（全国版）2017版高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何课时提升作业 理（打包11套）.zip

- 1 -课时提升作业 五十九 圆锥曲线的综合问题(25 分钟 60 分)一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)1.已知点 F1,F2为椭圆 +y2=1 的左、右焦点,点 P(x,y)为椭圆上一点,则点 P 到两焦点距离之积的最大值是 ( )A.8 B.2 C.10 D.4【解析】选 A.设椭圆长半轴的长为 a,则 a2=8,因为 · ≤ = =a2=8(当且仅当 = 时取等号)2.斜率为 1 的直线 l 与椭圆 +y2=1 相交于 A,B 两点,则|AB|的最大值为 ( )A.2 B. C. D.【解析】选 C.设直线 l 的方程为 y=x+t,代入 +y2=1,消去 y 得 x2+2tx+t2-1=0,由题意得 Δ=(2t) 2-5(t2-1)0,即 t20)经过 C,F 两点,则 = .- 3 -【解析】由题意可得 C ,F ,将 C,F 两点的坐标分别代入抛物线方程 y2=2px 中,得因为 a0,b0,p0,两式相比消去 p 得 = ,化简整理得 a2+2ab-b2=0.此式可看作是关于 a 的一元二次方程,由求根公式得a= =(-1± )b,取 a=( -1)b,从而 = = +1.答案: +17.若双曲线 - =1(a0,b0)的一条渐近线的倾斜角为 ,离心率为 e,则 的最小值为 .【解析】由题意, = ,所以 b= a,所以 c=2a,e=2, = = + ≥ (当且仅当 a=2 时取等号),则 的最小值为 .答案:8.(2016· 衡水模拟)已知双曲线 - =1(a0,b0)上一点 C,过双曲线中心的直线交双曲线于 A,B 两点,记直线 AC,BC 的斜率分别为 k1,k2,当 +ln|k1|+ln|k2|最小时,双曲线的离心率为 .【解析】设 A(x1,y1),C(x2,y2),由题意知点 A,B 为过原点的直线与双曲线 - =1 的交点 ,所以由双曲线的对称性得 A,B 关于原点对称,所以 B(-x1,-y1),所以 k1k2= · = .因为点 A,C 都在双曲线上,所以 - =1, - =1,两式相减,可得 k1k2= 0,- 4 -对于 +ln|k1|+ln|k2|= +ln|k1k2|,函数 y= +lnx(x0),由 y′=- + =0,得 x=0(舍)或 x=2,x2 时,y′0,00)取得最小值,所以当 +ln(k1k2)最小时,k 1k2= =2,所以 e= = .答案:三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)9.(2016·唐山模拟)已知椭圆 E 长轴的一个端点是抛物线 y2=12x 的焦点,且椭圆焦点与抛物线焦点的距离是 1.(1)求椭圆 E 的标准方程.(2)若 A,B 是椭圆 E 的左、右端点,O 为原点,P 是椭圆 E 上异于 A,B 的任意一点,直线 AP,BP 分别交 y 轴于点 M,N,问 · 是否为定值,说明理由.【解析】(1)由抛物线 y2=12x,得焦点为(3,0),由已知可知椭圆的焦点在 x 轴,且 a=3,又 a-c=1,则 c=2,所以 b2=a2-c2=5,故椭圆 E 的方程为 + =1;(2)设 P(x0,y0),则 5 +9 =45,且 A(-3,0),B(3,0),又直线 PA:y= (x+3),直线 PB:y= (x-3),令 x=0,得: = , = ,故 · = = =5 为定值.【加固训练】(2015·陕西高考)如图,椭圆 E: + =1(ab0)经过点 A(0,-1),且离心率为 .(1)求椭圆 E 的方程.- 5 -(2)经过点(1,1),且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同两点 P,Q(均异于点 A),证明:直线 AP 与 AQ 的斜率之和为 2.【解题提示】(1)先由已知求出椭圆长半轴长,进而得出椭圆的标准方程.(2)将直线方程代入椭圆方程,得两根之和与两根之积与 k 的关系式,将之代入直线 AP 与 AQ 的斜率之和整理式消 k 后得证.【解析】(1)由题意知 = ,b=1,综合 a2=b2+c2,解得 a= ,所以,椭圆的方程为 +y2=1.(2)由题设知,直线 PQ 的方程为 y=k(x-1)+1,代入 +y2=1,得(1+2k 2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0,由已知 Δ0,设 P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x2≠0,则 x1+x2= ,x1x2= ,从而直线 AP 与 AQ 的斜率之和kAP+kAQ= += +=2k+(2-k)=2k+(2-k)=2k+(2-k)=2k-2(k-1)=2.10.(2016·深圳模拟)设 F1,F2分别是椭圆 +y2=1 的左、右焦点.(1)若 P 是该椭圆上的一个动点,求 · 的最大值和最小值.(2)设过定点 M(0,2)的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A,B,且∠AOB 为锐角(其中 O 为坐标原点),求直线 l的斜率的取值范围.- 6 -【解析】(1)由已知得,F 1(- ,0),F2( ,0),设点 P(x,y),则 +y2=1,且-2≤x≤2.所以 · =(- -x,-y)·( -x,-y)=x2-3+y2=x2-3+1-= x2-2,当 x=0,即 P(0,±1)时,( · )min=-2;当 x=±2,即 P(±2,0)时,( · )max=1.(2)由题意可知,过点 M(0,2)的直线 l 的斜率存在.设 l 的方程为 y=kx+2,由 消去 y,化简整理得(1+4k 2)x2+16kx+12=0,Δ=(16k) 2-48(1+4k2)0,解得 k2 .设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=- ,x1x2= ,又∠AOB 为锐角,所以 · 0,即 x1x2+y1y20,即 x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+40,所以(1+k 2)· -2k· +40,解得 k20,所以 m4.2.(5 分)(2016·邯郸模拟)已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,过 F 的直线 l 与抛物线 C 相交于 A,B 两点,则|OA|2+|OB|2(O 为坐标原点)的最小值为 ( )A.4 B.8 C.10 D.12【解析】选 C.当直线 l 的斜率不存在,即直线 l 垂直于 x 轴时,方程为 x=1,则 A(1,2),B(1,-2),|OA|2+|OB|2=5+5=10.当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为:y=k(x-1),设 A(x1,y1),B(x2,y2),由 得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0,所以 x1+x2= ,x1x2=1,|OA|2+|OB|2= + + + = +4x1+ +4x2=(x1+x2)2-2x1x2+4(x1+x2)= -2+4设 =t,则 t2,|OA|2+|OB|2=t2+4t-2=(t+2)2-6(t2),所以|OA| 2+|OB|210.综上可知:|OA| 2+|OB|2的最小值为 10.3.(5 分)已知曲线 - =1 与直线 x+y-1=0 相交于 P,Q 两点,且 · =0(O 为原点),则 - 的值为 .【解析】设 P(x1,y1),Q(x2,y2),- 8 -由题意得则(b-a)x 2+2ax-a-ab=0.所以 x1+x2=- ,x1x2= ,y1y2=(1-x1)(1-x2)=1-(x1+x2)+x1x2,根据 · =0,得 x1x2+y1y2=0,得 1-(x1+x2)+2x1x2=0,因此 1+ +2× =0,化简得 =2,即 - =2.答案:24.(12 分)已知椭圆 C1: +y2=1(a1)的长轴、短轴、焦距分别为 A1A2,B1B2,F1F2,且|F 1F2|2是 与|B1B2|2的等差中项.(1)求椭圆 C1的方程.(2)若曲线 C2的方程为(x-t) 2+y2=(t2+ t)2 ,过椭圆 C1左顶点的直线 l 与曲线 C2相切,求直线 l 被椭圆 C1截得的线段长的最小值.【解析】(1)由题意得|B 1B2|=2b=2,|A1A2|=2a,|F1F2|=2c,a2-b2=c2,又 2×(2c)2=(2a)2+22,解得 a2=3,c2=2,故椭圆 C1的方程为 +y2=1.(2)由(1)可取椭圆的左顶点坐标为 A1(- ,0),易知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=k(x+ ).由直线 l 与曲线 C2相切得 =(t+ )t,整理得 =t.又因为 0b0)的离心率为 ,点 P(0,1)和点 A(m,n)(m≠0)都在椭圆 C 上,直线 PA 交 x 轴于点 M.(1)求椭圆 C 的方程,并求点 M 的坐标(用 m,n 表示).(2)设 O 为原点,点 B 与点 A 关于 x 轴对称,直线 PB 交 x 轴于点 N,问:y 轴上是否存在点 Q,使得∠OQM=∠ONQ?若存在,求点 Q 的坐标;若不存在,说明理由.【解析】(1)椭圆 + =1(ab0)过 P(0,1),所以 b2=1,离心率 e= = = = ,所以 a= ,所以椭圆方程为 +y2=1.因为 P(0,1),A(m,n),所以直线 PA 的方程为 y-1= x,直线 PA 与 x 轴交于 M,令 y=0,则 xM= ,所以 M .(2)因为 P(0,1),B(m,-n),所以直线 PB 的方程为 y-1= x,直线 PB 与 x 轴交于 N,令 y=0,则 xN= ,所以 N .设 Q(0,y0),- 12 -tan∠OQM= = ,tan∠ONQ= = ,因为∠OQM=∠ONQ,所以 tan∠OQM=tan∠ONQ,所以 = .所以 = = =2,所以 y0=± .因此,存在点 Q(0,± ),使∠OQM=∠ONQ.- 1 -直线的倾斜角与斜率、直线的方程(25 分钟 50 分)一、选择题(每小题 5 分,共 35 分)1.直线 x+ y+1=0 的倾斜角是 ( )A. B. C. D.【解析】选 D.由直线的方程得直线的斜率为 k=- ,设倾斜角为 α,则 tanα=- ,又 α∈[0,π),所以 α= .2.设直线 ax+by+c=0 的倾斜角为 α,且 sinα+cosα=0,则 a,b 满足 ( )A.a+b=1 B.a-b=1C.a+b=0 D.a-b=0【解析】选 D.由题意得 sinα=-cosα,显然 cosα≠0,则 tanα=-1,所以- =-1,a=b,a-b=0.3.下列命题中,正确的是 ( )A.直线的斜率为 tanα,则直线的倾斜角是 αB.直线的倾斜角为 α,则直线的斜率为 tanαC.直线的倾斜角越大,则直线的斜率就越大D.直线的倾斜角 α∈ ∪ 时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增【解析】选 D.因为直线的斜率 k=tanα,且 α∈ ∪ 时,α 才是直线的倾斜角,所以 A 不对;因为任一直线的倾斜角 α∈[0,π),而当 α= 时,直线的斜率不存在,所以 B 不对;当 α∈ 时,斜率大于 0;当 α∈ 时,斜率小于 0,C 不对.4.倾斜角为 120°,在 x 轴上的截距为-1 的直线的方程是 ( )A. x-y+1=0 B. x-y- =0C. x+y- =0 D. x+y+ =0- 2 -【解析】选 D.由于倾斜角为 120°,故斜率 k=- .又直线过点(-1,0),所以方程为 y=- (x+1),即x+y+ =0.5.已知直线 l:ax+y-2-a=0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等,则实数 a 的值是 ( )A.1 B.-1C.-2 或-1 D.-2 或 1【解析】选 D.显然 a≠0,由题意得 a+2= ,解得 a=-2 或 1.6.(2016·西安模拟)点 A(1,1)到直线 xcosθ+ysinθ-2=0 的距离的最大值是 ( )A.2 B.2- C.2+ D.4【解析】选 C.由点到直线的距离公式,得 d= =2- sin ,又θ∈R,所以 dmax=2+ .7.已知 a,b 均为正数,且直线 ax+by-6=0 与直线 2x+(b-3)y+5=0 互相平行,则 2a+3b 的最小值为 ( )A.5 B.25 C.13 D.15【解析】选 B.因为直线 ax+by-6=0 与直线 2x+(b-3)y+5=0 互相平行,所以 a(b-3)-2b=0,且 5a+12≠0,所以 3a+2b=ab,即 + =1,又 a,b 均为正数,则 2a+3b=(2a+3b)=4+9+ + ≥13+2 =25.当且仅当 a=b=5 时上式等号成立.二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)8.已知直线的倾斜角是 60°,在 y 轴上的截距是 5,则该直线的方程为 .【解析】因为直线的倾斜角是 60°,所以直线的斜率为 k=tan60°= .又因为直线在 y 轴上的截距是 5,- 3 -由斜截式得直线的方程为 y= x+5.即 x-y+5=0.答案: x-y+5=0【加固训练】过点 A(-1,-3),斜率是直线 y=3x 的斜率的- 的直线的方程为 .【解析】设所求直线的斜率为 k,依题意 k=- ×3=- .又直线经过点 A(-1,-3),因此所求直线方程为 y+3=- (x+1),即 3x+4y+15=0.答案:3x+4y+15=09.已知 A(3,5),B(4,7),C(-1,x)三点共线,则 x= .【解析】因为 kAB= =2,kAC= =- .又 A,B,C 三点共线,所以 kAB=kAC,即- =2,解得 x=-3.答案:-310.(2016·平顶山模拟)与直线 x+ y-1=0 垂直的直线的倾斜角为 .【解析】因为直线 x+ y-1=0 的斜率为 k1=- ,所以与直线 x+ y-1=0 垂直的直线的斜率为 k2=- = .所以它的倾斜角为 .答案:(20 分钟 40 分)1.(5 分)(2016·保定模拟)直线 y=tan 的倾斜角等于 ( )- 4 -A. B. C. D.0【解析】选 D.因为 tan = ,所以 y=tan 即 y= ,表示一条与 x 轴平行的直线,因此直线 y=tan 的倾斜角等于 0.2.(5 分)已知点 A(-1,0),B(cosα,sinα),且|AB|= ,则直线 AB 的方程为 ( )A.y= x+ 或 y=- x-B.y= x+ 或 y=- x-C.y=x+1 或 y=-x-1D.y= x+ 或 y=- x-【解析】选 B.|AB|== = ,所以 cosα= ,sinα=± ,所以 kAB=± ,即直线 AB 的方程为 y=± (x+1),所以直线 AB 的方程为 y= x+ 或 y=- x- .【加固训练】已知直线 l 过点(0,2),且其倾斜角的余弦值为 ,则直线 l 的方程为 ( )A.3x-4y-8=0 B.3x+4y-8=0C.3x+4y+8=0 D.3x-4y+8=0【解析】选 D.因为 cosα= ,α∈[0,π),所以 sinα= ,k=tanα= ,所以直线 l 的方程为 y-2= x,即 3x-4y+8=0.3.(5 分)过点(1,3)作直线 l,若经过点(a,0)和(0,b),且 a∈N *,b∈N *,则可作出的直线 l 的条数为 ( )A.1 B.2 C.3 D.4- 5 -【解析】选 B.由题意得 + =1⇒(a-1)(b-3)=3.又 a∈N *,b∈N *,故有两个解 或4.(12 分)已知直线 l 过点 P(0,1),且与直线 l1:x-3y+10=0 和 l2:2x+y-8=0 分别交于点 A,B(如图).若线段AB 被点 P 平分,求直线 l 的方程.【解析】因为点 B 在直线 l2:2x+y-8=0 上,故可设点 B 的坐标为(a,8-2a).因为点 P(0,1)是线段 AB 的中点,得点 A 的坐标为(-a,2a-6).又因为点 A 在直线 l1:x-3y+10=0 上,故将 A(-a,2a-6)代入直线 l1的方程,得-a-3(2a-6)+10=0,解得 a=4.所以点 B 的坐标是(4,0).因此,过 P(0,1),B(4,0)的直线 l 的方程为 + =1,即 x+4y-4=0.【加固训练】已知直线 l 经过 A(cosθ,sin 2θ)和 B(0,1)不同的两点,求直线 l 倾斜角的取值范围.【解析】当 cosθ=0 时,sin 2θ=1-cos 2θ=1,此时 A,B 重合.所以 cosθ≠0.所以 k= =-cosθ∈[-1,0)∪(0,1].因此倾斜角的取值范围是 ∪ .5.(13 分)已知直线 l:kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)证明:直线 l 过定点.(2)若直线 l 不经过第四象限,求 k 的取值范围.(3)若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A,交 y 轴正半轴于点 B,O 为坐标原点,设△AOB 的面积为 S,求 S 的最小值及此时直线 l 的方程.- 6 -【解析】(1)方法一:直线 l 的方程可化为 y=k(x+2)+1,故无论 k 取何值,直线 l 总过定点(-2,1).方法二:设直线 l 过定点(x 0,y0),则 kx0-y0+1+2k=0 对任意 k∈R 恒成立,即(x 0+2)k-y0+1=0 恒成立,所以 x0+2=0,-y0+1=0,解得 x0=-2,y0=1,故直线 l 总过定点(-2,1).(2)直线 l 的方程为 y=kx+2k+1,则直线 l 在 y 轴上的截距为 2k+1,要使直线 l 不经过第四象限,则解得 k 的取值范围是[0,+∞).(3)依题意,直线 l 在 x 轴上的截距为- ,在 y 轴上的截距为 1+2k,所以 A ,B(0,1+2k).又- 0,所以 k0.故 S= |OA||OB|= × (1+2k)= ≥ (4+4)=4,当且仅当 4k= ,即 k= 时,取等号.故 S 的最小值为 4,此时直线 l 的方程为 x-2y+4=0.- 1 -直线的交点坐标与距离公式(25 分钟 50 分)一、选择题(每小题 5 分,共 35 分)1.经过两直线 l1:x-2y+4=0 和 l2:x+y-2=0 的交点 P,且与直线 l3:3x-4y+5=0 垂直的直线 l 的方程为 ( )A.3x-4y-6=0 B.3x-4y+6=0C.4x+3y-6=0 D.4x+3y+6=0【解析】选 C.由方程组得 即 P(0,2).因为 l⊥ l3,所以 kl=- ,所以直线 l 的方程为 y-2=- x,即 4x+3y-6=0.【一题多解】解答本题还可以用如下的方法解决:选 C.因为直线 l 过直线 l1和 l2的交点,所以可设直线 l 的方程为x-2y+4+λ(x+y-2)=0,即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0.因为 l 与 l3垂直,所以 3(1+λ)+(-4)(λ-2)=0,所以 λ=11,所以直线 l 的方程为 12x+9y-18=0,即 4x+3y-6=0.2.平面直角坐标系中与直线 y=2x+1 关于点(1,1)对称的直线方程是 ( )A.y=2x-1 B.y=-2x+1C.y=-2x+3 D.y=2x-3【解析】选 D.在直线 y=2x+1 上任取两个点 A(0,1),B(1,3),则点 A 关于点(1,1)对称的点为 M(2,1),B 关于点(1,1)对称的点为 N(1,-1).- 2 -由两点式求出对称直线 MN 的方程 = ,即 y=2x-3.3.已知直线 l 过点 P(3,4)且与点 A(-2,2),B(4,-2)等距离,则直线 l 的方程为 ( )A.2x+3y-18=0B.2x-y-2=0C.3x-2y+18=0 或 x+2y+2=0D.2x+3y-18=0 或 2x-y-2=0【解析】选 D.由题知直线斜率存在,设所求直线方程为 y-4=k(x-3),即 kx-y+4-3k=0,由已知,得 = ,所以 k=2 或 k=- .所以所求直线 l 的方程为 2x-y-2=0 或 2x+3y-18=0.【一题多解】解答本题还可以用如下的方法解决:选 D.满足条件的直线有以下两种可能;一是直线 l 过点 P(3,4)且与 AB 所在的直线平行,而 kAB= =- ,此时直线方程为 y-4=- (x-3),即 2x+3y-18=0;二是直线 l 过点 P(3,4)与 AB 的中点 D(1,0),此时直线方程为 = ,即 2x-y-2=0.所以所求直线 l 的方程为 2x-y-2=0 或 2x+3y-18=0.4.在平面直角坐标系中,过点 P(-1,2)且与原点 O 距离最大的直线方程为 ( )A.x-2y+5=0 B.2x+y+4=0C.x-3y+7=0 D.3x-y-5=0【解析】选 A.所求直线过点 P 且与 OP 垂直时满足条件,因为直线 OP 的斜率为 kOP=-2,故所求直线的斜率为 ,所以所求直线方程为 y-2= (x+1),即 x-2y+5=0.5.若函数 y=ax+8 与 y=- x+b 的图象关于直线 y=x 对称,则 a+b= ( )- 3 -A. B.- C.2 D.-2【解析】选 C.直线 y=ax+8 关于 y=x 对称的直线方程为 x=ay+8,所以 x=ay+8 与 y=- x+b 为同一直线,故得 所以 a+b=2.6.(2016·郑州模拟)若点(m,n)在直线 4x+3y-10=0 上,则 m2+n2的最小值是( )A.2 B.2 C.4 D.2【解题提示】注意 可以看作点(m,n)到点(0,0)的距离.【解析】选 C.因为点(m,n)在直线 4x+3y-10=0 上,所以 4m+3n-10=0,所以欲求 m2+n2的最小值,可先求 的最小值.而 表示 4m+3n-10=0 上的点(m,n)到原点的距离,如图当过原点的直线与直线 4m+3n-10=0 垂直时,原点到点(m,n)的距离的最小值为 2.所以 m2+n2的最小值为 4.【一题多解】解答本题还可以用如下的方法解决:选 C.由题意知点(m,n)为直线上到原点最近的点,直线与两坐标轴交于 A ,B ,在 Rt△OAB 中,OA= ,OB= ,斜边 AB= = ,斜边上的高 h 即为所求 m2+n2最小值的算术平方根,所以 S△OAB = ·OA·OB= AB·h,所以 h= = =2,所以 m2+n2的最小值为 h2=4.- 4 -【加固训练】(2016·惠州模拟)已知实数 x,y 满足 2x+y+5=0,那么 的最小值为 .【解析】 表示点(x,y)到原点的距离,根据数形结合得 的最小值为原点到直线 2x+y+5=0 的距离,即 d= = .答案:7.(2016·开封模拟)在等腰直角三角形 ABC 中,AB=AC=4,点 P 是边 AB 上异于 A,B 的一点.光线从点 P 出发,经BC,CA 反射后又回到点 P(如图).若光线 QR 经过△ABC 的重心,则 AP 等于 ( )A.2 B.1 C. D.【解题提示】可建立平面直角坐标系,利用直线的方程以及对称知识即可解决.【解析】选 D.以 AB 所在直线为 x 轴,AC 所在直线为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,由题可知 B(4,0),C(0,4),A(0,0),则直线 BC 的方程为 x+y-4=0,设 P(t,0)(00,n0,点(-m,n)关于直线 x+y-1=0 的对称点在直线 x-y+2=0 上,那么 + 的最小值等于 .【解题提示】由对称关系求出对称点的坐标,代入直线方程 x-y+2=0,然后利用基本不等式求 + 的最小值.【解析】由题意知(-m,n)关于直线 x+y-1=0 的对称点为(1-n,1+m).则 1-n-(1+m)+2=0,即 m+n=2.于是 + = (m+n) = × ≥ ×(5+2×2)= ,当且仅当 即m= ,n= ,等号成立.答案:4.(12 分)(2016·郑州模拟)已知点 A(3,3),B(5,2)到直线 l 的距离相等,且直线 l 经过两直线 l1:3x-y-1=0 和 l2:x+y-3=0 的交点,求直线 l 的方程.【解析】解方程组 得交点 P(1,2).①若点 A,B 在直线 l 的同侧,则 l∥AB.而 kAB= =- ,由点斜式得直线 l 的方程为 y-2=- (x-1),即 x+2y-5=0.②若点 A,B 在直线 l 的异侧,则直线 l 经过线段 AB 的中点 ,由两点式得直线 l 的方程为 = ,即 x-6y+11=0.综上所述,直线 l 的方程为 x+2y-5=0 或 x-6y+11=0.【加固训练】m 为何值时,直线 l1:4x+y-4=0,l2:mx+y=0,l3:2x-3my-4=0 不能围成三角形?【解析】先考虑三条直线中有两条直线平行或重合的情况.①若 m≠0,则 k1=-4,k2=-m,k3= ,当 m=4 时,k 1=k2;当 m=- 时,k 1=k3;而 k2与 k3不可能相等.- 8 -②若 m=0,则 l1:4x+y-4=0,l2:y=0,l3:x-2=0,此时三条直线能围成三角形.所以当 m=4 或 m=- 时,三条直线不能围成三角形.再考虑三条直线共点的情况,此时 m≠0 且 m≠4 且 m≠- .将 y=-mx 代入 4x+y-4=0,得 x= ,即 l1与 l2交于点 P ,将 P 点坐标代入 l3的方程得 + -4=0,解得 m=-1 或 m= .所以当 m=-1 或 m= 时, l1,l2,l3交于一点,不能围成三角形.综上所述,当 m 为-1 或- 或 或 4 时,三条直线不能围成三角形.5.(13 分)已知直线 l:3x-y-1=0.(1)在直线 l 上求一点 P,使得点 P 到点 A(4,1)和 B(0,4)的距离之差最大.(2)在直线 l 上求一点 Q,使得点 Q 到点 A(4,1)和 C(3,4)的距离之和最小.【解析】(1)如图甲所示,设点 B 关于 l 的对称点为 B′,连接 AB′并延长交 l 于点 P,此时点 P 满足|PA|-|PB|的值最大.设点 B′的坐标为(a,b),则 kBB′ ·kl=-1,即 ·3=-1.所以 a+3b-12=0.①又由于线段 BB′的中点坐标为 ,且在直线 l 上,所以 3× - -1=0,即 3a-b-6=0.②①②联立,解得 a=3,b=3,所以 B′(3,3).于是 AB′的方程为 = ,即 2x+y-9=0.- 9 -解方程组 得即 l 与 AB′的交点坐标为 P(2,5).(2)如图乙所示,设点 C 关于 l 的对称点为 C′,连接 AC′交 l 于点 Q,此时的 Q 满足|QA|+|QC|的值最小.设 C′的坐标为(x′,y′),所以解得 所以 C′ .由两点式得直线 AC′的方程为 = ,即 19x+17y-93=0.解方程组 得所以所求点 Q 的坐标为 .- 1 -圆 的 方 程(25分钟 50 分)一、选择题(每小题 5分,共 30分)1.方程 x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件的是 ( )A. 1C.m1【解析】选 B.由(4m) 2+4-4×5m0,得 m1.2.当 a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0 恒过定点 C,则以 C为圆心, 为半径的圆的方程为 ( )A.x2+y2-2x+4y=0B.x2+y2+2x+4y=0C.x2+y2+2x-4y=0D.x2+y2-2x-4y=0【解析】选 C.由(a-1)x-y+a+1=0 得a(x+1)-(x+y-1)=0,所以直线恒过定点(-1,2).所以圆的方程为(x+1) 2+(y-2)2=5,即 x2+y2+2x-4y=0.3.方程|x|-1= 所表示的曲线是 ( )A.一个圆 B.两个圆C.半个圆 D.两个半圆【解析】选 D.由题意得即或故原方程表示两个半圆.4.(2016·运城模拟)若圆 x2+y2-2ax+3by=0的圆心位于第三象限,那么直线 x+ay+b=0一定不经过 ( )- 2 -A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选 D.圆 x2+y2-2ax+3by=0的圆心为 ,则 a0.直线 y=- x- ,k=- 0,- 0,直线不经过第四象限.5.若曲线 C:x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上所有的点均在第二象限内,则 a的取值范围为 ( )A.(-∞,-2) B.(-∞,-1)C.(1,+∞) D.(2,+∞)【解题提示】圆上的所有点都在第二象限,因此圆心必在第二象限,且圆心到两坐标轴的距离大于半径.【解析】选 D.曲线 C的方程可化为(x+a) 2+(y-2a)2=4,其为圆心为(-a,2a),半径为 2的圆,要使圆 C的所有的点均在第二象限内,则圆心(-a,2a)必须在第二象限,从而有 a0,并且圆心到两坐标轴的最小距离应大于圆 C的半径,易知圆心到坐标轴的最小距离为|a|,则有|a|2,得 a2.6.(2016·忻州模拟)已知方程 x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆有最大的面积,则取最大面积时,该圆的圆心的坐标为 ( )A.(-1,1) B.(-1,0)C.(1,-1) D.(0,-1)【解析】选 D.由 x2+y2+kx+2y+k2=0知所表示圆的半径 r= = ,当 k=0时,r max= =1,此时圆的方程为 x2+y2+2y=0,即 x2+(y+1)2=1,所以圆心为(0,-1).二、填空题(每小题 5分,共 20分)7.(2016·太原模拟)在平面直角坐标系 xOy中已知圆 C:x2+(y-1)2=5,A为圆 C与 x轴负半轴的交点,过点A作圆 C的弦 AB,记线段 AB的中点为 M.若 OA=OM,则直线 AB的斜率为 .【解析】C(0,1),所以 A(-2,0),连接 CM,显然 CM⊥AB,因此,四点 C,M,A,O共圆,且 AC就是该圆的直径,2R=AC= ,- 3 -在三角形 OCM中,利用正弦定理得2R= ,根据题意,OA=OM=2,所以, = ,所以 sin∠OCM= ,tan∠OCM=-2(∠OCM 为钝角),而∠OCM 与∠OAM 互补,所以tan∠OAM=2,即直线 AB的斜率为 2.答案:28.(2016·新乡模拟)已知在 Rt△ABC 中,A(0,0),B(6,0),则直角顶点 C的轨迹方程为 .【解析】依题意,顶点 C的轨迹是以 AB为直径的圆,且去掉端点 A,B,圆心坐标为(3,0),半径为 3,故直角顶点 C的轨迹方程为(x-3)2+y2=9(y≠0).答案:(x-3) 2+y2=9(y≠0)【一题多解】解答本题还可以用如下的方法解决:设顶点 C的坐标为(x,y),由于 AC⊥BC,故 kAC·kBC=-1,所以 · =-1,所以 x2+y2-6x=0,即直角顶点 C的轨迹方程为(x-3) 2+y2=9(y≠0).答案:(x-3) 2+y2=9(y≠0)9.当方程 x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆的面积取最大值时,直线 y=(k-1)x+2的倾斜角 α= .【解析】由题意知,圆的半径 r= = ≤1,当半径 r取最大值时,圆的面积最大,此时 k=0,r=1,所以直线方程为 y=-x+2,则有 tanα=-1,又 α∈[0,π),故 α= .答案:10.定义:曲线 C上的点到直线 l的距离的最小值称为曲线 C到直线 l的距离.已知曲线 C1:y=x2+a到直线- 4 -l:y=x的距离等于曲线 C2:x2+(y+4)2=2到直线 l:y=x的距离,则实数 a= .【解题提示】先求出圆 C2上的点到直线 y=x的最小值,从而得出曲线 C1:y=x2+a到直线 l:y=x的距离,再利用平行线的距离即可求出 a的值.【解析】x 2+(y+4)2=2到直线 l:y=x的距离为 - = ,所以 y=x2+a到直线 l:y=x的距离为 ,而与 y=x平行且距离为 的直线有两条,分别是 y=x+2与 y=x-2,而抛物线 y=x2+a与 y=x+2相切,可求得a= .答案:(20分钟 40 分)1.(5分)设两圆 C1,C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆圆心的距离|C 1C2|= ( )A.4 B.4 C.8 D.8【解题提示】由已知可知两圆均在第一象限,且圆心的横、纵坐标相等,再由已知条件得出关于圆心的方程,进而求出两圆心的距离.【解析】选 C.因为两圆与两坐标轴都相切,且都经过点(4,1),所以两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等.设两圆的圆心分别为(a,a),(b,b),则有(4-a) 2+(1-a)2=a2,(4-b)2+(1-b)2=b2,即 a,b为方程(4-x) 2+(1-x)2=x2的两个根,整理得 x2-10x+17=0,所以 a+b=10,ab=17.所以(a-b) 2=(a+b)2-4ab=100-4×17=32,所以|C 1C2|= = =8.2.(5分)(2016·邯郸模拟)若△PAB 是圆 C:(x-2)2+(y-2)2=4的内接三角形,且 PA=PB,∠APB=120°,则线段 AB的中点的轨迹方程为 ( )A.(x-2)2+(y-2)2=1B.(x-2)2+(y-2)2=2- 5 -C.(x-2)2+(y-2)2=3D.x2+y2=1【解析】选 A.设线段 AB的中点为 D,则由题意,PA=PB,∠APB=120°,所以∠ACB=120°,因为 CB=2,所以 CD=1,所以线段 AB的中点的轨迹是以 C为圆心,1 为半径的圆,所以线段 AB的中点的轨迹方程是:(x-2) 2+(y-2)2=1.3.(5分)已知直线 ax+by=1(a,b是实数)与圆 O:x2+y2=1(O是坐标原点)相交于 A,B两点,且△AOB 是直角三角形,点 P(a,b)是以点 M(0,1)为圆心的圆 M上的任意一点,则圆 M的面积的最小值为 .【解析】因为直线与圆 O相交所得△AOB 是直角三角形,可知∠AOB=90°,所以圆心 O到直线的距离为= ,所以 a2=1- b2≥0,即- ≤b≤ .设圆 M的半径为 r,则 r=|PM|= = = (2-b),又- ≤b≤ ,所以 +1≥|PM|≥ -1,所以圆 M的面积的最小值为(3-2 )π.答案:(3-2 )π【加固训练】已知 AC,BD为圆 O:x2+y2=4的两条相互垂直的弦,垂足为 M(1, ),则四边形 ABCD的面积的最大值为 .【解析】如图,取 AC的中点 F,BD的中点 E,- 6 -则 OE⊥BD,OF⊥AC.又 AC⊥BD,所以四边形 OEMF为矩形,设|OF|=d 1,|OE|=d2,所以 + =|OM|2=3.又|AC|=2 ,|BD|=2 ,所以 S 四边形 ABCD= |AC|·|BD|=2 ·=2 =2=2 .因为 0≤ ≤3.所以当 = 时,S 四边形 ABCD有最大值是 5.答案:54.(12分)(2016·许昌模拟)在平面直角坐标系 xOy中,已知圆心在第二象限,半径为 2 的圆 C与直线y=x相切于坐标原点 O.(1)求圆 C的方程.(2)试探求 C上是否存在异于原点的点 Q,使 Q到定点 F(4,0)的距离等于线段 OF的长?若存在,请求出点 Q的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)设圆 C的圆心为 C(a,b),则圆 C的方程为(x-a) 2+(y-b)2=8.因为直线 y=x与圆 C相切于原点 O,所以 O点在圆 C上,且 OC垂直于直线 y=x,于是有 ⇒ 或由于点 C(a,b)在第二象限,故 a0,所以圆 C的方程为(x+2) 2+(y-2)2=8.- 7 -(2)假设存在点 Q符合要求,设 Q(x,y),则有解之得 x= 或 x=0(舍去),y= .所以存在点 Q ,使 Q到定点 F(4,0)的距离等于线段 OF的长.5.(13分)(2016·朔州模拟)在平面直角坐标系 xOy中,已知点 A(-3,4),B(9,0),C,D分别为线段 OA,OB上的动点,且满足 AC=BD.(1)若 AC=4,求直线 CD的方程.(2)证明:△OCD 的外接圆恒过定点.【解析】(1)若 AC=4,则 BD=4,因为 B(9,0),所以 D(5,0).因为 A(-3,4),所以|OA|= =5,则|OC|=1,直线 OA的方程为 y=- x,设 C(3a,-4a),-1a0,则|OC|= = =5|a|=-5a=1,解得 a=- ,则 C ,则 CD的方程为 = ,整理得 x+7y-5=0,即直线 CD的方程为 x+7y-5=0.(2)设 C(3a,-4a),-1a0,则|AC|= ==5|a+1|=5(a+1),则|BD|=|AC|=5(a+1),则 D(4-5a,0),设△OCD 的外接圆的一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,则圆的方程满足- 8 -即则解得 E=10a-3,F=0,D=5a-4,则圆的一般方程为 x2+y2+(5a-4)x+(10a-3)y=0,即 x2+y2-4x-3y+5a(x+2y)=0,由解得 或即△OCD 的外接圆恒过定点(0,0)和(2,-1).