1、专题三 三角函数与解三角形 第二编 专题整合突破 第一讲 三角函数的图象与性质 主干知识整合 热点考向探究 1专题三 三角函数与解三角形 第一讲 三角函数的图象与性质适考素能特训 文一、选择题12016贵阳监测下列函数中，以 为最小正周期的奇函数是( )2A ysin2 xcos2 x B ysin (4x2)C ysin2 xcos2x D ysin 22xcos 22x答案 C解析 A 中， ysin2 xcos2 x sin ，为非奇非偶函数，故 A错；B 中，2 (2x4)ysin cos4 x，为偶函数，故 B错；C 中， ysin2 xcos2x sin4x，最小正周期(4x2)
2、12为 且为奇函数，故 C正确；D 中， ysin 22xcos 22xcos4 x ，为偶函数，故 D错，选2C.22016唐山统考将函数 y cos2xsin2 x的图象向右平移 个单位长度，所得33图象对应的函数为 g(x)，则 g(x)( )A2sin2 x B2sin2 xC2cos D2sin(2x6) (2x 6)答案 A解析 因为 y cos2xsin2 x2sin 2sin ，将其图象向右平移3 (3 2x) (2x 3)个单位长度得到 g(x)2sin 2sin(2 x)2sin2 x的图象，所以选3 2(x 3) 3A.32016武昌调研已知函数 f(x)2sin 1(
3、0)的图象向右平移 个( x6) 23单位后与原图象重合，则 的最小值是( )A3 B.32C. D.43 23答案 A解析 将 f(x)的图象向右平移 个单位后得到图象的函数解析式为 2sin2312sin 1，所以 2 k， kZ，所以 (x23) 6 ( x 2 3 6) 2 3 3 k， kZ，因为 0， kZ，所以 的最小值为 3，故选 A.242016沈阳质检某函数部分图象如图所示，它的函数解析式可能是( )A ysin B ysin(56x 35) (65x 25)C ysin D ycos(65x 35) (56x 35)答案 C解析 不妨令该函数解析式为 y Asin(x )
4、( 0)，由图知 A1， T4 34 3，于是 ，即 ， 是函数的图象递减时经过的零点，于是512 2 53 65 3 2 k， kZ，所以 可以是 ，选 C.65 3 3552016广州模拟已知 sin ，且 ，函数 f(x)sin( x )35 (2， )( 0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 ，则 f 的值为( )2 (4)A B35 45C. D.35 45答案 B解析 由函数 f(x)sin( x )的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 ，得到2其最小正周期为 ，所以 2， f sin cos .(4) (24 ) 1 sin2 4562016重庆测试设 x0为函数 f(x)s
5、in x的零点，且满足| x0| f 33，(x012)则这样的零点有( )A61 个 B63 个C65 个 D67 个答案 C3解析 依题意，由 f(x0)sin x00 得， x0 k， kZ， x0 k， kZ.当 k是奇数时，f sin sin 1，| x0| f | k|133，| k|34，满(x012) (k 12) (k 2) (x0 12)足这样条件的奇数 k共有 34个；当 k是偶数时，f sin sin 1，| x0| f | k|133，| k|32，满足(x012) (k 12) (k 2) (x0 12)这样条件的偶数 k共有 31个综上所述，满足题意的零点共有 3
6、43165 个，选 C.二、填空题7函数 f(x)sin( x )(xR) 的部分图象如图所示，如果( 0， | |2)x1， x2 ，且 f(x1) f(x2)，则 f(x1 x2)_.(6， 3)答案 32解析 由图可知， ，则 T， 2，又 ， f(x)T2 3 ( 6) 2 6 32 12的图象过点 ，(12， 1)即 sin 1，得 ， f(x)sin .(212 ) 3 (2x 3)而 x1 x2 ， f(x1 x2) f sin sin .6 3 6 (6) (26 3) 23 3282016贵阳监测为得到函数 ysin 的图象，可将函数 ysin x的图象向(x3)左平移 m个
7、单位长度，或向右平移 n个单位长度( m， n均为正数)，则| m n|的最小值是_答案 23解析 由题意可知， m 2 k1， k1为非负整数， n 2 k2， k2为正整数，3 3| m n| ，当 k1 k2时，| m n|min .|23 2 k1 k2 | 23492014湖南岳阳质检已知函数 f(x)sin 的图象向左平移 个单位后与( x4) 6函数 g(x)sin 的图象重合，则正数 的最小值为_( x6)答案 232解析 将 f(x)sin 的图象向左平移 个单位后，得到函数 f1(x)sin( x4) 6的图象又 f1(x)sin 的图象与 g(x)sin 的图 (x6)
8、4 (x 6) 4 ( x 6)象重合，故 x 2 k x ， kZ.所以 12 k (kZ)又 0，故6 4 6 12当 k1 时， 取得最小值，为 12 .12 232三、解答题102014山东高考已知向量 a( m，cos2 x)， b(sin2 x， n)，函数 f(x) ab，且 y f(x)的图象过点 和点 .(12， 3) (23， 2)(1)求 m， n的值；(2)将 y f(x)的图象向左平移 (0 )个单位后得到函数 y g(x)的图象，若y g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为 1，求 y g(x)的单调递增区间解 (1)由题意知 f(x) ab msin
9、2x ncos2x.因为 y f(x)的图象过点 和 ，(12， 3) (23， 2)所以Error!即Error! 解得Error!(2)由(1)知f(x) sin2xcos2 x2sin .3 (2x6)由题意知 g(x) f(x )2sin .(2x 2 6)设 y g(x)的图象上符合题意的最高点为( x0,2)，由题意知 x 11，所以 x00，20即到点(0,3)的距离为 1的最高点为(0,2)将其代入 y g(x)得 sin 1，(2 6)因为 0 ，所以 ，6因此 g(x)2sin 2cos2 x.(2x2)由 2k2 x2 k， kZ 得 k x k， kZ，25所以函数 y
10、 g(x)的单调递增区间为 ， kZ.k 2， k 112016天津五区县调考已知函数 f(x) sinxcosxcos 2x (xR)312(1)求函数 f(x)的单调递增区间；(2)函数 f(x)的图象上所有点的横坐标扩大到原来的 2倍，再向右平移 个单位长度，6得到 g(x)的图象，求函数 y g(x)在 x0，上的最大值及最小值解 (1) f(x) sinxcosxcos 2x sin2x cos2xsin312 32 12 (2x 6)由 2k 2 x 2 k 得 k x k (kZ)，2 6 2 6 3所以函数 f(x)的单调递增区间为 (kZ)k 6， k 3(2)函数 f(x)
11、的图象上所有点的横坐标扩大到原来的 2倍，再向右平移 个单位，得6g(x)sin ，(x3)因为 x0，得： x ，3 3， 23所以 sin (x3) 32， 1所以当 x0 时， g(x)sin 有最小值 ，(x3) 32当 x 时， g(x)sin 有最大值 1.56 (x 3)122016福建质检已知函数 f(x)sin xcosx cos2x.12(1)若 tan 2，求 f( )的值；(2)若函数 y g(x)的图象是由函数 y f(x)的图象上所有的点向右平移 个单位长度而4得到，且 g(x)在区间(0， m)内是单调函数，求实数 m的最大值解 (1)因为 tan 2，所以 f(
12、 )sin cos cos2 sin cos (2cos2 1)12 12sin cos cos 2 .12 sin cos cos2sin2 cos2 12 tan 1tan2 1 12 110(2)由已知得 f(x) sin2x cos2x sinError!2x Error!.12 12 22 4依题意，得 g(x) sin ，22 2(x 4) 4即 g(x) sin .22 (2x 4)6因为 x(0， m)，所以 2x .4 ( 4， 2m 4)又因为 g(x)在区间(0， m)内是单调函数，所以 2m ，即 m ，故实数 m的最4 2 38大值为 .38适考素能特训 专题三 三角
13、函数与解三角形 第二编 专题整合突破 第二讲 三角恒等变换与解三角形 主干知识整合 热点考向探究 1专题三 三角函数与解三角形 第二讲 三角恒等变换与解三角形适考素能特训 文一、选择题12016合肥质检sin18sin78cos162cos78( )A B32 12C. D.32 12答案 D解析 sin18sin78cos162cos78sin18sin78cos18cos78cos(7818)cos60 ，故选 D.1222016广西质检已知 0)，由余弦定理得，cosA .因为 A是 ABC的内角，所以b2 c2 a22bc 5k 2 3k 2 7k 225k3k 12sinA ，因为
14、ABC的面积为 45 ，所以 bcsinA45 ，即 5k3k1 cos2A32 3 12 3 12 45 ，解得 k2 .由正弦定理 2 R(R为 ABC外接圆的半径)，即 2R 32 3 3 asinA 7ksinA，解得 R14，所以 ABC外接圆半径为 14.14332三、解答题102016重庆测试在锐角 ABC中，内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，且2cos2 sin2 A1.B C2(1)求 A；(2)设 a2 2， ABC的面积为 2，求 b c的值3解 (1)由 2cos2 sin2 A1 可得，2 2sin AcosA1，B C2 1 cos B C24所以
15、1cos( A)2sin AcosA1，故 2sinAcosAcos A0.因为 ABC为锐角三角形，所以 cosA0，故 sinA ，12从而 A .6(2)因为 ABC的面积为 bcsinA bc2，所以 bc8.12 14因为 A ，故 cosA ，由余弦定理可知， b2 c2 a22 bccosA bc.6 32 3又 a2 2，所以( b c)2 b2 c22 bc(2 )bc a28(2 )(2 2)3 3 3 3232.故 b c 4 .32 2112016武汉调研在 ABC中，内角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，已知cos2Bcos B1cos AcosC.(1
16、)求证： a， b， c成等比数列；(2)若 b2，求 ABC的面积的最大值解 (1)证明：在 ABC中，cos Bcos( A C)由已知，得(1sin 2B)cos( A C)1cos AcosC，sin 2B(cos AcosCsin AsinC)cos AcosC，化简，得 sin2Bsin AsinC.由正弦定理，得 b2 ac， a， b， c成等比数列(2)由(1)及题设条件，得 ac4.则 cosB ，a2 c2 b22ac a2 c2 ac2ac 2ac ac2ac 12当且仅当 a c时，等号成立0 B，sin B .1 cos2B1 (12)2 32 S ABC acsi
17、nB 4 .12 12 32 3 ABC的面积的最大值为 .3122016济宁模拟已知向量 m ， n ，记 f(x) mn.(3sinx4， 1) (cosx4， cos2x4)(1)若 f(x)1，求 cos 的值；(x3)(2)在锐角 ABC中，角 A， B， C的对边分别是 a， b， c，且满足(2 a c)cosB bcosC，求 f(2A)的取值范围解 (1) f(x) mn sin cos cos 23x4 x4 x4 sin cos sin ，32 x2 12 x2 12 (x2 6) 125因为 f(x)1，所以 sin ，(x2 6) 12所以 cos 12sin 2 .
18、(x3) (x2 6) 12(2)因为(2 a c)cosB bcosC，由正弦定理得(2sin Asin C)cosBsin BcosC，所以 2sinAcosBsin CcosBsin BcosC，所以 2sinAcosBsin( B C)因为 A B C，所以 sin(B C)sin A，且 sinA0，所以 cosB ，又 0B ，所以 B .12 2 3则 A C ， A C，又 0C ，23 23 2则 A ，得 A ，6 2 3 623所以 sin 1 又因为 f(2A)sin ，故函数 f(2A)的取值范围是32 (A 6) (A 6) 12.(3 12 ， 32典题例证201
19、6天津高考已知函数 f(x)4tan xsin cosError!Error! .(2 x) 3(1)求 f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论 f(x)在区间 上的单调性.4， 4审题过程确定函数的定义域，运用辅助角公式化为切 入 点y Asin(x )的形式确定最小正周期利用 ysin x的单调性进行求解，注意将 x 视关 注 点为一个整体.(1) f(x)的定义域为 .规 范 解 答 xx2 k ， k Zf(x)4tan xcosxcos (x3) 34sin xcos (x3) 34sin x (12cosx 32sinx) 362sin xcosx2 sin2x3 3sin2 x
20、 (1cos2 x)3 3sin2 x cos2x32sin .(2x3)所以， f(x)的最小正周期 T .22(2)令 z2 x ，函数 y2sin z的单调递增区间是 ， kZ.3 2 2k ， 2 2k 由 2 k2 x 2 k，得 k x k， kZ.2 3 2 12 512设 A ， BError! k x Error! .4， 4 512易知 A B .12， 4所以，当 x 时， f(x)在区间 上单调递增，在区间 上4， 4 12， 4 4， 12单调递减.模型归纳利用 ysin x(ycos x)的图象及性质解决三角函数性质的模型示意图如下：典题例证 ABC的内角 A， B
21、， C的对边分别为 a， b， c，已知 2cosC(acosB bcosA) c.(1)求 C；7(2)若 c ， ABC的面积为 ，求 ABC的周长.7332审题过程 利用正、余弦定理进行边角互化；切 入 点由 S ABC得出 ab，再由余弦定理联立方程.关 注 点(1)由已知及正弦定理得，规 范 解 答 2cosC(sinAcosBsin BcosA)sin C，2cosCsin(A B)sin C，故 2sinCcosCsin C.可得 cosC ，所以 C .12 3(2)由已知， absinC .12 332又 C ，所以 ab6.3由已知及余弦定理得， a2 b22 abcosC7，故 a2 b213，从而( a b)225.所以 ABC的周长为 5 .7模型归纳利用正弦、余弦定理解三角形的模型示意图如下：适考素能特训
