1、1第 1 练 小集合，大功能题型分析高考展望 集合是高考每年必考内容，题型基本都是选择题、填空题，题目难度大多数为低档，有时候在填空题中以创新题型出现，难度稍高，在二轮复习中，本部分应该重点掌握集合的表示、集合的性质、集合的运算及集合关系在常用逻辑用语、函数、不等式、三角函数、解析几何等方面的应用同时注意研究有关集合的创新问题，研究问题的切入点及集合知识在相关问题中所起的作用体验高考1(2015重庆)已知集合 A1,2,3， B2,3，则( )A A B B A BC A B D B A答案 D解析 由于 2 A,2 B,3 A,3 B,1 A,1B，故 A，B，C 均错，D 是正确的，选 D
2、.2(2015福建)若集合 Ai，i 2，i 3，i 4(i 是虚数单位)， B1，1，则 A B 等于( )A1 B1C1，1 D答案 C解析 集合 Ai，1,1，i， B1，1， A B1，1，故选 C.3(2016山东)设集合 U1,2,3,4,5,6， A1,3,5， B3,4,5，则 U(A B)等于( )A2,6 B3,6 C1,3,4,5 D1,2,4,6答案 A解析 A B1,3,4,5， U(A B)2,6，故选 A.4(2015四川)设集合 A x|1 x2，集合 B x|1 x3，则 A B 等于( )A x|1 x3 B x|1 x1C x|1 x2 D x|2 x3答
3、案 A解析 借助数轴知 A B x|1 x35(2016北京)已知集合 A x|x|0 的解集是集x2 y合 x|2 x2的子集，则实数 a 的取值范围是( )A2 a2 B1 a1C2 a1 D1 a2答案 C解析 因为( x a)(x1 a)0，所以 0，x a1 a x即 a0，若 AB，则实数 c 的取值范围是( )A(0,1 B1，)C(0,1) D(1，)答案 B解析 A x|ylg( x x2) x|x x20(0,1)，B x|x2 cx0(0， c)，因为 AB，画出数轴，如图所示，得 c1.应选 B.810已知 a， b 均为实数，设集合 A x|a x a ， B x|b
4、 x b，且 A， B 都是45 13集合 x|0 x1的子集如果把 n m 叫做集合 x|m x n的“长度” ，那么集合 A B 的“长度”的最小值是_答案 215解析 Error!0 a ，Error!15 b1，利用数轴分类讨论可得集合 A B 的“长度”的最小值为 .13 13 15 21511对任意两个集合 M、 N，定义： M N x|x M，且 xN， M*N( M N)( N M)，设M y|y x2， xR， N y|y3sin x， xR，则 M*N_.答案 y|y3 或3 y3， N M y|3 y3 y|3 y3 或3 y012已知集合 A x|1 x3，集合 B x
5、|2m x1 m(1)当 m1 时，求 A B；(2)若 AB，求实数 m 的取值范围；(3)若 A B，求实数 m 的取值范围解 (1)当 m1 时， B x|2 x2，则 A B x|2 x3(2)由 AB 知Error!解得 m2，即实数 m 的取值范围为(，2(3)由 A B，得若 2m1 m，即 m 时， B，符合题意；13若 2m1 m，即 m 时，13需Error! 或Error!得 0 m 或，即 0 m .13 13综上知 m0，即实数 m 的取值范围为0，)1第 2 练 用好逻辑用语，突破充要条件题型分析高考展望 逻辑用语是高考常考内容，充分、必要条件是重点考查内容，题型基
6、本都是选择题、填空题，题目难度以低、中档为主，在二轮复习中，本部分应该重点掌握四种命题的真假判断、否命题与命题的否定的区别、含有量词的命题的否定的求法、充分必要条件的判定与应用，这些知识被考查的概率都较高，特别是充分、必要条件几乎每年都有考查体验高考1(2015山东)若 mR, 命题“若 m0，则方程 x2 x m0 有实根”的逆否命题是( )A若方程 x2 x m0 有实根，则 m0B若方程 x2 x m0 有实根，则 m0C若方程 x2 x m0 没有实根，则 m0D若方程 x2 x m0 没有实根，则 m0答案 D解析 原命题为“若 p，则 q”，则其逆否命题为“若綈 q，则綈 p”所求
7、命题为“若方程 x2 x m0 没有实根，则 m0” 2(2016山东)已知直线 a， b 分别在两个不同的平面 ， 内，则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 和平面 相交”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案 A解析 若直线 a 和直线 b 相交，则平面 和平面 相交；若平面 和平面 相交，那么直线 a 和直线 b 可能平行或异面或相交，故选 A.3(2015重庆)“ x1”是“ (x2)0”的( )12logA充要条件B充分不必要条件2C必要不充分条件D既不充分也不必要条件答案 B解析 (x2)0 x21 x1，12log因此选 B.4(2015
8、四川)设 a， b 为正实数，则“ a b1”是“log 2alog 2b0”的( )A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件答案 A解析 若 a b1，那么 log2alog 2b0；若 log2alog 2b0，那么 a b1，故选 A.5(2016浙江)命题“ x R， nN *，使得 n x2”的否定形式是( )A xR， nN *，使得 n x2B xR， nN *，使得 n x2C x R， nN *，使得 n x2D x R， nN *，使得 n x2答案 D解析 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题， n x2的否定是 n x2，故选 D.
9、高考必会题型题型一 命题及其真假判断常用结论：(1)原命题与逆否命题等价，同一个命题的逆命题、否命题等价；(2)四个命题中，真命题的个数为偶数；(3)只有 p、 q 都假， p q 假，否则为真，只有 p、 q 都真， p q 真，否则为假；(4)全称命题的否定为特称命题，特称命题的否定为全称命题，一个命题与其否定不会同真假例 1 (1)(2015安徽)已知 m， n 是两条不同直线， ， 是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A若 ， 垂直于同一平面，则 与 平行B若 m， n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行C若 ， 不平行，则在 内不存在与 平行的直线3D若 m， n 不平行，则
10、m 与 n 不可能垂直于同一平面(2)命题 p：若 sin xsin y，则 x y；命题 q： x2 y22 xy.下列命题为假命题的是( )A p 或 q B p 且 qC q D綈 p答案 (1)D (2)B解析 (1)对于 A， ， 垂直于同一平面， ， 关系不确定，故 A 错；对于 B， m， n平行于同一平面， m， n 关系不确定，可平行、相交、异面，故 B 错；对于 C， ， 不平行，但 内能找出平行于 的直线，如 中平行于 ， 交线的直线平行于 ，故 C错；对于 D，若假设 m， n 垂直于同一平面，则 m n，其逆否命题即为 D 选项，故 D 正确(2)取 x ， y ，可
11、知命题 p 不正确；由( x y)20 恒成立，可知命题 q 正确，故綈 3 56p 为真命题， p 或 q 是真命题， p 且 q 是假命题点评 利用等价命题判断命题的真假，是判断命题真假快捷有效的方法在解答时要有意识地去练习变式训练 1 已知命题 p： xR， x20，命题 q： ， R，使 tan( )tan tan ，则下列命题为真命题的是( )A p q B p(綈 q)C(綈 p) qD p(綈 q)答案 C解析 因为 xR， x20，所以命题 p 是假命题，因为当 时，tan( )tan tan ，所以命题 q 是真命题，所以 p q 是假命题， p(綈 q)是假命题，(綈 p)
12、 q是真命题， p(綈 q)是假命题题型二 充分条件与必要条件例 2 (1)(2015北京)设 ， 是两个不同的平面， m 是直线且 m .则“ m ”是“ ”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案 B解析 m ， m / ，但 m ， m ，所以“ m ”是“ ”的必要不充分条件(2)已知( x1)(2 x)0 的解为条件 p，关于 x 的不等式 x2 mx2 m23 m10( m )23的解为条件 q.4若 p 是 q 的充分不必要条件时，求实数 m 的取值范围；若綈 p 是綈 q 的充分不必要条件时，求实数 m 的取值范围解 设条件 p 的解集为
13、集合 A，则 A x|1 x2，设条件 q 的解集为集合 B，则 B x|2 m1 x m1，若 p 是 q 的充分不必要条件，则 A 是 B 的真子集Error!解得 m1.若綈 p 是綈 q 的充分不必要条件，则 B 是 A 的真子集Error!解得 m0.23点评 判断充分、必要条件时应注意的问题(1)先后顺序：“ A 的充分不必要条件是 B”是指 B 能推出 A，且 A 不能推出 B；而“ A 是 B的充分不必要条件”则是指 A 能推出 B，且 B 不能推出 A.(2)举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明(3)准确转化：若綈 p 是
14、綈 q 的必要不充分条件，则 p 是 q 的充分不必要条件；若綈 p 是綈q 的充要条件，那么 p 是 q 的充要条件变式训练 2 (2015湖北)设 a1， a2， anR， n3.若 p： a1， a2， an成等比数列；q：( a a a )(a a a )( a1a2 a2a3 an1 an)2，则( )21 2 2n 1 2 23 2nA p 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件B p 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件C p 是 q 的充分必要条件D p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件答案 B解析 若 p 成立，设 a1， a2， an的公比为 q，则
15、( a a a )(a a a21 2 2n 1 2 23) a (1 q2 q2n4 )a (1 q2 q2n4 ) a a (1 q2 q2n4 )2n 21 2 2122，( a1a2 a2a3 an1 an)2( a1a2)2(1 q2 q2n4) 2，故 q 成立，故 p 是 q 的充分条件取 a1 a2 an0，则 q 成立，而 p 不成立，故 p 不是 q 的必要条件，故选 B.题型三 与命题有关的综合问题例 3 下列叙述正确的是( )A命题： x0 R，使 x sin x021 且 y1， q：实数 x， y 满足 x y2，则 p 是 q的( )A充分不必要条件B必要不充分条
16、件C充要条件D既不充分也不必要条件答案 A解析 Error! 故 p 是 q 的充分不必要条件8下列 5 个命题中正确命题的个数是( )“若 log2a0，则函数 f(x)log ax(a0， a1)在其定义域内是减函数”是真命题； m3 是直线( m3) x my20 与直线 mx6 y50 互相垂直的充要条件；已知回归直线的斜率的估计值为 1.23，样本点的中心为(4,5)，则线性回归方程为1.23 x0.08；y 若实数 x， y1,1，则满足 x2 y21 的概率为 ； 4命题“若 a M，则 bM”与命题 “若 b M，则 aM”等价A2 B3 C4 D5答案 A解析 错，若 log
17、2a0log 21，则 a1，所以函数 f(x)log ax 在其定义域内是增函数；错，当 m0 时，两直线也垂直，所以 m3 是两直线垂直的充分不必要条件；正确，将样本点的中心的坐标代入，满足方程；错，实数 x， y1,1表示的平面区域为边长为 2 的正方形，其面积为 4，而x2 y21 所表示的平面区域的面积为 ，所以满足 x2 y21 的概率为 ；4 4正确，不难看出，命题“若 a M，则 bM”与命题“若 b M，则 aM”是互为逆否命题，因此二者等价，所以正确99在直角坐标系中，点(2 m3 m2， )在第四象限的充要条件是2m 32 m_答案 1 m 或 2m332解析 点(2 m
18、3 m2， )在第四象限2m 32 mError!1 m 或 2m3.3210已知函数 f(x)4| a|x2 a1.若命题：“ x0(0,1)，使 f(x0)0”是真命题，则实数 a 的取值范围为_答案 (12， )解析 由于 f(x)是单调函数，在(0,1)上存在零点，应有 f(0)f(1)0，解不等式求出实数 a 的取值范围由 f(0)f(1)0(12 a)(4|a|2 a1)0Error!或Error!a .1211下列结论：若命题 p： x0R，tan x02；命题 q： xR， x2 x 0.则命题“ p(綈 q)”是假12命题；已知直线 l1： ax3 y10， l2： x by
19、10，则 l1 l2的充要条件是 3；ab“设 a， bR，若 ab2，则 a2 b24”的否命题为：“设 a， bR，若 ab2，则a2 b24” 其中正确结论的序号为_(把你认为正确结论的序号都填上)答案 解析 在中，命题 p 是真命题，命题 q 也是真命题，故“ p(綈 q)”是假命题是正确的在中，由 l1 l2，得 a3 b0，所以不正确在中， “设 a， bR，若 ab2，则 a2 b24”的否命题为：“设 a， bR，若 ab2，则 a2 b24”正确1012已知条件 p： 1，条件 q： x2 x a2 a，且綈 q 的一个充分不必要条件是綈4x 1p，则 a 的取值范围是_答案
20、 0,1解析 由 1，4x 1得3 x1.由 x2 x a2 a，得( x a)x( a1)0，当 a1 a，即 a 时，12不等式的解为 1 a x a；当 a1 a，即 a 时，不等式的解为；12当 a1 a，即 a 时，不等式的解为 a x1 a.12由綈 q 的一个充分不必要条件是綈 p，可知綈 p 是綈 q 的充分不必要条件，即 p 为 q 的一个必要不充分条件，即条件 q 对应的 x 取值集合是条件 p 对应的 x 取值集合的真子集当 a 时，12由 x|1 a x a x|3 x1，得Error! 解得 a1；12当 a 时，12因为空集是任意一个非空集合的真子集，所以满足条件；
21、当 a 时，12由 x|a x1 a x|3 x1，得Error! 解得 0 a .12综上， a 的取值范围是0,11第 4 练 用好基本不等式题型分析高考展望 基本不等式是解决函数值域、最值、不等式证明、参数范围问题的有效工具，在高考中经常考查，有时也会对其单独考查题目难度为中等偏上应用时，要注意“拆、拼、凑”等技巧，特别要注意应用条件，只有具备公式应用的三个条件时，才可应用，否则可能会导致结果错误体验高考1(2015四川)如果函数 f(x) (m2) x2( n8) x1( m0， n0)在区间 上单12 12， 2调递减，那么 mn 的最大值为( )A16 B18 C25 D.812答
22、案 B解析 当 m2 时， f(x)在 ，2上单调递减，120 n8， mn2 n16. m2 时，抛物线的对称轴为 x .n 8m 2据题意得，当 m2 时， 2，即 2m n12，n 8m 2 6，2mn2m n2 mn18，由 2m n 且 2m n12 得 m3， n6.当 m2 时，抛物线开口向下，据题意得， ，即 m2 n18，n 8m 2 12 9，2nm2n m2 mn ，812由 2n m 且 m2 n18 得 m92，故应舍去要使得 mn 取得最大值，应有 m2 n18( m2， n8) mn(182 n)n(1828)816，2综上所述， mn 的最大值为 18，故选 B
23、.2(2015陕西)设 f(x)ln x,0 a b，若 p f( )， q f ， r (f(a) f(b)，ab (a b2 ) 12则下列关系式中正确的是( )A q r p B q r pC p r q D p r q答案 C解析 0 a b， ，a b2 ab又 f(x)ln x 在(0，)上为增函数，故 f f( )，即 q p.(a b2 ) ab又 r (f(a) f(b) (ln aln b)12 12 ln a ln bln( ab)12 12 12 f( ) p.ab故 p r q.选 C.3(2015天津)已知 a0， b0， ab8，则当 a 的值为_时，log 2a
24、log2(2b)取得最大值答案 4解析 log 2alog2(2b)log 2a(1log 2b) 2 2(log2a 1 log2b2 ) (log2ab 12 ) 24，(log28 12 )当且仅当 log2a1log 2b，即 a2 b 时，等号成立，此时 a4， b2.4(2016江苏)在锐角三角形 ABC 中，若 sin A2sin Bsin C，则 tan Atan Btan C 的最小值是_答案 8解析 在 ABC 中， A B C，sin Asin( B C)sin( B C)，由已知，sin A2sin Bsin C，sin( B C)2sin Bsin C.sin Bco
25、s Ccos Bsin C2sin Bsin C，3A， B， C 全为锐角，两边同时除以 cos Bcos C 得：tan Btan C2tan Btan C.又 tan Atan( B C) .tan B tan C1 tan BtanC tan B tan Ctan B tan C 1tan A(tan Btan C1)tan Btan C.则 tan Atan Btan Ctan Atan Btan C，tan Atan Btan Ctan Atan Btan Ctan A2tan Btan C2 ，2tan Atan Btan C 2 ，tan Atan Btan C 2tan At
26、an Btan C8.5(2016上海)设 a0， b0.若关于 x， y 的方程组Error!无解，则 a b 的取值范围是_答案 (2，)解析 由已知， ab1，且 a b， a b2 2.ab高考必会题型题型一 利用基本不等式求最大值、最小值1利用基本不等式求最值的注意点(1)在运用基本不等式求最值时，必须保证“一正，二定，三相等” ，凑出定值是关键(2)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则就会出错2结构调整与应用基本不等式基本不等式在解题时一般不能直接应用，而是需要根据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点” ，即把研究对象化成适用基本不等式的形式常见的转化方法
27、有：(1)x x a a(xa)bx a bx a(2)若 1，则 mx ny( mx ny)1( mx ny) ma nb2 (字母均为ax by (ax by) abmn正数)例 1 (1)已知正常数 a， b 满足 3，则( a1)( b2)的最小值是_1a 2b答案 5094解析 由 3，得 b2 a3 ab，1a 2b( a1)( b2)2 a b ab24 ab2，又 a0， b0， 2 ，1a 2b 2ab ab (当且仅当 b2 a 时取等号)，89( a1)( b2)的最小值为 4 2 .89 509(2)求函数 y (x1)的最小值x2 7x 10x 1解 设 x1 t，则
28、 x t1( t0)， y t 1 2 7 t 1 10t t 52 59.4t t4t当且仅当 t ，即 t2，且此时 x1 时，取等号，4t ymin9.点评 求条件最值问题一般有两种思路：一是利用函数单调性求最值；二是利用基本不等式在利用基本不等式时往往都需要变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值等号能够取得变式训练 1 已知 x0， y0，且 2x5 y20，(1)求 ulg xlg y 的最大值；(2)求 的最小值1x 1y解 (1) x0， y0，由基本不等式，得 2x5 y2 .10xy2 x5 y20，2 20，即 xy10，10
29、xy当且仅当 2x5 y 时等号成立因此有Error! 解得Error!此时 xy 有最大值 10. ulg xlg ylg( xy)lg 101.当 x5， y2 时， ulg xlg y 有最大值 1.(2) x0， y0， 1x 1y (1x 1y) 2x 5y205 ，120(7 5yx 2xy) 120(7 25yx2xy) 7 21020当且仅当 时等号成立5yx 2xy由Error! 解得Error! 的最小值为 .1x 1y 7 2 1020题型二 基本不等式的综合应用例 2 (1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为 800 元，若每批生产 x 件，则平均仓储时间为
30、天，且每件产品每天的仓储费用为 1 元，为使平均到每件产品的生产准备x8费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A60 件 B80 件 C100 件 D120 件答案 B解析 平均每件产品的费用为 y 2 20，当且仅当800 x28x 800x x8 800x x8 ，即 x80 时取等号，所以每批应生产产品 80 件，才能使平均到每件产品的生产准800x x8备费用与仓储费用之和最小(2)某单位决定投资 3 200 元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价 40 元，两侧墙砌砖，每米长造价 45 元，顶部每平方米造价 20 元，求：仓库面积 S
31、的最大允许值是多少？为使 S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解 设铁栅长为 x 米，一侧砖墙长为 y 米，则顶部面积 S xy，依题设，得40x245 y20 xy3 200，由基本不等式得 3 2002 20 xy120 40x90y 20xy120 20 S，则 S6 1600，即( 10)( 16)0，故xy S S S S0 10，从而 0 S100，所以 S 的最大允许值是 100 平方米，取得此最大值的条件是S40x90 y 且 xy100，解得 x15，即铁栅的长应设计为 15 米点评 基本不等式及不等式性质应用十分广泛，在最优化实际问题，平面几何问
32、题，代数式最值等方面都要用到基本不等式，应用时一定要注意检验“三个条件”是否具备变式训练 2 (1)已知直线 ax by60( a0， b0)被圆 x2 y22 x4 y0 截得的弦长为 2 ，则 ab 的最大值是_5答案 92解析 圆的方程变形为( x1) 2( y2) 25，6由已知可得直线 ax by60 过圆心 O(1,2)， a2 b6( a0， b0)，6 a2 b2 ，2ab ab (当且仅当 a2 b 时等号成立)，92故 ab 的最大值为 .92(2)某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元，每生产 x 千件，需另投入成本为 C(x)，当年产量不足 80 千件时， C(x)
33、 x210 x(万元)当年产量不小于 80 千件时， C(x)51 x131 450(万元)每件商品售价为 0.05 万元通过市场分析，该厂生产的商品能全10 000x部售完写出年利润 L(x)(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式；当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解 当 0 x80 时，L(x)1 000 x0.05( x210 x)25013 x240 x250.13当 x80 时，L(x)1 000 x0.05(51 x 1 450)25010 000x1 200( x )10 000x L(x)Error!当 0 x80 时， L(x) x240 x250
34、.13对称轴为 x60，即当 x60 时， L(x)最大 950(万元)当 x80 时，L(x)1 200( x )10 000x1 2002 1 000(万元)，10 000当且仅当 x100 时， L(x)最大 1 000(万元)，综上所述，当 x100 时，年获利最大7高考题型精练1已知 x1， y1，且 ln x，ln y 成等比数列，则 xy( )14 14A有最大值 e B有最大值 eC有最小值 e D有最小值 e答案 C解析 x1， y1，且 ln x，ln y 成等比数列，14 14ln xln y 2，14 (ln x ln y2 )ln xln yln xy1 xye.2若
35、正数 x， y 满足 x3 y5 xy，则 3x4 y 的最小值是( )A. B.245 285C5 D6答案 C解析 方法一 由 x3 y5 xy 可得 1，15y 35x3 x4 y(3 x4 y)( )15y 35x 5(当且仅当 ，95 45 3x5y 12y5x 135 125 3x5y 12y5x即 x1， y 时，等号成立)，3 x4 y 的最小值是 5.12方法二 由 x3 y5 xy 得 x ，3y5y 1 x0， y0， y ，153 x4 y 4 y9y5y 1 4135 9515y 15 (y 15) 2 5，135 3625当且仅当 y 时等号成立，1283 x4 y
36、 的最小值是 5.3若正数 a， b 满足 1，则 的最小值是( )1a 1b 1a 1 9b 1A1 B6C9 D16答案 B解析 正数 a， b 满足 1，1a 1b b 0，解得 a1.同理可得 b1，aa 1 1a 1 9b 1 1a 1 9aa 1 1 9( a1)2 6，1a 1 1a 19 a 1当且仅当 9( a1)，即 a 时等号成立，1a 1 43最小值为 6.故选 B.4已知 a0， b0，若不等式 0 恒成立，则 m 的最大值为( )m3a b 3a 1bA4 B16 C9 D3答案 B解析 因为 a0， b0，所以由 0 恒成立得 m( )(3a b)10 m3a b
37、 3a 1b 3a 1b 3ba恒成立3ab因为 2 6，3ba 3ab 3ba3ab当且仅当 a b 时等号成立，所以 10 16，3ba 3ab所以 m16，即 m 的最大值为 16，故选 B.5已知 x， y(0，)，2 x3 ( )y，若 (m0)的最小值为 3，则 m 等于( )12 1x myA2 B2 C3 D42答案 D解析 由 2x3 ( )y得 x y3，12 (x y)( )1x my 13 1x my9 (1 m )13 yx mxy (1 m2 )(当且仅当 时取等号)13 m yx mxy (1 m2 )3，解得 m4，故选 D.13 m6已知直线 ax by c1
38、0( b， c0)经过圆 x2 y22 y50 的圆心，则 的最小4b 1c值是( )A9 B8 C4 D2答案 A解析 圆 x2 y22 y50 化成标准方程，得 x2( y1) 26，所以圆心为 C(0,1)，因为直线 ax by c10 经过圆心 C，所以 a0 b1 c10，即 b c1.因此 ( b c)( ) 5.4b 1c 4b 1c 4cb bc因为 b， c0，所以 2 4.4cb bc 4cbbc当且仅当 时等号成立4cb bc由此可得 b2 c，且 b c1，即 b ， c 时， 取得最小值 9.23 13 4b 1c7已知 x0， y0， x3 y xy9，则 x3 y
39、 的最小值为_答案 6解析 由已知得 x .9 3y1 y方法一 (消元法) x0， y0，0 y3， x3 y 3 y 3( y1)69 3y1 y 121 y2 66，当且仅当 3( y1)，121 y3 y 1 121 y即 y1， x3 时，( x3 y)min6.方法二 x0， y0,9( x3 y) xy x(3y) 2，当且仅当 x3 y 时等号13 13 (x 3y2 )成立设 x3 y t0，则 t212 t1080，( t6)( t18)0，10又 t0， t6.故当 x3， y1 时，( x3 y)min6.8已知三个正数 a， b， c 成等比数列，则 的最小值为_a
40、cb ba c答案 52解析 由条件可知 a0， b0， c0，且 b2 ac，即 b ，故 2，令aca cb 2acb t，则 t2，所以 y t 在2，)上单调递增，a cb 1t故其最小值为 2 .12 529已知 x， yR 且满足 x22 xy4 y26，则 z x24 y2的取值范围为_答案 4,12解析 2 xy6( x24 y2)，而 2xy ，x2 4y226( x24 y2) ，x2 4y22 x24 y24(当且仅当 x2 y 时取等号)，又( x2 y)262 xy0，即 2xy6， z x24 y262 xy12(当且仅当 x2 y 时取等号)，综上可知 4 x24
41、 y212.10当 x(0,1)时，不等式 m 恒成立，则 m 的最大值为_41 x 1x答案 9解析 方法一 (函数法)由已知不等式可得m ，1x 41 x设 f(x) ， x(0,1)1x 41 x 1 x 4xx 1 x 3x 1 x2 x令 t3 x1，则 x ， t(1,4)，t 13则函数 f(x)可转化为 g(t) t (t 13 )2 t 13t 19t2 59t 49 9t t2 5t 4，9 t 4t 5因为 t(1,4)，所以 5 t 4，4t110( t )51， 9，4t 9 t 4t 5即 g(t)9，)，故 m 的最大值为 9.方法二 (基本不等式法)由已知不等式
42、可得 m ，因为 x(0,1)，则 1 x(0,1)，1x 41 x设 y1 x(0,1)，显然 x y1.故 1x 41 x 1x 4y x yx 4 x yy5( )52 9，yx 4xy yx4xy当且仅当 ，即 y ， x 时等号成立yx 4xy 23 13所以要使不等式 m 恒成立， m 的最大值为 9.1x 41 x11运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶 130 千米，按交通法规限制 50 x100(单位：千米/时)假设汽油的价格是每升 2 元，而汽车每小时耗油 升，司机的工资(2x2360)是每小时 14 元(1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式；(2)当 x 为何
43、值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值解 (1)设所用时间为 t (小时)，130xy 2 14 ， x50,100130x (2 x2360) 130x所以，这次行车总费用 y 关于 x 的表达式是y x， x50,1002 340x 1318(2)y x26 ，2 340x 1318 10当且仅当 ，2 340x 13x18即 x18 时等号成立10故当 x18 千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为 26 元10 1012某种商品原来每件售价为 25 元，年销售 8 万件(1)据市场调查，若价格每提高 1 元，销售量将相应减少 2 000 件，要使销售的总收入不低于原收入
44、，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定明年对该商品进行全面技术革新和12营销策略改革，并提高定价到 x 元公司拟投入 (x2600)万元作为技改费用，投入 50 万16元作为固定宣传费用，投入 x 万元作为浮动宣传费用试问：当该商品明年的销售量 a 至15少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价解 (1)设每件定价为 t 元，依题意，有 t258，(8t 251 0.2)整理得 t265 t1 0000，解得 25 t40.要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为 40 元(2)依题意， x25 时，不等式 ax25850 (x2600) x 有解，16 15等价于 x25 时， a x 有解，150x 16 15 x2 10(当且仅当 x30 时，等号成立)， a10.2，150x 16 150x16x当该商品明年的销售量 a 至少应达到 10.2 万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为 30 元
