2017版高考数学一轮总复习 第12章 几何证明选讲 文（课件+习题）（打包3套）新人教A版.zip

1【大高考】2017 版高考数学一轮总复习 第 12 章 几何证明选讲模拟创新题 文 新人教 A 版一、填空题1.(2015·北京丰台区模拟)如图， AB 是圆 O 的直径， CD 与圆 O 相切于点D， AB＝8， BC＝1，则 CD＝________； AD＝________.解析 连接 OD，由切割线定理： CD2＝ BC·AC，得CD＝3，cos∠ AOD＝－cos∠ DOC＝－ ，45由余弦定理得： AD2＝ AO2＋ DO2－2 AO·DOcos∠ AOD，解得 AD＝ .12 105答案 3 12 1052.(2015·天津六校联考)如图， PC、 DA 为⊙ O 的切线， A、 C 为切点， AB 为⊙ O 的直径，若 DA＝2， CD∶ DP＝1∶2，则 AB＝________.解析 ∵ CD＝ AD＝2， CD∶ DP＝1∶2，∴ DP＝4， CP＝6，又∵∠ DAP＝90°，∴ AP＝ ＝2 ，DP2－ AD2 3由切割线定理得：PC2＝ PA·PB＝ PA·(PA＋ AB)，解得 AB＝4 .3答案 4 33.(2014·湖南六校联考)点 A、 B、 C 都在⊙ O 上，过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 D，若 AB＝5， BC＝3， CD＝6，则线段 AC 的长为________.解析 由切割线定理，得 CD2＝ BD·AD.因为 CD＝6， AB＝5，则 36＝ BD(BD＋5)，即 BD2＋5 BD－36＝0，即( BD＋9)( BD－4)＝0，所以 BD＝4.因为∠ A＝∠ BCD，∠ D＝∠ D，所以△ ADC∽△ CDB，于是 ＝ ，所以 AC＝ ·BC＝ ×3＝ .ACCB CDBD CDBD 64 92答案 922二、解答题4.(2016·郑州质量预测)如图，已知 AB 是⊙ O 的直径，直线 CD 与⊙ O 相切于点 C， AC 平分∠ DAB.(1)求证： OC∥ AD；(2)若 AD＝2， AC＝ ，求 AB 的长.5(1)证明 ∵ AO＝ CO，∴∠ OAC＝∠ ACO，∵ AC 平分∠ DAB，∴∠ DAC＝∠ OAC，∴∠ DAC＝∠ ACO，∴ OC∥ AD.(2)解 ∵直线 CD 与⊙ O 相切于点 C，∴ OC⊥ CD，由(1)知 OC∥ AD，∴ AD⊥ DC，即∠ ADC＝90°，连接 BC，∵ AB 是⊙ O 的直径，∴∠ ACB＝90°，∴∠ ADC＝∠ ACB，又∵∠ DAC＝∠ BAC，∴△ ADC∽△ ACB，∴ ＝ ，ADAC ACAB∵ AD＝2， AC＝ ，∴ AB＝ .5525.(2016·云南昆明一中第八次适应性训练)如图已知直线 PA 与半圆 O 切于点 A， PO 交半圆于 B， C 两点， AD⊥ PO 于点 D.(1)求证：∠ PAB＝∠ BAD：(2)求证： PB·CD＝ PC·BD.证明 (1)连接 AC，依题意知 BC 为半圆 O 的直径， A 为半圆上一点，所以∠ BAC＝90°，又 AD⊥ BC，所以∠ BAD＝∠ ACD，又 PA 为半圆 O 的切线，所以∠ PAB＝∠ ACD.所以∠ PAB＝∠ BAD.(2)因为∠ PAB＝∠ PCA；∠ P＝∠ P，所以△ PAB∽△ PCA.所以 ＝ ＝ ，在 Rt△ BAC 中， AD⊥ CD 于点 D，PAPC PBPA ABAC所以 ＝ ＝ .所以 ＝ ， ＝ ，ABAC ADCD BDAD PAPC ADCD PBPA BDAD所以 ＝ ， ＝ ，PCCD PAAD PBBD PAAD所以 ＝ ，所以 PB·CD＝ PC·BD.PCCD PBBD创新导向题全等三角形的判定与弦切角定理的应用36.如图， EP 交圆于 E， C 两点， PD 切圆于 D， G 为 CE 上一点且 PG＝ PD，连接 DG 并延长交圆于点 A，作弦 AB 垂直 EP，垂足为 F.(1)求证： AB 为圆的直径；(2)若 AC＝ BD，求证： AB＝ ED.证明 (1)因为 PD＝ PG，所以∠ PDG＝∠ PGD.由于 PD 为切线，故∠ PDA＝∠ DBA.又由于∠ PGD＝∠ EGA，故∠ DBA＝∠ EGA，所以∠ DBA＋∠ BAD＝∠ EGA＋∠ BAD，从而∠ BDA＝∠ PFA.由于 AF⊥ EP，所以∠ PFA＝90°，于是∠ BDA＝90°，故 AB 是直径.(2)连接 BC， DC.由于 AB 是直径，故∠ BDA＝∠ ACB＝90°.在 Rt△ BDA 与 Rt△ ACB 中， AB＝ BA， AC＝ BD，从而 Rt△ BDA≌Rt△ ACB.于是∠ DAB＝∠ CBA.又因为∠ DCB＝∠ DAB，所以∠ DCB＝∠ CBA，故 DC∥ AB.由于 AB⊥ EP，所以 DC⊥ EP，∠ DCE 为直角.于是 ED 为直径.由(1)得 ED＝ AB.专项提升测试模拟精选题一、填空题7.(2015·北京东城区一模)如图，在△ ABC 中，∠ A＝60°，AB＝2 AC＝8，过 C 作△ ABC 外接⊙ O 的切线 CD， BD⊥ CD 于 D， BD 与外接圆交于点 E，则 DE＝________.解析 连接 OC，由题意得，∠ ACB＝90°，∠ OCB＝∠ ABC＝30°，∵ OC⊥ CD， BD⊥ DC，∴ OC∥ BD，∴∠ DBC＝30°.∴ DC＝ BC＝2 ， BD＝ BC·sin 60°＝6，12 3故由切割线定理：4CD2＝ DE·BD，得 DE＝2.答案 28.(2015·广州市综合测试一)如图， BC 是圆 O 的一条弦，延长 BC 至点E，使得 BC＝2 CE＝2，过 E 作圆 O 的切线， A 为切点，∠ BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D，则 DE 的长为________.解析 延长 AD 交圆 O 于点 F，由切割线定理：AE2＝ EC·EB 得 AE＝ ，3∵∠ ADE＝∠ ABE＋∠ BAF，∠ DAE＝∠ EAC＋∠ DAC，又∵∠ EAC＝∠ ABE，∠ BAF＝∠ FAC，∴∠ EAD＝∠ EDA，∴ AE＝ ED＝ .3答案 3二、解答题9.(2016·山西阳泉模拟)如图，△ ABO 三边上的点 C， D， E 都在⊙ O 上，已知 AB∥ DE， AC＝ CB.(1)求证：直线 AB 是⊙ O 的切线.(2)若 AD＝2，且 tan∠ ACD＝ ，求⊙ O 的半径 r 的长.12(1)证明 如图连接 OC，∵ AB∥ DE，∴ ＝ ，OAOD OBOE∵ OD＝ OE，∴ OA＝ OB，∵ AC＝ CB，∴ OC⊥ AB.∴直线 AB 是 EO 的切线.(2)解 延长 AO 交⊙ O 于点 F，连接 CF.由(1)得∠ ACD＝∠ F.∵tan∠ ACD＝ ，∴tan∠ F＝ .12 12∵△ ACD∽△ AFC.∴ ＝ ＝ .CDCF ADAC 12而 AD＝2，∴ AC＝4.由切割线定理得 AC2＝ AD·(AD＋2 r).∴4 2＝2×(2＋2 r)，解得 r＝3.创新导向题相似三角形的判定及弦切角定理逆定理的应用10.如图，△ ABC 的外接圆为⊙ O，延长 CB 至 Q，再延长 QA 至 P，使得5QC2－ QA2＝ BC·QC.(1)求证： QA 为⊙ O 的切线；(2)若 AC 恰好为∠ BAP 的平分线， AB＝10， AC＝15，求 QA 的长度.(1)证明 ∵ QC2－ QA2＝ BC·QC，∴ QC(QC－ BC)＝ QA2，即 QC·QB＝ QA2，于是 ＝ ，又∠ Q＝∠ Q.QCQA QAQB∴△ QCA∽△ QAB，∴∠ QAB＝∠ QCA，根据弦切角定理的逆定理可得 QA 为⊙ O 的切线，(2)解 ∵ QA 为⊙ O 的切线，∴∠ PAC＝∠ ABC，而 AC 为∠ BAP 的平分线，∴∠ BAC＝∠ ABC，于是 AC＝ BC＝15，∴ QC2－ QA2＝15 QC， ①又由△ QCA∽△ QAB 得QC∶ QA＝ AC∶ AB＝15∶10， ②联合①②消掉 QC，得 QA＝18.知 识 点一 相似三角形与比例 线 段(1)平行 线 等分 线 段定理：如果一 组 平行 线 在一条直 线 上截得的 线 段相等，那么在其他直 线 上截得的 线 段也相等 .(2)推 论① 经过 三角形一 边 的中点与另一 边 平行的直 线 必平分第三 边.② 经过 梯形一腰的中点，且与底 边 平行的直 线 平分另一腰 .1.平行 线 等分 线 段定理2.平行 线 分 线 段成比例定理(1)定理：三条平行 线 截两条直 线 ，所得的 对应线 段成比例 .(2)推 论 ：平行于三角形一 边 的直 线 截其他两 边 (或两 边 的延长线 )所得的 对应线 段成比例 .3.相似三角形(1)相似三角形的判定① 判定定理定理 1：两角 对应 相等，两三角形相似 .定理 2：两 边对应 成比例且 夹 角相等，两三角形相似 .定理 3：三 边对应 成比例，两三角形相似 .② 引理：如果一条直 线 截三角形的两 边 (或两 边 的延 长线 )所得的 对应线 段成比例，那么 这 条直 线 平行于三角形的第三 边.③ 直角三角形相似的特殊判定斜 边 与一条直角 边对应 成比例的两个直角三角形相似 .(2)相似三角形的性 质① 相似三角形 对应边 上的高、中 线 、 对应 角平分 线 和它 们周 长 的比都等于相似比 .② 相似三角形的面 积 比等于相似比的平方 .(3)直角三角形的射影定理直角三角形斜 边 上的高是两直角 边 在斜 边 上射影的比例中 项；两直角 边 分 别 是它 们 在斜 边 上射影与斜 边 的比例中 项 .(1)[利用平行截割定理解决 问题 ， 特 别 要注意被平行 线 所截的直 线 ， 找准成比例的 线 段 ， 得到相应 的比例式 ， 有 时 需要 进 行适当的 变 形 ， 从而得到最 终 的 结 果 .]如 图 ，在 △ ABC中， DE∥ BC，EF∥ CD，若 BC＝ 3， DE＝ 2， DF＝ 1， 则 AB的长为 ________.►一个方法：平行截割定理的 应 用 .►两种技巧：直角三角形射影定理 应 用技巧 .(2)[① 将 “ 乘 积 式 ” 转 化 为 相似三角形中的 “ 比例式 ”. ② 作垂 线 构造直角三角形 .]如 图 ，在Rt△ ABC中， ∠ ACB＝ 90°， CD⊥ AB于点 D，AD＝ 4， AC＝ 5.则 BC＝ ________.知识点二 直线与圆的位置关系1.圆 周角定理与 圆 心角定理(1)圆 周角定理： 圆 上一条弧所 对 的 圆 周角等于它所 对 的 圆心角的一半 .推 论 1：同弧或等弧所 对 的 圆 周角相等；同 圆 或等 圆 中，相等的 圆 周角所 对 的弧也相等 .推 论 2：半 圆 (或直径 )所 对 的 圆 周角是直角， 90°的 圆 周角所对 的弦是直径 .(2)圆 心角定理定理： 圆 心角的度数等于它所 对 弧的度数 .2.圆 的切 线(1)切 线 的性 质 及判定① 切 线 的性 质 定理： 圆 的切 线 垂直于 经过 切点的半径 .推 论 1： 经过圆 心且垂直于切 线 的直 线 必 经过 切点 .推 论 2： 经过 切点且垂直于切 线 的直 线 必 经过圆 心 .② 切 线 的判定定理： 经过 半径的外端并且垂直于 这 条半径的直 线 是 圆 的切 线 .(2)切 线长 定理从 圆 外一点引 圆 的两条切 线 ，它 们 的切 线长 相等， 圆 心和这 一点的 连线 平分两条切 线 的 夹 角 .(3)弦切角定理弦切角等于它所 夹 的弧所 对 的 圆 周角 .3.圆 内接四 边 形的性 质 与判定(1)性 质 定理定理 1： 圆 的内接四 边 形的 对 角互 补 .定理 2： 圆 内接四 边 形的外角等于它的内角的 对 角 .(2)判定定理：如果一个四 边 形的 对 角互 补 ，那么 这 个四 边形的四个 顶 点共 圆 .推 论 ：如果四 边 形的一个外角等于它的内角的 对 角，那么 这个四 边 形的四个 顶 点共 圆 .4.与 圆 有关的成比例 线 段►五种方法：与 圆 有关的 辅 助 线 的作法 .(3)[① 有弦 ， 作弦心距 .② 有直径 ， 作直径所 对 的圆 周角 .③ 有切点 ， 作 过 切点的半径 .④ 两 圆 相交 ， 作公共弦 .⑤ 两 圆 相切 ， 作公切 线]如 图 ，△ ABC中， ∠ C＝ 90°， AB＝ 10， AC＝ 6，以 AC为 直径的 圆 与斜 边 交于点 P， 则 BP长为________.解析 连 接 CP.由推 论 2知 ∠ CPA＝ 90°，即 CP⊥ AB， 由射影定理知 ，AC2＝ AP·AB.∴ AP＝ 3.6，∴ BP＝ AB－ AP＝ 6.4.答案 6.4►一个切入点：与 圆 有关的 问题 中 ， 圆 心、弦的中点 ， 直径等 是解 题 中首先要考 虑 的量 ， 往往成 为 解 题 的突破口 .(4)如 图 AB， AC是 ⊙ O的两条切 线 ，切点分别为 ， B， C， D是 优 弧上的点，已知 ∠ BAC＝ 80°，那么 ∠ BDC＝ ________.答案 50°(1)相似三角形的判定① 已知有一角相等 时 ，可 选择 判定定理 1与判定定理 2；② 已知有两 边对应 成比例 时 ，可 选择 判定定理 2与判定定理3；③ 判定两个直角三角形相似 时 ，首先看是否可以用判定直角三角形相似的方法来判定，如不能，再考 虑 用判定三角形相似的一般方法来判定 .(2)相似三角形的性 质 可用来 证 明 线 段成比例，角相等；也可间 接 证 明 线 段相等 .相似三角形的判定与性 质 突破方略[点 评 ] 判定两个三角形相似的几种方法： ① 两角 对应 相等 ， 两三角形相似； ② 两 边对应 成比例且 夹 角相等 ， 两三角形相似； ③ 三 边对应 成比例 ， 两三角形相似； ④ 相似三角形的定 义 .(1)与 圆 有关的比例 线 段 (等 积 式 )的 证 明常有以下三种方法：① 利用相似三角形；② 利用切割 线 定理、相交弦定理；③ 利用角平分 线 定理 .(2)判定 圆 的切 线 的方法以及切 线 定理的 应 用① 判定切 线 通常有三种方法： (ⅰ )和 圆 有唯一一个公共点的直 线 是 圆 的切 线 ； (ⅱ )到 圆 心距离等于半径的直 线 是 圆 的切线 ； (ⅲ )过 半径外端且和半径垂直的直 线 是 圆 的切 线 .② 已知 圆 的切 线时 ，第一要考 虑过 切点和 圆 心的 连线 得直角；第二 应 考 虑 弦切角定理；第三涉及 线 段成比例或 线 段的积时 要考 虑 切割 线 定理 .与 圆 有关的定理的 应 用求解策略【例 2】 如 图 ， AB是 ⊙ O的直径， C， F为 ⊙ O上的点， AC是 ∠ BAF的平分 线 ， 过 点 C作 CD⊥ AF交 AF的延 长线 于 D点， CM⊥ AB，垂足 为 点M.,K(1)求 证 ： DC是 ⊙ O的切 线 ；(2)求 证 ： AM·MB＝ DF·DA.证 明 (1)如 图 ， 连 接 OC，∵ OA＝ OC， ∴∠ OCA＝ ∠ OAC.又 ∵ AC是 ∠ BAF的平分 线 ，∴∠ DAC＝ ∠ OAC.∴∠ DAC＝ ∠ OCA.∴ AD∥ OC.又 CD⊥ AD， ∴ OC⊥ CD，即 DC是 ⊙O的切 线 .(2)∵ AC是 ∠ BAF的平分 线 ，∠ CDA＝ ∠ CMA＝ 90°， AC＝ AC，∴△ ACD≌△ ACM， ∴ CD＝ CM.由 (1)知 DC2＝ DF·DA，连 接 BC，在 Rt△ ABC中， CM⊥ AB，∴ CM2＝ AM·MB，∴ AM·MB＝ DF·DA.k[点评 ] 涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段 ， 常利用 圆周角或弦切角 证 明三角形相似 ， 在相似三角形中 寻 找比例 线段；也可以利用相交弦定理、切割 线 定理 证 明 线 段成比例 ，在 实际应 用中 ， 一般涉及两条相交弦 应 首先考 虑 相交弦定理， 涉及两条割 线 就要想到割 线 定理 ， 见 到切 线 和割 线时 要注意 应 用切割 线 定理 .￿ 证明四点共圆方法四点共圆问题解题方略(1)如果四点与一定点距离相等，那么 这 四点共 圆 .(2)如果四 边 形的一 组对 角互 补 ，那么 这 个四 边 形的四个 顶点共 圆 .(3)如果四 边 形的一个外角等于它的内 对 角，那么 这 个四 边 形的四个 顶 点共 圆 .(4)如果两个三角形有公共 边 ，公共 边 所 对 的角相等，且在公共 边 的同 侧 ，那么 这 两个三角形的四个 顶 点共 圆 .(5)相交弦定理的逆定理 .(6)割 线 定理的逆定理 .【例 3】 (2016·豫南九校 3月模拟 )如 图 ， AB为圆O的直径， CD为 垂直于 AB的一条弦，垂足 为 E，弦 BM与 CD相交于点 F.(1)证 明： A， E， F， M四点共 圆 ；(2)若 MF＝ 4BF＝ 4，求 线 段 BC的 长 .(1)证明 连 接 AM.由 AB为 直径可知 ∠ AMB＝ 90°，又因 为 CD⊥ AB，所以 ∠ AEF＝ 90°，所以 ∠ AMF＋ ∠ AEF＝ 180°，因此 A， E， F， M四点共 圆 .(2)解 连 接 AC，由 A， E， F， M四点共 圆 ，知 BF·BM＝ BE·BA.在 Rt△ ABC中， BC2＝ BE·BA.又由 MF＝ 4BF＝ 4知 BF＝ 1， BM＝ 5，所以 BC2＝ 5， BC＝ .[点评 ] 以圆为载体与三角形、四边形相结合的综合性题目 ， 往往要 综 合运用多个定理以及添加相应 的 辅 助 线 才能解决 ， 在解 题时 要注意 总结 一些添加 辅 助 线 的技巧 .￿ 与圆有关的证明与计算问题【示例】 (2013·新课标全国卷 Ⅰ )如 图 ，直 线 AB为圆 的切 线 ，切点 为 B，点 C在 圆 上， ∠ ABC的角平分 线 BE交 圆 于点 E， DB垂直 BE交 圆 于点 D.