，条件 q： x2－ x＜ a2－ a，且綈 q 的一个充分不必要条件是綈4x－ 1p，则 a 的取值范围是________．答案 [0,1]解析 由 ≤－1，4x－ 1得－3≤ x＜1.由 x2－ x＜ a2－ a，得( x－ a)[x＋( a－1)]＜0，当 a＞1－ a，即 a＞ 时，12不等式的解为 1－ a＜ x＜ a；当 a＝1－ a，即 a＝ 时，不等式的解为∅；12当 a＜1－ a，即 a＜ 时，不等式的解为 a＜ x＜1－ a.12由綈 q 的一个充分不必要条件是綈 p，可知綈 p 是綈 q 的充分不必要条件，即 p 为 q 的一个必要不充分条件，即条件 q 对应的 x 取值集合是条件 p 对应的 x 取值集合的真子集．当 a＞ 时，12由{ x|1－ a＜ x＜ a}{ x|－3≤ x＜1}，得Error! 解得 ＜ a≤1；12当 a＝ 时，12因为空集是任意一个非空集合的真子集，所以满足条件；当 a＜ 时，12由{ x|a＜ x＜1－ a}{ x|－3≤ x＜1}，得Error! 解得 0≤ a＜ .12综上， a 的取值范围是[0,1]．1第 4 练 用好基本不等式[题型分析·高考展望] 基本不等式是解决函数值域、最值、不等式证明、参数范围问题的有效工具，在高考中经常考查，有时也会对其单独考查．题目难度为中等偏上．应用时，要注意“拆、拼、凑”等技巧，特别要注意应用条件，只有具备公式应用的三个条件时，才可应用，否则可能会导致结果错误．体验高考1．(2015·四川)如果函数 f(x)＝ (m－2) x2＋( n－8) x＋1( m≥0， n≥0)在区间 上单12 [12， 2]调递减，那么 mn 的最大值为( )A．16 B．18 C．25 D.812答案 B解析 ①当 m＝2 时，∵ f(x)在[ ，2]上单调递减，12∴0≤ n＜8， mn＝2 n＜16.② m≠2 时，抛物线的对称轴为 x＝－ .n－ 8m－ 2据题意得，当 m＞2 时，－ ≥2，即 2m＋ n≤12，n－ 8m－ 2∵ ≤ ≤6，2m·n2m＋ n2∴ mn≤18，由 2m＝ n 且 2m＋ n＝12 得 m＝3， n＝6.当 m＜2 时，抛物线开口向下，据题意得，－ ≤ ，即 m＋2 n≤18，n－ 8m－ 2 12∵ ≤ ≤9，2n·m2n＋ m2∴ mn≤ ，812由 2n＝ m 且 m＋2 n＝18 得 m＝9＞2，故应舍去．要使得 mn 取得最大值，应有 m＋2 n＝18( m＜2， n＞8)．∴ mn＝(18－2 n)n＜(18－2×8)×8＝16，2综上所述， mn 的最大值为 18，故选 B.2．(2015·陕西)设 f(x)＝ln x,0＜ a＜ b，若 p＝ f( )， q＝ f ， r＝ (f(a)＋ f(b))，ab (a＋ b2 ) 12则下列关系式中正确的是( )A． q＝ r＜ p B． q＝ r＞ pC． p＝ r＜ q D． p＝ r＞ q答案 C解析 ∵0＜ a＜ b，∴ ＞ ，a＋ b2 ab又∵ f(x)＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，故 f ＞ f( )，即 q＞ p.(a＋ b2 ) ab又 r＝ (f(a)＋ f(b))＝ (ln a＋ln b)12 12＝ ln a＋ ln b＝ln( ab)12 12 12＝ f( )＝ p.ab故 p＝ r＜ q.选 C.3．(2015·天津)已知 a＞0， b＞0， ab＝8，则当 a 的值为________时，log 2a·log2(2b)取得最大值．答案 4解析 log 2a·log2(2b)＝log 2a·(1＋log 2b)≤ 2＝ 2(log2a＋ 1＋ log2b2 ) (log2ab＋ 12 )＝ 2＝4，(log28＋ 12 )当且仅当 log2a＝1＋log 2b，即 a＝2 b 时，等号成立，此时 a＝4， b＝2.4．(2016·江苏)在锐角三角形 ABC 中，若 sin A＝2sin Bsin C，则 tan Atan Btan C 的最小值是________．答案 8解析 在△ ABC 中， A＋ B＋ C＝π，sin A＝sin[π－( B＋ C)]＝sin( B＋ C)，由已知，sin A＝2sin Bsin C，∴sin( B＋ C)＝2sin Bsin C.∴sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bsin C，3A， B， C 全为锐角，两边同时除以 cos Bcos C 得：tan B＋tan C＝2tan Btan C.又 tan A＝－tan( B＋ C)＝－ ＝ .tan B＋ tan C1－ tan BtanC tan B＋ tan Ctan B tan C－ 1∴tan A(tan Btan C－1)＝tan B＋tan C.则 tan Atan Btan C－tan A＝tan B＋tan C，∴tan Atan Btan C＝tan A＋tan B＋tan C＝tan A＋2tan Btan C≥2 ，2tan Atan Btan C∴ ≥2 ，tan Atan Btan C 2∴tan Atan Btan C≥8.5．(2016·上海)设 a＞0， b＞0.若关于 x， y 的方程组Error!无解，则 a＋ b 的取值范围是________．答案 (2，＋∞)解析 由已知， ab＝1，且 a≠ b，∴ a＋ b＞2 ＝2.ab高考必会题型题型一 利用基本不等式求最大值、最小值1．利用基本不等式求最值的注意点(1)在运用基本不等式求最值时，必须保证“一正，二定，三相等” ，凑出定值是关键．(2)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则就会出错．2．结构调整与应用基本不等式基本不等式在解题时一般不能直接应用，而是需要根据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点” ，即把研究对象化成适用基本不等式的形式．常见的转化方法有：(1)x＋ ＝ x－ a＋ ＋ a(xa)．bx－ a bx－ a(2)若 ＋ ＝1，则 mx＋ ny＝( mx＋ ny)×1＝( mx＋ ny)· ≥ ma＋ nb＋2 (字母均为ax by (ax＋ by) abmn正数)．例 1 (1)已知正常数 a， b 满足 ＋ ＝3，则( a＋1)( b＋2)的最小值是________．1a 2b答案 5094解析 由 ＋ ＝3，得 b＋2 a＝3 ab，1a 2b∴( a＋1)( b＋2)＝2 a＋ b＋ ab＋2＝4 ab＋2，又 a＞0， b＞0，∴ ＋ ≥2 ，1a 2b 2ab∴ ab≥ (当且仅当 b＝2 a 时取等号)，89∴( a＋1)( b＋2)的最小值为 4× ＋2＝ .89 509(2)求函数 y＝ (x＞－1)的最小值．x2＋ 7x＋ 10x＋ 1解 设 x＋1＝ t，则 x＝ t－1( t＞0)，∴ y＝ t－ 1 2＋ 7 t－ 1 ＋ 10t＝ t＋ ＋5≥2 ＋5＝9.4t t·4t当且仅当 t＝ ，即 t＝2，且此时 x＝1 时，取等号，4t∴ ymin＝9.点评 求条件最值问题一般有两种思路：一是利用函数单调性求最值；二是利用基本不等式．在利用基本不等式时往往都需要变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值．等号能够取得．变式训练 1 已知 x＞0， y＞0，且 2x＋5 y＝20，(1)求 u＝lg x＋lg y 的最大值；(2)求 ＋ 的最小值．1x 1y解 (1)∵ x＞0， y＞0，∴由基本不等式，得 2x＋5 y≥2 .10xy∵2 x＋5 y＝20，∴2 ≤20，即 xy≤10，10xy当且仅当 2x＝5 y 时等号成立．因此有Error! 解得Error!此时 xy 有最大值 10.∴ u＝lg x＋lg y＝lg( xy)≤lg 10＝1.∴当 x＝5， y＝2 时， u＝lg x＋lg y 有最大值 1.(2)∵ x＞0， y＞0，∴ ＋ ＝ ·1x 1y (1x＋ 1y) 2x＋ 5y205＝ ≥ ＝ ，120(7＋ 5yx＋ 2xy) 120(7＋ 25yx·2xy) 7＋ 21020当且仅当 ＝ 时等号成立．5yx 2xy由Error! 解得Error!∴ ＋ 的最小值为 .1x 1y 7＋ 2 1020题型二 基本不等式的综合应用例 2 (1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为 800 元，若每批生产 x 件，则平均仓储时间为 天，且每件产品每天的仓储费用为 1 元，为使平均到每件产品的生产准备x8费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A．60 件 B．80 件 C．100 件 D．120 件答案 B解析 平均每件产品的费用为 y＝ ＝ ＋ ≥2 ＝20，当且仅当800＋ x28x 800x x8 800x ×x8＝ ，即 x＝80 时取等号，所以每批应生产产品 80 件，才能使平均到每件产品的生产准800x x8备费用与仓储费用之和最小．(2)某单位决定投资 3 200 元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价 40 元，两侧墙砌砖，每米长造价 45 元，顶部每平方米造价 20 元，求：仓库面积 S 的最大允许值是多少？为使 S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解 设铁栅长为 x 米，一侧砖墙长为 y 米，则顶部面积 S＝ xy，依题设，得40x＋2×45 y＋20 xy＝3 200，由基本不等式得 3 200≥2 ＋20 xy＝120 40x·90y＋ 20xy＝120 ＋20 S，则 S＋6 －160≤0，即( －10)·( ＋16)≤0，故xy S S S S0＜ ≤10，从而 0＜ S≤100，所以 S 的最大允许值是 100 平方米，取得此最大值的条件是S40x＝90 y 且 xy＝100，解得 x＝15，即铁栅的长应设计为 15 米．点评 基本不等式及不等式性质应用十分广泛，在最优化实际问题，平面几何问题，代数式最值等方面都要用到基本不等式，应用时一定要注意检验“三个条件”是否具备．变式训练 2 (1)已知直线 ax＋ by－6＝0( a＞0， b＞0)被圆 x2＋ y2－2 x－4 y＝0 截得的弦长为 2 ，则 ab 的最大值是________．5答案 92解析 圆的方程变形为( x－1) 2＋( y－2) 2＝5，6由已知可得直线 ax＋ by－6＝0 过圆心 O(1,2)，∴ a＋2 b＝6( a＞0， b＞0)，∴6＝ a＋2 b≥2 ，2ab∴ ab≤ (当且仅当 a＝2 b 时等号成立)，92故 ab 的最大值为 .92(2)某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元，每生产 x 千件，需另投入成本为 C(x)，当年产量不足 80 千件时， C(x)＝ x2＋10 x(万元)．当年产量不小于 80 千件时， C(x)＝51 x＋13－1 450(万元)．每件商品售价为 0.05 万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全10 000x部售完．①写出年利润 L(x)(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式；②当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解 ①当 0＜ x＜80 时，L(x)＝1 000 x×0.05－( x2＋10 x)－25013＝－ x2＋40 x－250.13当 x≥80 时，L(x)＝1 000 x×0.05－(51 x＋ －1 450)－25010 000x＝1 200－( x＋ )．10 000x∴ L(x)＝Error!②当 0＜ x＜80 时， L(x)＝－ x2＋40 x－250.13对称轴为 x＝60，即当 x＝60 时， L(x)最大 ＝950(万元)．当 x≥80 时，L(x)＝1 200－( x＋ )10 000x≤1 200－2 ＝1 000(万元)，10 000当且仅当 x＝100 时， L(x)最大 ＝1 000(万元)，综上所述，当 x＝100 时，年获利最大．7高考题型精练1．已知 x＞1， y＞1，且 ln x，，ln y 成等比数列，则 xy( )14 14A．有最大值 e B．有最大值 eC．有最小值 e D．有最小值 e答案 C解析 ∵ x＞1， y＞1，且 ln x，，ln y 成等比数列，14 14∴ln x·ln y＝ ≤ 2，14 (ln x＋ ln y2 )∴ln x＋ln y＝ln xy≥1⇒ xy≥e.2．若正数 x， y 满足 x＋3 y＝5 xy，则 3x＋4 y 的最小值是( )A. B.245 285C．5 D．6答案 C解析 方法一 由 x＋3 y＝5 xy 可得 ＋ ＝1，15y 35x∴3 x＋4 y＝(3 x＋4 y)( ＋ )15y 35x＝ ＋ ＋ ＋ ≥ ＋ ＝5(当且仅当 ＝ ，95 45 3x5y 12y5x 135 125 3x5y 12y5x即 x＝1， y＝ 时，等号成立)，∴3 x＋4 y 的最小值是 5.12方法二 由 x＋3 y＝5 xy 得 x＝ ，3y5y－ 1∵ x＞0， y＞0，∴ y＞ ，15∴3 x＋4 y＝ ＋4 y9y5y－ 1＝ ＋ · ＋4135 9515y－ 15 (y－ 15)≥ ＋2 ＝5，135 3625当且仅当 y＝ 时等号成立，128∴3 x＋4 y 的最小值是 5.3．若正数 a， b 满足 ＋ ＝1，则 ＋ 的最小值是( )1a 1b 1a－ 1 9b－ 1A．1 B．6C．9 D．16答案 B解析 ∵正数 a， b 满足 ＋ ＝1，1a 1b∴ b＝ ＞0，解得 a＞1.同理可得 b＞1，aa－ 1∴ ＋ ＝ ＋1a－ 1 9b－ 1 1a－ 1 9aa－ 1－ 1＝ ＋9( a－1)≥2 ＝6，1a－ 1 1a－ 1·9 a－ 1当且仅当 ＝9( a－1)，即 a＝ 时等号成立，1a－ 1 43∴最小值为 6.故选 B.4．已知 a＞0， b＞0，若不等式 － － ≤0 恒成立，则 m 的最大值为( )m3a＋ b 3a 1bA．4 B．16 C．9 D．3答案 B解析 因为 a＞0， b＞0，所以由 － － ≤0 恒成立得 m≤( ＋ )(3a＋ b)＝10＋ ＋m3a＋ b 3a 1b 3a 1b 3ba恒成立．3ab因为 ＋ ≥2 ＝6，3ba 3ab 3ba·3ab当且仅当 a＝ b 时等号成立，所以 10＋ ＋ ≥16，3ba 3ab所以 m≤16，即 m 的最大值为 16，故选 B.5．已知 x， y∈(0，＋∞)，2 x－3 ＝( )y，若 ＋ (m＞0)的最小值为 3，则 m 等于( )12 1x myA．2 B．2 C．3 D．42答案 D解析 由 2x－3 ＝( )y得 x＋ y＝3，12＋ ＝ (x＋ y)( ＋ )1x my 13 1x my9＝ (1＋ m＋ ＋ )13 yx mxy≥ (1＋ m＋2 )(当且仅当 ＝ 时取等号)13 m yx mxy∴ (1＋ m＋2 )＝3，解得 m＝4，故选 D.13 m6．已知直线 ax＋ by＋ c－1＝0( b， c＞0)经过圆 x2＋ y2－2 y－5＝0 的圆心，则 ＋ 的最小4b 1c值是( )A．9 B．8 C．4 D．2答案 A解析 圆 x2＋ y2－2 y－5＝0 化成标准方程，得 x2＋( y－1) 2＝6，所以圆心为 C(0,1)，因为直线 ax＋ by＋ c－1＝0 经过圆心 C，所以 a×0＋ b×1＋ c－1＝0，即 b＋ c＝1.因此 ＋ ＝( b＋ c)( ＋ )＝ ＋ ＋5.4b 1c 4b 1c 4cb bc因为 b， c＞0，所以 ＋ ≥2 ＝4.4cb bc 4cb·bc当且仅当 ＝ 时等号成立．4cb bc由此可得 b＝2 c，且 b＋ c＝1，即 b＝ ， c＝ 时， ＋ 取得最小值 9.23 13 4b 1c7．已知 x＞0， y＞0， x＋3 y＋ xy＝9，则 x＋3 y 的最小值为________．答案 6解析 由已知得 x＝ .9－ 3y1＋ y方法一 (消元法)∵ x＞0， y＞0，∴0＜ y＜3，∴ x＋3 y＝ ＋3 y＝ ＋3( y＋1)－69－ 3y1＋ y 121＋ y≥2 －6＝6，当且仅当 ＝3( y＋1)，121＋ y·3 y＋ 1 121＋ y即 y＝1， x＝3 时，( x＋3 y)min＝6.方法二 ∵ x＞0， y＞0,9－( x＋3 y)＝ xy＝ x·(3y)≤ · 2，当且仅当 x＝3 y 时等号13 13 (x＋ 3y2 )成立．设 x＋3 y＝ t＞0，则 t2＋12 t－108≥0，∴( t－6)( t＋18)≥0，10又∵ t＞0，∴ t≥6.故当 x＝3， y＝1 时，( x＋3 y)min＝6.8．已知三个正数 a， b， c 成等比数列，则 ＋ 的最小值为________．a＋ cb ba＋ c答案 52解析 由条件可知 a＞0， b＞0， c＞0，且 b2＝ ac，即 b＝ ，故 ≥ ＝2，令aca＋ cb 2acb＝ t，则 t≥2，所以 y＝ t＋ 在[2，＋∞)上单调递增，a＋ cb 1t故其最小值为 2＋ ＝ .12 529．已知 x， y∈R 且满足 x2＋2 xy＋4 y2＝6，则 z＝ x2＋4 y2的取值范围为________．答案 [4,12]解析 ∵2 xy＝6－( x2＋4 y2)，而 2xy≤ ，x2＋ 4y22∴6－( x2＋4 y2)≤ ，x2＋ 4y22∴ x2＋4 y2≥4(当且仅当 x＝2 y 时取等号)，又∵( x＋2 y)2＝6＋2 xy≥0，即 2xy≥－6，∴ z＝ x2＋4 y2＝6－2 xy≤12(当且仅当 x＝－2 y 时取等号)，综上可知 4≤ x2＋4 y2≤12.10．当 x∈(0,1)时，不等式 ≥ m－ 恒成立，则 m 的最大值为________．41－ x 1x答案 9解析 方法一 (函数法)由已知不等式可得m≤ ＋ ，1x 41－ x设 f(x)＝ ＋ ＝ ＝ ， x∈(0,1)．1x 41－ x 1－ x＋ 4xx 1－ x 3x＋ 1－ x2＋ x令 t＝3 x＋1，则 x＝ ， t∈(1,4)，t－ 13则函数 f(x)可转化为 g(t)＝ ＝ ＝ ＝t－ (t－ 13 )2＋ t－ 13t－ 19t2＋ 59t－ 49 9t－ t2＋ 5t－ 4，9－  t＋ 4t ＋ 5因为 t∈(1,4)，所以 5＞ t＋ ≥4，4t110＜－( t＋ )＋5≤1， ≥9，4t 9－  t＋ 4t ＋ 5即 g(t)∈[9，＋∞)，故 m 的最大值为 9.方法二 (基本不等式法)由已知不等式可得 m≤ ＋ ，因为 x∈(0,1)，则 1－ x∈(0,1)，1x 41－ x设 y＝1－ x∈(0,1)，显然 x＋ y＝1.故 ＋ ＝ ＋ ＝ ＋1x 41－ x 1x 4y x＋ yx 4 x＋ yy＝5＋( ＋ )≥5＋2 ＝9，yx 4xy yx·4xy当且仅当 ＝ ，即 y＝ ， x＝ 时等号成立．yx 4xy 23 13所以要使不等式 m≤ ＋ 恒成立， m 的最大值为 9.1x 41－ x11．运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶 130 千米，按交通法规限制 50≤ x≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升 2 元，而汽车每小时耗油 升，司机的工资(2＋x2360)是每小时 14 元．(1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式；(2)当 x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．解 (1)设所用时间为 t＝ (小时)，130xy＝ ×2× ＋14× ， x∈[50,100]．130x (2＋ x2360) 130x所以，这次行车总费用 y 关于 x 的表达式是y＝ ＋ x， x∈[50,100]．2 340x 1318(2)y＝ ＋ x≥26 ，2 340x 1318 10当且仅当 ＝ ，2 340x 13x18即 x＝18 时等号成立．10故当 x＝18 千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为 26 元．10 1012．某种商品原来每件售价为 25 元，年销售 8 万件．(1)据市场调查，若价格每提高 1 元，销售量将相应减少 2 000 件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和12营销策略改革，并提高定价到 x 元．公司拟投入 (x2－600)万元作为技改费用，投入 50 万16元作为固定宣传费用，投入 x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量 a 至15少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．解 (1)设每件定价为 t 元，依题意，有 t≥25×8，(8－t－ 251 ×0.2)整理得 t2－65 t＋1 000≤0，解得 25≤ t≤40.∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为 40 元．(2)依题意， x＞25 时，不等式 ax≥25×8＋50＋ (x2－600)＋ x 有解，16 15等价于 x＞25 时， a≥ ＋ x＋ 有解，150x 16 15∵ ＋ x≥2 ＝10(当且仅当 x＝30 时，等号成立)，∴ a≥10.2，150x 16 150x·16x∴当该商品明年的销售量 a 至少应达到 10.2 万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为 30 元．