1、4.1.2 极坐标系同步测控我夯基，我达标1.点P的直角坐标为（-，），那么它的极坐标可表示为（ ）A.（2，） B.（2，） C.（2，） D.（2，）解析：方法一：因为点P（-，）在第二象限，与原点的距离为2，且OP的倾斜角为,故选B.方法二：代入坐标互化公式直接求解.答案：B2.极坐标系中，与点（3，）关于极轴所在直线对称的点的极坐标是（ ）A.（3，） B.（3，） C.（3，） D.（3，）解析：关于极轴对称的点，极径不变，极角互为相反数（或再相差2k,kZ）.答案：B3.将点P的极坐标（2，）化为直角坐标是_.解析：因为x=2cos=-1,y=2sin=-,所以直角坐标为（-1，-
2、）.答案：（-1，-）4.极坐标系中，点A的极坐标是（3，），则（1）点A关于极轴对称的点的极坐标是；_（2）点A关于极点对称的点的极坐标是；_（3）点A关于直线=的对称点的极坐标是_.（规定0，0，2)）解析：如图所示，在对称的过程中极径的长度始终没有变化，主要在于极角的变化.另外，我们要注意：极角是以x轴正向为始边，按照逆时针方向得到的. 关于极轴对称 关于极点对称关于=对称答案：（1）（3，）（2）（3，）（3）（3，）5.已知两点的极坐标A（3，）、B（3，），则AB=_，AB与极轴正方向所夹的角为_.解析：如图所示，根据极坐标的定义结合等边三角形性质，可得AO=BO=3，AOB=，即
3、AOB为正三角形.所以直线AB与x轴的夹角为,则AB与极轴的正方向所夹的角为+=.答案：36.如图，在极坐标系中，写出点A，B，C的极坐标，并标出点D（2，），E（4，），F（3.5，）所在的位置.思路分析：关键是确定点的极径和极角.解：由图可得点A，B，C的极坐标分别为（1，0），（4，），（5，）.点D，E，F的位置如上图所示.7.中央气象台在2004年7月15日10:30发布的一则台风消息：今年第9号热带风暴“圆规”的中心今天上午八点钟已经移到了广东省汕尾市东南方大约440千米的南海东北部海面上，中心附近最大风力有9级.请建立适当的坐标系，用坐标表示出该台风中心的位置(0,02).思路分
4、析：首先确定极点和极轴,即确定极坐标系，然后标出点的位置表示出坐标.解：以广东省汕尾市所在地为极点，正东方向为极轴（单位长度为1千米）建立极坐标系，则台风中心所在位置的极坐标为A（440，）.我综合，我发展8.已知点A（1，1）、B（2，2）的极坐标满足条件1+2=0且1+2=，则A、B的位置关系是_.解析：可以数形结合，由极坐标的意义得出结论；也可以化为直角坐标得出结论.设B(x2,y2),则x2=2cos2=-1cos(-1)=1cos1,y2=2sin2=-1sin(-1)=-1sin1,A、B关于x轴对称，即在极坐标系内，A、B关于极轴对称.答案：关于极轴对称9.在极坐标系中，已知两点
5、A（3，），B（1，），求A、B两点间的距离.思路分析：数形结合，根据A，O，B位置关系直接求解.解：AOB=-（）=，A，O，B三点共线.A、B两点间的距离为AB=3+1=4.10.已知A、B两点的极坐标分别为（1，）、（2，），求A、B两点间的距离.思路分析：数形结合，由余弦定理求AB的长.解：OA=1，OB=2，AOB=-=，由余弦定理得AB2=12+22-212cos=3.AB=，即A、B两点间的距离为.11.在极轴上求与点A（，）距离为5的点M的坐标.思路分析：题目要求的点M在极轴上，可设点M（r,0），由于极坐标中有一个量是关于角的，A、M两点之间的距离为5，所以可以根据余弦定理求
6、出点M的坐标来.解：设M（r,0）,A(,)，AM=5,即r2-8r+7=0.解得r=1或r=7.M点的坐标为（1，0）或（7，0）.12.如图是某校园的平面示意图.假设某同学在教学楼处，试以此点为极点建立极坐标系，并分别说出教学楼、体育馆、图书馆、实验楼、办公楼的极坐标来.解：如下图所示，以AB所在直线为极轴，点A为极点建立极坐标系.则教学楼A（0，0），体育馆B（60，0），图书馆C（120，），实验楼D（60，），办公楼E（50，）.我创新，我超越13.在直角坐标系中，以点（x0,y0）为极点，以x轴正向为极轴方向建立极坐标系，如图，写出平面上点的直角坐标和极坐标的变换公式（假定长度单位不变）.思路分析：把直角坐标系内的平移公式转化为极坐标得出结论.解：由直角坐标的平移公式得即14.如图,求A（1，1）、B（2，2）、C（3，3）围成的ABC的面积.思路分析：根据已知条件知OA、OB、OC的长及它们的夹角关系，所以可用割补法及面积公式S=absin间按求SABC.解：SABC=SABO+SBCO-SACO=12sin(2-1)+23sin(3-2)-13sin(3-1)=12sin(2-1)+23sin(3-2)-13sin(3-1).5
