2017高考数学一轮复习 第五章 平面向量 理（课件+习题）（打包10套）.zip

12017 高考数学一轮复习 第五章 平面向量 5.1.1 平面向量的线性运算及几何意义对点训练 理1.设 D 为△ ABC 所在平面内一点， ＝3 ，则( )BC→ CD→ A. ＝－ ＋AD→ 13AB→ 43AC→ B. ＝ －AD→ 13AB→ 43AC→ C. ＝ ＋AD→ 43AB→ 13AC→ D. ＝ －AD→ 43AB→ 13AC→ 答案 A解析 由题意得 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ － ＝－ ＋ ，故选 A.AD→ AC→ CD→ AC→ 13BC→ AC→ 13AC→ 13AB→ 13AB→ 43AC→ 2．已知点 A， B， C 在圆 x2＋ y2＝1 上运动，且 AB⊥ BC.若点 P 的坐标为(2,0)，则| ＋ ＋ |的最大值为( )PA→ PB→ PC→ A．6 B．7C．8 D．9答案 B解析 解法一：因为 A， B， C 均在单位圆上， AC 为直径，故 ＋ ＝2 ＝(－4,0)，PA→ PC→ PO→ | ＋ ＋ |＝|2 ＋ |≤2| |＋| |，又| |≤| |＋1＝3，所以PA→ PB→ PC→ PO→ PB→ PO→ PB→ PB→ PO→ | ＋ ＋ |≤4＋3＝7，故其最大值为 7，选 B.PA→ PB→ PC→ 解法二：因为 A， B， C 均在单位圆上， AC 为直径，不妨设 A(cosx，sin x)，B(cos(x＋ α )，sin( x＋ α ))(α ≠ kπ， k∈Z)， C(－cos x，－sin x)，＋ ＋ ＝(cos( x＋ α )－6，sin( x＋ α ))，| ＋ ＋ |＝PA→ PB→ PC→ PA→ PB→ PC→ ＝[cos x＋ α  － 6]2＋ sin2 x＋ α ≤7，故选 B.37－ 12cos x＋ α 3．对任意向量 a， b，下列关系式中不恒成立的是( )A．| a·b|≤| a||b|B．| a－ b|≤|| a|－| b||C．( a＋ b)2＝| a＋ b|2D．( a＋ b)·(a－ b)＝ a2－ b2答案 B解析 对于 A 选项，设向量 a， b 的夹角为θ ，∵| a·b|＝| a|·|b||cosθ |≤| a||b|，∴A 选项正确；对于 B 选项，∵当向量 a， b2反向时，| a－ b|≥|| a|－| b||，∴B 选项错误；对于 C 选项，由向量的平方等于向量模的平方可知，C 选项正确；对于 D 选项，根据向量的运算法则，可推导出( a＋ b)·(a－ b)＝ a2－ b2，故 D 选项正确，综上选 B.4．记 max{x， y}＝Error!min{ x， y}＝Error!设 a， b 为平面向量，则( )A．min{| a＋ b|，| a－ b|}≤min{| a|，| b|}B．min{| a＋ b|，| a－ b|}≥min{| a|，| b|}C．max{| a＋ b|2，| a－ b|2}≤| a|2＋| b|2D．max{| a＋ b|2，| a－ b|2}≥| a|2＋| b|2答案 D解析 在 A 中，取 a＝(1,0)， b＝(0,0)，则 min{|a＋ b|，| a－ b|}＝1，而min{|a|，| b|}＝0，不符合，即 A 错．在 B 中，设 a＝ b≠0，则 min{|a＋ b|，| a－ b|}＝0，而 min{|a|，| b|}＝| a|0，不符合，即 B 错．因为|a＋ b|2＝| a|2＋| b|2＋2 a·b，| a－ b|2＝| a|2＋| b|2－2 a·b，则当 a·b≥0 时，max{|a＋ b|2，| a－ b|2}＝| a|2＋| b|2＋2 a·b≥| a|2＋| b|2；当 a·b0 时，max{|a＋ b|2，| a－ b|2}＝| a|2＋| b|2－2 a·b≥| a|2＋| b|2，即总有 max{|a＋ b|2，| a－ b|2}≥| a|2＋| b|2.故选 D.5．设向量 a， b 不平行，向量 λ a＋ b 与 a＋2 b 平行，则实数 λ ＝________.答案 12解析 由于 λ a＋ b 与 a＋2 b 平行，所以存在 μ ∈R，使得 λ a＋ b＝ μ (a＋2 b)，即(λ － μ )a＋(1－2 μ )b＝0，因为向量 a， b 不平行，所以 λ － μ ＝0,1－2 μ ＝0，解得λ ＝ μ ＝ .126．已知向量 ⊥ ，| |＝3，则 · ＝________.OA→ AB→ OA→ OA→ OB→ 答案 9解析 因为 ⊥ ，| |＝3，所以 · ＝ ·( ＋ )OA→ AB→ OA→ OA→ OB→ OA→ OA→ AB→ ＝| |2＋ · ＝| |2＝3 2＝9.OA→ OA→ AB→ OA→ 7.设 0θ ，向量 a＝(sin2 θ ，cos θ )， b＝(cos θ ，1)，若 a∥ b，则π 2tanθ ＝________.答案 12解析 由 a∥ b，得 sin2θ ＝cos 2θ ，即 2sinθ cosθ ＝cos 2θ ，因为 0θ ，所以 cosθ ≠0，整理得 2sinθ ＝cos θ .所以 tanθ ＝ .π 2 12第五章 平面向量第 1讲 平面向量的概念及线性运算平面向量的基本定理考点一 平面向量的线性运算及几何意义撬点 ·基础点 重难点 撬法 ·命题法 解题法 12017 高考数学一轮复习 第五章 平面向量 5.1.2 平面向量的基本定理及坐标表示对点训练 理1．已知向量 a＝(1,2)， b＝(3,1)，则 b－ a＝( )A．(－2,1) B．(2，－1)C．(2,0) D．(4,3)答案 B解析 b－ a＝(2，－1)，选 B 项．2．已知向量 a＝(1,2)， b＝(2，－3)．若向量 c 满足( c＋ a)∥ b， c⊥( a＋ b)，则 c＝( )A. B.(79， 73) (－ 73， － 79)C. D.(73， 79) (－ 79， － 73)答案 D解析 不妨设 c＝( m， n)，则 a＋ c＝(1＋ m,2＋ n)， a＋ b＝(3，－1)，由( c＋ a)∥ b，得－3(1＋ m)＝2(2＋ n)．①对于 c⊥( a＋ b)，则有 3m－ n＝0，②联立①②，解得Error!3.在△ ABC 中，点 M， N 满足 ＝2 ， ＝ .若 ＝ x ＋ y ，则AM→ MC→ BN→ NC→ MN→ AB→ AC→ x＝________； y＝________.答案 －12 16解析 由题中条件得 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ( － )MN→ MC→ CN→ 13AC→ 12CB→ 13AC→ 12AB→ AC→ ＝ － ＝ x ＋ y ，所以 x＝ ， y＝－ .12AB→ 16AC→ AB→ AC→ 12 164．已知向量 a＝(2,1)， b＝(1，－2)．若 ma＋ nb＝(9，－8)( m， n∈R)，则 m－ n 的值为________．答案 －3解析 由向量 a＝(2,1)， b＝(1，－2)，得 ma＋ nb＝(2 m＋ n， m－2 n)＝(9，－8)，则Error!，解得 Error!，故 m－ n＝－3.5.设向量 a＝(3,3)， b＝(1，－1)．若( a＋ λ b)⊥( a－ λ b)，则实数 λ ＝________.答案 ±3解析 由题意得( a＋ λb )·(a－ λ b)＝0，即 a2－ λ 2b2＝0，则 a2＝ λ 2b2.∴ λ 2＝ ＝ ＝ ＝9.∴ λ ＝±3.a2b2  32＋ 32 2 12＋  － 12  2 1826．在平面直角坐标系中， O 为原点， A(－1，0)， B(0， )， C(3,0)，动点 D 满足3| |＝1，则| ＋ ＋ |的最大值是________．CD→ OA→ OB→ OD→ 2答案 ＋17解析 解法一：设 D(x， y)，则由| |＝1，得( x－3) 2＋ y2＝1，从而可设CD→ x＝3＋cos α ， y＝sin α ， α ∈R.而 ＋ ＋ ＝( x－1， y＋ )，OA→ OB→ OD→ 3则| ＋ ＋ |＝ OA→ OB→ OD→  x－ 1 2＋  y＋ 3 2＝  2＋ cosα  2＋  3＋ sinα  2＝ 8＋ 4cosα ＋ 23sinα＝ ，8＋ 27sin α ＋ φ 其中 sinφ ＝ ，cos φ ＝ .显然当 sin(α ＋ φ )＝1 时，27 37| ＋ ＋ |有最大值 ＝ ＋1.OA→ OB→ OD→ 8＋ 27 7解法二： ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ，OA→ OB→ OD→ OA→ OB→ OC→ CD→ 设 a＝ ＋ ＋ ＝(2， )，OA→ OB→ OC→ 3则| a|＝ ，从而 ＋ ＋ ＝ a＋ ，7 OA→ OB→ OD→ CD→ 则| ＋ ＋ |＝| a＋ |≤| a|＋| |＝ ＋1，OA→ OB→ OD→ CD→ CD→ 7当 a 与 同向时，| ＋ ＋ |有最大值 ＋1.CD→ OA→ OB→ OD→ 77.如图所示，在△ ABC 中，点 M 是 AB 的中点，且 ＝ ， BN 与 CM 相交于点 E，设AN→ 12NC→ ＝ a， ＝ b，用基底 a， b 表示向量 ＝________.AB→ AC→ AE→ 答案 a＋ b25 15解析 易得 ＝ ＝ b， ＝ ＝ a，由 N， E， B 三点共线知，存在实数 m，满足AN→ 13AC→ 13 AM→ 12AB→ 12＝ m ＋(1－ m) ＝ mb＋(1－ m)a.AE→ AN→ AB→ 13由 C， E， M 三点共线知存在实数 n，满足 ＝ n ＋(1－ n) ＝ na＋(1－ n)b.AE→ AM→ AC→ 123所以 mb＋(1－ m)a＝ na＋(1－ n)b.13 12由于 a， b 为基底，所以Error!解得Error!所以 ＝ a＋ b.AE→ 25 15第五章 平面向量第 1讲 平面向量的概念及线性运算平面向量的基本定理考点二 平面向量的基本定理及坐标表示撬点 ·基础点 重难点 撬法 ·命题法 解题法 12017 高考数学一轮复习 第五章 平面向量 5.1 平面向量的概念及线性运算平面向量的基本定理课时练 理时间：50 分钟基础组1.[2016·衡水二中预测]已知非零向量 a， b，则“ a＋ b＝0”是“ a∥ b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件答案 A解析 若 a＋ b＝0，即 a＝－ b，则 a∥ b；若 a∥ b，不一定有 a＋ b＝0.2．[2016·衡水二中猜题]已知△ ABC 的三个顶点 A， B， C 及其所在平面内一点 P 满足＋ ＋ ＝ ，则( )PA→ PB→ PC→ AB→ A． P 在△ ABC 内B． P 在△ ABC 外C． P 在直线 AB 上D． P 是 AC 边的一个三等分点答案 D解析 由已知，得 ＋ ＝ ＋ ＝ ，即 ＝2 ，PA→ PC→ AB→ BP→ AP→ PC→ AP→ ∴| |＝2| |，∴ P 为 AC 边的一个三等分点．故选 D.PC→ AP→ 3．[2016·冀州中学期末]如图所示，在平行四边形 ABCD 中， E 是 BC 的中点， F 是 AE的中点，若 ＝ a， ＝ b，则 ＝( )AB→ AD→ AF→ A. a＋ b B. a＋ b12 14 14 12C. a－ b D. a－ b12 14 14 12答案 A解析 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ，则 ＝ ＝ ＝ a＋ b.AE→ AB→ BE→ AB→ 12BC→ AB→ 12AD→ AF→ 12AE→ 12(AB→ ＋ 12AD→ ) 12 144．[2016·衡水中学期末]设 a， b 都是非零向量，下列条件中，一定能使2＋ ＝0 成立的是( )a|a| b|b|A． a＝－ b B． a∥ b13C． a＝2 b D． a⊥ b答案 A解析 由 ＋ ＝0 得 ＝－ ，即 b＝－ ·a，则向量 a， b 共线且方向相a|a| b|b| b|b| a|a| |b||a|反．因此当向量 a， b 共线且方向相反时，能使 ＋ ＝0 成立．B 项中向量 a， b 的方向a|a| b|b|相同或相反，C 项中向量 a， b 的方向相同，D 项中向量 a， b 互相垂直，只有 A 项能确定向量 a， b 共线且方向相反．故选 A.5．[2016·冀州中学预测]设向量 a＝( x,1)， b＝(4， x)，且 a， b 方向相反，则 x 的值是( )A．2 B．－2C．±2 D．0答案 B解析 由向量 a， b 方向相反，得 a＝ λ b(λ 0)，∴( x,1)＝ λ (4， x)＝(4 λ ， λx )，由此得Error! 解得Error! 或Error! (舍去)，则 x 的值是－2.6．[2016·武邑中学模拟]已知向量 ＝( k,12)， ＝(4,5)， ＝(－ k,10)，且OA→ OB→ OC→ A， B， C 三点共线，则 k 的值是( )A．－ B. 23 43C. D. 12 13答案 A解析 ＝ － ＝(4－ k，－7)，AB→ OB→ OA→ ＝ － ＝(－2 k，－2)．AC→ OC→ OA→ 因为 A， B， C 三点共线，所以 ， 共线，AB→ AC→ 所以－2×(4－ k)＝－7×(－2 k)，解得 k＝－ .237.3[2016·枣强中学一轮检测]如图，已知| |＝1，| |＝ ， · ＝0，点 C 在线段OA→ OB→ 3 OA→ OB→ AB 上，且∠ AOC＝30°，设 ＝ m ＋ n (m， n∈R)，则 ＝( )OC→ OA→ OB→ mnA. B．313C. D.33 3答案 B解析 由| |＝1，| |＝ ， · ＝0 可得∠ AOB＝90°，| |＝2，所以OA→ OB→ 3 OA→ OB→ AB→ ∠ OAC＝60°，又∠ AOC＝30°，故∠ OCA＝90°，则 ＝ ＝ ( － )，AC→ 14AB→ 14OB→ OA→ ＝ ＋ ＝ ＋ ( － )＝ ＋ ，故 m＝ ， n＝ ， ＝3，选 B.OC→ OA→ AC→ OA→ 14OB→ OA→ 34OA→ 14OB→ 34 14 mn8.[2016·衡水中学周测] O 是平面上一定点， A、 B、 C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 ＝ ＋ λ ， λ ∈[0，＋∞)，则 P 的轨迹一定通过△ ABC 的( )OP→ OA→ (AB→ |AB→ |＋AC→ |AC→ |)A．外心 B．内心C．重心 D．垂心答案 B解析 如图所示，易知 ＝ λ Error! ＋ Error!，因 与 是单位向量，故点 P 在AP→ AB→ |AB→ |AC→ |AC→ |AB→ |AB→ |AC→ |AC→ |∠ BAC 的平分线上，所以点 P 的轨迹通过△ ABC 的内心，选 B.9．[2016·冀州中学月考]已知 D 为三角形 ABC 边 BC 的中点，点 P 满足＋ ＋ ＝0， ＝ λ ，则实数 λ 的值为________．PA→ BP→ CP→ AP→ PD→ 4答案 －2解析 如图所示，由 ＝ λ 且 ＋ ＋ ＝0，则 P 为以 AB、 AC 为邻边的平行四边AP→ PD→ PA→ BP→ CP→ 形的第四个顶点，因此 ＝－2 ，则 λ ＝－2.AP→ PD→ 10.[2016·衡水中学月考]△ ABC 的三内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，设向量m＝(3 c－ b， a－ b)， n＝(3 a＋3 b， c)， m∥ n，则 cosA＝________.答案 16解析 ∵ m∥ n，∴(3 c－ b)·c＝( a－ b)(3a＋3 b)，即 bc＝3( b2＋ c2－ a2)，∴ ＝ ，∴cos A＝ ＝ .b2＋ c2－ a2bc 13 b2＋ c2－ a22bc 1611．[2016·武邑中学周测]已知点 O(0,0)、 A(1,2)、 B(4,5)及 ＝ ＋ t ，试问：OP→ OA→ AB→ (1)t 为何值时， P 在 x 轴上？在 y 轴上？ P 在第三象限？(2)四边形 OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的 t 值；若不能，请说明理由．解 (1)∵ ＝(3,3)，AB→ ∴ ＝(1,2)＋(3 t,3t)＝(3 t＋1,3 t＋2)，OP→ 若点 P 在 x 轴上，则 3t＋2＝0，解得 t＝－ ；23若点 P 在 y 轴上，则 1＋3 t＝0，解得 t＝－ ；13若点 P 在第三象限，则Error!解得 t－ .23(2)不能，若四边形 OABP 成为平行四边形，则 ＝ ，∴Error!OP→ AB→ ∵该方程组无解，∴四边形 OABP 不能成为平行四边形．12．[2016·枣强中学猜题]在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1,1)， B(2,3)， C(3,2)，点 P(x， y)在△ ABC 三边围成的区域(含边界)上．5(1)若 ＋ ＋ ＝0，求| |；PA→ PB→ PC→ OP→ (2)设 ＝ m ＋ n (m， n∈R)，用 x， y 表示 m－ n，并求 m－ n 的最大值．OP→ AB→ AC→ 解 (1)解法一：∵ ＋ ＋ ＝0， ＋ ＋ ＝(1－ x,1－ y)＋(2－ x,3－ y)PA→ PB→ PC→ PA→ PB→ PC→ ＋(3－ x,2－ y)＝(6－3 x，6－3 y)，∴Error! 解得 x＝2， y＝2，即 ＝(2,2)，故| |＝2 .OP→ OP→ 2解法二：∵ ＋ ＋ ＝0，PA→ PB→ PC→ 则( － )＋( － )＋( － )＝0，OA→ OP→ OB→ OP→ OC→ OP→ ∴ ＝ ( ＋ ＋ )＝(2,2)，OP→ 13OA→ OB→ OC→ ∴| |＝2 .OP→ 2(2)∵ ＝ m ＋ n ， ＝(1,2)， ＝(2,1)，OP→ AB→ AC→ AB→ AC→ ∴( x， y)＝( m＋2 n,2m＋ n)，∴Error!两式相减得， m－ n＝ y－ x，令 y－ x＝ t，由图知，当直线 y＝ x＋ t 过点 B(2,3)时，t 取得最大值 1，故 m－ n 的最大值为 1.能力组13.[2016·衡水中学期中]设 a 是已知的平面向量且 a≠0，关于向量 a 的分解，有如下四个命题：①给定向量 b，总存在向量 c，使 a＝ b＋ c；②给定向量 b 和 c，总存在实数 λ 和 μ ，使 a＝ λ b＋ μ c；③给定单位向量 b 和正数 μ ，总存在单位向量 c 和实数 λ ，使 a＝ λ b＋ μ c；6④给定正数 λ 和 μ ，总存在单位向量 b 和单位向量 c，使 a＝ λ b＋ μ c.上述命题中的向量 b， c 和 a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析 利用向量加法的三角形法则，易得①正确；利用平面向量的基本定理，易知②正确，因为没有说明 b， c 不共线；以 a 的终点为圆心作长度为 μ 的圆，这个圆心须和向量 λ b 有交点，这个不一定能满足，③不正确；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须满足| a|＝| λ b＋ μ c|≤ λ ＋ μ ，而向量 a 的模大小不定，所以④是假命题．综上，选 B.14．[2016·武邑中学模拟]在平面直角坐标系中， A( ，1)， B 点是以原点 O 为圆心3的单位圆上的动点，则| ＋ |的最大值是( )OA→ OB→ A．4 B．3C．2 D．1答案 B解析 解法一：设 B(cosθ ，sin θ )，则 ＋ ＝(cos θ ＋ ，sin θ ＋1)，所以OA→ OB→ 3| ＋ |＝ ＝ ＝OA→ OB→  cosθ ＋ 3 2＋  sinθ ＋ 1 2 23cosθ ＋ 2sinθ ＋ 5≤3.故选 B.4sin(θ ＋ π 3)＋ 5解法二：由题意知| |＝1，所以| ＋ |≤| |＋1＝2＋1＝3，当 与 同向时等号OB→ OB→ OA→ OA→ OB→ OA→ 成立．故选 B.15.[2016·冀州中学猜题]在△ ABC 中，∠ ACB 为钝角， AC＝ BC＝1， ＝ x ＋ y 且CO→ CA→ CB→ x＋ y＝1，函数 f(m)＝| － m |的最小值为 ，则| |的最小值为________．CA→ CB→ 32 CO→ 答案 12解析 ∵ ＝ x ＋ y ，CO→ CA→ CB→ ∴ ＝ x( － )＋ y( － )＝ x ＋ y －( x＋ y) ，CO→ OA→ OC→ OB→ OC→ OA→ OB→ OC→ ∵ x＋ y＝1，∴ x ＋ y ＝0，OA→ OB→ ∴ A， O， B 三点共线，f(m)＝| － m |＝CA→ CB→  CA→ － mCB→  2＝ |CA→ |2＋ m2|CB→ |2－ 2mCA→ ·CB→ ＝ ，1＋ m2－ 2mcos∠ ACB7当 m＝cos∠ ACB 时，f(m)＝| － m |的最小值为 ，CA→ CB→ 32即 cos2∠ ACB－2cos 2∠ ACB＋1＝ ，34∵∠ ACB 为钝角，∴cos∠ ACB＝－ ，12∴∠ ACB＝120°，∠ B＝∠ A＝30°，∴| |的最小值为 .CO→ 1216．[2016·衡水中学期末]如图，已知△ OCB 中， A 是 CB 的中点， D 是将 分成 2∶1OB→ 的一个内分点， DC 和 OA 交于点 E，设 ＝ a， ＝ b.OA→ OB→ (1)用 a 和 b 表示向量 ， ；OC→ DC→ (2)若 ＝ λ ，求实数 λ 的值．OE→ OA→ 解 (1)由题意知， A 是 BC 的中点，且 ＝ ，由平行四边形法则，得OD→ 23OB→ ＋ ＝2 ，OB→ OC→ OA→ 所以 ＝2 － ＝2 a－ b，OC→ OA→ OB→ ＝ － ＝(2 a－ b)－ b＝2 a－ b.DC→ OC→ OD→ 23 53(2)由题意知， ∥ ，故设 ＝ x .EC→ DC→ EC→ DC→ 因为 ＝ － ＝(2 a－ b)－ λ aEC→ OC→ OE→ ＝(2－ λ )a－ b， ＝2 a－ b，DC→ 53所以(2－ λ )a－ b＝ x .(2a－53b)因为 a 与 b 不共线，由平面向量基本定理，得Error!解得Error! 故 λ ＝ .45812017 高考数学一轮复习 第五章 平面向量 5.2.1 平面向量的数量积对点训练 理1．已知菱形 ABCD 的边长为 a，∠ ABC＝60°，则 · ＝( )BD→ CD→ A．－ a2 B．－ a232 34C. a2 D. a234 32答案 D解析 在菱形 ABCD 中， ＝ ， ＝ ＋ ，所以 · ＝( ＋ )· ＝ · ＋BA→ CD→ BD→ BA→ BC→ BD→ CD→ BA→ BC→ CD→ BA→ CD→ · ＝ a2＋ a×a×cos60°＝ a2＋ a2＝ a2.BC→ CD→ 12 322．△ ABC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量 a， b 满足 ＝2 a， ＝2 a＋ b，则下列AB→ AC→ 结论正确的是( )A．| b|＝1 B． a⊥ bC． a·b＝1 D．(4 a＋ b)⊥ BC→ 答案 D解析 ∵ ＝2 a， ＝2 a＋ b，∴ a＝ ， b＝ － ＝ ，∵△ ABC 是边长为 2 的等AB→ AC→ 12AB→ AC→ AB→ BC→ 边三角形，∴| b|＝2， a·b＝ · ＝－1，故 a， b 不垂直，4 a＋ b＝2 ＋ ＝ ＋ ，12AB→ BC→ AB→ BC→ AB→ AC→ 故(4 a＋ b)· ＝( ＋ )· ＝－2＋2＝0，∴(4 a＋ b)⊥ ，故选 D.BC→ AB→ AC→ BC→ BC→ 3.设四边形 ABCD 为平行四边形，| |＝6，| |＝4.若点 M， N 满足AB→ AD→ ＝3 ， ＝2 ，则 · ＝( )BM→ MC→ DN→ NC→ AM→ NM→ A．20 B．15C．9 D．6答案 C解析 选择 ， 为基向量．∵ ＝3 ，∴ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ，又AB→ AD→ BM→ MC→ AM→ AB→ BM→ AB→ 34BC→ AB→ 34AD→ ＝2 ，∴ ＝ ＋ ＝ － ，于DN→ NC→ NM→ NC→ CM→ 13AB→ 14AD→ 是 · ＝ · ＝ (4 ＋3 )· (4 －3 )＝ (16| |2－9| |2)AM→ NM→ (AB→ ＋ 34AD→ ) (13AB→ － 14AD→ ) 14 AB→ AD→ 112 AB→ AD→ 148 AB→ AD→ ＝9，故选 C.4.若非零向量 a， b 满足| a|＝ |b|，且( a－ b)⊥(3 a＋2 b)，则 a 与 b 的夹角为( )2232A. B.π 4 π 2C. D．π3π4答案 A解析 由条件，得( a－ b)·(3a＋2 b)＝3 a2－2 b2－ a·b＝0，即 a·b＝3 a2－2 b2.又|a|＝ |b|，所以 a·b＝3 2－2 b2＝ b2，所以 cos〈 a， b〉223 (223|b|) 23＝ ＝ ＝ ，所以〈 a， b〉＝ ，故选 A.a·b|a||b|23b2223b2 22 π 45．若向量 a， b 满足：| a|＝1，( a＋ b)⊥ a，(2 a＋ b)⊥ b，则| b|＝( )A．2 B. 2C．1 D.22答案 B解析 ∵( a＋ b)⊥ a，| a|＝1，∴( a＋ b)·a＝0，∴| a|2＋ a·b＝0，∴ a·b＝－1.又∵(2 a＋ b)⊥ b，∴(2 a＋ b)·b＝0.∴2 a·b＋| b|2＝0.∴| b|2＝2.∴| b|＝ ，选 B.26．平面向量 a＝(1,2)， b＝(4,2)， c＝ ma＋ b(m∈R)，且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，则 m＝( )A．－2 B．－1C．1 D．2答案 D解析 ∵ a＝(1,2)， b＝(4,2)，∴ c＝ m(1,2)＋(4,2)＝( m＋4,2 m＋2)．又∵ c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，∴cos〈 c， a〉＝cos〈 c， b〉 ．∴ ＝ .即 ＝ ，解得 m＝2.c·a|c||a| c·b|c||b| 5m＋ 85|c| 8m＋ 2025|c|7．已知 A， B， C 为圆 O 上的三点，若 ＝ ( ＋ )，则 与 的夹角为________．AO→ 12AB→ AC→ AB→ AC→ 答案 90°解析 由 ＝ ( ＋ )可得 O 为 BC 的中点，则 BC 为圆 O 的直径，即∠ BAC＝90°，AO→ 12AB→ AC→ 故 与 的夹角为 90°.AB→ AC→ 38．已知向量 a， b 满足| a|＝1， b＝(2,1)，且 λ a＋ b＝0( λ ∈R)，则| λ |＝________.答案 5解析 | b|＝ ＝ ，由 λ a＋ b＝0，得 b＝－ λ a，故| b|＝|－ λ a|＝| λ ||a|，22＋ 12 5所以| λ |＝ ＝ ＝ .|b||a| 51 59．已知单位向量 e1与 e2的夹角为 α ，且 cosα ＝ ，向量 a＝3 e1－2 e2与 b＝3 e1－ e213的夹角为 β ，则 cosβ ＝________.答案 223解析 a·b＝(3 e1－2 e2)·(3e1－ e2)＝9＋2－9×1×1× ＝8.13∵| a|2＝(3 e1－2 e2)2＝9＋4－12×1×1× ＝9，∴| a|＝3.13∵| b|2＝(3 e1－ e2)2＝9＋1－6×1×1× ＝8，13∴| b|＝2 ，∴cos β ＝ ＝ ＝ .2a·b|a|·|b| 83×22 22310.如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB＝8， AD＝5， ＝3 ， · ＝2，CP→ PD→ AP→ BP→ 则 · 的值是________．AB→ AD→ 答案 22解析 由题意知， ＝ ＋ ＝ ＋ ，AP→ AD→ DP→ AD→ 14AB→ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ － ，BP→ BC→ CP→ BC→ 34CD→ AD→ 34AB→ 所以 · ＝ ·AP→ BP→ (AD→ ＋ 14AB→ ) (AD→ － 34AB→ )＝ 2－ · － 2，AD→ 12AD→ AB→ 316AB→ 即 2＝25－ · － ×64，12AD→ AB→ 316解得 · ＝22.AB→ AD→ 第五章 平面向量第 2讲 平面向量的数量积及应用考点一 平面向量的数量积撬点 ·基础点 重难点 撬法 ·命题法 解题法 12017 高考数学一轮复习 第五章 平面向量 5.2.2 数量积的综合应用对点训练 理1.已知 ⊥ ，| |＝ ，| |＝ t.若点 P 是△ ABC 所在平面内的一点，且 ＝ ＋AB→ AC→ AB→ 1t AC→ AP→ AB→ |AB→ |，则 · 的最大值等于( )4AC→ |AC→ | PB→ PC→ A．13 B．15C．19 D．21答案 A解析 依题意，以点 A 为坐标原点，以 AB 所在的直线为 x 轴， AC 所在的直线为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，所以点 P(1,4)， B ， C(0， t)，所以 · ＝(1t， 0) PB→ PC→ ·(－1， t－4)＝ ×(－1)－4×( t－4)(1t－ 1， － 4) (1t－ 1)＝17－ －4 t≤17－2 ＝13(当且仅当 ＝4 t，即 t＝ 时取等号)，所以 · 的最1t 1t×4t 1t 12 PB→ PC→ 大值为 13，故选 A.2．设向量 a， b 满足| a＋ b|＝ ，| a－ b|＝ ，则 a·b＝( )10 6A．1 B．2C．3 D．5答案 A解析 由| a＋ b|＝ 得 a2＋ b2＋2 a·b＝10，①10由| a－ b|＝ 得 a2＋ b2－2 a·b＝6，②6①－②得 4a·b＝4，∴ a·b＝1，故选 A.23．已知菱形 ABCD 的边长为 2，∠ BAD＝120°，点 E， F 分别在边 BC， DC 上，BE＝ λBC ， DF＝ μDC .若 · ＝1， · ＝－ ，则 λ ＋ μ ＝( )AE→ AF→ CE→ CF→ 23A. B.12 23C. D.56 712答案 C解析 以 ， 为基向量，则 · ＝( ＋ λ )·( ＋ μ )AB→ AD→ AE→ AF→ AB→ AD→ AD→ AB→ ＝ μ 2＋ λ 2＋(1＋ λμ ) · ＝4( μ ＋ λ )－2(1＋ λμ )AB→ AD→ AB→ AD→ ＝1①. · ＝( λ －1) ·(μ －1) ＝－2( λ －1)( μ －1)＝－ ②，由①②可得CE→ CF→ BC→ DC→ 23λ ＋ μ ＝ .564．已知点 O 为△ ABC 的外心，且| |＝4，| |＝2，则 · ＝________.AC→ AB→ AO→ BC→ 答案 6解析 因为点 O 为△ ABC 的外心，且| |＝4，| |＝2，AC→ AB→ 所以 · ＝ ·( － )AO→ BC→ AO→ AC→ AB→ ＝ A · － ·O→ AC→ AO→ AB→ ＝| || |cos〈 ， 〉－| || |·cos〈 ， 〉AO→ AC→ AO→ AC→ AO→ AB→ AO→ AB→ ＝| || |× －| || |× ＝6.AC→ AC→ 12 AB→ AB→ 125．在直角梯形 ABCD 中，∠ A＝90°，∠ B＝30°， AB＝2 ， BC＝2，点 E 在线段 CD 上，3若 ＝ ＋ μ ，则 μ 的取值范围是________．AE→ AD→ AB→ 答案 [0，12]解析 由余弦定理，得AC2＝ AB2＋ BC2－2 AB·BCcosB＝(2 )2＋2 2－2×2 ×2cos30°＝4，3 3∴ AC＝2，∴ AC＝ BC＝2，∴∠ CAB＝30°，∠ DAC＝60°.AD＝1，∴ AE∈[1,2]，∵ ＝ ＋ μ ，AE→ AD→ AB→ ∴| |2＝( ＋ μ )2＝| |2＋| μ |2＝1＋(2 )2μ 2＝1＋12 μ 2，AE→ AD→ AB→ AD→ AB→ 33μ 2＝ ，∵| |∈[1,2]，|AE→ |2－ 112 AE→ ∴ μ 2∈ ，由梯形 ABCD 知 μ ≥0，∴ μ ∈ .[0，14] [0， 12]6．设 G 是△ ABC 的重心，且 sinA· ＋3sin B· ＋3 sinC· ＝0，则角 B 的大7 GA→ GB→ 7 GC→ 小为________．答案 π 3解析 ∵ sinA· ＋3sin B· ＋3 sinC· ＝0，7 GA→ GB→ 7 GC→ 设三角形的边长顺次为 a， b， c，由正弦定理得 a· ＋3 b· ＋3 c· ＝0，7 GA→ GB→ 7 GC→ 由点 G 为△ ABC 的重心，根据中线的性质及向量加法法则得：3 ＝ ＋ ，3 ＝ ＋ ，3 ＝ ＋ ，GA→ BA→ CA→ GB→ CB→ AB→ GC→ AC→ BC→ 代入上式得： a( ＋ )＋3 b( ＋ )＋3 c( ＋ )＝0，7 BA→ CA→ CB→ AB→ 7 AC→ BC→ 又 ＝ ＋ ，上式可化为：CA→ CB→ BA→ a(2 ＋ )＋3 b( ＋ )＋3 c·(－ ＋2 )＝0，7 BA→ CB→ AB→ CB→ 7 BA→ BC→ 即(2 a－3 b－3 c) ＋(－ a－3 b＋6 c) ＝0，7 7 BA→ 7 7 BC→ 则有Error!①－②得 3 a＝9 c，即 a∶ c＝3∶1，7 7设 a＝3 k， c＝ k，代入①得 b＝ k，7∴cos B＝ ＝ ＝ ，∴ B＝ .a2＋ c2－ b22ac 9k2＋ k2－ 7k26k2 12 π 37.在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 m＝ ， n＝(sin x，cos x)， x∈(22， － 22).(0，π 2)(1)若 m⊥ n，求 tanx 的值；(2)若 m 与 n 的夹角为 ，求 x 的值．π 3解 (1)∵ m⊥ n，∴ m·n＝0.故 sinx－ cosx＝0，∴tan x＝1.22 22(2)∵ m 与 n 的夹角为 ，∴cos〈 m， n〉＝ ＝ ＝ ，故 sinπ 3 m·n|m|·|n| 22sinx－ 22cosx1×1 124＝ .(x－π 4) 12又 x∈ ，∴ x－ ∈ ， x－ ＝ ，即 x＝ ，故 x 的值为 .(0，π 2) π 4 (－ π 4， π 4) π 4 π 6 5π12 5π12第五章 平面向量第 2讲 平面向量的数量积及应用考点二 数量积的综合应用撬点 ·基础点 重难点 撬法 ·命题法 解题法 撬题 ·对点题 必刷题12017 高考数学一轮复习 第五章 平面向量 5.2 平面向量的数量积及应用课时练 理时间：45 分钟基础组1.[2016·武邑中学仿真]已知平行四边形 ABCD 中， AB＝1， AD＝2，∠ DAB＝60°，则· 等于( )AC→ AB→ A．1 B. 3C．2 D．2 3答案 C解析 ∵ ＝ ＋ ，AC→ AB→ AD→ ∴ · ＝( ＋ )· ＝| A |2＋ · ＝1＋| || |cos60°＝2.AC→ AB→ AB→ AD→ AB→ B→ AD→ AB→ AD→ AB→ 2．[2016·衡水中学模拟]已知点 P(3,3)， Q(3，－3)， O 为坐标原点，动点 M(x， y)满足Error! 则点 M 所构成的平面区域的面积是( )A．12 B．16C．32 D．64答案 C解析 ∵ ＝(3,3)， ＝( x， y)， ＝(3，－3)，OP→ OM→ OQ→ ∴ · ＝3 x＋3 y， · ＝3 x－3 y，OP→ OM→ OQ→ OM→ ∴Error! 即Error!画出平面区域可得，面积为 32.3．[2016·冀州中学期中]若| a＋ b|＝| a－ b|＝2| a|，则向量 a＋ b 与 a 的夹角为( )A. B.π 6 π 3C. D.2π3 5π6答案 B解析 由| a＋ b|＝| a－ b|两边平方，得 a·b＝0，由| a－ b|＝2| a|两边平方，得3a2＋2 a·b－ b2＝0，故 b2＝3 a2，则(a＋ b)·a＝ a2＋ a·b＝ a2，| a＋ b|＝ ＝2| a|，设向量 a＋ b 与 a 的夹角为a2＋ 2a·b＋ b2θ ，则有 cosθ ＝ ＝ ＝ ，故 θ ＝ . a＋ b ·a|a＋ b||a| a22a2 12 π 34．[2016·衡水中学仿真]向量 与向量 a＝(－3,4)的夹角为 π，| |＝10，若点 AAB→ AB→ 的坐标是(1,2)，则点 B 的坐标为( )A．(－7,8) B．(9，－4)2C．(－5,10) D．(7，－6)答案 D解析 设点 B 的坐标为( m， n)，由题意，cos〈 ， a〉＝－1＝ ＝AB→ AB→ ·a|AB→ ||a|， m－ 1 × － 3 ＋  n－ 2 ×45× m－ 1 2＋  n－ 2 2化简，得(－3 m＋4 n－5) 2＝25[( m－1) 2＋( n－2) 2]，① 又| |＝10，即 AB→ ＝10 ，② 联立①②，得 m＝7， n＝－6. m－ 1 2＋  n－ 2 25．[2016·枣强中学预测]设 x， y∈R，向量 a＝( x,1)， b＝(1， y)， c＝(2，－4)，且a⊥ c， b∥ c，则| a＋ b|＝( )A. B.5 10C．2 D．105答案 B解析 由 a⊥ c，得 a·c＝2 x－4＝0，解得 x＝2.由 b∥ c，得 ＝ ，解得 y＝－2，12 y－ 4所以 a＝(2,1)， b＝(1，－2)， a＋ b＝(3，－1)，| a＋ b|＝ ，故选 B.106．[2016·冀州中学一轮检测]已知向量 a＝( k,3)， b＝(1,4)， c＝(2,1)，且(2 a－3 b)⊥ c，则实数 k＝( )A．－ B．092C．3 D.152答案 C解析 由已知(2 a－3 b)⊥ c，可得(2 a－3 b)·c＝0，即(2 k－3，－6)·(2,1)＝0，展开化简得 4k－12＝0，所以 k＝3，故选 C.7．[2016·武邑中学一轮检测]已知向量 a， b 满足| a|＝1，( a＋ b)·(a－2 b)＝0，则|b|的取值范围为( )A．[1,2] B．[2,4]C. D.[14， 12] [12， 1]答案 D解析 由题意知 b≠0，设向量 a， b 的夹角为 θ ，∵( a＋ b)·(a－2 b)＝ a2－ a·b－2 b2，又| a|＝1，∴1－| b|cosθ －2| b|2＝0，∴| b|cosθ ＝1－2| b|2，∵－1≤cos θ ≤1，∴－| b|≤1－2| b|2≤| b|，∴ ≤| b|≤1.128．[2016·武邑中学月考]已知平面向量 a， b 的夹角为 120°，且 a·b＝－1，则3|a－ b|的最小值为( )A. B.6 3C. D．12答案 A解析 由题意可知－1＝ a·b＝| a||b|·cos120°，所以 2＝| a||b|≤ ，即|a|2＋ |b|22|a|2＋| b|2≥4，| a－ b|2＝ a2－2 a·b＋ b2＝ a2＋ b2＋2≥4＋2＝6，所以| a－ b|≥ ，选 A.69.[2016·冀州中学期末]设 M 是△ ABC 内一点，且 · ＝2 ，∠ BAC＝30°，定义AB→ AC→ 3f(M)＝( m， n， p)，其中 m、 n、 p 分别是△ MBC，△ MCA，△ MAB 的面积，若 f(M)＝，则 ＋ 的最小值是( )(12， x， y) 1x 4yA．8 B．9C．16 D．18答案 D解析 ∵ · ＝2 ，∠ BAC＝30°，AB→ AC→ 3∴| |·| |·cos∠ BAC＝2 ，解得| || |＝4，AB→ AC→ 3 AB→ AC→ ∴ S△ ABC＝ | || |sin∠ BAC＝ ×4× ＝1.12AB→ AC→ 12 12∵ f(M)＝ ，∴ ＋ x＋ y＝ S△ ABC＝1，(12， x， y) 12∴ x＋ y＝ ，∴ ·1＝ ·2(x＋ y)＝2 ≥2 ＝18(当且12 (1x＋ 4y) (1x＋ 4y) (yx＋ 4xy＋ 5) (2yx·4xy＋ 5)仅当 x＝ ， y＝ 时取等号)，故选 D.16 1310．[2016·衡水中学热身]关于平面向量 a， b， c 有下列三个命题：①若 a·b＝ a·c，则 b＝ c.②若 a＝(1， k)， b＝(－2,6)， a∥ b，则 k＝－3.③非零向量 a 和 b 满足| a|＝| b|＝| a－ b|，则 a 与 a＋ b 的夹角为 60°.其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．答案 ②解析 命题①明显错误．由两向量平行的充要条件得 1×6＋2 k＝0，∴ k＝－3，故命题②正确．由| a|＝| b|＝| a－ b|，再结合平行四边形法则可得 a 与 a＋ b 的夹角为 30°，命题③错误．11.[2016·衡水中学预测]非零向量 a， b 满足| a|＝2，| b|＝1，且| a－2 b|∈(2，2 ]，3则 a， b 的夹角 θ 的取值范围是________．答案 (π 3， 2π3]解析 ∵| a－2 b|∈(2，2 ]，∴( a－2 b)2∈(4,12]，即34a2＋4 b2－4 a·b＝4＋4－8cos θ ∈(4,12]，∴cos θ ∈ ，故 θ ∈ .[－12， 12) (π 3， 2π3]12．[2016·枣强中学热身]已知向量 a＝(4,5cos α )， b＝(3，－4tan α )， α ∈， a⊥ b，求：(0，π 2)(1)|a＋ b|；(2)cos 的值．(α ＋π 4)解 (1)因为 a⊥ b，所以 a·b＝4×3＋5cos α ×(－4tan α )＝0，解得 sinα ＝ .35又因为 α ∈ ，(0，π 2)所以 cosα ＝ ，tan α ＝ ＝ ，45 sinαcosα 34所以 a＋ b＝(7,1)，因此| a＋ b|＝ ＝5 .72＋ 12 2(2)cos ＝cos α cos －sin α sin ＝ × － × ＝ .(α ＋π 4) π 4 π 4 45 22 35 22 210能力组13.[2016·衡水中学猜题]在直角三角形 ABC 中，点 D 是斜边 AB 的中点，点 P 为线段CD 的中点，则 ＝( )|PA|2＋ |PB|2|PC|2A．2 B．4C．5 D．10答案 D解析 解法一：以 C 为原点， CA， CB 所在直线为 x， y 轴建立直角坐标系．设 A(a,0)，B(0， b)，则 D ， P .从而(a2， b2) (a4， b4)|PA|2＋| PB|2＝ ＋ ＝ (a2＋ b2)＝10| PC|2，故选 D.(916a2＋ 116b2) (116a2＋ 916b2) 1016解法二：因为 － ＝ ，且 ＋ ＝2 ，两式平方相加得PA→ PB→ BA→ PA→ PB→ PD→ 2 2＋2 2＝ 2＋4 2＝4 2＋4 2＝20 2，故选 D.PA→ PB→ BA→ PD→ CD→ PC→ PC→ 14．[2016·冀州中学模拟]已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则· 的值为________； · 的最大值为________．DE→ CB→ DE→ DC→ 答案 1 1解析 解法一： · ＝ · ＝| |·| |cosθ ，DE→ CB→ DE→ DA→ DE→ DA→ 5由图可知，| |cosθ ＝| |，因此 · ＝| |2＝1.DE→ DA→ DE→ CB→ DA→ · ＝| || |cosα ＝| |cosα .DE→ DC→ DE→ DC→ DE→ 而| |cosα 就是向量 在 上的射影，要想使 · 最大，即射影最大即可，此时DE→ DE→ DC→ DE→ DC→ E 点与 B 点重合，射影为| |，故长度为 1.DC→ 解法二：将问题中的向量向已知模与夹角的向量上转化，可求出相关结论．· ＝( ＋ )· ＝( ＋ )· ＝| |2＋ · .因为 ⊥ ，所以 · ＝0.所DE→ CB→ DA→ AE→ CB→ CB→ AE→ CB→ CB→ AE→ CB→ AE→ CB→ AE→ CB→ 以 · ＝1 2＋0＝1.DE→ CB→ · ＝( ＋ )· ＝ · ＋ · ＝ λ | |2(0≤ λ ≤1)，所以 · 的最大值DE→ DC→ DA→ AE→ DC→ DA→ DC→ AE→ DC→ DC→ DE→ DC→ 为 1.15．[2016·枣强中学仿真]如图， A 是半径为 5 的圆 C 上的一个定点，单位向量 在AB→ A 点处与圆 C 相切，点 P 是圆 C 上的一个动点，且点 P 与点 A 不重合，则 · 的取值范AP→ AB→ 围是________．6答案 [－5,5]解析 如图所示，以 AB 所在直线为 x 轴， AC 所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系．设点 P(x， y)， B(1,0)， A(0,0)，则 ＝(1,0)， ＝( x， y)，所以 · ＝( x， y)·(1,0)＝ x.AB→ AP→ AP→ AB→ 因为点 P 在圆 x2＋( y－5) 2＝25 上，所以－5≤ x≤5，即－5≤ · ≤5.AP→ AB→ 所以应填[－5,5]．16．[2016·武邑中学热身]直线 x＝1 与抛物线 C： y2＝4 x 交于 M， N 两点，点 P 是抛物线 C 准线上的一点，记 ＝ a ＋ b (a， b∈R)，其中 O 为抛物线 C 的顶点．OP→ OM→ ON→ (1)当 与 平行时， b＝________；OP→ ON→ (2)给出下列命题：①∀ a， b∈R，△ PMN 不是等边三角形；②∃ a0 且 b0，使得 与 垂直；OP→ ON→ ③无论点 P 在准线上如何运动， a＋ b＝－1 总成立．其中，所有正确命题的序号是________．答案 －1 ①②③解析 (1)当 与 平行时，根据图形的对称知原点 O 为线段 PN 的中点，则OP→ ON→ ＝－ ，所以 b＝－1.OP→ ON→ (2)若△ PMN 为等边三角形，则 P 点为准线 x＝－1 与 x 轴的交点，由题意 P(－1,0)，可取 M(1,2)， N(1，－2)，| MN|＝4，则| PM|＝| PN|＝2 ≠| MN|，故①正确；设 P(－1， y)，2令 ⊥ ，则(－1， y)·(1，－2)＝0，即 y＝－ ，则Error!，解得 a＝－ ， b＝－ ，故OP→ ON→ 12 58 38②正确；根据图形的对称性知点 P 关于原点的对称点 Q 必在直线 MN 上，则 ＝－ ＝－ aOQ→ OP→ － b ，由于点 M， N， Q 三点共线，则(－ a)＋(－ b)＝1，即 a＋ b＝－1，故③正确．综OM→ ON→ 7上可知①②③正确．