优化方案2017高中数学 第二章 平面向量习题（打包12套）新人教A版必修4.zip

1【优化方案】2017 高中数学 第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念应用案巩固提升 新人教 A 版必修 4[A 基础达标]1．关于零向量，下列说法中错误的是( )A．零向量是没有方向的B．零向量的长度为 0C．零向量的模都相 等D．零向量的方向是任意的解析：选 A.零向量是指长度为 0 的向量，也有方向，只不过方向是任意的．2．下列命题中，正确的是( )A．| a|＝1⇒ a＝±1B．| a|＝| b|且 a∥ b⇒a＝ bC． a＝ b⇒a∥ bD． a∥0⇒| a|＝0解析：选 C.两向量共线且模相等，但两向量不一定相等，0 与任一向量平行．3．已知向量 与向量 共线，下列关于向量 的说法中，正确的为( )AB→ BC→ AC→ A．向量 与向量 一定同向AC→ AB→ B．向量 ，向量 ，向量 一定共线AC→ AB→ BC→ C．向量 与向量 一定相等AC→ BC→ D．以上说法都不正确解析：选 B． 根据共线向量定义，可知 ， ， 这 三个向量一定为共线向量，故选AB→ BC→ AC→ B．4．下列说法正确的是( )A．若 a 与 b 平行， b 与 c 平行，则 a 与 c 一定平行B．终点相同的两个向量不共线C．若 |a||b|，则 abD．单位向量的长度为 1解析：选 D.A 中，因为零向量与任意向量平行，若 b＝ 0，则 a 与 c 不一定平行．B 中，两向量终点相同，若夹角是 0°或 180°，则共线．C 中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小．5．把平面内所有长度不小于 1 且不大于 2 的向量的起点平移到同一点 O，则这些向量2的终点所构成的图形的面积为( )A．4π B．πC．2π D．3π解析：选 D.图形是半径为 1 和 2 的同心圆对应的圆环，故 S 圆环 ＝π(2 2－1 2)＝3π.6.如图，四边形 ABCD 是平行四边形， E、 F 分别是 AD 与 BC 的中点，则在以 A、 B、 C、 D四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与向量 方向相反的向量为________．EF→ 解析：因为 AB∥ EF， CD∥ EF，所以与 平行的 向量为 ， ， ， ，其中方向相反的EF→ DC→ CD→ AB→ BA→ 向量为 ， .BA→ CD→ 答案： ，BA→ CD→ 7．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2， O 为其中心，则| |＝________．OA→ 解析：因为正方形的对角线长为 2 ，2所以| |＝ .OA→ 2答案： 28．给出下 列三个条件： ①| a|＝| b|；② a 与 b 方向相反；③| a|＝0 或| b|＝0，其中能使 a∥ b 成立的条件是________．解析：由于| a|＝| b|并没有确定 a 与 b 的方向，即①不能够使 a∥ b 成立；因为 a 与 b方向相反时， a∥ b，即②能够使 a∥ b 成立；因为零向量与任意向量共线，所以| a|＝0 或|b|＝0 时， a∥ b 能够成立．故使 a∥ b 成立的条件是②③.答案：②③9．飞机从 A 地按北偏西 15°的方向飞行 1 400 km 到达 B 地， 再从 B 地按东偏南15°的方向飞行 1 400 km 到达 C 地，那么 C 地在 A 地什么方向？ C 地距 A 地多远？解：如图所示， 表示飞机从 A 地按北偏西 15°方向 飞行到 B 地的位移，则| |＝1 AB→ AB→ 400(km)．3表示飞机从 B地按东偏南 15°方向飞行到 C 地的位移，则| |＝1 400(km) .BC→ BC→ 所以 为从 A 地到 C 地的位移．AC→ 在△ ABC 中， AB＝ BC＝1 400(km)，且∠ ABC＝(90°－15°)－15°＝60°，故△ ABC 为等边三角形，所以 AC＝1 400(km)．所以 C 地在 A 地北偏东 60°－15°＝45°，距离 A 地 1 400 km 处．10．已知 ABCD 是任意四边形，边 AD， BC 的中点分别为 E， F，延长 AF 到 G，使 F 恰为AG 的中点，连接 BG， CG， DG， AC.(1)试找出与 相等的向量；AB→ (2)试找出与 相等的向量；AC→ (3)试找出与 共线的向量．EF→ 解：(1) F 是 AG 和 BC 的中点，所以四边形 ABGC 是平行四边形．故 ＝ .AB→ CG→ (2)由(1)知四边形 ABGC 是平行四边形，所以 ＝ .AC→ BG→ (3)因为 E 为 AD 的中点， F 是 AG 的中点，所以 EF 为△ ADG 的中位线， EF∥ DG，所以与 共线的向量有 ， 和 .EF→ DG→ GD→ FE→ [B 能力提升]1．在菱 形 ABCD 中，∠ DAB＝ 120°，则以下说法错误的是( )A．与 相等的向量只有一个(不含 )AB→ AB→ B．与 的模相等的向量有 9 个(不含 )AB→ AB→ 4C. 的模恰为 模的 倍BD→ DA→ 3D. 与 不共线CB→ DA→ 解析：选 D.两向量相等要求长度(模)相等，方向相同．两向量共线只要求方向相同或相反．D 中 ， 所在直线平行，向量方向相同，故共线．CB→ DA→ 2．若 A 地位于 B 地正西方向 5 km 处， C 地位于 A 地正北方向 5 km 处，则 C 地相对于B地的位移是________．解析：据题意画出图形如图所示，由图可知| |＝5 km，且∠ ABC＝45°，BC→ 2故 C 地相对于 B 地的位移是西北方向 5 km.2答案：西北方向 5 km23.如图， O 为正方形 ABCD 对角线的交点，四边形 OAED， OCFB 都是正方形，在图中所示向量中，(1)分别写出与 ， 相等的向量；AO→ BO→ (2)写出与 共线的向量；AO→ (3)写出与 模相等的向量．AO→ 解 ：(1)与 相等的向量为 ，与 相等的向量为 .AO→ BF→ BO→ AE→ (2)与 共线的向量有 ， ， .AO→ CO→ BF→ DE→ (3)与 模相等的向量为 ， ， ， ， ， ， .AO→ AE→ DE→ DO→ CO→ BF→ BO→ CF→ 4．(选做题)一辆消防车从 A 地去 B 地执行任务，先从 A 地向北偏东 30°方向行驶 2千米到 D 地，然后从 D 地沿北偏东 60°方向行驶 6 千米到达 C 地，从 C 地又向南偏西 30°方向行驶 2 千米才到达 B 地．5(1)在如图所示的坐标系中画出 ， ， ， ；AD→ DC→ CB→ AB→ (2)求 B 地相对于 A 地的位移．解：(1)向量 ， ， ， 如图所示．AD→ DC→ CB→ AB→ (2)由题意知 ＝ .AD→ BC→ 所以 AD 綊 BC，则四边形 ABCD 为平行四边形．所以 ＝ ，则 B 地相对于 A 地的位移为“北偏东 60°，6 千米” ．AB→ DC→ 1【优化方案】2017 高中数学 第二章 平面向量 2.2.1 向量加法运算及其几何意义应用案巩固提升 新人教 A 版必修 4[A 基础达标]1．下列等式错误的是( )A． a＋0 0 a＝ a＝ ＋B． ＋ ＋ ＝0AB→ BC→ AC→ C. ＋ ＝0AB→ BA→ D. ＋ ＝ ＋ ＋CA→ AC→ MN→ NP→ PM→ 解析：选 B． 由向量加法可知 ＋ ＋ ＝ ＋ ≠0.AB→ BC→ AC→ AC→ AC→ 2．已知向量 a∥ b，且| a|＞| b|＞0，则向量 a＋ b 的方向( )A．与向量 a 方向相同B．与向量 a 方向相反C．与向量 b 方向相同D．与向量 b 方向相反解析：选 A.因为 a∥ b 且| a|＞| b|＞0，所以当 a， b 同向时， a＋ b 的方向与 a 相同，当 a， b 反向时，因为| a|＞| b|，所以 a＋ b 的方向仍与 a 相同．3．在矩形 ABCD 中，| |＝4，| |＝2，则向量 ＋ ＋ 的长度等于( )AB→ BC→ AB→ AD→ AC→ A．2 B．45 5C．12 D．6解析：选 B．因为 ＋ ＝ ，所以 ＋ ＋ 的长度为 的模的 2 倍，故选 B．AB→ AD→ AC→ AB→ AD→ AC→ AC→ 4．已知平行四 边形 ABCD，设 ＋ ＋ ＋ ＝ a，且 b 是一非零向量，则下列结论：AB→ CD→ BC→ DA→ ① a∥b ；② a＋ b＝ a；③ a＋ b＝ b；④ |a＋ b||b|， a＋ b 与 a 同向，则 |a＋ b|＝ |a|－| b|；若 |a||b|， a＋ b 与 b 同向，则 |a＋ b|＝ |b|－| a|.4.(选做题)如图，已知向量 a， b， c， d.(1)求作 a＋ b＋ c＋ d；(2)设 |a|＝2， e 为单位向量，求 |a＋ e|的最大值．解：(1)在平面内任取一点 O，作 ＝ a， ＝ b， ＝ c， ＝ d，则 ＝ a＋ b＋ c＋ d.OA→ AB→ BC→ CD→ OD→ (2)在平面内任取一点 O，作 ＝ a， ＝ e，则 a＋ e＝ ＋ ＝ ，因为 e 为单位向量，OA→ AB→ OA→ AB→ OB→ 所以点 B 在以 A 为圆心的单位圆上(如图所示)，由图可知当点 B 在点 B1时 ， O， A， B1三点共线，| |即| a＋ e|最大，最大值是 3.OB→ 1【优化方案】2017 高中数学 第二章 平面向量 2.2.2 向量减法运算及其几何意义应用案巩固提升 新人教 A 版必修 4[A 基础达标]1．在三角形 ABC 中， ＝ a， ＝ b，则 ＝( )BA→ CA→ CB→ A． a－ b B． b－ aC． a＋ b D．－ a－ b解析：选 B． ＝ ＋ ＝ ＋(－ )＝ b－ a.CB→ CA→ AB→ CA→ BA→ 2．若 O， E， F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )A. ＝ ＋ B． ＝ －EF→ OF→ OE→ EF→ OF→ OE→ C. ＝－ ＋ D. ＝－ －EF→ OF→ OE→ EF→ OF→ OE→ 解析：选 B． ＝ ＋ ＝ － ＝ － ＝－ － .故选 B．EF→ EO→ OF→ OF→ OE→ EO→ FO→ OE→ FO→ 3．下列式子不正确的是( )A． a－0 a＝B． a－ b＝－( b－ a)C. ＋ ≠0AB→ BA→ D. ＝ ＋ ＋AC→ DC→ AB→ BD→ 解析：选 C.根据向量减法的三角形法则，A 正确；B 正确；因为 与 是一对相反向AB→ BA→ 量，相反向量的和为 零向量，所以 C 不正确；根据向量加法的多边形法则，D 正确．4．如图，在 四边形 ABCD 中，设 ＝ a， ＝ b， ＝ c，则 ＝( )AB→ AD→ BC→ DC→ A． a－ b＋ c B． b－( a＋ c)C． a＋ b＋ c D． b－ a＋ c解析：选 A. ＝ ＋ ＋ ＝ a－ b＋ c.DC→ DA→ AB→ BC→ 5．给出下列各式：① ＋ ＋ ； AB→ CA→ BC→ 2② － ＋ － ；AB→ CD→ BD→ AC→ ③ － － ； AD→ OD→ AO→ ④ － ＋ ＋ .NQ→ MP→ QP→ MN→ 对这些式子进行化简，则其化简结果为 0 的式子的 个数是( )A．4 B．3C．2 D．1解析：选 A.① ＋ ＋ ＝ ＋ ＝0；AB→ CA→ BC→ AC→ CA→ ② － ＋ － ＝ ＋ －( ＋ )＝ － ＝0；AB→ CD→ BD→ AC→ AB→ BD→ AC→ CD→ AD→ AD→ ③ － － ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝0；AD→ OD→ AO→ AD→ DO→ OA→ AO→ OA→ ④ － ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ － ＝ ＋ ＝0.NQ→ MP→ QP→ MN→ NQ→ QP→ MN→ MP→ NP→ PN→ 6．化简( ＋ )＋( － )＝___ _____．AB→ PC→ BA→ QC→ 解析：( ＋ )＋( － )＝( ＋ )＋( ＋ )＝0 ＝ .AB→ PC→ BA→ QC→ AB→ BA→ PC→ CQ→ ＋ PQ→ PQ→ 答案： PQ→ 7．在△ ABC 中， D 是 BC 的中点，设 ＝ c， ＝ b， ＝ a， ＝ d，则AB→ AC→ BD→ AD→ d－ a＝________， d＋ a＝________．解析：根据题意画出图形，如图，d－ a＝ － ＝ ＋ ＝ ＝ c；AD→ BD→ AD→ DB→ AB→ d＋ a＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ B．AD→ BD→ AD→ DC→ AC→ 答案： c b8．给出下列命题：①若 ＋ ＝ ，则 － ＝ ；OD→ OE→ OM→ OM→ OE→ OD→ ②若 ＋ ＝ ，则 ＋ ＝ ；OD→ OE→ OM→ OM→ DO→ OE→ ③若 ＋ ＝ ，则 － ＝ ；OD→ OE→ OM→ OD→ EO→ OM→ 3④若 ＋ ＝ ，则 ＋ ＝ .OD→ OE→ OM→ DO→ EO→ MO→ 其中正确命题的序号为________．解析：①因为 ＋ ＝ ，OD→ OE→ OM→ 所以 ＝ － ，正确；OD→ OM→ OE→ ② － ＝ ，所以 ＋ ＝ ，正确；OM→ OD→ OE→ OM→ DO→ OE→ ③因为 ＝－ ，所以 － ＝ ，正确；OE→ EO→ OD→ EO→ OM→ ④－ ＝－ － ，所以 ＝ ＋ ，正确．OM→ OD→ OE→ MO→ DO→ EO→ 答案：①②③④9．化简：(1) － ＋ － ；AB→ AC→ BD→ CD→ (2) ＋ － ＋ .OA→ OC→ OB→ CO→ 解：(1)原式＝ ＋ － ＝ － ＝0.CB→ BD→ CD→ CD→ CD→ (2)原式＝( － )＋( ＋ )＝ ＋0＝ .OA→ OB→ OC→ CO→ BA→ BA→ 10.如图所示，已知正方形 ABCD 的边长等于 1， ＝ a， ＝ b， ＝ c，试作出下列向量，AB→ BC→ AC→ 并分别求出其长度：(1)a＋ b＋ c；(2) a－ b＋ c.解：(1)由已知得 a＋ b＝ ＋ ＝ ＝ c，所以延长 AC 到 E，使| |＝| |.AB→ BC→ AC→ CE→ AC→ 则 a＋ b＋ c＝ ，且| |＝2 .AE→ AE→ 2所以| a＋ b＋ c|＝2 .24(2)作 ＝ ，连接 CF，BF→ AC→ 则 ＋ ＝ ，DB→ BF→ DF→ 而 ＝ － ＝ a－ b，DB→ AB→ AD→ 所以 a－ b＋ c＝ ＋ ＝DB→ BF→ DF→ 且| |＝2，所以| a－ b＋ c|＝2.DF→ [B 能力提升]1．平面内有三点 A， B， C，设 m＝ ＋ ， n＝ － ，若| m|＝| n|，则有( )AB→ BC→ AB→ BC→ A． A， B， C 三点必在同一直线上B．△ ABC 必为等腰三角形且∠ ABC 为顶角C．△ ABC 必为直角三角形且∠ ABC＝90°D．△ ABC 必为等腰直角三角形解析：选 C.如图，作 ＝ ，则 ABCD 为平行四边形，从而AD→ BC→ m＝ ＋ ＝ ， n＝ － ＝ － ＝ .AB→ BC→ AC→ AB→ BC→ AB→ AD→ DB→ 因为| m|＝| n|，所以| |＝| |.AC→ DB→ 所以四边形 ABCD 是矩形，所以△ ABC 为直角三角形，且∠ ABC＝90°.2．对于非零向量 a， b，当且仅当________时，有| a－ b|＝|| a|－| b||.解析：当 a， b 不同向时，根据向量减法的几何意义，知一定有| a－ b|||a|－| b||，所以只有两向量共线且同向时，才有| a－ b|＝|| a|－| b||.答案： a 与 b 同向3.5如图所示，已知 ＝ a， ＝ b， ＝ c， ＝ d， ＝ e， ＝ f，试用OA→ OB→ OC→ OD→ OE→ OF→ a， b， c， d， e， f 表示：(1) － ；AD→ AB→ (2) ＋ ；AB→ CF→ (3) － .EF→ CF→ 解：(1)因为 ＝ b， ＝ d，OB→ OD→ 所以 － ＝ ＝ － ＝ d－ B．AD→ AB→ BD→ OD→ OB→ (2)因为 ＝ a， ＝ b， ＝ c， ＝ f，OA→ OB→ OC→ OF→ 所以 ＋ ＝( － )＋( － )＝ b＋ f－ a－ c.AB→ CF→ OB→ OA→ OF→ OC→ (3) － ＝ ＋ ＝ ＝ － ＝ c－ e.EF→ CF→ EF→ FC→ EC→ OC→ OE→ 4.(选做题)已知△ ABC 是等腰直角三角形，∠ ACB＝90°， M 是斜边 AB 的中点， ＝ a，CM→ ＝ B．CA→ 求证：(1)| a－ b|＝| a|；(2)|a＋( a－ b)|＝| b|.证明：因为△ ABC 是等腰直角三角形，∠ ACB＝90°，所以 CA＝ CB． 又 M 是斜边 AB 的中点，所以 CM＝ AM＝ BM.(1)因为 － ＝ ，CM→ CA→ AM→ 又| |＝| |，AM→ CM→ 所以| a－ b|＝| a|.(2)因为 M 是斜边 AB 的中点，所以 ＝ ，AM→ MB→ 所以 a＋( a－ b)＝ ＋( － )＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ，CM→ CM→ CA→ CM→ AM→ CM→ MB→ CB→ 因为| |＝| |，所以| a＋( a－ b)|＝| b|.CA→ CB→