高中数学 2.1 随机变量及其概率分布课件+教案（打包3套）苏教版选修2-3.zip

ξ 取每一个值 的概率 ξx1 x2 … xi …p p1 p2 … pi …称为随机变量 x的概率分布表表设离散型随机变量 ξ可能取值为定义 :概率分布说明 :离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：简称 x的分布列 .1.一袋中装有 6个同样大小的小球，编号为 1、 2、 3、 4、 5、 6，现从中随机取出 3个小球，以 表示取出球的最大号码，求 的分布列．6543作业中练习 1.随机变量 ξ 的分布列为解 :(1)由 随机变量的分布的性质有ξ -1 0 1 2 3p 0.16 a/10 a2 a/5 0.3（ 1）求常数 a;（ 2）求 P(1ξ4)(2)P(1ξ4)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.12+0.3=0.42解得： （舍）或解： 由 可得 的取值 为－ 1、 、 0、 、 1、且 相应取值的概率没有变化∴ 的 分布表为：－ 1 10练习 2:已知随机变量 的分布表如下：－ 2 － 1 3210求出随机变量 的 分布表．思考 .一个口袋里有 5只球 ,编号为 1,2,3,4,5,在袋中同时取出 3只 ,以 ξ 表示取出的 3个球中的最小号码 ,试写出 ξ 的分布表 . 解 : 随机变量 ξ 的可取值为 1,2,3.P(ξ =1)= =3/5;同理可得 P(ξ =2)=3/10;P(ξ =3)=1/10.因此 ,ξ 的分布如下表所示ξ 1 2 3p 3/5 3/10 1/10课堂练习：2.设随机变量 的分布列为则 的值为 ．1.设随机变量 的分布表如下：4321则 的值为 ．课堂练习：3.设随机变量 的分布表为则 （ ）A、 1B、C、D、4.设随机变量 只能取 5、 6、 7、 ··· 、 16这 12个值，且取每一个值的概率均相等，则 ,若 则实数 的取值范围是 ．D3.一盒中放有大小相同的 4个红球、 1个绿球、 2个黄球，现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得 1分，取出黄球得 0分，取出绿球得 -1分，试写出从该盒中取出一球所得分数 ξ 的分布列。1.篮球运动员在比赛中 , 每次罚球命中得 1分 , 不中得 0分 , 已知某运动员罚球命中的概率为 0.7, 求他罚球一次的得分的分布 .数学应用X 1 0P 0.7 0.32.将 3个不同的小球任意地放入 4个大玻璃杯中 , 杯子中球的最大数目为 X , 求 X的分布 .X 1 2 3P 3/8 9/16 1/163.数字 1, 2, 3 , 4任意排成一列 , 如果数字 k恰好出现在第 k个位置上 , 则称有一个巧合 , 求巧合数 X的分布 .X 0 1 2 3 4P 3/8 1/3 1/4 0 1/241.把 3个骰子全部掷出 , 设出现 6点的骰子次数是 X , 则 P(X2)=___________ .课堂练习：2. 5张卡片上分别标有号码 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 从中任取 3张 , 设 3张卡片中最大号码数为 X , 则 X的分布为 :XP3.已知随机变量的分布是X － 2 － 1 0 1 2 3P若 , 则 Y的分布为YP3.已知随机变量的分布是X － 2 － 1 0 1 2 3PYP若 Z=X 2－ 2X , 则 Z的分布为4.一盒子中有 9个正品和 3个次品零件 , 每次取一个零件 , 如果取出的次品不再放回 , 求在取得正品前已取出次品数 X的概率分布 . (如果取出的次品允许放回呢 ?)例 1： 某人在射击训练中，射击一次，命中的环数 .例 2： 某纺织公司的某次产品检验，在可能含有次品的 100件产品中任意抽取 4件，其中含有的次品件数 .若用 η表示所含次品数， η有哪些取值？若用 ξ表示命中的环数， ξ有哪些取值？ξ可取 0环、 1环、 2环、 ···、 10环 ,共 11种结果η可取 0件、 1件、 2件、 3件、 4件 ,共 5种结果思考 :把一枚硬币向上抛，可能会出现哪几种结果？能否用数字来刻划这种随机试验的结果呢？说明： (1)任何一个随机试验的结果我们可以进行数量化； (2)同一个随机试验的结果 ,可以赋不同的数值 .ε=0，表示正面向上；ε=1，表示反面向上随机变量 :如果随机实验的结果可以用一个变量来表示 .表示方法 ： 随机变量常用希腊字母 ξ 、 η 等表示。附 :随机变量 ξ或 η的特点： (1)可以用数表示； (2)试验之前可以判断其可能出现的所有值 ;(3)在试验之前不可能确定取何值。练习一 :写出下列各随机变量可能的取值 :(1)从 10张已编号的卡片（从 1号到 10号）中任取 1张，被取出的卡片的号数 ．(2)一个袋中装有 5个白球和 5个黑球，从中任取 3个，其中所含白球数 ．（ 3）抛掷两个骰子，所得点数之和 ．(4)接连不断地射击 ,首次命中目标需要的射击次数 ．（ ＝ 1、 2、 3、 ··· 、 10）（ ＝ 0、 1、 2、 3）注 :随机变量即是随机试验的试验结果和实数之间的一种对应关系 .1.将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是 ( )(A)两次出现的点数之和(B)两次掷出的最大点数(C)第一次减去第二次的点数差(D)抛掷的次数D1.袋 中有 大小相同的 5个小球，分别标有 1、 2、 3、 4、 5五个号码，现在在有放回的条件下取出两个小球，设两个小球号码之和为 ，则 所有可能值的个数是 ____ 个； “ ” 表示 ．“ 第一次抽 1号、第二次抽 3号，或者第一次抽 3号、第二次抽 1号，或者第一次、第二次都抽 2号．92.抛掷一枚骰子两次，记第一次骰子掷出的点数减去第二次骰子掷出的点数的差为ξ ，试问 : (1)“ξ4” 表示的试验结果是什么？ (2) P (ξ4)=?答 :(1)因为一枚骰子的点数可以是 1， 2， 3， 4，5， 6六种结果之一，由已知得 ，也就是说 “ ＞ 4” 就是“ ＝ 5” ．所以， “ ＞ 4” 表示第一枚为 6点，第二枚为 1点． 3.一袋中装有 5个白球， 3个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现 10次时停止，停止时取球的次数 ξ 是一个随机变量，则P(ξ =12)=___________。（ 用式子表示）例 1.(1)掷一枚质地均匀的硬币一次 , 用Ｘ表示掷得正面的次数 , 则随机变量Ｘ的可能取值有哪些 ?(2)一个实验箱中装有标号为 1 , 2 , 3 , 3 , 4 的五只白鼠 , 从中任取一只 , 记取到的白鼠的标号为 Y, 则随机变量 Y的可能取值有哪些 ?例 2.写出下列随机变量可能取的值 , 并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果 .(1)袋中有大小相同的红球 10个 , 白球 5个 , 从袋中每次任取 1个球 , 直到取出的球是白球为止 , 所需要的取球次数 .(2)从标有 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6的 6张卡片中任取 2张 , 所取卡片上的数字之和 .问题： 抛掷一枚骰子，所得的点数 有哪些值？ 取每个值的概率是多少？ 则1 2 6543而且列出了 的每一个取值的概率．该表不仅列出了随机变量 的所有取值．解：的取值有 1、 2、 3、 4、 5、 6列成表的形式ξ 取每一个值 的概率 ξ x1 x2 … xi …p p1 p2 … pi …称为随机变量 x的概率分布表表设离散型随机变量 ξ可能取值为定义 :概率分布说明 :离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：简称 x的分布列 .例 3.从袋有 6只白球和 4只红球的口袋中任取一只球 , 用Ｘ表示 “ 取到的白球个数 ”即Ｘ = ,求随机变量Ｘ的概率分布 .例 4.同时抛掷两颗质地均匀的骰子 , 观察朝上一面出现的点数 , 求两颗骰子中出现的最大点数Ｘ的概率分布 , 并求Ｘ大于 2小于 5的概率 P(2Ｘ 5) .12.1 随机变量及其概率分布教案 教学目标（1）在对具体问题的分析中，了解随机变量、离散型随机变量的意义，理解取有限值的离散型随机变量及其概率分布的概念；（2）会 求出某些简单的离散型随机变量的概率分布，认识概率分布对于刻画随机现象的重要性；（3）感受社会生活中大量随机 现象都存在着数量规律，培养辨证唯物主义世界观． 教学重点，难点（1）理解取有限值的随机变量及其分布列的概念；（2）初步掌握求解简单随机变量的概率分布．教学过程一．问题情境在一块地里种下 10 棵树苗，成活的树苗棵数 X是 0，1，…，10 中的某个数；抛掷一颗骰子，向上的点数 Y是 1，2，3，4，5，6 中的某一个数；新生婴儿的性别，抽查的结果可能是男，也可能是女．如果将男婴用 0 表示，女婴用 1 表示，那么抽查的结果 Z是 0和 1 中的某个数；……上述现象有哪些共同特点？二．学生活动上述现象中的 X， Y， Z，实际上是把每个随机试验的基本事件都对应一个确定的实数，即在试验结果（样本点）与实数之间建立了一个映射．例如，上面的植树问题中成活的树苗棵数 X： 0，表示成活 0 棵； 1X，表示成活 1 棵；……三．建构数学1．随机变量：一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．通常用大写拉丁字母 X， Y， Z（或小写希腊字母 ， ， ）等表示，而用小写拉丁字母 x， y， z（加上适当下标）等表示随机变量取的 可能值．如：上面新生婴儿的性别 是一个随机变量， 0，表示新生婴儿是男婴；1Z，表示新生婴儿是女婴．2例 1． （1）掷一枚质地均匀的硬币一次，用 X表示掷得正面的次数，则随机变量 X的可能取值有哪些？（2）一实验箱中装有标号为 1，2，3，3，4 的五只白鼠，从中任取一只，记取到的白鼠的标号为 Y，则随机变量 Y的可能取值有哪些？解 （1）抛掷 硬币是随机试验，结果有两种可能，一种是正面向上，另一种是反面向上，所以变量 X的取值可能是 1（正面向上） ，也可能是 0（反面向上） ，故随机变量 X的取值构成集合{0，1}．（2）根据条件可知，随机变量 Y的可能值有 4 种，它的取值集合是{1，2，3，4}． 说明：(1)引入了随机变量后，随机事件就可以用随机变量来表示．(2) 在例 1（1）中，随机事件“掷一枚硬币，正面向上”可以用随机变量表示为{}X，随机事件“掷一枚硬币，反面向上”可以用随机变量表示为 {0}X．(3) 在例 1（2）中，也可用 {1}Y， 2， {3}Y， 4分别表示取到 1 号、2 号、3 号和 4 号白鼠这 4 个随机事件．另一方面，在例 1（2）中，可以用 {3}Y这样的记号表示“取到 1 号、2 号或 3 号白鼠”这件事情，也就是说，复杂的事件也可以用随机变量的取值来表示．这样，我们就可以用随机事件发生的概率来表示随机变量取值的概率了．如例 1（1）中 {1}X的概率可以表示为 {1}PX（ ） {抛 一 枚 硬 币 ， }2正 面 向 上 ，其中P（ ）常简记为 （ ） ．同理， 01（ ） =2．这一结果可用表 2-1-1 来描述． X0 1P122例 1（2）中随机变量 Y所表示的随机事件发生的概率也可用表 2-1-2 来描述．1 2 3 4P515515上面的两个表格分别给出了随机变量 X， Y表示的随机事件的概率，描述了随机变量的分布规律．2．随机变量的概率分布：3一般地，假定随机变量 X有 n个不同的取值，它们分别是 1x， 2，…， nx，且()iiPXxp， 1,2，① 则称①为随机变量 X的概率分布列，简称为 X的分布列．也可以将①用表 2-1-3 的形式来表示．1x2x… nxPpp… p我们将表 2-1-3 称为随机变量 X的概率分布表．它和①都叫做随机变量 X的概率分布．3．随机变量分布列的性质：（1） 0ip； （2） 121npp．四．数学运用1．例题：例 2．从装有 6 只白球和 4 只红球的口袋中任取一只球，用 X表示“取到的白球个数”，即 ,0X当 取 到 白 球 时 ，当 取 到 红 球 时 ， 求随机变量 X的概率分布．解 由题意知 42(0)65P， 63(1)45P，故随机变量 的概率分布列为 2()5， 31X，概率分布表如下．0 1P2535说明：1．本题中，随机变量 X只取两个可能值 0 和 1．像这样的例子还有很多，如在射击中，只考虑“命中”与“不命中” ；对产品进行检验时，只关心 “合格”与“不合格”等．我们把这一类概率分布称为 0-1 分布或两点分布，并记为 X~0-1 分布或 ~两点分布．此处“~”表示“服从” ．2．求随机变量 X的分布列的步骤：（1）确定 的可能取值 (1,2)ix…；（2）求出相应的概率 ()iiPxp；（3）列成表格的形式。例 3 若随机变量 的分布列为：试求出常数 c．4Pc29c83解：由随 机变量分布列的性质可知： 291038c，解得 3c。变式：设随机变量 的分布列为 1()(,24)kPa，求实数 a的值。 （410）例 4 某班有学生 45 人，其中 O型血的有 10 人， A型血的有 12 人， B型血的有 8人， AB 型血的有 15 人，现抽 1 人，其血型为随机变量 X，求 的分布列。解：设 O、 、 、 AB四种血型分别编号为 1，2，3，4，则 的可能取值为1，2，3，4。则10452()9CPX，1245()CPX，1845(3)，145()3。故其分布表为1 2 3 4P29415845132．练习：课本第 48 页 练习第 1，2 题五．回顾小结：1．随机变量的概念及 0-1 分布，随机变量性质的应用；2．求随机变量 X的分布列的步骤．六．课外作业：课本第 52 页 习题 2．2 第 1，3 题七．板书设计课题： 一、定义、公式二、注意……三、小结三、例题：例 1例 2四、课堂练习：1、2、5例 3例 4八．教后感第 2 课时 随机变量及其概率分布（2）教学目标（1）正确理解随机变量及其概率分布列的意义；（2）掌握某些较复杂的概率分布列． 教学重点，难点 求解随机变量的概率分布教学过程一．问题情境1．复习回顾：（1）随机变量及其概率分布的概念；（2）求概率分布的一般步骤．2．练习：（1）写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．①一袋中装有 5 只同样大小的白球，编号为 1，2，3，4，5．现从该袋内随机 取出 3只球，被取出的球的最大号码数为 X；②盒中有 6 支白粉笔和 8 支红粉笔 ，从中任意取 3 支，其中所含白粉笔的支数 X；③ 从 4 张已编号（1 号～4 号）的卡片中任意取出 2 张，被取出的卡片编号数之和 X．解：① 可取 3，4，5． ＝3，表示取出的 3 个球的编号为 1，2，3； ＝4，表示取出的 3 个球的编号为 1，2，4 或 1，3， 4 或 2，3，4； ＝ 5，表示取出的 3 个球的编号为 1，2，5 或 1，3，5 或 1，4，5 或 2，3，5 或 2，4，5 或 3，4，5． ② 可取 0，1，2，3， X＝ i表示取出 支白粉笔， i支红粉笔，其中i0，1，2，3．③ 可取 3，4，5，6，7． ＝3 表示取出分别标有 1，2 的两张卡片；＝4 表示取出分别标有 1，3 的两张卡片； ＝5 表示取出分别标有 1，4 或 2，3 的两张卡片； ＝6 表示取出分别标有 2，4 的两张卡片； X＝7 表示取出分别标有 3，4 的6两张卡片．（2）袋内有 5 个白球，6 个红球，从中摸出两球，记 01X两 球 全 红两 球 非 全 红 ．求 的分布列．解：显然 X服从两点分布，2613(0)CPX，则 38()1P．所以的分布列是:0 1P318二．数学运用1．例题：例 1 同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数．求两颗骰子中出现的最大点数 X的概率分布，并求 X大于 2 小于 5 的概率 (25)PX．解 依题意易知，掷两颗骰子出现的点数有 36 种等可能的情况：（1，1） ， （1，2） ，（1，3） ， （1，4） ， （1，5） ， （1，6） ， （2，1） ，…， （6，5） ， （6，6） ．因而 X的可能取值为 1，2，3，4，5，6，详见下表．X的值 出现的点 情况数1 （1，1） 12 （2，2） ， （2，1） ， （1，2） 33 （3，3） ， （3，2） ， （3，1） ， （2，3） ， （1，3） 54 （4，4） ， （4，3） ， （4，2） ， （4，1） ， （3，4） ， （2，4） ， （1，4） 75（5，5） ， （5，4） ， （5，3） ， （5，2） ， （5，1） ， （4，5） ， （3，5） ，（2，5） ， （1，5）96（6，6） ， （6，5） ， （6，4） ， （6，3） ， （6，2） ， （6，1） ， （5，6） ，（4，6） ， （3，6） ， （2，6） ， （1，6）11由古典概型可知 X的概率分布如表 2-1-6 所示．1 2 3 4 5 67P13653679361从而 5(25)()(4)XPX．思考：在例 3 中，求两颗骰子出现最小点数 Y的概率分布．分析 类似与例 1，通过列表可知：1()6PY， 9(2)36Y， 7()36， 5(4)36P， 3()6PY， 3．例 2 从装有 6 个白球、4 个黑球和 2 个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢 2 元， 而每取出一个白球输 1 元，取出黄球无输赢，以 X表示赢得的钱数，随机变量 X可以取哪些值呢？求 的分布列．解析：从箱中取出两个球的情形有以下六种：{2 白}，{1 白 1 黄}，{1 白 1 黑}，{2 黄}，{1 黑 1 黄}，{2 黑}．当取 到 2 白时，结果输 2 元，随机变量 ＝－2；当取到 1 白 1 黄时，输 1 元，随机变量 ＝－1；当取到 1 白 1 黑时，随机变量 X＝1；当取到 2 黄时， ＝0；当取到 1 黑 1 黄时， ＝2；当取到 2 黑时， ＝4．则 X的可能取值为－2，－1，0，1，2，4．5)(6CP； 1)(26CP ；21； 421X ； 34)(21X，)4(2X．从而得到 的分布列如下：－2 －1 0 1 2 4P56431例 3 袋中装有黑球和白球共 7 个，从中任取 2 个球都是白球的概率为 ，现在甲、乙两人从袋中轮流摸取 1 球，甲先取，乙后取，然后甲再取…… 取后不放回，直到两人中8有一人取到白球时即止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用 表示取球终止时所需要的取球次数． （1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量 的概率分布；（3）求甲取到白球的概率．解：（1）设袋中原有 n个白球，由题意知：27(1)1()67nCn，所以()6n，解得 3（舍去 2） ，即袋中原有 3 个白球．（2）由题意， 的可能取值为 1，2，3，4，5．(1)7P； ()76； 46()753P；432()65， 321(5)64．所以，取球次数 的分布列为：1 2 3 4 5P376513（3）因为甲先取，所以甲只有可能在第 1 次，第 3 次和第 5 次取球，记“甲取到白球”的事件为 A，则 ()（ “，或 “，或 “） ．因为事件 “、“、 5“两两互斥，所以 3612()1)(3)(5)735PP．2．练习：课本第 48 页 练习第 3 题五．回顾小结：1．随机变量及其分布列的意义；2．随机变量概率分布的求解．六．课外作业：课本第 52 页 习题 2．2 第 2，5 题七．板书设计课题： 9一、定义、公式二、注意点……五、小结三、例题：例 1例 2例 3四、课堂练习：1、八．教后感