优化方案2017高中数学 第三章 三角恒等变换（课件+习题）（打包12套）新人教A版必修4.zip

1【优化方案】2017 高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换应用案巩固提升 新人教 A 版必修 4[A 基础达标]1．已知 2sin α ＝1＋cos α ，则 tan ＝( )α 2A. B． 或不存在12 12C．2 D．2 或不存在解析：选 B． 由 2sin α ＝1＋cos α ，即 4sin cos ＝2cos 2 ，α 2 α 2 α 2当 cos ＝0 时，则 tan 不存在；α 2 α 2当 cos ≠0 时，则 tan ＝ .α 2 α 2 122．已知 cos θ ＝－ (－180° ＜θ＜－90°)，则 cos ＝( )14 θ 2A．－ B．64 64C．－ D．38 38解析：选 B． 因为－180°＜ θ ＜－90°，所以－90°＜ ＜－45°.又 cos θ ＝－ ，θ 2 14所以 cos ＝ ＝ ＝ ，故选 B．θ 2 1＋ cos θ2 1－ 142 643．若 α ∈ ，则 － 等于( )[7π4， 2π ] 1＋ cos 2α2 1－ cos 2α2A．cos α －sin α B．cos α ＋sin αC．－cos α ＋sin α D．－cos α －sin α解析：选 B． 因为 α ∈ ，[7π4， 2π ]所以 sin α ≤0，cos α ＞0，则 － ＝ －1＋ cos 2α2 1－ cos 2α2 cos2α sin2α＝|cos α |－|sin α |＝cos α －(－sin α )＝cos α ＋sin α .4．若 θ ∈ ，sin 2 θ ＝ ，则 sin θ ＝( )[π 4， π 2] 3782A. B．35 45C. D.74 34解析：选 D.因为 θ ∈ ，所以 2θ ∈ ，[π 4， π 2] [π 2， π ]所以 cos 2θ ≤0，所以 cos 2θ ＝－ 1－ sin22θ＝－ ＝－ .1－ (378)2 18又 cos 2θ ＝1－2sin 2θ ，所以 sin2θ ＝ ＝ ＝ ，1－ cos 2θ2 1－ (－ 18)2 916所以 sin θ＝ .345．化简 ＋2sin 2 得( )(sin α 2＋ cos α 2)2 (π 4－ α 2)A．2＋sin α B．2＋ sin2 (α －π 4)C．2 D．2＋ sin2 (α ＋π 4)解析：选 C.原式＝1＋2sin cos ＋1－cos ＝2＋sin α －cos α 2 α 2 [2(π 4－ α 2)]＝2＋ sin α －sin α ＝2.(π 2－ α )6．已知 sin －cos ＝ ，则 cos 2θ ＝________．θ 2 θ 2 63解析：因为 sin －cos ＝ ，θ 2 θ 2 63所以 1－sin θ ＝ ，即 sin θ ＝ ，23 13所以 cos 2θ ＝1－2sin 2θ ＝ 1－ ＝ .29 79答案：797．若 3sin x－ cos x＝2 sin(x＋ φ )， φ ∈(－π，π)，则 φ ＝________．3 3解析：因为 3sin x－ cos x3＝2 ＝2 sin ，3(32sin x－ 12cos x) 3 (x－ π 6)3因为 φ ∈(－π，π)，所以 φ ＝－ .π 6答案：－π 68．已知 sin 2θ ＝ ，0＜2 θ ＜ ，则 ＝________．35 π 22cos2θ 2－ sin θ － 12sin(θ ＋ π 4)解析：2cos2θ 2－ sin θ － 12sin(θ ＋ π 4)＝(2cos2 θ 2－ 1)－ sin θ2(sin θ cos π 4＋ cos θ sin π 4)＝ ＝ ＝ .cos θ － sin θsin θ ＋ cos θ1－ sin θcos θsin θcos θ ＋ 1 1－ tan θtan θ ＋ 1因为 sin 2θ ＝ ，0＜2 θ ＜ ，35 π 2所以 cos 2θ ＝ ，所以 tan θ ＝ ＝ ＝ ，45 sin 2θ1＋ cos 2θ351＋ 45 13所以 ＝ ＝ ，1－ tan θtan θ ＋ 11－ 1313＋ 1 12即 ＝ .2cos2 θ 2－ sin θ － 12sin(θ ＋ π 4) 12答案：129．已知 2sin ＝sin θ ＋cos θ ，2sin 2β ＝sin 2 θ ，(π 4＋ α )求 证：sin 2 α ＋ cos 2β ＝ 0.12证明：由 2sin ＝sin θ ＋cos θ ，(π 4＋ α )得 cos α ＋ sin α ＝sin θ ＋cos θ ，2 2两边平方得，2 (1＋sin 2 α )＝1＋ sin 2θ ，①4又 2sin2β ＝sin 2 θ ，②由①②两式消去 sin 2θ ，得 2(1＋sin 2 α )＝1＋2sin 2β ，即 2sin 2α ＋cos 2 β ＝0，所以 sin 2α ＋ cos 2β ＝0.1210．(2015·高考广东卷)已知 tan α ＝2.(1)求 tan 的值；(α ＋π 4)(2)求 的值．sin 2αsin2α ＋ sin α cos α － cos 2α － 1解：(1)tan ＝ ＝ ＝－3.(α ＋π 4)tan α ＋ tan π 41－ tan α tan π 4 2＋ 11－ 2×1(2)sin 2αsin2α ＋ sin α cos α － cos 2α － 1＝2sin α cos αsin2α ＋ sin α cos α － 2cos2α＝ ＝ ＝1.2tan αtan2α ＋ tan α － 2 2×24＋ 2－ 2[B 能力提升]1．已知 cos ·cos ＝ ， θ ∈ ，则 sin θ ＋cos θ 的值是( )(π 4＋ θ ) (π 4－ θ ) 34 (3π4， π )A． B．－62 62C．－ D．22 22解析：选 C.cos ·cos(π 4＋ θ ) (π 4－ θ )＝sin cos ＝ sin(π 4－ θ ) (π 4－ θ ) 12 (π 2－ 2θ )＝ cos 2θ ＝ .12 34所以 cos 2θ ＝ .32因为 θ ∈ ，所以 2θ ∈ ，(3π4， π ) (3π2， 2π )所以 sin 2θ ＝－ ，且 sin θ ＋cos θ ＜0.12所以(sin θ ＋cos θ )2＝1＋sin 2 θ ＝1－ ＝ .12 12所以 sin θ ＋cos θ ＝－ .2252．已知 A＋ B＝ ，那么 cos2A＋cos 2B 的最大值是______，最小值是________．2π3解析：因为 A＋ B＝ ，所以 cos2A＋cos 2B2π3＝ (1＋cos 2 A＋1＋cos 2 B)12＝1＋ (c os 2A＋cos 2 B)12＝1＋cos( A＋ B)cos(A－ B)＝1＋cos cos(A－ B)2π3＝1－ cos(A－ B)，12所以当 cos(A－ B)＝－1 时，原式取得最大值 ；32当 cos(A－ B)＝1 时，原式取得最小值 .12答案： 32 123．已知 π＜ α ＜ ，化简：3π2＋ .1＋ sin α1＋ cos α － 1－ cos α 1－ sin α1＋ cos α ＋ 1－ cos α解：原式＝ ＋(sin α 2＋ cos α 2)2 2|cos α 2|－ 2|sin α 2|，(sin α 2－ cos α 2)2 2|cos α 2|＋ 2|sin α 2|因为 π＜ α ＜ ，所以 ＜ ＜ .3π2 π 2 α 2 3π4所以 cos ＜0，sin ＞0.α 2 α 2所以原式＝ ＋(sin α 2＋ cos α 2)2 － 2(sin α 2＋ cos α 2)(sin α 2－ cos α 2)2 2(sin α 2－ cos α 2)＝－ ＋ ＝－ cos .sin α 2＋ cos α 22sin α 2－ cos α 22 2 α 264．(选做题)如图所示，已知 OPQ 是半径为 1，圆心角为 的扇形，四边形 ABCD是扇π 3形的内接矩形， B， C 两点在圆弧上， OE 是∠ POQ 的平分线， E 在 上，连接 OC，记PQ︵ ∠ COE＝ α ，则角 α 为何值时矩形 ABCD 的面积最大？并求最大面积．解：如图所示，设 OE 交 AD 于 M，交 BC 于 N，显然矩形 ABCD 关于 OE 对称 ，而 M， N均为 AD， BC 的中点，在 Rt△ ONC 中， CN＝sin α ， ON＝cos α ， OM＝ ＝ DM＝ CN＝ sin α ， DMtan π 6 3 3 3所以 MN＝ ON－ OM＝cos α － sin α ，3即 AB＝cos α － sin α ，而 BC＝2 CN＝2sin α ，3故 S 矩形 ABCD＝ AB·BC＝ ·2sin α(cos α － 3sin α )＝2sin α cos α －2 sin2 α3＝sin 2 α － (1－cos 2 α )3＝sin 2 α ＋ cos 2α －3 3＝2 －(12sin 2α ＋ 32cos 2α ) 3＝2sin － .(2α ＋π 3) 3因为 0＜ α ＜ ，所以 0＜2 α ＜ ， ＜2 α ＋ ＜ .π 6 π 3 π 3 π 3 2π3故当 2α ＋ ＝ ，即 α ＝ 时， S 矩形 ABCD取得最大值，π 3 π 2 π12此时 S 矩形 ABCD＝2－ .3