（普通班）2017届高三数学一轮复习 第十四篇 不等式选讲 理（课件+习题）（打包4套）.zip

1第十四篇 不等式选讲(选修 4 5)第 1 节 绝对值不等式【选题明细表】知识点、方法 题号解绝对值不等式 1,3,4与绝对值不等式有关的证明 2,3与绝对值不等式有关的恒成立问题 2,41.已知函数 f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(1)当 a=-2 时,求不等式 f(x)-1 时,且当 x∈[-,)时,f(x)≤g(x),求 a 的取值范围.解:(1)当 a=-2 时,不等式 f(x)1, 其图象如图所示.从图象可知,当且仅当 x∈(0,2)时,yk(x-1)-恒成立,求实数 k 的取值范围.(1)证明:|2a+b|+|2a-b|≥|2a+b+2a-b|=4|a|,2所以 ≥4.|2𝑎+𝑏|+|2𝑎‒𝑏||𝑎|(2)解:记 h (x)=|2x+1|-|x+1|={‒𝑥,𝑥≤‒1,‒3𝑥‒2,‒1k(x-1)-恒成立,则函数 h(x)的图象在直线 y=k(x-1)-的上方,因为 y=k(x-1)-经过定点(1,- ),当 x=-时,y=h(x)取得最小值-,显然,当 y=k(x-1)-经过定点 P(1,- )与 M(-,-)时,kPM= =,‒14‒(‒12)1‒(‒12)即 k;当 y=k(x-1)-经过定点 P(1,- )与直线 y=x 平行时,k 得到最大值 1,所以 k∈(,1] .3.(2016 保定一模)设函数 f(x)=|x-a|+1,a∈R.(1)当 a=4 时,解不等式 f(x)0,n0),求证:m+2n≥3+2 .2(1)解:当 a=4 时,不等式 f(x)-5,故 x≥4;②当-≤x1,故 10,n0,所以 m+2n=(m+2n)·(+)=3+( +)≥3+2 ,2𝑛𝑚 2当且仅当 m=1+ ,n=1+ 时 ,取等号,222故 m+2n≥3+2 ,得证.24.(2016 大同调研)已知函数 f(x)=|2x-1|+|x-2a|.(1)当 a=1 时,求 f(x)≤3 的解集;(2)当 x∈[,2]时,f(x)≤3 恒成立,求实数 a 的取值范围.解:(1)当 a=1 时,由 f(x)≤3,可得|2x-1|+|x-2|≤3,所以① {𝑥12,1‒2𝑥+2‒𝑥≤3,或② {12≤𝑥2,2𝑥‒1+2‒𝑥≤3,或③ {𝑥≥2,2𝑥‒1+𝑥‒2≤3,解①得 0≤x;解②得≤x2;解③得 x=2.综上可得,0≤x≤2,即不等式 f(x)≤3 的解集为[0,2].(2)因为当 x∈[,2]时,f(x)≤3 恒成立,即|x-2a|≤3-|2x-1|=4-2x,故 2x-4≤2a-x≤4-2x,即 3x-4≤2a≤4-x.再根据 3x-4 的最大值为 6-4=2,4-x 的最小值为 4-2=2,所以 2a=2,所以 a=1,即 a 的取值范围为{1}.解析 :由 |2x-1|3得 2x-13,解得 x2.解析 :原不等式等价于 10)型不等式的解法解 :(1)因为 |2x-3|≤5,所以 -5≤2x-3≤5,所以 -2≤2x≤8,所以 -1≤x≤4,所以原不等式的解集为 {x|-1≤x≤4}.反思归纳 |ax+b|≤c,|ax+b|≥c型不等式的解法(1)c0,则 |ax+b|≤c可转化为 -c≤ax+b≤c;|ax+b|≥c可转化为 ax+b≥c或ax+b≤-c,然后根据 a,b的取值求解即可 .(2)c4,所以 a5.即 a的取值范围为 (-∞,-3)∪ (5,+∞).(2)令 g(x)=f(x)+f(-x),则 g(x)=|x+a|+|x-a|≥2|a|,所以 22|a|,即 -1a1.所以实数 a的取值范围是 (-1,1).含绝对值不等式的解法命题意图 :本题主要考查了绝对值不等式的解法和三角形面积的求法 ,考查了分类讨论和数形结合思想 ,考查了运算求解的能力 .1第 2节 证明不等式的基本方法【选题明细表】知识点、方法 题号比较法证明不等式 1综合法证明不等式 3分析法证明不等式 2分析综合法证明不等式 41.设 ab0,求证: .𝑎2‒𝑏2𝑎2+𝑏2𝑎‒𝑏𝑎+𝑏证明:法一 - = =𝑎2‒𝑏2𝑎2+𝑏2𝑎‒𝑏𝑎+𝑏𝑎3‒𝑏3‒𝑎𝑏2+𝑎2𝑏‒𝑎3+𝑏3+𝑎2𝑏‒𝑎𝑏2(𝑎2+𝑏2)(𝑎+𝑏)2𝑎2𝑏‒2𝑎𝑏2(𝑎2+𝑏2)(𝑎+𝑏)= ,2𝑎𝑏(𝑎‒𝑏)(𝑎2+𝑏2)(𝑎+𝑏)因为 ab0,所以 a-b0,ab0,a2+b20,a+b0.所以 - 0,𝑎2‒𝑏2𝑎2+𝑏2𝑎‒𝑏𝑎+𝑏所以 .𝑎2‒𝑏2𝑎2+𝑏2𝑎‒𝑏𝑎+𝑏法二 因为 ab0,所以 a+b0, a-b0.所以 = ·𝑎2‒𝑏2𝑎2+𝑏2𝑎‒𝑏𝑎+𝑏 𝑎2‒𝑏2𝑎2+𝑏2 𝑎+𝑏𝑎‒𝑏=(𝑎+𝑏)2𝑎2+𝑏2=𝑎2+𝑏2+2𝑎𝑏𝑎2+𝑏22=1+ 1.2𝑎𝑏𝑎2+𝑏2所以 .𝑎2‒𝑏2𝑎2+𝑏2𝑎‒𝑏𝑎+𝑏2.设 x≥1,y≥1,求证 x+y+ ≤++xy.1𝑥𝑦证明:由于 x≥1,y≥1,要证 x+y+ ≤++xy,1𝑥𝑦只需证 xy(x+y)+1≤y+x+(xy) 2.因为[y+x+(xy) 2]-[xy(x+y)+1]=[(xy)2-1]-[xy(x+y)-(x+y)]=(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1)=(xy-1)(xy-x-y+1)=(xy-1)(x-1)(y-1),由条件 x≥1,y≥1,所以(xy-1)(x-1)(y-1)≥0,从而所要证明的不等式成立.3.(2015高考湖南卷)设 a0,b0,且 a+b=+.证明:(1)a+b≥2;(2)a2+a0,b0,𝑎+𝑏𝑎𝑏得 ab=1.(1)由基本不等式及 ab=1,有 a+b≥2 =2,𝑎𝑏即 a+b≥2.(2)假设 a2+a0得 00,b0,c0,求证: + + ≥.𝑎𝑏+𝑐 𝑏𝑎+𝑐 𝑐𝑎+𝑏证明:要证 + + ≥,𝑎𝑏+𝑐 𝑏𝑎+𝑐 𝑐𝑎+𝑏只需证 +1+ +1+ +1≥,𝑎𝑏+𝑐 𝑏𝑎+𝑐 𝑐𝑎+𝑏只需证 + + ≥,𝑎+𝑏+𝑐𝑏+𝑐 𝑎+𝑏+𝑐𝑎+𝑐 𝑎+𝑏+𝑐𝑎+𝑏只需证(a+b+c) ( + + )≥.1𝑏+𝑐 1𝑎+𝑐 1𝑎+𝑏3因为(a+b+c) ( + + )1𝑏+𝑐 1𝑎+𝑐 1𝑎+𝑏=[ (b+c)+(a+c)+(a+b)]·( + + )≥×3 ×3×1𝑏+𝑐 1𝑎+𝑐 1𝑎+𝑏 3(𝑏+𝑐)(𝑎+𝑐)(𝑎+𝑏)=,当且仅当 a=b=c时“=”成立,3 1(𝑏+𝑐)(𝑎+𝑐)(𝑎+𝑏)故原不等式成立.解析 :根据条件和分析法的定义可知选项 B最合理 .故选 B.考点一 比较法证明不等式反思归纳 比较法证明不等式的方法与步骤(1)作差比较法 :作差、变形、判号、下结论 .(2)作商比较法 :作商、变形、判断、下结论 .提醒 :(1)当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时 ,一般使用作差比较法 .(2)当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时 ,一般使用作商比较法 .反思归纳 分析法的应用当所证明的不等式不能使用比较法 ,且和重要不等式、基本不等式没有直接联系 ,较难发现条件和结论之间的关系时 ,可用分析法来寻找证明途径 ,使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆 .反思归纳 综合法证明不等式的方法(1)综合法证明不等式 ,要着力分析已知与求证之间 ,不等式的左右两端之间的差异与联系 .合理进行转换 ,恰当选择已知不等式 ,这是证明的关键 .(2)在用综合法证明不等式时 ,不等式的性质和基本不等式是最常用的 .在运用这些性质时 ,要注意性质成立的前提条件 .分析法与综合法在不等式证明中的应用答题模板 :第一步 :观察要证明的不等式 ,用分析法证明 ;第二步 :证明必要性 ;第三步 :证明充分性 .