（新课标）2017春高中数学 本册综合素质检测（打包2套）新人教B版必修5.zip

1本册综合素质检测(一)(时间：120 分钟 满分 150 分)一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ ABC 中，已知 a＝40， b＝20 ， A＝45°，则角 B 等于 ( C )2 导 学 号 27542972A．60° B．60°或 120°C．30° D．30°或 150°[解析] 由正弦定理，得 sinB＝ ＝ ＝ ，bsinAa 202×2240 12又 b0，∴－ y＝－ x＋ ≥2 ＝2，1－ x  － x ·1－ x∴ y≤－2，故选 B．4．已知 p＝ a＋ (a2)， q＝( )x2－2( x∈R)，则 p、 q 的大小关系为1a－ 2 12( A )导 学 号 27542975A． p≥ q B． pqC． p0)，则 cosB＝ ＝ ＝ .a2＋ c2－ b22ac  22＋ 42－ 32 k22×2k×4k 11167．已知各项为正数的等差数列{ an}的前 20 项和为 100，那么 a7a14的最大值为( B )导 学 号 27542978A．25 B．50C．100 D．不存在[解析] ∵{ an}为各项为正数的等差数列，且前 20 项和为100，∴ ＝100，20 a1＋ a202即 a1＋ a20＝10，∴ a7＋ a14＝10.又∵ a7·a14≤ 2＝25，(a7＋ a142 )当且仅当 a7＝ a14时“＝”成立．8．在△ ABC 中，角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c， a＝7， b＝4 ， c＝ ，则最3 13小角为 ( B )导 学 号 27542979A． B．π 3 π 6C． D．π 4 π12[解析] ∵ abc，∴角 C 为最小角，3∵cos C＝ ＝ ＝ ，a2＋ b2－ c22ab 72＋  43 2－  13 22×7×43 32∵ C∈(0，π)，∴ C＝ .π 69．不等式 0 且 1 是方程 ax2－6 x＋ a2＝0 的一个根，∴ a＝2，∴不等式为 2x2－6 x＋40 对于任意的 x∈R 都成立，则 k 的取值范围是－0，不符合题意；当 k＋1≠0 时，由题意得Error!5即Error! .解得－ 0，则 3＋3 x＋ 的最小值为 9.3x 导 学 号 27542987[解析] ∵ x0，∴3＋3 x＋ ≥3＋2 ＝3＋2×3＝9.3x 3x·3x当且仅当 x＝1 时，取等号．三、解答题(本大题共 6 个小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分 12 分)△ ABC 的内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c.导 学 号 27542988(1)若 a、 b、 c 成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin( A＋ C)；(2)若 a、 b、 c 成等比数列，求 cosB 的最小值. [解析] (1)∵ a、 b、 c 成等差数列，∴ a＋ c＝2 b，由正弦定理，得 sinA＋sin C＝2sin B．∵sin B＝sin[π－( A＋ C)]＝sin( A＋ C)，∴sin A＋sin C＝2sin( A＋ C)．(2)∵ a、 b、 c 成等比数列，∴ b2＝ ac，由余弦定理，得 cosB＝ ＝ ≥ ＝ ，当且仅当 a＝ c 时，a2＋ c2－ b22ac a2＋ c2－ ac2ac 2ac－ ac2ac 12等号成立．∴cos B 的最小值为 .1218．(本题满分 12 分)若 a＜1，解关于 x 的不等式 ＜1 .axx－ 2 导 学 号 27542989[解析] a＝0 时， x∈R 且 x≠2；a≠0 时， ＜1⇔ ＞0axx－ 2  a－ 1 x＋ 2x－ 2⇔[(a－1) x＋2]( x－2)＞0.∵ a＜1，∴ a－1＜0.∴化为( x－ )(x－2)＜0，21－ a当 02，21－ a∴不等式的解为 21，∴ 2，21－ a∴不等式解为 x2，21－ a∴当 0＜ a＜1 时，不等式解集为 ；{x|2＜ x＜21－ a}当 a＜0 时，不等式解集为 ；{x|21－ a＜ x＜ 2}当 a＝0 时，解集为{ x∈R| x≠2}．19．(本题满分 12 分)(2015·江苏，15)在△ ABC 中，已知 AB＝2， AC＝3， A＝60°.导 学 号 27542990(1)求 BC 的长；(2)求 sin 2C 的值．[解析] (1)由余弦定理，得 BC2＝ AB2＋ AC2－2 AB·AC·cos A＝4＋9－2×2×3× ＝7，所以 BC＝ .12 7(2)由正弦定理，得 ＝ ，所以 sin C＝ ·sin A＝ ＝ .ABsin C BCsin A ABBC 2sin 60°7 217因为 ABBC，所以 C 为锐角，则 cos C＝ ＝ ＝ .1－ sin2C1－ 37 277因此 sin 2C＝2sin Ccos C＝2× × ＝ .217 277 43720．(本题满分 12 分)已知数列{ an}的前 n 项和为 Sn， a1＝1，且点 P(an， Sn)(其中n≥1 且 n∈N ＋ )在直线 4x－3 y－1＝0 上；数列 是首项为－1，公差为－2 的等差数列. {1bn}导 学 号 27542991(1)求数列{ an}、{ bn}的通项公式；(2)设 cn＝ ，求数列{ cn}的前 n 项和 Tn.1an·bn[解析] (1)由点 P(an， Sn)在直线 4x－3 y－1＝0 上，∴4 an－3 Sn－1＝0 即 3Sn＝4 an－1，又 3Sn－1 ＝4 an－1 －1( n≥2)，两式相减得 an＝4 an－1 ，∴ ＝4( n≥2)，anan－ 1∴{ an}是以 4 为公比的等比数列，又 a1＝1，∴{ an}＝4 n－1 .7∵ 是以 ＝－1 为首项，以－2 为公差的等差数列，{1bn} 1b1∴ ＝－1＋( n－1)×(－2)＝1－2 n，1bn∴ bn＝ .11－ 2n(2)由(1)知， Cn＝ ＝1an·bn 1－ 2n4n－ 1∴ Tn＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＋ ，－ 140 － 341 － 542 3－ 2n4n－ 2 1－ 2n4n－ 1∴ Tn＝ ＋ ＋…＋ ＋ ，14 － 141 － 342 3－ 2n4n－ 1 1－ 2n4n以上两式相减得，Tn＝－1－( ＋ ＋…＋ )－34 24 242 24n－ 1 1－ 2n4n＝－1－ －12[1－  14 n－ 1]1－ 14 1－ 2n4n＝－ ＋ ，53 6n＋ 53×4n∴ Tn＝－ ＋ .209 6n＋ 59×4n－ 121．(本题满分 12 分)已知等比数列{ an}的前 n 项和为 Sn＝ a·2n＋ b 且 a1＝3.导 学 号 27542992(1)求 a、 b 的值及数列{ an}的通项公式；(2)设 bn＝ ，求{ bn}的前 n 项和 Tn.nan[解析] (1)由已知，得Error!解得 a2＝2 a， a3＝4 a，∴公比 q＝ ＝2.a3a2＝ ＝2，∴ a＝3 代入①得 b＝－3.a23 2a3∴ an＝3·2 n－1 .(2)bn＝ ＝ ，nan n3·2n－ 1Tn＝ (1＋ ＋ ＋…＋ )④13 22 322 n2n－ 1Tn＝ ( ＋ ＋…＋ ＋ )⑤12 1312 222 n－ 12n－ 1 n2n8④－⑤得： Tn＝ (1＋ ＋ ＋…＋ － )＝ ( － )12 13 12 122 12n－ 1 n2n 131－ 12n1－ 12 n2n＝ (2－ － )＝ (1－ － )，13 12n－ 1 n2n 23 12n n2n＋ 1∴ Tn＝ (1－ － )．43 12n n2n＋ 122．(本题满分 14 分)某客运公司购买了 4 辆大客车，每辆 200 万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约 100 万元，每辆车第一年各种费用约为 16 万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加 16 万元. 导 学 号 27542993(1)写出 4 辆车运营的总利润 y(万元)与运营年数 x(x∈N *)的函数关系式；(2)这 4 辆车运营多少车，可使年平均运营利润最大？[解析] (1)依题意，每辆车 x 年总收入为 100x 万元，每辆车的总支出为200＋16×(1＋2＋…＋ x)＝200＋ x(x＋1)×16＝8 x2＋8 x＋200(万元)．12∴ y＝4[100 x－(8 x2＋8 x＋200)]＝－16(2 x2－23 x＋50)( x∈N *)．(2)年平均利润为 ＝－16(2 x＋ －23)，yx 50x∵ x∈N *，∴2 x＋ ≥2 ＝20，50x 2x·50x∴－16(2 x＋ －23)≤－16×(－3)＝48.50x当且仅当 2x＝ ，即 x＝5 时，等号成立．50x∴运营 5 年可使年平均运营利润最大，最大年平均运营利润为 48 万元．1本册综合素质检测(二)(时间：120 分钟 满分 150 分)一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．2 017 是等差数列 4,7,10,13，…的第几项 ( D )导 学 号 27542994A．669 B．670 C．671 D．672[解析] 等差数列的第 n 项 an＝3 n＋1，令 3n＋1＝2 017，∴ n＝672.2．不等式 f(x)＝ ax2－ x－ c0 的解集为{ x|－20 的解集为{ x|－2a，∴ BA，∴角 B 有两个解，故选 C．bsinAa 16×2214 4274．已知点 A(－3，－1)与点 B(4，－6)在直线 3x－2 y－ a＝0 的两侧，则实数 a 的取值范围为 ( B )导 学 号 27542997A．(－24,7) B．(－7,24)C．(－∞，24)∪(7，＋∞) D．(－∞，－7)∪(24，＋∞)[解析] 由题意得[3×(－3)－2×(－1)－ a][3×3－2×(－6)－ a]f(1)的解集是 ( A )导 学 号 27542999A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)[解析] ∵ f(1)＝3 2－4×3＋6＝3，∴当 x≥0 时，原不等式化为 x2－4 x＋63，解得x3 或 0≤ x3，∴－3x 的解集为[－2，－ )∪(0， ).23 23 导 学 号 27543008[解析] 画出 y＝ f(x)与 y＝ x 的图象，如图所示，交点坐标为( ， )和(－ ，－ )，23 23 23 23(0,0)，由图知，解集为[－2，－ )∪(0， )．23 2316．已知数列{ an}中， an＝3 n，把数列{ an}中的数按上小下大，左小右大的原则排列成如下图所示三角形表：36 912 15 1821 24 27 30……设 a(i， j)(i、 j∈N ＋ )是位于从上到下第 i 行且从左到右第 j 个数，则 a(37,6)＝2_016. 导 学 号 27543009[解析] 三角形数表中，每一行的第 1 个数构成数列{ bn}，b1＝3， b2＝6， b3＝12， b4＝21，…，∴ b2－ b1＝3， b3－ b2＝6， b4－ b3＝9，…， bn－ bn－1 ＝3( n－1)，将上述 n－1 个式子相加得bn－ b1＝3＋6＋9＋…＋3( n－1)＝ ＝ ，[3＋ 3 n－ 1 ] n－ 12 3n n－ 12∴ bn＝ b1＋ ＝3＋3n n－ 12 3n n－ 126∴ b37＝3＋ ＝2 001.3×37×362∴第 37 行的第 1 个数为 2 001，∴第 37 的第 6 个数为 a(37,6)＝2001＋3×5＝2 016.三、解答题(本大题共 6 个小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分 12 分)和为 114 的三个数是一个公比不为 1 的等比数列的连续三项，也是一个等差数列的第 1 项，第 4 项，第 25 项，求这三个数. 导 学 号 27543010[解析] 由题意，设这三个数分别是 ， a， aq，且 q≠1，则 ＋ a＋ aq＝114①aq aq令这个等差数列的公差为 d，则 a＝ ＋(4－1)· d.aq则 d＝ (a－ )，13 aq又有 aq＝ ＋24× × ②aq 13 (a－ aq)由②得( q－1)( q－7)＝0，∵ q≠1，∴ q＝7.代入①得 a＝14，则所求三数为 2,14,98.18．(本题满分 12 分)已知函数 f(x)＝－3 x2＋ a(6－ a)x＋ c.导 学 号 27543011(1)当 c＝19 时，解关于 a 的不等式 f(1)0；(2)若关于 x 的不等式 f(x)0 的解集是(－1,3)，求实数 a、 c 的值．[解析] (1)由已知有： f(1)＝－3＋ a(6－ a)＋190，即 a2－6 a－160 的解集是(－1,3)可知：－1,3 是关于 x 的方程 3x2－ a(6－ a)x－ c＝0 的两个根，则有Error!，解得： a＝3± ， c＝9.319．(本题满分 12 分)已知递增等比数列{ an}中， a1＝1，且 a2a4－2 a3a5＋ a4a6＝36.导 学 号 27543012(1)求数列{ an}的通项公式；(2)设 bn＝log 3an＋ ，求数列{ a ·bn}的前 n 项和 Sn.12 2n[解析] (1)由题意，得 a2a4＝ a ， a4a6＝ a ，23 25∴ a －2 a3a5＋ a ＝( a3－ a5)2＝36，23 25∵ a30，∴ q＝ .3∴ an＝ a1qn－1 ＝( )n－1 .3(2)a ＝3 n－1 ，2nbn＝log 3an＋ ＝log 33 ＋ ＝ ＋ ＝ .12 n－ 12 12 n－ 12 12 n2∴ a ·bn＝ ·3n－1 .2nn2∴ Sn＝ ＋ ·31＋ ·32＋…＋ ·3n－112 22 32 n2∴3 Sn＝ ·31＋ ·32＋…＋ ·3n－1 ＋ ·3n，12 22 n－ 12 n2两式相减，得－2 Sn＝ ＋ ＋ ＋…＋ －12 32 322 3n－ 12 n·3n2＝ (1＋3＋3 2＋…＋3 n－1 )－12 n·3n2＝ × －12 1－ 3n1－ 3 n·3n2＝ (3n－1)－14 n·3n2＝ .3n 1－ 2n － 14∴ Sn＝ . 2n－ 1 ·3n＋ 1820．(本题满分 12 分)台湾是祖国不可分割的一部分，祖国的统一是两岸人民共同的愿望，在台湾海峡各自的海域内，当大陆船只与台湾船只相距最近时，两船均相互鸣笛问好，一天，海面上离台湾船只 A 的正北方向 100 n mile 处有一大陆船只 B 正以每小时 20 n mile 的速度沿北偏西 60°的方向行驶，而台湾船只 A 以每小时 15 n mile 的速度向正北方向行驶，若两船同时出发，问几小时后，两船鸣笛问好？ 导 学 号 27543013[解析] 设 x h 后， B 船至 D 处， A 船至 C 处，BD＝20 x， BC＝100－15 x，∵ x0,100－15 x0，∴01，∴ l∈(2,3]．解法二：(1)∵ bcosC＝ a－ c，∴由正弦定理，得 sinBcosC＝sin A－ sinC，12 12∴sin BcosC＝sin( B＋ C)－ sinC＝sin BcosC＋cos BsinC－ sinC，12 12∴cos BsinC＝ sinC，12∵sin C≠0，∴ocs B＝ .12∵ B∈(0，π)，∴ B＝ .π 3(2)∵ B＝ ，∴ A＋ C＝ .π 3 2π3由正弦定理，得 ＝ ，∴ a＝ ＝ sinA，同理可得 c＝ sinC，bsinB asinA bsinAsinB 233 233∴ a＋ c＝ (sinA＋sin C)＝ [sinA＋sin( － A)]＝ (sinA＋sin cosA－cos233 233 2π3 233 2π3sinA)2π3＝ sinA＋cos A＝2sin( A＋ )．3π 69∵00)．3602x(2)∵ x0，∴225 x＋ ≥2 ＝10 800.3602x 225×3602∴ y＝225 x＋ －360≥10 440.3602x当且仅当 225x＝ 时，等号成立．3602x即当 x＝24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是 10 440 元．