（全国新课标）2017年高考数学大二轮复习 第二编 专题整合突破 专题四 数列 文（课件+习题）（打包6套）.zip

专题四 数列 第二编 专题整合突破 第一讲 等差与等比数列 主干知识整合 热点考向探究 1专题四 数列 第一讲 等差与等比数列适考素能特训 文一、选择题1．[2015·重庆高考]在等差数列{ an}中，若 a2＝4， a4＝2，则 a6＝( )A．－1 B．0C．1 D．6答案 B解析 设数列{ an}的公差为 d，由 a4＝ a2＋2 d， a2＝4， a4＝2，得2＝4＋2 d， d＝－1，∴ a6＝ a4＋2 d＝0.故选 B.2．[2016·山西四校联考]等比数列{ an}的前 n 项和为 Sn，若公比q1， a3＋ a5＝20， a2a6＝64，则 S5＝( )A．31 B．36C．42 D．48答案 A解析 由等比数列的性质，得 a3a5＝ a2a6＝64，于是由Error!且公比 q1，得a3＝4， a5＝16，所以Error!解得Error!所以 S5＝ ＝31，故选 A.1× 1－ 251－ 23．[2016·唐山统考]设 Sn是等比数列{ an}的前 n 项和，若 ＝3，则 ＝( )S4S2 S6S4A．2 B.73C. D．1 或 2310答案 B解析 设 S2＝ k， S4＝3 k，由数列{ an}为等比数列，得 S2， S4－ S2， S6－ S4为等比数列，∴ S2＝ k， S4－ S2＝2 k， S6－ S4＝4 k，∴ S6＝7 k， S4＝3 k，∴ ＝ ＝ ，故选 B.S6S4 7k3k 734．[2015·浙江高考]已知{ an}是等差数列，公差 d 不为零，前 n 项和是 Sn.若a3， a4， a8成等比数列，则( )A． a1d0， dS4 0 B． a1d0， dS40答案 B解析 由 a ＝ a3a8，得( a1＋2 d)(a1＋7 d)＝( a1＋3 d)2，整理得 d(5d＋3 a1)＝0，又24d≠0，∴ a1＝－ d，则 a1d＝－ d20， a1＝ ，如果 an＋1 是 1 与 的等12 2anan＋ 1＋ 14－ a2n比中项，那么 a1＋ ＋ ＋ ＋…＋ 的值是________．a222 a332 a442 a1001002答案 1001013解析 由题意可得， a ＝ ⇒(2an＋1 ＋ anan＋1 ＋1)(2 an＋1 － anan＋1 －1)2n＋ 12anan＋ 1＋ 14－ a2n＝0，又 an0，∴2 an＋1 － anan＋1 －1＝0，又 2－ an≠0，∴ an＋1 ＝ ⇒an＋1 －1＝ ，又12－ an an－ 12－ an可知 an≠1，∴ ＝ －1，∴ 是以 为首项，－1 为公差的等差数列，1an＋ 1－ 1 1an－ 1 { 1an－ 1} 1a1－ 1∴ ＝ －( n－1)1an－ 1 112－ 1＝－ n－1⇒ an＝ ⇒ ＝ ＝ － ，∴ a1＋ ＋ ＋ ＋…＋ ＝1－ ＋ －nn＋ 1 ann2 1n n＋ 1 1n 1n＋ 1 a222 a332 a442 a1001002 12 12＋ － ＋ － ＋…＋ － ＝ .13 13 14 14 15 1100 1101 100101三、解答题10．[2016·蚌埠质检]已知数列{ an}是等比数列， Sn为数列{ an}的前 n 项和，且a3＝3， S3＝9.(1)求数列{ an}的通项公式；(2)设 bn＝log 2 ，且{ bn}为递增数列，若 cn＝ ，求证：3a2n＋ 3 4bn·bn＋ 1c1＋ c2＋ c3＋…＋ cn0，{ bn}的公比为 q，则 an＝1＋( n－1) d， bn＝ qn－1 .依题意有Error!解得Error! 或Error!(舍去)故 an＝ n， bn＝2 n－1 .(2)由(1)知 Sn＝1＋2＋…＋ n＝ n(n＋1)，12＝ ＝2 ，1Sn 2n n＋ 1 (1n－ 1n＋ 1)∴ ＋ ＋…＋1S1 1S2 1Sn＝2 [(1－12)＋ (12－ 13)＋ …＋ (1n－ 1n＋ 1)]＝2 ＝ .(1－1n＋ 1) 2nn＋ 1适考素能特训 专题四 数列 第二编 专题整合突破 第二讲 数列求和及综合应用 主干知识整合 热点考向探究 1专题四 数列 第二讲 数列求和及综合应用适考素能特训 文一、选择题1．[2016·重庆测试]在数列{ an}中，若 a1＝2，且对任意正整数 m， k，总有am＋ k＝ am＋ ak，则{ an}的前 n项和 Sn＝( )A． n(3n－1) B.n n＋ 32C． n(n＋1) D.n 3n＋ 12答案 C解析 依题意得 an＋1 ＝ an＋ a1，即有 an＋1 － an＝ a1＝2，所以数列{ an}是以 2为首项、2为公差的等差数列， an＝2＋2( n－1)＝2 n， Sn＝ ＝ n(n＋1)，选 C.n 2＋ 2n22．[2016·郑州质检]正项等比数列{ an}中的 a1、 a4031是函数 f(x)＝ x3－4 x2＋6 x－313的极值点，则 log a2016＝( )A．1 B．2C. D．－12答案 A解析 因为 f′( x)＝ x2－8 x＋6，且 a1、 a4031是方程 x2－8 x＋6＝0 的两根，所以a1·a4031＝ a ＝6，即 a2016＝ ，所以 log a2016＝1，故选 A.22016 63．[2016·太原一模]已知数列{ an}的通项公式为 an＝(－1)n(2n－1)·cos ＋1( n∈N *)，其前 n项和为 Sn，则 S60＝( )nπ2A．－30 B．－60C．90 D．120答案 D解析 由题意可得，当 n＝4 k－3( k∈N *)时， an＝ a4k－3 ＝1；当 n＝4 k－2( k∈N *)时，an＝ a4k－2 ＝6－8 k；当 n＝4 k－1( k∈N *)时， an＝ a4k－1 ＝1；当 n＝4 k(k∈N *)时，an＝ a4k＝8 k.∴ a4k－3 ＋ a4k－2 ＋ a4k－1 ＋ a4k＝8，∴ S60＝8×15＝120.故选 D.4．某年“十一”期间，北京十家重点公园举行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨 6时 30分有 2人进入公园，接下来的第一个 30分钟内有 4人进去 1人出来，第二个30分钟内有 8人进去 2人出来，第三个 30分钟内有 16人进去 3人出来，第四个 30分钟内有 32人进去 4人出来……按照这种规律进行下去，到上午 11时 30分公园内的人数是( )A．2 11－47 B．2 12－57C．2 13－68 D．2 14－80答案 B解析 由题意，可知从早晨 6时 30分开始，接下来的每个 30分钟内进入的人数构成以4为首项，2 为公比的等比数列，出来的人数构成以 1为首项，1 为公差的等差数列，记第n个 30分钟内进入公园的人数为 an，第 n个 30分钟内出来的人数为 bn则2an＝4×2 n－1 ， bn＝ n，则上午 11时 30分公园内的人数为S＝2＋ － ＝2 12－57.4 1－ 2101－ 2 10 1＋ 1025．已知曲线 C： y＝ (x0)及两点 A1(x1,0)和 A2(x2,0)，其中 x2x10.过 A1， A2分别作1xx轴的垂线，交曲线 C于 B1， B2两点，直线 B1B2与 x轴交于点 A3(x3,0)，那么( )A． x1， ， x2成等差数列 B． x1， ， x2成等比数列x32 x32C． x1， x3， x2成等差数列 D． x1， x3， x2成等比数列答案 A解析 由题意，得 B1， B2两点的坐标分别为 ， .(x1，1x1) (x2， 1x2)所以直线 B1B2的方程为 y＝－ (x－ x1)＋ ，1x1x2 1x1令 y＝0，得 x＝ x1＋ x2，所以 x3＝ x1＋ x2，因此， x1， ， x2成等差数列．x326．[2016·江西南昌模拟]设无穷数列{ an}，如果存在常数 A，对于任意给定的正数ε (无论多小)，总存在正整数 N，使得 nN时，恒有| an－ A|1，所以对于正数 ε 0＝1，不存在正整数 N，使得 nN时，恒有32 14n＋ 2|an－2|1－log 2ε ，所以对于任意给定的正数 ε (无论多小)，总存在正整数 N，使得 nN时，恒有| an－2|1，所以对于正数 ε 0＝1，不存在正整数 N，使得 nN时，恒有| an－2|0，∴ an＋1 ＝3 an，∴{ an}为等比数列，且公比为 3，∴ Sn＝3 n－1.8．[2016·唐山统考] Sn为等比数列{ an}的前 n项和，若 2S4＝ S2＋2，则 S6的最小值为________．答案 3解析 由题意得 2(a1＋ a1q＋ a1q2＋ a1q3)＝ a1＋ a1q＋2，整理，得( a1＋ a1q)(1＋2 q2)＝2，即 S2·(1＋2 q2)＝2.因为 1＋2 q20，所以 S20.又由 2S4＝ S2＋2，得 S4＝ S2＋1.由等12比数列的性质，得 S2， S4－ S2， S6－ S4成等比数列，所以( S4－ S2)2＝ S2(S6－ S4)，所以 S6＝＋ S4＝ ＋ S2＋1＝ S2＋ ≥2 ＝ ，当且仅当 S2＝ ，即 S4－ S2 2S2 (1－ 12S2)2S2 12 34 1S2 34S2·1S2 3 34 1S2S2＝ 时等号成立，所以 S6的最小值为 .233 39．[2016·武昌调研]设 Sn为数列{ an}的前 n项和， Sn＋ ＝(－1) nan(n∈N *)，则数列12n{Sn}的前 9项和为________．答案 －3411024解析 因为 Sn＋ ＝(－1) nan，所以 Sn－1 ＋ ＝(－1) n－1 an－1 (n≥2)，两式相减得12n 12n－ 1Sn－ Sn－1 ＋ － ＝(－1) nan－(－1) n－1 an－1 ，12n 12n－ 1即 an－ ＝(－1) nan＋(－1) nan－1 (n≥2)，12n4当 n为偶数时， an－ ＝ an＋ an－1 ，即 an－1 ＝－ ，12n 12n此时 n－1 为奇数，所以若 n为奇数，则 an＝－ ；12n＋ 1当 n为奇数时， an－ ＝－ an－ an－1 ，即 2an－ ＝－ an－1 ，所以 an－1 ＝ ，此时12n 12n 12n－ 1n－1 为偶数，所以若 n为偶数，则 an＝ .12n所以数列{ an}的通项公式为 an＝Error!所以数列{ Sn}的前 9项和为S1＋ S2＋ S3＋…＋ S9＝9 a1＋8 a2＋7 a3＋6 a4＋…＋3 a7＋2 a8＋ a9＝(9 a1＋8 a2)＋(7 a3＋6 a4)＋…＋(3 a7＋2 a8)＋ a9＝－ － － － － ＝－ ＝－ .122 124 126 128 1210122×[1－ (14)5]1－ 14 3411024三、解答题10．[2016·合肥质检]在数列{ an}中， a1＝ ， an＋1 ＝ ·an， n∈N *.12 n＋ 12n(1)求证：数列 为等比数列；{ann}(2)求数列{ an}的前 n项和 Sn.解 (1)证明：由 an＋1 ＝ an知 ＝ · ，n＋ 12n an＋ 1n＋ 1 12 ann∴ 是以 为首项， 为公比的等比数列．{ann} 12 12(2)由(1)知 是首项为 ，公比为 的等比数列，{ann} 12 12∴ ＝ n，∴ an＝ ，ann (12) n2n∴ Sn＝ ＋ ＋…＋ ，①121 222 n2n则 Sn＝ ＋ ＋…＋ ，②12 122 223 n2n＋ 1①－②得 Sn＝ ＋ ＋ ＋…＋ － ＝1－ ，12 12 122 123 12n n2n＋ 1 n＋ 22n＋ 1∴ Sn＝2－ .n＋ 22n11．[2015·安徽高考]设 n∈N *， xn是曲线 y＝ x2n＋2 ＋1 在点(1,2)处的切线与 x轴交点的横坐标．(1)求数列{ xn}的通项公式；(2)记 Tn＝ x x …x ，证明： Tn≥ .2123 22n－ 114n解 (1) y′＝( x2n＋2 ＋1)′＝(2 n＋2) x2n＋1 ，曲线 y＝ x2n＋2 ＋1 在点(1,2)处的切线斜率5为 2n＋2，从而切线方程为 y－2＝(2 n＋2)( x－1)．令 y＝0，解得切线与 x轴交点的横坐标 xn＝1－ ＝ .1n＋ 1 nn＋ 1(2)证明：由题设和(1)中的计算结果知Tn＝ x x …x ＝ 2 2… 2.2123 22n－ 1 (12)(34) (2n－ 12n )当 n＝1 时， T1＝ .14当 n≥2 时，因为 x ＝ 2＝ ＝ ＝ ，22n－ 1 (2n－ 12n )  2n－ 1 2 2n 2  2n－ 1 2－ 1 2n 2 2n－ 22n n－ 1n所以 Tn 2× × ×…× ＝ .(12) 12 23 n－ 1n 14n综上可得对任意的 n∈N *，均有 Tn≥ .14n12．[2016·河南开封质检]已知数列{ an}满足 a1＝1， an＋1 ＝1－ ，其中 n∈N *.14an(1)设 bn＝ ，求证：数列{ bn}是等差数列，并求出{ an}的通项公式；22an－ 1(2)设 cn＝ ，数列{ cncn＋2 }的前 n项和为 Tn，是否存在正整数 m，使得 Tn4ann＋ 1对于 n∈N *恒成立？若存在，求出 m的最小值；若不存在，请说明理由．1cmcm＋ 1解 (1)∵ bn＋1 － bn＝ －22an＋ 1－ 1 22an－ 1＝ －22(1－ 14an)－ 1 22an－ 1＝ － ＝2(常数)，4an2an－ 1 22an－ 1∴数列{ bn}是等差数列．∵ a1＝1，∴ b1＝2，因此 bn＝2＋( n－1)×2＝2 n，由 bn＝ 得 an＝ .22an－ 1 n＋ 12n(2)由 cn＝ ， an＝ 得 cn＝ ，4ann＋ 1 n＋ 12n 2n∴ cncn＋2 ＝ ＝2 ，4n n＋ 2 (1n－ 1n＋ 2)∴ Tn＝2 ＝2 3，(1－13＋ 12－ 14＋ 13－ 15＋ …＋ 1n－ 1n＋ 2) (1＋ 12－ 1n＋ 1－ 1n＋ 2)依题意要使 Tn 对于 n∈N *恒成立，只需 ≥3，即 ≥3，1cmcm＋ 1 1cmcm＋ 1 m m＋ 146解得 m≥3 或 m≤－4，又 m为正整数，所以 m的最小值为 3.典题例证[2016·山东高考]已知数列{ an}的前 n项和 Sn＝3 n2＋8 n，{ bn}是等差数列，且an＝ bn＋ bn＋1 .(1)求数列{ bn}的通项公式；(2)令 cn＝ .求数列{ cn}的前 n项和 Tn. an＋ 1 n＋ 1 bn＋ 2 n审题过程依据 an与 Sn的关系可求 an，进而求出 bn的通项．切 入 点先化简数列 cn，然后依据其结构特征采取错位相减求关 注 点和.(1)由题意知当 n≥2 时，[规 范 解 答 ]an＝ Sn－ Sn－1 ＝6 n＋5，当 n＝1 时， a1＝ S1＝11，所以 an＝6 n＋5.设数列{ bn}的公差为 d，由Error!得Error!可解得 b1＝4， d＝3.所以 bn＝3 n＋1.(2)由(1)知 cn＝ ＝3( n＋1)·2 n＋1 . 6n＋ 6 n＋ 1 3n＋ 3 n又 Tn＝ c1＋ c2＋…＋ cn，所以 Tn＝3×[2×2 2＋3×2 3＋…＋( n＋1)×2 n＋1 ]，2Tn＝3×[2×2 3＋3×2 4＋…＋( n＋1)×2 n＋2 ]，两式作差，得－ Tn＝3×[2×2 2＋2 3＋2 4＋…＋2 n＋1 －( n＋1)×2 n＋2 ]＝3×＝－3 n·2n＋2 ，所以 Tn＝3 n·2n＋2 .[4＋4 1－ 2n1－ 2 －  n＋ 1 ×2n＋ 2]模型归纳求数列的通项公式及前 n项和的模型示意图如下：7适考素能特训