（全国新课标）2017年高考数学大二轮复习 第二编 专题整合突破 专题三 三角函数与解三角形 文（课件+习题）（打包6套）.zip

专题三 三角函数与解三角形 第二编 专题整合突破 第一讲 三角函数的图象与性质 主干知识整合 热点考向探究 1专题三 三角函数与解三角形 第一讲 三角函数的图象与性质适考素能特训 文一、选择题1．[2016·贵阳监测]下列函数中，以 为最小正周期的奇函数是( )π2A． y＝sin2 x＋cos2 x B． y＝sin (4x＋π2)C． y＝sin2 xcos2x D． y＝sin 22x－cos 22x答案 C解析 A 中， y＝sin2 x＋cos2 x＝ sin ，为非奇非偶函数，故 A错；B 中，2 (2x＋π4)y＝sin ＝cos4 x，为偶函数，故 B错；C 中， y＝sin2 xcos2x＝ sin4x，最小正周期(4x＋π2) 12为 且为奇函数，故 C正确；D 中， y＝sin 22x－cos 22x＝－cos4 x ，为偶函数，故 D错，选π2C.2．[2016·唐山统考]将函数 y＝ cos2x－sin2 x的图象向右平移 个单位长度，所得3π3图象对应的函数为 g(x)，则 g(x)＝( )A．2sin2 x B．－2sin2 xC．2cos D．2sin(2x－π6) (2x－ π6)答案 A解析 因为 y＝ cos2x－sin2 x＝2sin ＝－2sin ，将其图象向右平移3 (π3－ 2x) (2x－ π3)个单位长度得到 g(x)＝－2sin ＝－2sin(2 x－π)＝2sin2 x的图象，所以选π3 [2(x－ π3)－ π3]A.3．[2016·武昌调研]已知函数 f(x)＝2sin －1( ω ＞0)的图象向右平移 个(ω x＋π6) 2π3单位后与原图象重合，则 ω 的最小值是( )A．3 B.32C. D.43 23答案 A解析 将 f(x)的图象向右平移 个单位后得到图象的函数解析式为 2sin2π3－1＝2sin －1，所以 ＝2 kπ， k∈Z，所以[ω (x－2π3)＋ π6] (ω x－ 2ω π3 ＋ π6) 2ω π3ω ＝3 k， k∈Z，因为 ω ＞0， k∈Z，所以 ω 的最小值为 3，故选 A.24．[2016·沈阳质检]某函数部分图象如图所示，它的函数解析式可能是( )A． y＝sin B． y＝sin(－56x＋ 3π5) (65x－ 2π5)C． y＝sin D． y＝－cos(65x＋ 3π5) (56x＋ 3π5)答案 C解析 不妨令该函数解析式为 y＝ Asin(ωx ＋ φ )(ω ＞0)，由图知 A＝1， ＝ － ＝T4 3π4 π3，于是 ＝ ，即 ω ＝ ， 是函数的图象递减时经过的零点，于是5π12 2πω 5π3 65 π3× ＋ φ ＝2 kπ＋π， k∈Z，所以 φ 可以是 ，选 C.65 π3 3π55．[2016·广州模拟]已知 sinφ ＝ ，且 φ ∈ ，函数 f(x)＝sin( ωx ＋ φ )35 (π2， π )(ω ＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 ，则 f 的值为( )π2 (π4)A．－ B．－35 45C. D.35 45答案 B解析 由函数 f(x)＝sin( ωx ＋ φ )的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 ，得到π2其最小正周期为 π，所以 ω ＝2， f ＝sin ＝cos φ ＝－ ＝－ .(π4) (2×π4＋ φ ) 1－ sin2φ 456．[2016·重庆测试]设 x0为函数 f(x)＝sinπ x的零点，且满足| x0|＋ f ＜33，(x0＋12)则这样的零点有( )A．61 个 B．63 个C．65 个 D．67 个答案 C3解析 依题意，由 f(x0)＝sinπ x0＝0 得，π x0＝ kπ， k∈Z， x0＝ k， k∈Z.当 k是奇数时，f ＝sin ＝sin ＝－1，| x0|＋ f ＝| k|－1＜33，| k|＜34，满(x0＋12) [π (k＋ 12)] (kπ ＋ π2) (x0＋ 12)足这样条件的奇数 k共有 34个；当 k是偶数时，f ＝sin ＝sin ＝1，| x0|＋ f ＝| k|＋1＜33，| k|＜32，满足(x0＋12) [π (k＋ 12)] (kπ ＋ π2) (x0＋ 12)这样条件的偶数 k共有 31个．综上所述，满足题意的零点共有 34＋31＝65 个，选 C.二、填空题7．函数 f(x)＝sin( ωx ＋ φ )(x∈R) 的部分图象如图所示，如果(ω 0， |φ |π2)x1， x2∈ ，且 f(x1)＝ f(x2)，则 f(x1＋ x2)＝________.(－π6， π3)答案 32解析 由图可知， ＝ － ＝ ，则 T＝π， ω ＝2，又∵ ＝ ，∴ f(x)T2 π3 (－ π6) π2 － π6＋ π32 π12的图象过点 ，(π12， 1)即 sin ＝1，得 φ ＝ ，∴ f(x)＝sin .(2×π12＋ φ ) π3 (2x＋ π3)而 x1＋ x2＝－ ＋ ＝ ，∴ f(x1＋ x2)＝ f ＝sin ＝sin ＝ .π6 π3 π6 (π6) (2×π6＋ π3) 2π3 328．[2016·贵阳监测]为得到函数 y＝sin 的图象，可将函数 y＝sin x的图象向(x＋π3)左平移 m个单位长度，或向右平移 n个单位长度( m， n均为正数)，则| m－ n|的最小值是________．答案 2π3解析 由题意可知， m＝ ＋2 k1π， k1为非负整数， n＝－ ＋2 k2π， k2为正整数，π3 π3∴| m－ n|＝ ，∴当 k1＝ k2时，| m－ n|min＝ .|2π3＋ 2 k1－ k2 π | 2π349．[2014·湖南岳阳质检]已知函数 f(x)＝sin 的图象向左平移 个单位后与(ω x＋π4) π6函数 g(x)＝sin 的图象重合，则正数 ω 的最小值为________．(ω x＋π6)答案 232解析 将 f(x)＝sin 的图象向左平移 个单位后，得到函数 f1(x)＝sin(ω x＋π4) π6的图象．又 f1(x)＝sin 的图象与 g(x)＝sin 的图[ω (x＋π6)＋ π4] [ω (x＋ π6)＋ π4] (ω x＋ π6)象重合，故 ωx ＋ ω ＋ ＝2 kπ＋ ωx ＋ ， k∈Z.所以 ω ＝12 k－ (k∈Z)．又 ω ＞0，故π6 π4 π6 12当 k＝1 时， ω 取得最小值，为 12－ ＝ .12 232三、解答题10．[2014·山东高考]已知向量 a＝( m，cos2 x)， b＝(sin2 x， n)，函数 f(x)＝ a·b，且 y＝ f(x)的图象过点 和点 .(π12， 3) (2π3， － 2)(1)求 m， n的值；(2)将 y＝ f(x)的图象向左平移 φ (0＜ φ ＜π)个单位后得到函数 y＝ g(x)的图象，若y＝ g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为 1，求 y＝ g(x)的单调递增区间．解 (1)由题意知 f(x)＝ a·b＝ msin2x＋ ncos2x.因为 y＝ f(x)的图象过点 和 ，(π12， 3) (2π3， － 2)所以Error!即Error! 解得Error!(2)由(1)知f(x)＝ sin2x＋cos2 x＝2sin .3 (2x＋π6)由题意知 g(x)＝ f(x＋ φ )＝2sin .(2x＋ 2φ ＋π6)设 y＝ g(x)的图象上符合题意的最高点为( x0,2)，由题意知 x ＋1＝1，所以 x0＝0，20即到点(0,3)的距离为 1的最高点为(0,2)．将其代入 y＝ g(x)得 sin ＝1，(2φ ＋π6)因为 0＜ φ ＜π，所以 φ ＝ ，π6因此 g(x)＝2sin ＝2cos2 x.(2x＋π2)由 2kπ－π≤2 x≤2 kπ， k∈Z 得 kπ－ ≤ x≤ kπ， k∈Z，π25所以函数 y＝ g(x)的单调递增区间为 ， k∈Z.[kπ －π2， kπ ]11．[2016·天津五区县调考]已知函数 f(x)＝ sinxcosx－cos 2x＋ (x∈R)．312(1)求函数 f(x)的单调递增区间；(2)函数 f(x)的图象上所有点的横坐标扩大到原来的 2倍，再向右平移 个单位长度，π6得到 g(x)的图象，求函数 y＝ g(x)在 x∈[0，π]上的最大值及最小值．解 (1) f(x)＝ sinxcosx－cos 2x＋ ＝ sin2x－ cos2x＝sin312 32 12 (2x－ π6)由 2kπ－ ≤2 x－ ≤2 kπ＋ 得 kπ－ ≤ x≤ kπ＋ (k∈Z)，π2 π6 π2 π6 π3所以函数 f(x)的单调递增区间为 (k∈Z)．[kπ －π6， kπ ＋ π3](2)函数 f(x)的图象上所有点的横坐标扩大到原来的 2倍，再向右平移 个单位，得π6g(x)＝sin ，(x－π3)因为 x∈[0，π]得： x－ ∈ ，π3 [－ π3， 2π3]所以 sin ∈(x－π3) [－ 32， 1]所以当 x＝0 时， g(x)＝sin 有最小值－ ，(x－π3) 32当 x＝ 时， g(x)＝sin 有最大值 1.5π6 (x－ π3)12．[2016·福建质检]已知函数 f(x)＝sin xcosx＋ cos2x.12(1)若 tanθ ＝2，求 f(θ )的值；(2)若函数 y＝ g(x)的图象是由函数 y＝ f(x)的图象上所有的点向右平移 个单位长度而π4得到，且 g(x)在区间(0， m)内是单调函数，求实数 m的最大值．解 (1)因为 tanθ ＝2，所以 f(θ )＝sin θ cosθ ＋ cos2θ ＝sin θ cosθ ＋ (2cos2θ －1)12 12＝sin θ cosθ ＋cos 2θ － ＝ － ＝ － ＝ .12 sinθ cosθ ＋ cos2θsin2θ ＋ cos2θ 12 tanθ ＋ 1tan2θ ＋ 1 12 110(2)由已知得 f(x)＝ sin2x＋ cos2x＝ sinError!2x＋ Error!.12 12 22 π4依题意，得 g(x)＝ sin ，22 [2(x－ π4)＋ π4]即 g(x)＝ sin .22 (2x－ π4)6因为 x∈(0， m)，所以 2x－ ∈ .π4 (－ π4， 2m－ π4)又因为 g(x)在区间(0， m)内是单调函数，所以 2m－ ≤ ，即 m≤ ，故实数 m的最π4 π2 3π8大值为 .3π8适考素能特训 专题三 三角函数与解三角形 第二编 专题整合突破 第二讲 三角恒等变换与解三角形 主干知识整合 热点考向探究 1专题三 三角函数与解三角形 第二讲 三角恒等变换与解三角形适考素能特训 文一、选择题1．[2016·合肥质检]sin18°sin78°－cos162°cos78°＝( )A．－ B．－32 12C. D.32 12答案 D解析 sin18°sin78°－cos162°cos78°＝sin18°sin78°＋cos18°·cos78°＝cos(78°－18°)＝cos60°＝ ，故选 D.122．[2016·广西质检]已知 0)，由余弦定理得，cosA＝ ＝ ＝－ .因为 A是△ ABC的内角，所以b2＋ c2－ a22bc  5k 2＋  3k 2－  7k 22×5k×3k 12sinA＝ ＝ ，因为△ ABC的面积为 45 ，所以 bcsinA＝45 ，即 ×5k×3k×1－ cos2A32 3 12 3 12＝ 45 ，解得 k＝2 .由正弦定理 ＝2 R(R为△ ABC外接圆的半径)，即 2R＝ ＝32 3 3 asinA 7ksinA，解得 R＝14，所以△ ABC外接圆半径为 14.14332三、解答题10．[2016·重庆测试]在锐角△ ABC中，内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，且2cos2 ＋sin2 A＝1.B＋ C2(1)求 A；(2)设 a＝2 －2，△ ABC的面积为 2，求 b＋ c的值．3解 (1)由 2cos2 ＋sin2 A＝1 可得，2 ＋2sin AcosA＝1，B＋ C2 1＋ cos B＋ C24所以 1＋cos(π－ A)＋2sin AcosA＝1，故 2sinAcosA－cos A＝0.因为△ ABC为锐角三角形，所以 cosA≠0，故 sinA＝ ，12从而 A＝ .π6(2)因为△ ABC的面积为 bcsinA＝ bc＝2，所以 bc＝8.12 14因为 A＝ ，故 cosA＝ ，由余弦定理可知， b2＋ c2－ a2＝2 bccosA＝ bc.π6 32 3又 a＝2 －2，所以( b＋ c)2＝ b2＋ c2＋2 bc＝(2＋ )bc＋ a2＝8×(2＋ )＋(2 －2)3 3 3 32＝32.故 b＋ c＝ ＝4 .32 211．[2016·武汉调研]在△ ABC中，内角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，已知cos2B＋cos B＝1－cos AcosC.(1)求证： a， b， c成等比数列；(2)若 b＝2，求△ ABC的面积的最大值．解 (1)证明：在△ ABC中，cos B＝－cos( A＋ C)．由已知，得(1－sin 2B)－cos( A＋ C)＝1－cos AcosC，∴－sin 2B－(cos AcosC－sin AsinC)＝－cos AcosC，化简，得 sin2B＝sin AsinC.由正弦定理，得 b2＝ ac，∴ a， b， c成等比数列．(2)由(1)及题设条件，得 ac＝4.则 cosB＝ ＝ ≥ ＝ ，a2＋ c2－ b22ac a2＋ c2－ ac2ac 2ac－ ac2ac 12当且仅当 a＝ c时，等号成立．∵0 Bπ，∴sin B＝ ≤ ＝ .1－ cos2B1－ (12)2 32∴ S△ ABC＝ acsinB≤ ×4× ＝ .12 12 32 3∴△ ABC的面积的最大值为 .312．[2016·济宁模拟]已知向量 m＝ ， n＝ ，记 f(x)＝ m·n.(3sinx4， 1) (cosx4， cos2x4)(1)若 f(x)＝1，求 cos 的值；(x＋π3)(2)在锐角△ ABC中，角 A， B， C的对边分别是 a， b， c，且满足(2 a－ c)cosB＝ bcosC，求 f(2A)的取值范围．解 (1) f(x)＝ m·n＝ sin cos ＋cos 23x4 x4 x4＝ sin ＋ cos ＋ ＝sin ＋ ，32 x2 12 x2 12 (x2＋ π6) 125因为 f(x)＝1，所以 sin ＝ ，(x2＋ π6) 12所以 cos ＝1－2sin 2 ＝ .(x＋π3) (x2＋ π6) 12(2)因为(2 a－ c)cosB＝ bcosC，由正弦定理得(2sin A－sin C)cosB＝sin BcosC，所以 2sinAcosB－sin CcosB＝sin BcosC，所以 2sinAcosB＝sin( B＋ C)．因为 A＋ B＋ C＝π，所以 sin(B＋ C)＝sin A，且 sinA≠0，所以 cosB＝ ，又 0B ，所以 B＝ .12 π2 π3则 A＋ C＝ π， A＝ π－ C，又 0C ，23 23 π2则 A ，得 A＋ ，π6 π2 π3 π62π3所以 sin ≤1 又因为 f(2A)＝sin ＋ ，故函数 f(2A)的取值范围是32 (A＋ π6) (A＋ π6) 12.(3＋ 12 ， 32]典题例证[2016·天津高考]已知函数 f(x)＝4tan xsin cosError!－Error!－ .(π2－ x) 3(1)求 f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论 f(x)在区间 上的单调性.[－π4， π4]审题过程确定函数的定义域，运用辅助角公式化为切 入 点y＝ Asin(ωx ＋ φ )的形式确定最小正周期．利用 y＝sin x的单调性进行求解，注意将 ωx ＋ φ 视关 注 点为一个整体.(1) f(x)的定义域为 .[规 范 解 答 ] {xx≠π2＋ kπ ， k∈ Z}f(x)＝4tan xcosxcos －(x－π3) 3＝4sin xcos －(x－π3) 3＝4sin x －(12cosx＋ 32sinx) 36＝2sin xcosx＋2 sin2x－3 3＝sin2 x＋ (1－cos2 x)－3 3＝sin2 x－ cos2x3＝2sin .(2x－π3)所以， f(x)的最小正周期 T＝ ＝π.2π2(2)令 z＝2 x－ ，函数 y＝2sin z的单调递增区间是 ， k∈Z.π3 [－ π2＋ 2kπ ， π2＋ 2kπ ]由－ ＋2 kπ≤2 x－ ≤ ＋2 kπ，得－ ＋ kπ≤ x≤ ＋ kπ， k∈Z.π2 π3 π2 π12 5π12设 A＝ ， B＝Error!＋ kπ≤ x≤ ＋Error! .[－π4， π4] 5π12易知 A∩ B＝ .[－π12， π4]所以，当 x∈ 时， f(x)在区间 上单调递增，在区间 上[－π4， π4] [－ π12， π4] [－ π4， － π12]单调递减.模型归纳利用 y＝sin x(y＝cos x)的图象及性质解决三角函数性质的模型示意图如下：典题例证△ ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，已知 2cosC(acosB＋ bcosA)＝ c.(1)求 C；7(2)若 c＝ ，△ ABC的面积为 ，求△ ABC的周长.7332审题过程 利用正、余弦定理进行边角互化；切 入 点由 S△ ABC得出 ab，再由余弦定理联立方程.关 注 点(1)由已知及正弦定理得，[规 范 解 答 ]2cosC(sinAcosB＋sin BcosA)＝sin C，2cosCsin(A＋ B)＝sin C，故 2sinCcosC＝sin C.可得 cosC＝ ，所以 C＝ .12 π3(2)由已知， absinC＝ .12 332又 C＝ ，所以 ab＝6.π3由已知及余弦定理得， a2＋ b2－2 abcosC＝7，故 a2＋ b2＝13，从而( a＋ b)2＝25.所以△ ABC的周长为 5＋ .7模型归纳利用正弦、余弦定理解三角形的模型示意图如下：适考素能特训