2017高考数学一轮复习 第六章 数列 理（课件+习题）（打包20套）.zip

12017 高考数学一轮复习 第六章 数列 6.1.1 数列的概念及表示方法对点训练 理1．设等差数列{ an}的公差为 d，若数列{2 a1an}为递减数列，则( )A． d0C． a1d0答案 C解析 ∵数列{2 a1an}为递减数列，∴2 a1an2a1an＋1， n∈N *，∴ a1ana1an＋1 ，∴ a1(an＋1 － an)0.∵{ an}为公差为 d 的等差数列，∴ a1d0.故选 C.2．下列可以作为数列{ an}：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是( )A． an＝1 B． an＝ － 1 n＋ 12C． an＝2－ D． an＝|sinnπ2|  － 1 n－ 1＋ 32答案 C解析 A 项显然不成立； n＝1 时， a1＝ ＝0，故 B 项不正确； n＝2 时， a2＝－ 1＋ 12＝1，故 D 项不正确．由 an＝2－ 可得 － 1 2－ 1＋ 32 |sinnπ2|a1＝1， a2＝2， a3＝1， a4＝2，…，故选 C.3.下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是( )A． an＝ n2－ n＋1 B． an＝n n－ 12C． an＝ D． an＝n n＋ 12 n n＋ 22答案 C解析 解法一：令 n＝1,2,3,4，验证选项知选 C.解法二： a1＝1， a2＝ a1＋2， a3＝ a2＋3， a4＝ a3＋4，…， an＝ an－1 ＋ n.∴( an－ an－1 )＋( an－1 － an－2 )＋…＋( a3－ a2)＋( a2－ a1)＝ n＋( n－1)＋…＋3＋2.因此 an＝1＋2＋3＋…＋ n＝ .n n＋ 12第六章 数列第 1讲 数列的概念及其表示考点一 数列的概念及表示方法撬点 ·基础点 重难点 撬法 ·命题法 解题法 12017 高考数学一轮复习 第六章 数列 6.1.2 数列的通项公式对点训练 理1．设数列{ an}满足 a1＝1，且 an＋1 － an＝ n＋1( n∈N *)，则数列 前 10 项的和为{1an}________．答案 2011解析 由 a1＝1，且 an＋1 － an＝ n＋1( n∈N *)得， an＝ a1＋( a2－ a1)＋( a3－ a2)＋…＋( an－ an－1 )＝1＋2＋3＋…＋ n＝ ，n n＋ 12则 ＝ ＝2 ，故数列 前 10 项的和 S10＝21an 2n n＋ 1 (1n－ 1n＋ 1) {1an}＝2 ＝ .(1－12＋ 12－ 13＋ …＋ 110－ 111) (1－ 111) 20112．已知数列{ an}满足 a1＝1， an＋1 ＝3 an＋2，则数列{ an}的通项公式为________．答案 an＝2·3 n－1 －1解析 ∵ an＋1 ＝3 an＋2，∴ an＋1 ＋1＝3( an＋1)．∴ ＝3，∴数列{ an＋1}是等比数列，公比 q＝3.an＋ 1＋ 1an＋ 1又 a1＋1＝2，∴ an＋1＝2·3 n－1 ，∴ an＝2·3 n－1 －1.3.已知数列{ an}的前 n 项和 Sn＝2 n－3，则数列{ an}的通项公式为________．答案 an＝Error!解析 当 n＝1 时， a1＝ S1＝－1；当 n≥2 时， an＝ Sn－ Sn－1 ＝2 n－1 ，∴ an＝Error!4.Sn为数列{ an}的前 n 项和，已知 an0， a ＋2 an＝4 Sn＋3.2n(1)求{ an}的通项公式；(2)设 bn＝ ，求数列{ bn}的前 n 项和．1anan＋ 1解 (1)由 a ＋2 an＝4 Sn＋3，可知 a ＋2 an＋1 ＝4 Sn＋1 ＋3.2n 2n＋ 1可得 a － a ＋2( an＋1 － an)＝4 an＋1 ，即2n＋ 1 2n2(an＋1 ＋ an)＝ a － a ＝( an＋1 ＋ an)(an＋1 － an)．2n＋ 1 2n由于 an0，可得 an＋1 － an＝2.又 a ＋2 a1＝4 a1＋3，解得 a1＝－1(舍去)或 a1＝3.21所以{ an}是首项为 3，公差为 2 的等差数列，通项公式为 an＝2 n＋1.(2)由 an＝2 n＋1 可知bn＝ ＝ ＝ .1anan＋ 1 1 2n＋ 1  2n＋ 3 12( 12n＋ 1－ 12n＋ 3)2设数列{ bn}的前 n 项和为 Tn，则Tn＝ b1＋ b2＋…＋ bn＝ ＝ .12[(13－ 15)＋ (15－ 17)＋ …＋ ( 12n＋ 1－ 12n＋ 3)] n3 2n＋ 35．正项数列{ an}的前 n 项和 Sn满足： S －( n2＋ n－1) Sn－( n2＋ n)＝0.2n(1)求数列{ an}的通项公式 an；(2)令 bn＝ ，数列{ bn}的前 n 项和为 Tn.证明：对于任意的 n∈N *，都有n＋ 1 n＋ 2 2a2nTn0， Sn＝ n2＋ n.于是 a1＝ S1＝2，当 n≥2 时， an＝ Sn－ Sn－1 ＝ n2＋ n－( n－1) 2－( n－1)＝2 n.综上，数列{ an}的通项公式为 an＝2 n.(2)由于 an＝2 n，故 bn＝ ＝ ＝ .n＋ 1 n＋ 2 2a2n n＋ 14n2 n＋ 2 2 116[1n2－ 1 n＋ 2 2]Tn＝ Error!1－ ＋ － ＋ － ＋…＋ － ＋ － E116 132 122 142 132 152 1 n－ 1 2 1 n＋ 1 2 1n2 1 n＋ 2 2rror!＝ Error!1＋ － － Error! × ＝ .116 122 1 n＋ 1 2 1 n＋ 2 2 116 (1＋ 122) 564第六章 数列第 1讲 数列的概念及其表示考点二 数列的通项公式撬点 ·基础点 重难点 撬法 ·命题法 解题法 撬题 ·对点题 必刷题12017 高考数学一轮复习 第六章 数列 6.1 数列的概念及其表示课时练 理时间：60 分钟基础组1.[2016·衡水二中月考]数列{ an}的通项 an＝ ，则数列{ an}中的最大值是( )nn2＋ 90A．3 B．1910C. D.119 1060答案 C解析 因为 an＝ ，运用基本不等式得， ≤ ，由于 n∈N *，不难发现当1n＋ 90n1n＋ 90n 1290n＝9 或 10 时， an＝ 最大，故选 C.1192．[2016·枣强中学模拟]数列{ an}的前 n 项积为 n2，那么当 n≥2 时，{ an}的通项公式为( )A． an＝2 n－1 B． an＝ n2C． an＝ D． an＝ n＋ 1 2n2 n2 n－ 1 2答案 D解析 设数列{ an}的前 n 项积为 Tn，则 Tn＝ n2，当 n≥2 时， an＝ ＝ .TnTn－ 1 n2 n－ 1 23．[2016·衡水二中期末]已知数列{ an}的前 n 项和 Sn满足： Sn＋ Sm＝ Sn＋ m，且a1＝1，那么 a10等于( )A．1 B．9C．10 D．55答案 A解析 ∵ Sn＋ Sm＝ Sn＋ m， a1＝1，∴ S1＝1.可令 m＝1，得 Sn＋1 ＝ Sn＋1，∴ Sn＋1 － Sn＝1.即当 n≥1 时， an＋1 ＝1，∴ a10＝1.4．[2016·武邑中学猜题]已知数列{ an}的前 n 项和为 Sn，且 Sn＝2 an－1( n∈N *)，则a5等于( )A．－16 B．16C．31 D．32答案 B解析 当 n＝1 时， S1＝2 a1－1，∴ a1＝1.当 n≥2 时， Sn－1 ＝2 an－1 －1，∴ an＝2 an－2 an－1 ，2∴ an＝2 an－1 .∴{ an}是等比数列且 a1＝1， q＝2，故 a5＝ a1×q4＝2 4＝16.5．[2016·冀州中学仿真]已知数列{ an}满足 a0＝1， an＝ a0＋ a1＋…＋ an－1 (n≥1)，则当 n≥1 时， an等于( )A．2 n B. n(n＋1)12C．2 n－1 D．2 n－1答案 C解析 由题设可知 a1＝ a0＝1， a2＝ a0＋ a1＝2.代入四个选项检验可知 an＝2 n－1 .故选 C.6.[2016·武邑中学预测]已知数列{ an}的通项公式为 an＝( n＋2) n，则当 an取得最(78)大值时， n 等于( )A．5 B．6C．5 或 6 D．7答案 C解析 由题意知Error!∴Error!∴Error! ∴ n＝5 或 6.7．[2016·衡水二中模拟]在数列{ an}中， a1＝1， an＋1 － an＝2 n＋1，则数列的通项an＝________.答案 n2解析 ∵ an＋1 － an＝2 n＋1.∴ an＝( an－ an－1 )＋( an－1 － an－2 )＋…＋( a3－ a2)＋( a2－ a1)＋ a1＝(2 n－1)＋(2 n－3)＋…＋5＋3＋1＝ n2(n≥2)．当 n＝1 时，也适用 an＝ n2.8．[2016·枣强中学期末]已知数列{ an}的首项 a1＝2，其前 n 项和为 Sn.若Sn＋1 ＝2 Sn＋1，则 an＝________.答案 Error!解析 由 Sn＋1 ＝2 Sn＋1，则有 Sn＝2 Sn－1 ＋1( n≥2)，两式相减得 an＋1 ＝2 an，又S2＝ a1＋ a2＝2 a1＋1， a2＝3，所以数列{ an}从第二项开始成等比数列，∴ an＝Error!9．[2016·衡水二中仿真]已知数列{ an}中， a1＝1， a2＝2，设 Sn为数列{ an}的前 n 项和，对于任意的 n1， n∈N *， Sn＋1 ＋ Sn－1 ＝2( Sn＋1)都成立，则 S10＝________.答案 91解析 ∵Error!两式相减得 an＋2 ＋ an＝2 an＋1 (n≥2)，∴数列{ an}从第二项开始为等差数列，当 n＝2时， S3＋ S1＝2 S2＋2，∴ a3＝ a2＋2＝4，∴ S10＝1＋2＋4＋6＋…＋18＝1＋ ＝91.9 2＋ 18210.[2016·枣强中学期中]如图所示的图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，3并依此规律，写出第 n 个图形中小正方形的个数是________．答案 n n＋ 12解析 由已知，有 a1＝1， a2＝3， a3＝6， a4＝10，∴ a2－ a1＝2， a3－ a2＝3， a4－ a3＝4，…， an－ an－1 ＝ n，各式相加，得 an－ a1＝2＋3＋…＋ n，即 an＝1＋2＋…＋ n＝ ，故第 n 个图形中小正方形的个数是 .n n＋ 12 n n＋ 1211．[2016·衡水二中热身]已知数列{ an}满足： a1＝1,2 n－1 an＝ an－1 (n∈N *， n≥2)．(1)求数列{ an}的通项公式；(2)这个数列从第几项开始及以后各项均小于 ？11000解 (1) n≥2 时， ＝ n－1 ，anan－ 1 (12)故 an＝ ·…· · ·a1anan－ 1 a3a2 a2a1＝ n－1 · n－2 ·…· 2· 1(12) (12) (12) (12)＝ 1＋2＋…＋( n－1)(12)＝ ，(12) n－ 1 n2当 n＝1 时， a1＝ 0＝1，即 n＝1 时也成立．(12)∴ an＝ .(12) n－ 1 n2(2)∵ y＝( n－1) n 在[1，＋∞)上单调递增，∴ y＝ 在[1，＋∞)上单调递减．(12) n－ 1 n2当 n≥5 时， ≥10， an＝ ≤ . n－ 1 n2 (12) n－ 1 n2 11024∴从第 5 项开始及以后各项均小于 .1100012．[2016·武邑中学仿真]设数列{ an}的前 n 项和为 Sn，满足Sn＝2 nan＋1 －3 n2－4 n， n∈N *，且 S3＝15.(1)求 a1， a2， a3的值；4(2)求数列{ an}的通项公式．解 (1)依题有Error!解得 a1＝3， a2＝5， a3＝7.(2)∵ Sn＝2 nan＋1 －3 n2－4 n，①∴当 n≥2 时， Sn－1 ＝2( n－1) an－3( n－1) 2－4( n－1)．②①－②并整理得 an＋1 ＝ . 2n－ 1 an＋ 6n＋ 12n由(1)猜想 an＝2 n＋1，下面用数学归纳法证明．当 n＝1 时， a1＝2＋1＝3，命题成立；假设当 n＝ k 时， ak＝2 k＋1 命题成立．则当 n＝ k＋1 时，ak＋1 ＝ 2k－ 1 ak＋ 6k＋ 12k＝ 2k－ 1  2k＋ 1 ＋ 6k＋ 12k＝2 k＋3＝2( k＋1)＋1，即当 n＝ k＋1 时，结论成立．综上，∀ n∈N *， an＝2 n＋1.能力组13.[2016·衡水二中预测]已知数列{ an}满足条件a1＋ a2＋ a3＋…＋ an＝2 n＋5，则数列{ an}的通项公式为( )12 122 123 12nA． an＝2 n＋1 B． an＝Error!C． an＝2 n D． an＝2 n＋2答案 B解析 由题意可知，数列{ an}满足条件 a1＋ a2＋ a3＋…＋ an＝2 n＋5，12 122 123 12n则 a1＋ a2＋ a3＋…＋ an－112 122 123 12n－ 1＝2( n－1)＋5， n1，两式相减可得： ＝2 n＋5－2( n－1)－5＝2，an2n∴ an＝2 n＋1 ， n1， n∈N *.当 n＝1 时， ＝7，∴ a1＝14，a12综上可知，数列{ an}的通项公式为：an＝Error! 故选 B.14．[2016·枣强中学月考]在如图所示的数阵中，第 9 行的第 2 个数为________．5答案 66解析 每行的第二个数构成一个数列{ an}，由题意知 a2＝3， a3＝6， a4＝11， a5＝18，则 a3－ a2＝3， a4－ a3＝5， a5－ a4＝7，…， an－ an－1 ＝2( n－1)－1＝2 n－3，各式两边同时相加，得an－ a2＝ ＝ n2－2 n， 2n－ 3＋ 3 × n－ 22即 an＝ n2－2 n＋ a2＝ n2－2 n＋3( n≥2)，故 a9＝9 2－2×9＋3＝66.15．[2016·衡水二中猜题]已知数列{ an}满足前 n 项和 Sn＝ n2＋1，数列{ bn}满足 bn＝，且前 n 项和为 Tn，设 cn＝ T2n＋1 － Tn.2an＋ 1(1)求数列{ bn}的通项公式；(2)判断数列{ cn}的增减性．解 (1) a1＝2， an＝ Sn－ Sn－1 ＝2 n－1( n≥2)．∴ bn＝Error! .(2)∵ cn＝ bn＋1 ＋ bn＋2 ＋…＋ b2n＋1＝ ＋ ＋…＋ ，1n＋ 1 1n＋ 2 12n＋ 1∴ cn＋1 － cn＝ ＋ －12n＋ 2 12n＋ 3 1n＋ 1＝ － ＝ f(a2k＋1 )f(1)＝ a2，即 1ca2k＋2 a2.再由 f(x)在(－∞，1]上为减函数得 c＝ f(c)f(a2k＋2 )f(a2)＝ a31.故 ca2k＋3 1，因此 a2(k＋1) ca2(k＋1)＋1 1.这就是说，当 n＝ k＋1 时结论成立．综上，符合条件的 c 存在，其中一个值为 c＝ .1412017 高考数学一轮复习 第六章 数列 6.2.1 等差数列的概念及运算对点训练 理1．在等差数列{ an}中，若 a2＝4， a4＝2，则 a6＝( )A．－1 B．0C．1 D．6答案 B解析 设数列{ an}的公差为 d，由 a4＝ a2＋2 d， a2＝4， a4＝2，得2＝4＋2 d， d＝－1，∴ a6＝ a4＋2 d＝0.故选 B.2.已知{ an}是等差数列，公差 d 不为零，前 n 项和是 Sn.若 a3， a4， a8成等比数列，则( )A． a1d0， dS40B． a1d0， dS40答案 B解析 由 a ＝ a3a8，得( a1＋2 d)(a1＋7 d)＝( a1＋3 d)2，整理得 d(5d＋3 a1)＝0，又24d≠0，∴ a1＝－ d，则 a1d＝－ d20，又∵ S4＝4 a1＋6 d＝－ d，∴ dS4＝－ d20，故选 B.53 53 23 233．设{ an}是首项为 a1，公差为－1 的等差数列， Sn为其前 n 项和．若 S1， S2， S4成等比数列，则 a1的值为________．答案 －12解析 由已知得 S1＝ a1， S2＝ a1＋ a2＝2 a1－1， S4＝4 a1＋ ×(－1)＝4 a1－6，而4×32S1， S2， S4成等比数列，所以(2 a1－1) 2＝ a1(4a1－6)，整理得 2a1＋1＝0，解得 a1＝－ .124.已知数列{ an}的前 n 项和为 Sn， a1＝1， an≠0， anan＋1 ＝ λS n－1，其中 λ 为常数．(1)证明： an＋2 － an＝ λ ；(2)是否存在 λ ，使得{ an}为等差数列？并说明理由．解 (1)证明：由题设， anan＋1 ＝ λS n－1， an＋1 an＋2 ＝ λS n＋1 －1.两式相减得 an＋1 (an＋2 － an)＝ λa n＋1 .由于 an＋1 ≠0，所以 an＋2 － an＝ λ .(2)由题设， a1＝1， a1a2＝ λS 1－1，可得 a2＝ λ －1.由(1)知， a3＝ λ ＋1.令 2a2＝ a1＋ a3，解得 λ ＝4.故 an＋2 － an＝4，由此可得{a2n－1 }是首项为 1，公差为 4 的等差数列， a2n－1 ＝4 n－3；{a2n}是首项为 3，公差为 4 的等差数列， a2n＝4 n－1.2所以 an＝2 n－1， an＋1 － an＝2.因此存在 λ ＝4，使得数列{ an}为等差数列．第六章 数列第 2讲 等差数列及前 n项和考点一 等差数列的概念及运算撬点 ·基础点 重难点 撬法 ·命题法 解题法 12017 高考数学一轮复习 第六章 数列 6.2.2 等差数列的性质及应用对点训练 理1．设{ an}是等差数列．下列结论中正确的是( )A．若 a1＋ a20，则 a2＋ a30B．若 a1＋ a3 a1a3D．若 a10答案 C解析 若{ an}是递减的等差数列，则选项 A、B 都不一定正确．若{ an}为公差为 0 的等差数列，则选项 D 不正确．对于 C 选项，由条件可知{ an}为公差不为 0 的正项数列，由等差中项的性质得 a2＝ ，由基本不等式得 ，所以 C 正确．a1＋ a32 a1＋ a32 a1a32．在等差数列{ an}中， a10， a2012＋ a20130， a2012·a20130 成立的最大自然数 n 是( )A．4025 B．4024C．4023 D．4022答案 B解析 ∵等差数列{ an}的首项 a10， a2012＋ a20130， a2012·a20130，而 a10，可得 a2012＝ a1＋2011 d0，矛盾，故不可能．∴ a20120， a20130，4024 a1＋ a40242而 S4025＝4025 a20130 成立的最大自然数 n 为 4024.3.已知等差数列{ an}，{ bn}的前 n 项和分别为 Sn， Tn，若 ＝ ，则 ＝( )SnTn 2n3n＋ 1 anbnA. B.23 2n－ 13n－ 1C. D.2n＋ 13n＋ 1 2n－ 13n＋ 4答案 B解析 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ .故选 B.anbn 2an2bn2n－ 12  a1＋ a2n－ 12n－ 12  b1＋ b2n－ 1 S2n－ 1T2n－ 1 2 2n－ 13 2n－ 1 ＋ 1 2n－ 13n－ 14．在等差数列{ an}中，若 a3＋ a4＋ a5＋ a6＋ a7＝25，则 a2＋ a8＝________.答案 10解析 由 a3＋ a4＋ a5＋ a6＋ a7＝25，得 5a5＝25，所以 a5＝5，故 a2＋ a8＝2 a5＝10.5．中位数为 1010 的一组数构成等差数列，其末项为 2015，则该数列的首项为2________．答案 5解析 设等差数列的首项为 a1，根据等差数列的性质可得， a1＋2015＝2×1010，解得a1＝5.6．在等差数列{ an}中， a1＝7，公差为 d，前 n 项和为 Sn，当且仅当 n＝8 时 Sn取得最大值，则 d 的取值范围为________．答案 (－ 1， －78)解析 由题意知 d0， a7＋ a100，即 a80.又 a8＋ a9＝ a7＋ a100，所以 a3a4，所以 a3＝9， a4＝13，所以Error! 所以Error!所以通项 an＝4 n－3.(2)由(1)知 a1＝1， d＝4.所以 Sn＝ na1＋ ×d＝2 n2－ n＝2 2－ .n n－ 12 (n－ 14) 18所以当 n＝1 时， Sn最小，最小值为 S1＝ a1＝1.(3)由(2)知 Sn＝2 n2－ n，所以 bn＝ ＝ ，Snn＋ c 2n2－ nn＋ c所以 b1＝ ， b2＝ ， b3＝ .11＋ c 62＋ c 153＋ c因为数列{ bn}是等差数列，所以 2b2＝ b1＋ b3，即 ×2＝ ＋ ，62＋ c 11＋ c 153＋ c所以 2c2＋ c＝0，3所以 c＝－ 或 c＝0(舍去)，12故 c＝－ .12第六章 数列第 2讲 等差数列及前 n项和考点二 等差数列的性质及应用撬点 ·基础点 重难点 撬法 ·命题法 解题法 12017 高考数学一轮复习 第六章 数列 6.2 等差数列及前 n 项和课时练 理时间：60 分钟基础组1.[2016·冀州中学猜题]已知等差数列{ an}中， a7＋ a9＝16， S11＝ ，则 a12的值是( )992A．15 B．30C．31 D．64答案 A解析 由题意可知 2a8＝ a7＋ a9＝16⇒ a8＝8， S11＝ ＝ ＝11 a6＝11 a1＋ a112 11×2a62， a6＝ ，则 d＝ ＝ ，所以 a12＝ a8＋4 d＝15，故选 A.992 92 a8－ a62 742．[2016·武邑中学仿真]已知 Sn表示数列{ an}的前 n 项和，若对任意的 n∈N *满足an＋1 ＝ an＋ a2，且 a3＝2，则 S2014＝( )A．1006×2013 B．1006×2014C．1007×2013 D．1007×2014答案 C解析 在 an＋1 ＝ an＋ a2中，令 n＝1，则 a2＝ a1＋ a2， a1＝0，令 n＝2，则a3＝2＝2 a2， a2＝1，于是 an＋1 － an＝1，故数列{ an}是首项为 0，公差为 1 的等差数列，S2014＝ ＝1007×2013.故选 C.2014×201323．[2016·冀州中学期末]在数列{ an}中，若 a1＝1， a2＝ ， ＝ ＋ (n∈N *)，12 2an＋ 1 1an 1an＋ 2则该数列的通项为( )A． an＝ B． an＝1n 2n＋ 1C． an＝ D． an＝2n＋ 2 3n答案 A解析 由已知式 ＝ ＋ 可得 － ＝ － ，知 是首项为2an＋ 1 1an 1an＋ 2 1an＋ 1 1an 1an＋ 2 1an＋ 1 {1an}＝1，公差为 － ＝2－1＝1 的等差数列，所以 ＝ n，即 an＝ .1a1 1a2 1a1 1an 1n4．[2016·衡水中学预测]设等差数列{ an}的前 n 项和为 Sn，若 S3＝9， S6＝36，则a7＋ a8＋ a9＝( )A．63 B．45C．36 D．27答案 B解析 S3＝9， S6－ S3＝36－9＝27，根据 S3， S6－ S3， S9－ S6成等差数列，2S9－ S6＝45， S9－ S6＝ a7＋ a8＋ a9＝45，故选 B.5．[2016·衡水二中期中]已知等差数列{ an}中，前四项和为 60，最后四项和为 260，且 Sn＝520，则 a7＝( )A．20 B．40C．60 D．80答案 B解析 前四项的和是 60，后四项的和是 260，若有偶数项，则中间两项的和是(60＋260)÷4＝80. Sn＝520,520÷80 不能整除，说明没有偶数项，有奇数项，则中间项是(60＋260)÷8＝40.所以共有 520÷40＝13 项，因此 a7是中间项，所以 a7＝40.6．[2016·枣强中学模拟]已知等差数列{ an}的前 n 项和为 Sn，且 ＝4，则 ＝( )S4S2 S6S4A. B.94 32C. D．453答案 A解析 由 ＝4，可设 S2＝ x， S4＝4 x.S4S2∵ S2， S4－ S2， S6－ S4成等差数列，∴2( S4－ S2)＝ S2＋( S6－ S4)．则 S6＝3 S4－3 S2＝12 x－3 x＝9 x，因此， ＝ ＝ .S6S4 9x4x 947．[2016·衡水二中热身]设等差数列{ an}的前 n 项和为 Sn，若a1＝－3， ak＋1 ＝ ， Sk＝－12，则正整数 k＝________.32答案 13解析 由 Sk＋1 ＝ Sk＋ ak＋1 ＝－12＋ ＝－ ，又 Sk＋1 ＝ ＝32 212  k＋ 1  a1＋ ak＋ 12＝－ ， k＋ 1 (－ 3＋ 32)2 212解得 k＝13.8.[2016·武邑中学期末]设正项数列{ an}的前 n 项和是 Sn，若{ an}和{ }都是等差数Sn列，且公差相等，则 a1＝________.答案 14解析 设等差数列{ an}的公差为 d，则 Sn＝ n2＋( a1－ )n，d2 d2∴ ＝ ，数列{ }是等差数列，则 是关于 n 的一次函数(或者是Snd2n2＋ (a1－ d2)n Sn Sn3常数)，则 a1－ ＝0， ＝ n，从而数列{ }的公差是 ，那么有 ＝ d， d＝0(舍去)d2 Sn d2 Sn d2 d2或 d＝ ，故 a1＝ .12 149．[2016·衡水中学周测]已知等差数列{ an}的前 n 项和为 Sn，若 S2＝10， S5＝55，则a10＝________.答案 39解析 设等差数列{ an}的公差为 d，由题意可得Error!即 Error!解得 a1＝3， d＝4， a10＝ a1＋(10－1) d＝39.10．[2016·冀州中学月考]设数列{ an}为等差数列，数列{ bn}为等比数列．若a10，又 b ＝ b1b3，所2以 a4＝( a－ d)2(a＋ d)2＝( a2－ d2)2，则 a2＝ d2－ a2或 a2＝ a2－ d2(舍)，则 d＝± a.若2d＝－ a，则 q＝ ＝ 2＝ (1－ )2＝3－2 0 的 n 的最大值为( )A．11 B．19C．20 D．21答案 B解析 ∵ 0， a110，19 a1＋ a192S20＝ ＝10( a10＋ a11)0 的 n 的最大值为 19.15.[2016·武邑中学猜题]已知等差数列{ an}中， a5＝12， a20＝－18.(1)求数列{ an}的通项公式；(2)求数列{| an|}的前 n 项和 Sn.解 (1)设数列{ an}的公差为 d，依题意得Error!，解得Error! ，5∴ an＝20＋( n－1)×(－2)＝－2 n＋22.(2)由(1)知| an|＝|－2 n＋22|＝Error!，∴当 n≤11 时， Sn＝20＋18＋…＋(－2 n＋22)＝ ＝(21－ n)n；n 20－ 2n＋ 222当 n11 时， Sn＝ S11＋2＋4＋…＋(2 n－22)＝110＋ ＝ n2－21 n＋220. n－ 11  2＋ 2n－ 222综上所述， Sn＝Error!.16．[2016·冀州中学仿真]已知数列{ an}的各项均为正数，前 n 项和为 Sn，且满足2Sn＝ a ＋ n－4.2n(1)求证{ an}为等差数列；(2)求{ an}的通项公式．解 (1)证明：当 n＝1 时，有 2a1＝ a ＋1－4，即 a －2 a1－3＝0，21 21解得 a1＝3( a1＝－1 舍去)．当 n≥2 时，有 2Sn－1 ＝ a ＋ n－5，2n－ 1又 2Sn＝ a ＋ n－4，2n两式相减得 2an＝ a － a ＋1，2n 2n－ 1即 a －2 an＋1＝ a ，2n 2n－ 1也即( an－1) 2＝ a ，2n－ 1因此 an－1＝ an－1 或 an－1＝－ an－1 .若 an－1＝－ an－1 ，则 an＋ an－1 ＝1，而 a1＝3，所以 a2＝－2，这与数列{ an}的各项均为正数相矛盾，所以 an－1＝ an－1 ，即 an－ an－1 ＝1，因此{ an}为等差数列．(2)由(1)知 a1＝3， d＝1，所以数列{ an}的通项公式 an＝3＋( n－1)＝ n＋2，即 an＝ n＋2.12017 高考数学一轮复习 第六章 数列 6.3.1 等比数列的概念及运算对点训练 理1.已知等比数列{ an}满足 a1＝3， a1＋ a3＋ a5＝21，则 a3＋ a5＋ a7＝( )A．21 B．42C．63 D．84答案 B解析 解法一：由于 a1(1＋ q2＋ q4)＝21， a1＝3，所以 q4＋ q2－6＝0，所以q2＝2( q2＝－3 舍去)，所以 a3＝6， a5＝12， a7＝24，所以 a3＋ a5＋ a7＝42.故选 B.解法二：同解法一求出 q2＝2，由 a3＋ a5＋ a7＝ q2(a1＋ a3＋ a5)＝42，故选 B.2．对任意等比数列{ an}，下列说法一定正确的是( )A． a1， a3， a9成等比数列 B． a2， a3， a6成等比数列C． a2， a4， a8成等比数列 D． a3， a6， a9成等比数列答案 D解析 根据等比数列性质，若 m＋ n＝2 k(m， n， k∈N *)，则 am， ak， an成等比数列，故选 D.3．等差数列{ an}的公差为 2，若 a2， a4， a8成等比数列，则{ an}的前 n 项和 Sn＝( )A． n(n＋1) B． n(n－1)C. D.n n＋ 12 n n－ 12答案 A解析 ∵ a2， a4， a8成等比数列，∴ a ＝ a2·a8，即( a1＋3 d)2＝( a1＋ d)(a1＋7 d)，24将 d＝2 代入上式，解得 a1＝2，∴ Sn＝2 n＋ ＝ n(n＋1)，故选 A.n n－ 1 ·224．设 Sn为等比数列{ an}的前 n 项和，若 a1＝1，公比 q＝2， Sk＋2 － Sk＝48，则 k 等于( )A．7 B．6C．5 D．4答案 D解析 ∵ Sk＝ ＝2 k－1，1－ 2k1－ 2∴ Sk＋2 ＝2 k＋2 －1，由 Sk＋2 － Sk＝48 得 2k＋2 －2 k＝48,2 k＝16， k＝4.故选 D.5．数列{ an}是等差数列，若 a1＋1， a3＋3， a5＋5 构成公比为 q 的等比数列，则q＝________.答案 12解析 设数列{ an}的公差为 d，则 a1＝ a3－2 d， a5＝ a3＋2 d，由题意得，( a1＋1)( a5＋5)＝( a3＋3) 2，即( a3－2 d＋1)·( a3＋2 d＋5)＝( a3＋3) 2，整理，得( d＋1) 2＝0，∴ d＝－1，则 a1＋1＝ a3＋3，故 q＝1.6．等比数列{ an}的前 n 项和为 Sn，公比不为 1.若 a1＝1，且对任意的 n∈N *都有an＋2 ＋ an＋1 －2 an＝0，则 S5＝________.答案 11解析 设数列{ an}的公比为 q，由 an＋2 ＋ an＋1 －2 an＝0，得 anq2＋ anq－2 an＝0，显然an≠0，所以 q2＋ q－2＝0，又 q≠1，所以 q＝－2，所以 S5＝ ＝11.1×[1－  － 2 5]1－  － 27．设数列{ an}的前 n 项和为 Sn.已知 2Sn＝3 n＋3.(1)求{ an}的通项公式；(2)若数列{ bn}满足 anbn＝log 3an，求{ bn}的前 n 项和 Tn.解 (1)因为 2Sn＝3 n＋3，所以 2a1＝3＋3，故 a1＝3，当 n1 时，2 Sn－1 ＝3 n－1 ＋3，此时 2an＝2 Sn－2 Sn－1 ＝3 n－3 n－1 ＝2×3 n－1 ，即 an＝3 n－1 ，所以 an＝Error!(2)因为 anbn＝log 3an，所以 b1＝ .13当 n1 时， bn＝3 1－ nlog33n－1 ＝( n－1)·3 1－ n.所以 T1＝ b1＝ ；13当 n1 时， Tn＝ b1＋ b2＋ b3＋…＋ bn＝ ＋[1×3 －1 ＋2×3 －2 ＋…＋( n－1)×3 1－ n]，13所以 3Tn＝1＋[1×3 0＋2×3 －1 ＋…＋( n－1)×3 2－ n]，两式相减，得2Tn＝ ＋(3 0＋3 －1 ＋3 －2 ＋…＋3 2－ n)－( n－1)×3 1－ n23＝ ＋ －( n－1)×3 1－ n23 1－ 31－ n1－ 3－ 1＝ － ，136 6n＋ 32×3n所以 Tn＝ － .1312 6n＋ 34×3n经检验， n＝1 时也适合．综上可得 Tn＝ － .1312 6n＋ 34×3n8．已知数列{ an}满足 a1＝1， an＋1 ＝3 an＋1.(1)证明 是等比数列，并求{ an}的通项公式；{an＋12}3(2)证明 ＋ ＋…＋ .1a1 1a2 1an32证明 (1)由 an＋1 ＝3 an＋1 得 an＋1 ＋ ＝3 .12 (an＋ 12)又 a1＋ ＝ ，所以 是首项为 ，公比为 3 的等比数列．12 32 {an＋ 12} 32an＋ ＝ ，因此{ an}的通项公式为 an＝ .12 3n2 3n－ 12(2)由(1)知 ＝ .1an 23n－ 1因为当 n≥1 时，3 n－1≥2×3 n－1 ，所以 ≤ .13n－ 1 12×3n－ 1于是 ＋ ＋…＋ ≤1＋ ＋…＋1a1 1a2 1an 13 13n－ 1＝ .32(1－ 13n)32所以 ＋ ＋…＋ .1a1 1a2 1an329.已知数列{ an}和{ bn}满足： a1＝ λ ， an＋1 ＝ an＋ n－4， bn＝(－1) n(an－3 n＋21)，其23中 λ 为实数， n 为正整数．(1)对任意实数 λ ，证明数列{ an}不是等比数列；(2)试判断数列{ bn}是否为等比数列，并证明你的结论．解 (1)假设存在一个实数 λ ，使{ an}是等比数列，则有 a ＝ a1a3，即 2＝ λ2 (23λ － 3)，故 λ 2－4 λ ＋9＝ λ 2－4 λ ，即 9＝0，这与事实相矛盾．∴对任意实数 λ ，数(49λ － 4) 49 49列{ an}都不是等比数列．(2)∵ bn＋1 ＝(－1) n＋1 [an＋1 －3( n＋1)＋21]＝(－1) n＋1 (23an－ 2n＋ 14)＝－ (－1) n(an－3 n＋21)23＝－ bn，23又 b1＝－( λ ＋18)，∴当 λ ＝－18 时， b1＝0( n∈N *)，此时{ bn}不是等比数列；当 λ ≠－18 时， b1＝－( λ ＋18)≠0，则 bn≠0，∴ ＝－ (n∈N *)．bn＋ 1bn 23故当 λ≠－18 时，数列 {bn}是以－ (λ＋18)为首项，－ 为公比的等比数列． 23第六章 数列第 3讲 等比数列及前 n项和考点一 等比数列的概念及运算撬点 ·基础点 重难点 撬法 ·命题法 解题法 12017 高考数学一轮复习 第六章 数列 6.3.2 等比数列的性质及应用对点训练 理1.等比数列{ an}中， a4＝2， a5＝5，则数列{lg an}的前 8 项和等于( )A．6 B．5C．4 D．3答案 C解析 ∵ a4＝2， a5＝5，∴ a4a5＝ a1a8＝ a2a7＝ a3a6＝10，∴lg a1＋lg a2＋…＋lg a8＝lg (a1a2…a8)＝lg (a1a8)4＝lg (a4a5)4＝4lg (a4a5)＝4lg 10＝4，选 C.2．设等比数列{ an}的前 n 项和为 Sn，若 ＝3，则 ＝( )S6S3 S9S6A．2 B.73C. D．383答案 B解析 由等比数列的性质得： S3， S6－ S3， S9－ S6仍成等比数列，于是，由已知得S6＝3 S3，∴ ＝ ，即 S9－ S6＝4 S3，∴ S9＝7 S3，∴ ＝ ，故选 B.S6－ S3S3 S9－ S6S6－ S3 S9S6 733.已知等比数列{ an}的前 n 项积记为Ⅱ n，若 a3a4a8＝8，则Ⅱ 9＝( )A．512 B．256C．81 D．16答案 A解析 由题意可知， a3a4a7q＝ a3a7a4q＝ a3a7a5＝ a ＝8，Ⅱ 9＝ a1a2a3…a9＝( a1a9)(a2a8)35(a3a7)(a4a6)a5＝ a ，所以Ⅱ 9＝8 3＝512.故选 A.954．已知数列{ an}是递增的等比数列， a1＋ a4＝9， a2a3＝8，则数列{ an}的前 n 项和等于________．答案 2 n－1解析 ∵Error!，∴Error! ，则 a1， a4可以看作一元二次方程 x2－9 x＋8＝0 的两根，故Error! 或Error!，∵数列{ an}是递增的等比数列，∴Error!，可得公比 q＝2，∴前 n 项和 Sn＝2 n－1.5．设{ an}是首项为 a1，公差为－1 的等差数列， Sn为其前 n 项和．若 S1， S2， S4成等比数列，则 a1的值为________．答案 －12解析 S1＝ a1， S2＝2 a1－1， S4＝4 a1－6.故(2 a1－1) 2＝ a1×(4a1－6)，解得 a1＝－ .126．成等差数列的三个正数的和等于 15，并且这三个数分别加上 2,5,13 后成为等比数2列{ bn}中的 b3， b4， b5.(1)求数列{ bn}的通项公式；(2)求数列{ bn}的前 n 项和 Sn.解 (1)设成等差数列的三个正数分别为 a－ d， a， a＋ d，则( a－ d)＋ a＋( a＋ d)＝15，解得 a＝5，∴ b3＝7－ d， b4＝10， b5＝18＋ d.∵ b3， b4， b5成等比数列，∴ b3b5＝ b ，即(7－ d)(18＋ d)＝10 2，24化简，得 d2＋11 d－26＝0，解得 d＝2 或 d＝－13(舍去)，∴ b3＝5， b4＝10， b5＝20，∴数列{ bn}的公比 q＝ ＝2，105数列{ bn}的通项公式为 bn＝ b3qn－3 ＝5×2 n－3 .(2)由 b3＝5， q＝2，得 b1＝ ＝ ，b3q2 54∴数列{ bn}是首项为 b1＝ ，公比为 q＝2 的等比数列，54∴数列{ bn}的前 n 项和 Sn＝ ＝5×2 n－2 － .b1 1－ qn1－ q 54