（全国新课标）2017年高考数学大二轮复习 第二编 专题整合突破 专题五 立体几何 文（课件+习题）（打包6套）.zip

专题五 立体几何 第二编 专题整合突破 第一讲 空间几何体的三视图、表 面积与体积 主干知识整合 热点考向探究 1专题五 立体几何 第一讲 空间几何体的三视图、表面积与体积适考素能特训 文一、选择题1．在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )答案 D解析 由题目所给的几何体的正视图和俯视图，可知该几何体为半圆锥和三棱锥的组合体，如图所示，可知侧视图为等腰三角形，且轮廓线为实线，故选 D. 22．[2016·重庆测试]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B.23 43C. D.53 73答案 B解析 依题意，题中的几何体是由一个直三棱柱与一个三棱锥所组成的，其中该直三棱柱的底面是一个直角三角形(腰长分别为 1、2)、高为 1；该三棱锥的底面是一个直角三角形(腰长分别为 1、2)、高为 1，因此该几何体的体积为 ×2×1×1＋ × ×2×1×1＝ ，选 B.12 13 12 433．[2016·唐山统考]三棱锥 P－ABC 中，PA⊥平面 ABC 且 PA＝2，△ABC 是边长为 的3等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为( )A. B．4 π4π3C．8 π D．20 π3答案 C解析 由题意得，此三棱锥外接球即为以△ABC 为底面、以 PA 为高的正三棱柱的外接球，因为△ABC 的外接圆半径 r＝ × × ＝1，外接球球心到△ABC 的外接圆圆心的距离32 3 23d＝1，所以外接球的半径 R＝ ＝ ，所以三棱锥外接球的表面积 S＝4 π R2＝8 π ，故r2＋ d2 2选 C.4．[2016·武昌调研]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A．18＋2 π B．20＋ πC．20＋ D．16＋ ππ 2答案 B解析 由三视图可知，这个几何体是一个边长为 2 的正方体割去了相对边对应的两个半径为 1、高为 1 的 圆柱体，其表面积相当于正方体五个面的面积与两个 圆柱的侧面积的和，14 14即该几何体的表面积 S＝4×5＋2×2 π ×1×1× ＝20＋ π ，故选 B.145．[2016·陕西质检]某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为( )4A. B.43 52C. D．373答案 A解析 根据几何体的三视图，得该几何体是下部为直三棱柱，上部为三棱锥的组合体，如图所示．则该几何体的体积是 V 几何体 ＝V 三棱柱 ＋V 三棱锥 ＝ ×2×1×1＋ × ×2×1×1＝ .12 13 12 43故应选 A.6．已知边长为 1 的等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 有一公共边 AB，二面角 C－AB－D 的余弦值为 ，若 A、B、C、D 、E 在同一球面上，则此球的体积为( )33A．2 π B. π823C. π D. π223答案 D解析 如图，取 AB 的中点为 M，连接 CM，取 DE 的中点为 N，连接 MN，CN，可知∠CMN5即为二面角 C－AB－D 的平面角，利用余弦定理可求 CN＝ ＝CM，所以该几何体为正四棱锥，32半径 R＝ ，V＝ π R3＝ ，故选 D.22 43 2π3二、填空题7．[2016·广西南宁检测]设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1、S 2，体积分别为V1、V 2.若它们的侧面积相等且 ＝ ，则 的值是________．V1V2 32 S1S2答案 94解析 设甲、乙两个圆柱的底面半径分别为 r1，r 2，高分别为 h1，h 2，则有2π r1h1＝2 π r2h2，即 r1h1＝r 2h2，又 ＝ ，∴ ＝ ，∴ ＝ ，则 ＝ 2＝ .V1V2 π r21h1π r2h2 V1V2 r1r2 r1r2 32 S1S2 (r1r2) 948．[2016·山西太原一模]已知在直角梯形 ABCD 中，AB⊥AD，CD⊥AD，AB＝2AD＝2CD＝2，将直角梯形 ABCD 沿 AC 折叠成三棱锥 D－ABC，当三棱锥 D－ABC 的体积取最大值时，其外接球的体积为________．答案 π43解析 当平面 DAC⊥平面 ABC 时，三棱锥 D－ABC 的体积取最大值．此时易知 BC⊥平面DAC，∴BC⊥AD，又 AD⊥DC，∴AD⊥平面 BCD，∴AD⊥BD，取 AB 的中点 O，易得OA＝OB＝OC＝OD＝1，故 O 为所求外接球的球心，故半径 r＝1，体积 V＝ π r3＝ π .43 439．[2016·云南玉溪一模]表面积为 60π 的球面上有四点 S、A、B、C，且△ABC 是等边三角形，球心 O 到平面 ABC 的距离为 ，若平面 SAB⊥平面 ABC，则三棱锥 S－ABC 体积的3最大值为________．答案 276解析 设球 O 的半径为 R，则有 4π R2＝60 π ，解得 R＝ .由于平面 SAB⊥平面 ABC，15所以点 S 在平面 ABC 上的射影 D 在 AB 上，如图，当球心 O 在三棱锥 S－ABC 中，且 D 为 AB的中点时，SD 最大，三棱锥 S－ABC 的体积最大．设 O′为等边三角形 ABC 的中心，则OO′⊥平面 ABC，即有 OO′∥SD.由于 OC＝ ，OO′＝ ，则 CO′＝ ＝2 ，15 3 CO2－ OO′ 2 3则 DO′＝ ，则△ABC 是边长为 6 的等边三角形，则△ABC 的面积为 ×6×3 ＝9 .在直312 3 3角梯形 SDO′O 中，作 OM⊥SD 于 M，则OM＝DO′＝ ，DM＝OO′＝ ，∴SD＝DM＋MS＝ ＋ ＝3 ，所以三3 3 3  15 2－  3 2 3棱锥 S－ABC 体积的最大值为 ×9 ×3 ＝27.13 3 3三、解答题10．[2016·达州一模]已知几何体 A－BCED 的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为 4 的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，已知几何体 A－BCED 的体积为 16.(1)求实数 a 的值；(2)将直角三角形△ABD 绕斜边 AD 旋转一周，求该旋转体的表面积．解 (1)由该几何体的三视图知 AC⊥平面 BCED，且 EC＝BC＝AC＝4，BD＝a，体积7V＝ ×4× ＝16，所以 a＝2.13  a＋ 4 ×42(2)在 Rt△ABD 中，AB＝4 ，BD＝2，所以 AD＝6，2过点 B 作 AD 的垂线 BH，垂足为点 H，易得 BH＝ ，423该旋转体由两个同底的圆锥构成，圆锥底面半径为 BH＝ .423所以圆锥底面周长为 c＝2 π · ＝ ，两个圆锥的母线长分别为 4 和 2，故该423 82π3 2旋转体的表面积为 S＝ × (2＋4 )＝ .12 82π3 2 32π ＋ 82π311．[2016·河北五校联盟质检] 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面 PAD⊥底面 ABCD，Q 为 AD 的中点，PA＝PD＝2，BC＝ AD＝1，CD＝ ，M 是棱 PC 的中点．12 3(1)求证：PA∥平面 MQB；(2)求三棱锥 P－DQM 的体积．解 (1)证明：连接 AC，交 BQ 于点 N，连接 MN，CQ，∵BC∥AD 且 BC＝ AD， 12即 BC∥AQ，BC＝AQ，∴四边形 BCQA 为平行四边形，且 N 为 AC 的中点，又点 M 是棱 PC8的中点，∴MN∥PA，又∵PA⊄平面 MQB，MN⊂ 平面 MQB，则 PA∥平面 MQB.(2)连接 DM，则 VP－DQM ＝V M－PDQ ，∵平面 PAD⊥底面 ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥平面 PAD，∴点 M 到平面 PAD 的距离为 CD，12∴V P－DQM ＝V M－PDQ ＝ S△PDQ · CD＝ · ·QD·PQ· CD＝ .13 12 13 12 12 1412．[2016·鹰潭二模]如图 1 所示，直角梯形 ABCD，∠ADC＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝AB＝2，点 E 为 AC 的中点，将△ACD 沿 AC 折起，使折起后的平面 ACD 与平面 ABC 垂直(如12图 2)，在图 2 所示的几何体 D－ABC 中．(1)求证：BC⊥平面 ACD；(2)点 F 在棱 CD 上，且满足 AD∥平面 BEF，求几何体 F－BCE 的体积．解 (1)证明：在图 1 中，由题意知，AC＝BC＝2 ，2所以 AC2＋BC 2＝AB 2，所以 AC⊥BC因为 E 为 AC 的中点，连接 DE，则 DE⊥AC，又平面 ADC⊥平面 ABC，且平面 ADC∩平面 ABC＝AC，DE⊂平面 ACD，从而 ED⊥平面 ABC，所以 ED⊥BC又 AC⊥BC，AC∩ED＝E，所以 BC⊥平面 ACD.(2)取 DC 的中点 F，连接 EF，BF，因为 E 是 AC 的中点，所以 EF∥AD，又 EF⊂平面 BEF，AD⊄平面 BEF，所以 AD∥平面 BEF，由(1)知，DE 为三棱锥 B－ACD 的高，因为三棱锥 F－BCE 的高 h＝ DE＝ × ＝ ，S △BCE ＝ S△ABC ＝ × ×2 ×2 ＝2，12 12 2 22 12 12 12 2 2所以三棱锥 F－BCE 的体积为：VF－BCE ＝ S△BCE ·h＝ ×2× ＝ .13 13 22 239适考素能特训 专题五 立体几何 第二编 专题整合突破 第二讲 点、直线、平面之间的位 置关系 主干知识整合 热点考向探究 1专题五 立体几何 第二讲 点、直线、平面之间的位置关系适考素能特训 文一、选择题1．[2016·银川一中一模]已知直线 m、n 和平面 α，则 m∥n 的必要非充分条件是( )A．m、n 与 α 成等角 B．m⊥α 且 n⊥αC．m∥α 且 n⊂α D．m∥α 且 n∥α答案 A解析 m∥n⇒m、n 与 α 成等角，若 m、n 与 α 成等角，m、n 不一定平行，故选 A.2．[2016·“江南十校”高三联考]下列结论正确的是( )A．若直线 l∥平面 α，直线 l∥平面 β，则 α∥βB．若直线 l⊥平面 α，直线 l⊥平面 β，则 α∥βC．若两直线 l1、l 2与平面 α 所成的角相等，则 l1∥l 2D．若直线 l 上两个不同的点 A、B 到平面 α 的距离相等，则 l∥α答案 B解析 A 选项，α 与 β 可能相交； C 选项，l 1，l 2可能相交或异面； D 选项，l 可能与α 相交，A、B 在平面 α 两侧； B 正确，故选 B.3．[2015·广东高考]若空间中 n 个不同的点两两距离都相等，则正整数 n 的取值( )A．至多等于 3 B．至多等于 4C．等于 5 D．大于 5答案 B解析 首先我们知道正三角形的三个顶点满足两两距离相等，于是可以排除 C、 D.又注意到正四面体的四个顶点也满足两两距离相等，于是排除 A，故选 B.4．如图，在正方体 ABCD－A 1B1C1D1中，M，N 分别是 BC1，CD 1的中点，则下列说法错误的是( )A．MN 与 CC1垂直 B．MN 与 AC 垂直C．MN 与 BD 平行 D．MN 与 A1B1平行答案 D解析 如图，连接 C1D，BD，AC，在△C 1DB 中，易知 MN∥BD，故 C 正确；∵CC 1⊥平面2ABCD，∴CC 1⊥BD，∴MN 与 CC1垂直，故 A 正确；∵AC⊥BD，MN∥BD，∴MN 与 AC 垂直，故 B 正确；∵A 1B1与 BD 异面，MN∥BD，∴MN 与 A1B1不可能平行，故 D 错误，选 D.5．如图，已知正方体 ABCD－A 1B1C1D1的棱长为 4，点 H 在棱 AA1上，且 HA1＝1.点 E，F分别为棱 B1C1，C 1C 的中点，P 是侧面 BCC1B1内一动点，且满足 PE⊥PF.则当点 P 运动时，HP2的最小值是( )A．7－ B．27－62 2C．51－14 D．14－22 2答案 B解析 如图所示，以 EF 为直径，在平面 BCC1B1内作圆，易知点 P 在该圆上，该圆的半径为 EF＝ ，再过点 H 引 BB1的垂线，垂足为 G，连接 GP，∴HP 2＝HG 2＋GP 2，其中 HG 为12 24，因此当 GP 最小时，HP 取得最小值，此时 GP＝3－ ，∴HP 2＝(3－ )2 22＋4 2＝9－6 ＋2＋16＝27－ 6 ，∴HP 2的最小值为 27－ 6 .故选 B.2 2 236.如图，在 Rt△AOB 中，∠OAB＝ ，斜边 AB＝4. Rt△AOC 可以通过 Rt△AOB 以直线 AOπ 6为轴旋转得到，且二面角 B－AO－C 是 .点 D 为斜边 AB 的中点，则异面直线 AO 与 CD 所成π 3角的大小为( )A. B.π 2 π 4C. D.π 3 π 6答案 B解析 如图，∵AO⊥OB，AO⊥OC，∴∠BOC＝ ，∵AB＝4，∠OAB＝ ，∴OB＝OC＝2，π 3 π 6过点 D 作 DE⊥OB，垂足为 E，连接 CE，则 DE∥AO，∴∠CDE 为异面直线 AO 与 CD 所成的角，∵OE＝1，OC＝2，∠BOC＝ ，∴CE＝ ，∵点 D 为 AB 的中点，∴DE＝ ，∴ Rt△DEC 是等π 3 3 3腰直角三角形，∴∠CDE＝ ，即异面直线 AO 与 CD 所成角的大小为 .π 4 π 44二、填空题7．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是________．(写出所有真命题的序号)答案 ②④解析 对于①，若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行或相交，所以①不正确．对于②，若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，这是判定定理，②正确．对于③，垂直于同一直线的两条直线可能相互平行，也可能是异面直线，③不正确．对于④，若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直，④正确．8．[2016·江南十校联考]已知△ABC 的三边长分别为 AB＝5，BC＝4，AC＝3，M 是 AB边上的点，P 是平面 ABC 外一点．给出下列四个命题：①若 PA⊥平面 ABC，则三棱锥 P－ABC 的四个面都是直角三角形；②若 PM⊥平面 ABC，且 M 是 AB 边的中点，则有 PA＝PB＝PC；③若 PC＝5，PC⊥平面 ABC，则△PCM 面积的最小值为 ；152④若 PC＝5，P 在平面 ABC 上的射影是△ABC 内切圆的圆心，则点 P 到平面 ABC 的距离为 .23其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)答案 ①②④解析 由题意知 AC⊥BC，对于①，若 PA⊥平面 ABC，则 PA⊥BC，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面 PAC，∴BC⊥PC，因此该三棱锥 P－ABC 的四个面均为直角三角形，①正确；对于②，由已知得 M 为△ABC 的外心，所以 MA＝MB＝MC.∵PM⊥平面 ABC，则PM⊥MA，PM⊥MB，PM⊥MC，由三角形全等可知 PA＝PB＝PC，故②正确；对于③，要使△PCM5的面积最小，只需 CM 最短，在 Rt△ABC 中，(CM) min＝ ，∴(S △PCM )min＝ × ×5＝6，故125 12 125③错误；对于④，设 P 点在平面 ABC 内的射影为 O，且 O 为△ABC 的内心，由平面几何知识得△ABC 的内切圆半径 r＝1，且 OC＝ ，在 Rt△POC 中，PO＝ ＝ ，2 PC2－ OC2 23∴点 P 到平面 ABC 的距离为 ，故④正确．239. [2015·大连高三双基测试]如图，∠ACB＝90°，DA⊥平面 ABC，AE⊥DB 交 DB 于E，AF⊥DC 交 DC 于 F，且 AD＝AB＝2，则三棱锥 D－AEF 体积的最大值为________．答案 26解析 因为 DA⊥平面 ABC，所以 DA⊥BC，又 BC⊥AC，所以 BC⊥平面 ADC，BC⊥AF，又AF⊥CD，所以 AF⊥平面 DCB，AF⊥DB，又 DB⊥AE，所以 DB⊥平面 AEF，所以 DE 为三棱锥D－AEF 的高，且 AF⊥EF.AE 为等腰三角形 ABD 斜边上的高，所以 AE＝ ，设2AF＝a，FE＝b，则底面△AEF 的面积 S＝ ab≤ · ＝ × ＝ ，所以三棱锥 D－AEF 的12 12 a2＋ b22 12 22 12体积 V≤ × × ＝ (当且仅当 a＝b＝1 时等号成立)．13 12 2 26三、解答题10．[2016·湖南六校联考]如图，在直角梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD，且 AB＝AD＝CD＝1.现以 AD 为一边向梯形外作矩形 ADEF，然后沿边 AD 将矩形 ADEF 翻折，使平面 ADEF12与平面 ABCD 垂直．(1)求证：BC⊥平面 BDE；6(2)若点 D 到平面 BEC 的距离为 ，求三棱锥 F－BDE 的体积．63解 (1)证明：在矩形 ADEF 中，ED⊥AD，因为平面 ADEF⊥平面 ABCD，所以 ED⊥平面 ABCD，所以 ED⊥BC.又在直角梯形 ABCD 中，AB＝AD＝1，CD＝2，∠BDC＝45°，所以 BC＝ ，2在△BCD 中，BD＝BC＝ ，CD＝2，所以 BD2＋BC 2＝CD 2，2所以 BC⊥BD，所以 BC⊥平面 BDE.(2)由(1)得，平面 DBE⊥平面 BCE，作 DH⊥BE 于点 H，则 DH⊥平面 BCE，所以 DH＝ .在△BDE 中，BD·DE＝BE·DH，即 ·DE＝ ( )，解得 DE＝1.63 2 63 DE2＋ 2所以 VF－BDE ＝V B－EFD ＝ × ×1×1×1＝ .13 12 1611．[2016·广州五校联考]如图，四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，PA＝PD，∠BAD＝60°，E 是 AD 的中点，点 Q 在侧棱 PC 上．(1)求证：AD⊥平面 PBE；(2)若 Q 是 PC 的中点，求证：PA∥平面 BDQ；(3)若 VP－BCDE ＝2V Q－ABCD ，试求 的值．CPCQ解 (1)证明：由 E 是 AD 的中点，PA＝PD 可得 AD⊥PE.又底面 ABCD 是菱形，∠BAD＝60°，所以 AB＝BD，又因为 E 是 AD 的中点，所以 AD⊥BE，7又 PE∩BE＝E，所以 AD⊥平面 PBE.(2)证明：连接 AC，交 BD 于点 O，连接 OQ.因为 O 是 AC 的中点，Q 是 PC 的中点，所以 OQ∥PA，又 PA⊄平面 BDQ，OQ⊂平面 BDQ，所以 PA∥平面 BDQ.(3)设四棱锥 P－BCDE，Q－ABCD 的高分别为 h1，h 2.所以 VP－BCDE ＝ S 四边形 BCDEh1，13VQ－ABCD ＝ S 四边形 ABCDh2.13又因为 VP－BCDE ＝2V Q－ABCD ，且 S 四边形 BCDE＝ S 四边形 ABCD，34所以 ＝ ＝ .CPCQ h1h2 8312．[2016·郑州质检]如图，已知三棱柱 ABC－A′B′C′的侧棱垂直于底面，AB＝AC，∠BAC＝90°，点 M，N 分别为 A′B 和 B′C′的中点．(1)证明：MN∥平面 AA′C′C；(2)设 AB＝λAA′，当 λ 为何值时，CN⊥平面 A′MN，试证明你的结论．解 (1)证明：取 A′B′的中点 E，连接 ME，NE.8因为 M，N 分别为 A′B 和 B′C′的中点，所以 NE∥A′C′，ME∥AA′.又因为 A′C′⊂平面 AA′C′C，A′A⊂ 平面 AA′C′C，NE⊄ 平面 AA′C′C，ME⊄平面AA′C′C，所以 ME∥平面 AA′C′C，NE∥平面 AA′C′C，所以平面 MNE∥平面 AA′C′C，因为 MN⊂平面 MNE，所以 MN∥平面 AA′C′C.(2)连接 BN，设 AA′＝a，则 AB＝λAA′＝λa，由题意知 BC＝ λa，NC＝BN＝ ，2a2＋ 12λ 2a2因为三棱柱 ABC－A′B′C′的侧棱垂直于底面，所以平面 A′B′C′⊥平面 BB′C′C，因为 AB＝AC，点 N 是 B′C′的中点，所以 A′N⊥平面 BB′C′C，所以 CN⊥A′N，要使 CN⊥平面 A′MN，只需 CN⊥BN 即可，所以 CN2＋BN 2＝BC 2，即 2 ＝2λ 2a2，(a2＋12λ 2a2)解得 λ＝ ，2故当 λ＝ 时，CN⊥平面 A′MN.2典题例证如图，在四棱锥 P－ABCD 中，PC⊥平面 ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.9(1)求证：DC⊥平面 PAC；(2)求证：平面 PAB⊥平面 PAC；(3)设点 E 为 AB 的中点．在棱 PB 上是否存在点 F，使得 PA∥平面 CEF？说明理由．审题过程利用线面垂直进行转化．切 入 点对于存在性问题，可以选通过特殊位置确定，再进关 注 点行证明.(1)证明：因为 PC⊥平面 ABCD，[规 范 解 答 ]所以 PC⊥DC.又因为 DC⊥AC，且 AC 与 PC 相交于点 C，所以 DC⊥平面 PAC.(2)证明：因为 AB∥DC，DC⊥AC，所以 AB⊥AC.因为 PC⊥平面 ABCD，所以 PC⊥AB.所以 AB⊥平面 PAC.所以平面 PAB⊥平面 PAC.(3)棱 PB 上存在点 F，使得 PA∥平面 CEF.证明如下：如图，取 PB 中点 F，连接 EF，CE，CF.又因为 E 为 AB 的中点，所以 EF∥PA.又因为 PA⊄平面 CEF，所以 PA∥平面 CEF.模型归纳10空间中平行与垂直的证明的模型示意图如下：适考素能特训