1、初中奥数题试题一一、选择题（每题 1 分，共 10 分） 1如果 a，b 都代表有理数，并且 ab=0，那么 ( ) Aa，b 都是 0Ba，b 之一是 0Ca，b 互为相反数Da，b 互为倒数答案：C解析：令 a=2，b=2 ，满足 2+(2)=0，由此 a、b 互为相反数。2下面的说法中正确的是 ( ) A单项式与单项式的和是单项式B单项式与单项式的和是多项式C多项式与多项式的和是多项式D整式与整式的和是整式答案：D解析：x，x 3 都是单项式两个单项式 x3，x之和为 x3+x是多项式，排除 A。两个单项式 x，2x 2 之和为 3x2 是单项式，排除 B。两个多项式 x3+x2 与 x
2、3x 2 之和为 2x3 是个单项式，排除 C，因此选 D。3下面说法中不正确的是 ( ) A. 有最小的自然数B没有最小的正有理数C没有最大的负整数D没有最大的非负数答案：C解析：最大的负整数是-1，故 C 错误。 4如果 a，b 代表有理数，并且 ab 的值大于 ab 的值，那么 ( ) Aa，b 同号Ba，b 异号Ca0Db0答案：D5大于 并且不是自然数的整数有 ( ) A2 个B3 个C4 个D无数个答案：C解析：在数轴上容易看出：在 右边 0 的左边（包括 0 在内）的整数只有3，2，1，0 共 4 个选 C。6有四种说法： 甲正数的平方不一定大于它本身；乙正数的立方不一定大于它本
3、身； 丙负数的平方不一定大于它本身；丁负数的立方不一定大于它本身。 这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( ) A0 个B1 个C2 个D3 个答案：B解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故丙错误。7a 代表有理数，那么，a 和a 的大小关系是 ( ) Aa 大于aBa 小于aCa 大于a 或 a 小于aDa 不一定大于a 答案：D解析：令 a=0，马上可以排除 A、B、C，应选 D。8在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( ) A乘以同一个数B乘以同一个整式C加上同一个代数式D都加上 1 答案：D解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于 0 的数，所
4、以排除 A。我们考察方程 x2=0 ，易知其根为 x=2若该方程两边同乘以一个整式 x1，得(x 1)(x2)=0，其根为 x=1 及 x=2，不与原方程同解，排除 B。同理应排除 C事实上方程两边同时加上一个常数，新方程与原方程同解，对 D，这里所加常数为 1，因此选 D 9杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了 10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( ) A一样多B多了C少了D多少都可能答案：C解析：设杯中原有水量为 a，依题意可得， 第二天杯中水量为 a(1 10%)=0.9a； 第三天杯中水量为(0.9a)(1+10%)=0.91.
5、1a； 第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为 0.99 1，所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选 C。 10轮船往返于一条河的两码头之间，如果船本身在静水中的速度是固定的，那么，当这条河的水流速度增大时，船往返一次所用的时间将( ) A增多B减少C不变 D增多、减少都有可能答案：A二、填空题（每题 1 分，共 10 分） 11989199019891989=_。答案：19891990 19891989 =(19891990+19891989)(1989199019891989) =(19891990+19891989)1=39783979。解析：利用公式 a-b=（a+b）(a-b) 计
6、算。21234+56+78+49995000=_。 答案：12+34+5 6+7 8+49995000 =(12)+(3 4)+(5 6)+(78)+(49995000) =2500 。解析：本题运用了运算当中的结合律。3当 a=0.2，b=0.04 时，代数式 a-b 的值是_。 答案：0解析：原式=(0.2)0.04=0。把已知条件代入代数式计算即可。4含盐 30%的盐水有 60 千克，放在秤上蒸发，当盐水变为含盐 40%时，秤得盐水的重是_千克。 答案：45（千克）解析：食盐 30%的盐水 60 千克中含盐 6030%（千克），设蒸发变成含盐为 40%的水重 x 克，即 6030%=40
7、%x 解得：x=45（千克）。 遇到这一类问题，我们要找不变量，本题中盐的含量是一个不变量，通过它列出等式进行计算。三、解答题1.甲乙两人每年收入相等，甲每年储蓄全年收入的 ，乙每月比甲多开支 10015元，三年后负债 600 元，求每人每年收入多少？答案：解：设每人每年收入 x 元，甲每年开支 4/5x 元，依题意有：3（4/5x+1200）=3x+600即 (3-12/5)x=3600-600解得，x=5000答：每人每年收入 5000 元所以 S 的末四位数字的和为 19 95=24。4一个人以 3 千米/小时的速度上坡，以 6 千米/小时的速度下坡，行程 12 千米共用了 3 小时 2
8、0 分钟，试求上坡与下坡的路程。答案：设上坡路程为 x 千米，下坡路程为 y 千米依题意则：由有 2x+y=20， 由有 y=12-x，将之代入得 2x+12-x=20。所以 x=8(千米)，于是 y=4(千米)。答：上坡路程为 8 千米，下坡路程为 4 千米。5求和：。答案：第 n 项为所以。6证明：质数 p 除以 30 所得的余数一定不是合数。证明：设 p=30qr ，0r30 ，因为 p 为质数，故 r0 ，即 0r30。假设 r 为合数，由于 r30，所以 r 的最小质约数只可能为 2，3 ，5。再由 p=30qr 知，当 r 的最小质约数为 2，3，5 时，p 不是质数，矛盾。所以，
9、r 一定不是合数。解：设由式得(2p-1)(2q-1)=mpq，即(4-m)pq+1=2(p+q)。可知 m4由，m0，且为整数，所以 m=1，2 ，3下面分别研究p，q。(1)若 m=1 时，有解得 p=1，q=1 ，与已知不符，舍去(2)若 m=2 时，有因为 2p-1=2q 或 2q-1=2p 都是不可能的，故 m=2 时无解(3)若 m=3 时，有解之得故 pq=8。初中奥数题试题二一、选择题1数 1 是 ( ) A最小整数B最小正数C最小自然数D最小有理数答案：C解析：整数无最小数，排除 A；正数无最小数，排除 B；有理数无最小数，排除D。1 是最小自然数，正确，故选 C。2.a 为
10、有理数，则一定成立的关系式是 ( ) A7aaB7+aaC7+a7D|a|7 答案：B解析：若 a=0，70=0 排除 A；7+0=7 排除 C；|0|7 排除 D，事实上因为70，必有 7+a0+a=a选 B。3.3.14167.5944+3.1416(-5.5944)的值是 ( ) A6.1632B6.2832C6.5132D5.3692答案：B解析：3.14167.5944+3.1416(-5.5944) =3.1416(7.5944-5.5944)=23.1416 =6.2832，选 B。4.在-4，-1，-2.5，-0.01 与-15 这五个数中，最大的数与绝对值最大的那个数的乘积是
11、( ) A225B0.15C0.0001D1答案：B解析：-4，-1，-2.5，-0.01 与-15 中最大的数是-0.01，绝对值最大的数是-15，(-0.01)(-15)=0.15，选 B。二、填空题 1计算：(-1)+(-1)-(-1)(-1)(-1)=_。答案：(-1)+(-1)-(-1)(-1)(-1)=(-2)-(-1) =-1 。2.求值：(-1991)-|3-|-31|=_。答案：(-1991)-|3-|-31|=-1991-28=-2019。3.n 为正整数，1990 n-1991 的末四位数字由千位、百位、十位、个位、依次排列组成的四位数是 8009。则 n 的最小值等于_
12、。答案：4解析：1990 n的末四位数字应为 1991+8009 的末四位数字即为 0000，即 1990n末位至少要 4 个 0，所以 n 的最小值为 4。4.不超过(-1.7)的最大整数是_。答案：2解析：(-1.7)=2.89，不超过 2.89 的最大整数为 2。5.一个质数是两位数，它的个位数字与十位数字的差是 7，则这个质数是_。答案：29解析：个位数比十位数大 7 的两位数有 18，29，其中只有 29 是质数。 三、解答题1已知 3x2-x=1，求 6x3+7x2-5x2000 的值。答案：原式=2x(3x2-x)+3(3x2-x)-2x+2000 =2x131-2x+2000=
13、2003。2某商店出售的一种商品，每天卖出 100 件，每件可获利 4 元，现在他们采用提高售价、减少进货量的办法增加利润，根据经验，这种商品每涨价 1 元，每天就少卖出 10 件。试问将每件商品提价多少元，才能获得最大利润？最大利润是多少元？答案：原来每天可获利 4100 元，若每件提价 x 元，则每件商品获利(4 x)元，但每天卖出为(100-10x) 件。如果设每天获利为 y 元，则 y (4x)(100-10x)=400100x-40x-10x 2=-10(x2-6x9)90400=-10(x-3)2490。所以当 x=3 时，y 最大=490 元，即每件提价 3 元，每天获利最大为
14、490 元。3如图 196 所示，已知 CBAB，CE 平分BCD，DE 平分CDA，1 2=90。求证：DAAB。证明：CE 平分BCD，DE 平分ADC 及1 2=90，ADCBCD=180 ， ADBC 。 又 AB BC， ABAD。4.求方程xy-2x+y=4 的整数解。答案：xy-2x+y=4，即 x( y-2)+(y-2)=2，所以(x+1)(y-2)=2。因为x1 0 ，且 x， y 都是整数，所以5.王平买了年利率 7.11的三年期和年利率为 7.86的五年期国库券共 35000元，若三年期国库券到期后，把本息再连续存两个一年期的定期储蓄，五年后与五年期国库券的本息总和为 4
15、7761 元，问王平买三年期与五年期国库券各多少？(一年期定期储蓄年利率为 5.22)答案：设设王平买三年期和五年期国库券分别为 x 元和 y 元，则因为 y=35000-x，所以 x(10.07113)(10.0522) 2+(35000-x)(1+0.07865)=47761，所以 1.3433x48755-1.393x=47761，所以 0.0497x=994，所以 x=20000(元)，y=35000-20000=15000( 元) 。6. 对 k，m 的哪些值，方程组 至少有一组解？答案：因为 (k1)xm-4， m 为一切实数时，方程组有唯一解当 k=1，m=4 时，的解为一切实数
16、，所以方程组有无穷多组解。当 k=1，m4 时，无解。所以，k1， m 为任何实数，或 k=1，m=4 时，方程组至少有一组解。初中奥数题试题三一、选择题1.下面给出的四对单项式中，是同类项的一对是 ( ) A. xy 与-3xzB.3.22mn3与 n 3mC.0.2ab 与 0.2abD.11abc 与 ab 答案：B解析：字母相同,并且相同字母的指数也相同的两个式子叫同类项。2.(x-1)-(1-x)+(x+1)等于 ( ) A3x-3Bx-1C3x-1Dx-3 答案：C解析：(x-1)-(1-x)+(x+1) =x-1-1+x+x+1=3x-1，选 C。3.两个 10 次多项式的和是
17、( ) A20 次多项式B10 次多项式C100 次多项式D不高于 10 次的多项式答案：D解析：多项式 x10+x 与-x 10+x之和为 x+x 是个次数低于 10 次的多项式，因此排除了 A、B、C，选 D。4.若 a+10，则在下列每组四个数中，按从小到大的顺序排列的一组是 ( ) Aa，-1，1，-aB-a，-1，1，aC-1，-a，a，1D-1，a，1，-a 答案：A解析：由 a+10，知 a-1，所以-a1。于是由小到大的排列次序应是 a-11-a，选 A。 5.a=-123.4-(-123.5)，b=123.4-123.5，c=123.4-(-123.5)，则 ( ) Acba
18、BcabCabcDbca 答案：B解析：易见 a=-123.4+123.5=0.1，b=123.4-123.50，c=123.4-(-123.5)123.4a，所以 bac，选 B。6若 a0，b0，且|a|b|，那么下列式子中结果是正数的是 ( ) A(a-b)(ab+a)B(a+b)(a-b)C(a+b)(ab+a)D(ab-b)(a+b) 答案：A因为 a0，b0所以|a|=-a，|b|=b由于|a|b|得-ab，因此a+b0，a-b0。ab+a0，ab-b0。所以应有(a-b)(ab+a)0 成立，选 A。 7从 2a+5b 减去 4a-4b 的一半，应当得到( ) A4a-bBb-a
19、Ca-9bD7b 答案：D解析： =2a+5b-2a+2b=7b，选 D。12a5b4a（ ）8a，b，c，m 都是有理数，并且 a+2b+3c=m，a+b+2c=m，那么 b 与 c ( ) A互为相反数B互为倒数C互为负倒数D相等 答案：A解析：因为 a+2b+3c=m=a+b+2c，所以 b+c=0，即 b，c 互为相反数，选 A。9张梅写出了五个有理数，前三个有理数的平均值为 15，后两个有理数的平均值是 10，那么张梅写出的五个有理数的平均值是 ( ) A.5B.8 C.12 D.13 答案：D解析：前三个数之和=153， 后两个数之和=102。 所以五个有理数的平均数为（45+20
20、）5=13，选 D。二、填空题（每题 1 分，共 10 分） 12+(-3)+(-4)+5+6+(-7)+(-8)+9+10+(-11)+(-12)+13+14+15=_。答案：29解析：前 12 个数，每四个一组，每组之和都是 0所以总和为 14+15=29。2.若 P=a+3ab+b，Q=a-3ab+b，则代入到代数式 P-Q-2P-(-P-Q)中，化简后，是_。 答案：12ab。解析：因为 P-Q-2P-(-P-Q) =P-Q+2P+(-P-Q) =P-Q+2P-P-Q =2P-2Q=2(P-Q) 以 P=a+3ab+b，Q=a-3ab+b代入， 原式=2(P-Q)=2(a+3ab+b)
21、-(a-3ab+b) =2(6ab)=12ab。 3小华写出四个有理数，其中每三数之和分别为 2，17，-1，-3，那么小华写出的四个有理数的乘积等于_。答案：-1728。解析：设这四个有理数为 a、b、c、d，则abc=2+d17-3有 3（a+b+c+d）=15，即 a+b+c+d=5。分别减去每三数之和后可得这四个有理数依次为 3，-12，6，8，所以，这四个有理数的乘积=3(-12)68=-1728。4一种小麦磨成面粉后，重量要减少 15%，为了得到 4250 公斤面粉，至少需要_公斤的小麦。 答案：5000解析：设需要 x 公斤的小麦，则有x（x-15）=4250x=5000三、解答
22、题答案：原式化简得 6(a-1)x=3-6b+4ab，当 a1 时，答案：3. 液态农药一桶，倒出 8 升后用水灌满，再倒出混合溶液 4 升，再用水灌满，这时农药的浓度为 72，求桶的容量。答案：去分母、化简得 7x2-300x+800=0，即 7x-20)(x-40)=0，4. 6设 P 是ABC 内一点求：P 到ABC 三顶点的距离和与三角形周长之比的取值范围。答案：如图 1105 所示。在PBC 中有 BCPBPC， 延长 BP 交 AC 于 D易证 PBPCABAC， 由， BCPBPC AB+AC， 同理 ACPAPC ACBC ， ABPAPBACAB。 得 ABBC CA 2(PAPBPC)2(AB BCCA)。所以 。5. 甲乙两人同时从东西两站相向步行，相会时，甲比乙多行 24 千米，甲经过9 小时到东站，乙经过 16 小时到西站，求两站距离。答案：设甲步行速度为 x 千米/小时，乙步行速度为 y 千米/ 小时，则所求距离为(9x+16y) 千米；依题意得：由得 16y2=9x2， 由得 16y=249x，将之代入得即 (249x) 2=(12x)2解之得于是所以两站距离为 9816 6=168(千米)。
