优化方案2017高中数学 第二章 数列（课件+习题）（打包21套）新人教A版必修5.zip

1【优化方案】2017 高中数学 第二章 数列 2.5 等比数列的前 n 项和 第 1 课时 等比数列的前 n 项和应用案巩固提升 新人教 A 版必修5[A 基础达标]等比数列 1，2，4，8，…，前 10 项的和为( )1.A．2 10 B．2 10－1C．2 9 D．2 10＋1解析：选 B. 等比数列的首项 a1＝1，公比 q＝2，所以 S10＝ ＝2 10－1.1－ 2101－ 2设{ an}是公比为正数的等比数列，若 a1＝1， a5＝16， 则数列{ an}的前 7 项的和为( )2.A．63 B．64C．127 D．128解析：选 C.设公比为 q(q0)，由 a5＝a 1q4及题设知 16＝q 4.所以 q＝2，所以 S7＝＝ ＝127.a1（ 1－ q7）1－ q 1－ 271－ 23．在等比数列{ an}中， a3＝ ，其前三项的和 S3＝ ，则数列{ an}的公比 q＝( )32 92A．－ B.12 12C．－ 或 1 D. 或 112 12解析：选 C.由题意，可得 a1q2＝ ，① a1＋ a1q＋ a1q2＝ ，②由②÷①，得32 92＝3，解得 q＝－ 或 1.1＋ q＋ q2q2 124．一个等比数列的前 7 项和为 48，前 14 项和为 60，则前 21 项和为( )A．180 B．108C．75 D．63解析：选 D.由题意知， S7， S14－ S7， S21－ S14组成等比数列 48，12，3，即S21－ S14＝3，所以 S21＝63.5．设首项为 1，公比为 的等比数列{ an}的前 n 项和为 Sn，则( )23A． Sn＝2 an－1 B． Sn＝3 an－22C． Sn＝4－3 an D． Sn＝3－2 an解析：选 D.法一：在等比数列{ an}中，Sn＝ ＝ ＝3－2 an.a1－ anq1－ q1－ an×231－ 23法二：在等比数列{ an}中， a1＝1， q＝ ，23所以 an＝1× ＝ .(23)n－ 1 (23)n－ 1 Sn＝ ＝31×[1－ (23)n ]1－ 23 [1－ (23)n ]＝3 ＝3－2 an.[1－23×(23)n－ 1 ]6．在等比数列{ an}中，已知 S30＝13 S10， S10＋ S30＝140 ，则 S20等于________．解析：因为 S30≠3 S10，所以 q≠1.由 {S30＝ 13S10，S10＋ S30＝ 140)得 {S10＝ 10，S30＝ 130， )所以{a1（ 1－ q10）1－ q ＝ 10，a1（ 1－ q30）1－ q ＝ 130， )所以 q20＋ q10－12＝0.所以 q10＝3，所以 S20＝ ＝ S10(1＋ q10)a1（ 1－ q20）1－ q＝10×(1＋3)＝40.答案：40(2016·扬州中学检测)设等比数列{ an}的各项均为正数，其前 n 项和为 Sn，若7.a1＝1， a3＝4， Sk＝63，则 k＝________．解析：设等比数列{ an}的公比为 q，由已知 a1＝1， a3＝4 得，q2＝ ＝4，又{ an}的各项均为正数，a3a13所以 q＝2.而 Sk＝ ＝63，1－ 2k1－ 2所以 2k－1＝6 3，解得 k＝6.答案：6在等比数列{ an}中，若 a1＝ ， a4＝－4，则公比8.12q＝________；| a1|＋| a2|＋…＋| an|＝________．解析：由 ＝－8＝ q3，a4a1解得 q＝－2，故 an＝ a1qn－1 ＝ ×(－2) n－1 ，12则| an|＝ ＝ ·2n－1 ，|12×（ － 2） n－ 1| 12即数列{| an|}是以 为首项、2 为公比的等比数列 ，12因此| a1|＋| a2|＋…＋| an|＝ ＝2 n－1 － .12（ 1－ 2n）1－ 2 12答案：－2 2 n－1 －129．等比数列{ an}的通项公式为 an＝2 n，其前 n 项和为 Sn.(1)求 S9及 Sn；(2)求数列{ an}中第 4 项至第 10 项的和．解：等比数列{ an}的首项为 a1＝2，公比 q＝2.(1)S9＝ ＝ ＝1 022.a1（ 1－ q9）1－ q 2（ 1－ 29）1－ 2Sn＝ ＝ ＝2 n＋1 －2.a1（ 1－ qn）1－ q 2×（ 1－ 2n）1－ 2(2)a4＝2 4＝16， a10＝2 10＝1 024，设数列{ an}中第 4 项至第 10 项的和为 S，则 S＝＝ ＝2 032.a4－ a10q1－ q 16－ 1 024×21－ 2(2015·高考重庆卷)已知等差数列{ an}满足 a3＝2，前 3 项和 S3＝ .10.92(1)求{ an}的通项公式；(2)设等比数列{ bn}满足 b1＝ a1， b4＝ a15，求{ bn}的前 n 项和 Tn.解：(1)设{ an}的公差为 d，则由已知条件得4a1＋2 d＝2，3 a1＋ d＝ ，3×22 92化简得 a1＋2 d＝2， a1＋ d＝ ，32解得 a1＝1， d＝ ，12故{ an}的通项公式 an＝1＋ ，即 an＝ .n－ 12 n＋ 12(2)由(1)得 b1＝1， b4＝ a15＝ ＝8.15＋ 12设{ bn}的公比为 q，则 q3＝ ＝8，从而 q＝2，b4b1故{ bn}的 前 n 项和Tn＝ ＝ ＝2 n－1.b1（ 1－ qn）1－ q 1×（ 1－ 2n）1－ 2[B 能力提升]已知等比数列{ an}的前 n 项积为 Π n，若 a3·a4·a8＝8，则 Π 9＝( )1.A．512 B．256C．81 D．16解析：选 A.法一：在等比数列{ an}中，因为 a3·a4·a8＝8，所以a1·a5·a9＝ a2·a6·a7＝8，所以 Π 9＝8 3＝512.故选 A.法二：设等比数列{ an}的公比为 q，因为 a3·a4·a8＝8，所以 a1q2a1q3a1q7＝8.所以a q12＝8.所以 a ＝8.所以 a5＝2.所以 Π 9＝ a1·a2·…·a9＝ a ＝2 9＝512.故选 A.31 35 952．已知等比数列{ an}是递增数列， Sn是{ an}的前 n 项和．若 a1， a3是方程x2－5 x＋4＝0 的两个根，则 S6＝________.解析：因为 a1， a3是方程 x2－5 x＋4＝0 的两个根，且数列{ an}是递增的等比数列，所以 a1＝1， a3＝4， q＝2，所以 S6＝ ＝63.1－ 261－ 2答案：63某地本年度旅游业收入估计为 400 万元，由于该地出台了一系列措施，进一步发展3.旅游业，预计今后旅游业的收入每年会比上一年增加 .求 n 年内旅游 业的总收入．14解：设第 n 年的旅游业收入估计为 an万元，则 a1＝400， an＋1 ＝ an＝ an，(1＋14) 54所以 ＝ ，an＋ 1an 545所以数列{ an}是公比为 的等比数列，54所以 Sn＝ ＝a1（ 1－ qn）1－ q400[1－ (54)n ]1－ 54＝1 600 ，[(54)n － 1]即 n 年内旅游业的总收入为 1 600 万元．[(54)n － 1](选做题)已知等比数列{ an}的前 n 项和为 Sn， a1＝－1， ＝ .4.S10S5 3132(1)求等比数列{ an}的公比 q；(2)求 a ＋ a ＋…＋ a .21 2 2n解：(1)由 ＝ ， a1＝－1，知公比 q≠1 ， ＝－ .由等比数列前 n 项和的性S10S5 3132 S10－ S5S5 132质知 S5， S10－ S5， S15－ S10成等比数列，且公比为 q5，故 q5＝－ ， q＝－ .132 12(2)由(1)，得 an＝(－1)× ，所以 a ＝ ，(－12)n－ 1 2n (14)n－ 1 所以数列{ a }是首项为 1，公比为 的等比数列，2n14故 a ＋ a ＋…＋ a ＝ ＝ .21 2 2n1×(1－ 14n)1－ 14 43(1－ 14n)