2017版高考数学一轮总复习 第10章 计数原理、概率与统计 理（课件+习题）（打包21套）.zip

1【大高考】2017 版高考数学一轮总复习 第 10 章 计数原理、概率与统计 第 1 节 排列与组合模拟创新题 理一、选择题1.(2016·四川成都第二次诊断)某微信群中甲，乙，丙，丁，戊五名成员同时抢 4 个红包，每人最多抢一个红包，且红包全被抢光，4 个红包中有两个 2 元，两个 3 元(金额相同视为相同红包)，则甲乙两人都抢到红包的情况有( )A.36 种 B.24 种 C.18 种 D.9 种解析 甲乙两人都抢到红包有三种情况：(1)都抢到 2 元红包，有 C ＝3 种；(2)都抢到233 元红包，有 C ＝3 种；(3)一个抢到 2 元，一个抢到 3 元，有 C A ＝12 种，故总共有23 122318 种情况.答案 C2.(2015·河南信阳模拟)某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有( )A.36 种 B.30 种 C.24 种 D.6 种解析 从 4 人中选出两个人作为一个元素有 C 种方法，同其他两个元素在三个位置上排24列 C A ＝36，其中有不符合条件的，即学生甲，乙同时参加同一学科竞赛有 A 种结果，243 3∴不同的参赛方案共有 36－6＝30，故选 B.答案 B二、填空题3.(2016·广东肇庆模拟)某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送给 4 位朋友，每位朋友 1 本，则不同的赠送方法共有________种(用数字作答).解析 两种情况：①选 2 本画册，2 本集邮册送给 4 位朋友，有 C ＝6 种方法；②选 1 本24画册，3 本集邮册送给 4 位朋友，有 C ＝4 种方法，所以不同的赠送方法共有146＋4＝10(种).答案 104.(2015·衡水模拟)20 个不加区别的小球放入 1 号，2 号，3 号的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数为________.解析 先在编号为 2，3 的盒内分别放入 1 个，2 个球，还剩 17 个小球，三个盒内每个至少再放入 1 个，将 17 个球排成一排，有 16 个空隙，插入 2 块挡板分为三堆放入三个盒中即可，共有 C ＝120 种方法.2162答案 120创新导向题排列中的相邻问题5.某班班会准备从甲、乙等 7 名学生中选派 4 名进行发言，要求甲、乙两人至少有一人参加.当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻.那么不同的发言顺序的种数为( )A.360 B.520 C.600 D.720解析 当甲或乙只有一人参加时，不同的发言顺序的种数为 2C A ＝480，当甲、乙同时354参加时，不同的发言顺序的种数为 A A ＝120，则不同的发言顺序的种数为2523480＋120＝600，故选 C.答案 C计数原理中的分类问题6.有 5 名优秀毕业生到母校的 3 个班去做学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为( )A.150 B.180 C.200 D.280解析 分两类：一类，3 个班分派的毕业生人数分别为 2，2，1，则有 ·A ＝90 种3分派方法；另一类，3 个班分派的毕业生人数分别为 1，1，3，则有 C ·A ＝60 种分派35 3方法.所以不同分派方法种数为 90＋60＝150，故选 A.答案 A3专项提升测试模拟精选题一、选择题7.(2016·山东济宁模拟)某中学高三学习雷锋志愿小组共有 16 人，其中一班、二班、三班、四班各 4 人，现从中任选 3 人，要求这三人不能全是同一个班的同学，且在三班至多选1 人，则不同选法的种数为( )A.484 B.472 C.252 D.232解析 若三班有 1 人入选，则另两人从三班以外的 12 人中选取，共有 C C ＝264 种选1421法.若三班没有人入选，则要从三班以外的 12 人中选 3 人，又这 3 人不能全来自同一个班，故有 C －3C ＝208 种选法.故总共有 264＋208＝472 种不同的选法.312 34答案 B二、填空题8.(2016·河北石家庄一模)将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的种数为________(用数字作答).解析 甲、乙不能分在同一个班，则不同的分组有甲单独一组，只有 1 种；甲和丙或丁两人一组，有 2 种；甲、丙、丁一组，只有 1 种.然后再把分成的两组分到不同班级里，则共有(1＋2＋1)A ＝8(种).2答案 89.(2014·天津模拟)从－3，－2，－1，0，1，2，3，4 八个数字中任取 3 个不同的数字作为二次函数 y＝ ax2＋ bx＋ c 的系数 a， b， c 的取值，则共能组成________个不同的二次函数.解析 a， b， c 中不含 0 时，有 A 个；由于 a≠0，当 b、 c 中含有 0 时，有 2A 个.故共37 27有 A ＋2A ＝294 个不同的二次函数.37 27答案 294三、解答题10.(2014·苏州调研)已知 10 件不同的产品中有 4 件次品，现对它们一一测度，直至找到所有 4 件次品为止.(1)若恰在第 2 次测试时，才测试到第一件次品，第 8 次才找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试方法？(2)若至多测试 6 次就能找到所有 4 件次品，则共有多少种不同的测试方法？解 (1)若恰在第 2 次测试时，才测到第一件次品，第 8 次才找到最后一件次品，若是不放回地逐个抽取测试，4第 2 次测到第一件次品有 4 种方法；第 8 次测到最后一件次品有 3 种方法；第 3 至第 7 次抽取测到最后两件次品共有 A 种方法；剩余 4 次抽到的是正品，共有 A A25 24A ＝86 400 种抽法.2546(2)检测 4 次可测出 4 件次品，不同的测试方法有 A 种，4检测 5 次可测出 4 件次品，不同的测试方法有 4A A 种；3416检测 6 次测出 4 件次品或 6 件正品，则不同的测试方法共有 4A A ＋A 种.3526 6由分类计数原理，知满足条件的不同测试方法的种数为 A ＋4A A ＋4A A ＋A ＝8 520.4 3416 3526 6创新导向题排列、组合中的捆绑问题11.在小语种自主招生考试中，某学校获得 4 个推荐名额，其中韩语 2 名，日语 1 名，俄语1 名，并且韩语要求必须有女生参加，学校通过选拔定下 2 女 2 男共 4 个推荐对象，则不同的推荐方法共有( )A.8 种 B.10 种 C.12 种 D.14 种解析 ∵要求必须有女生参加韩语考试，∴先从 2 个女生中选一个考韩语有 C 种方法，剩下的三个考生在三个位置全排列，有 A12种方法，由分步计数原理知有 C A 种方法.又其中考韩语的为两个女生的情况重复，故3 123排除 A 种方法，∴共有 C A －A ＝10 种不同方法.2 123 2答案 B两个计数原理的综合应用问题12.已知集合 A＝{5}， B＝{1，2}， C＝{1，3，4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为( )A.33 B.34 C.35 D.36解析 (1)若从集合 B 中取元素 2 时，再从 C 中任取一个元素，则确定的不同点的个数为 C A .133(2)当从集合 B 中取元素 1，且从 C 中取元素 1，则确定的不同点有 C ×1＝C .13 13(3)当从 B 中取元素 1，且从 C 中取出元素 3 或 4，则确定的不同点有 C A 个，123∴由分类加法计数原理，共确定不同的点有 C A ＋C ＋C A ＝33(个).133 13 123答案 A1【大高考】2017 版高考数学一轮总复习 第 10 章 计数原理、概率与统计 第 1 节 排列与组合高考 AB 卷 理排列与组合1.(2016·全国Ⅱ，5)如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A.24 B.18 C.12 D.9解析 从 E 点到 F 点的最短路径有 6 种，从 F 点到 G 点的最短路径有 3 种，所以从 E 点到 G 点的最短路径为 6×3＝18 种，故选 B.答案 B2.(2016·全国Ⅲ，12)定义“规范 01 数列”{ an}如下：{ an}共有 2m 项，其中 m 项为 0， m项为 1，且对任意 k≤2 m， a1， a2，…， ak中 0 的个数不少于 1 的个数.若 m＝4，则不同的“规范 01 数列”共有( )A.18 个 B.16 个 C.14 个 D.12 个解析 第一位为 0，最后一位为 1，中间 3 个 0，3 个 1，三个 1 在一起时为000111，001110；只有 2 个 1 相邻时，共 A 种，其中24110100；110010；110001，101100 不符合题意，三个 1 都不在一起时有 C 种，共342＋8＋4＝14.答案 C3.(2014·大纲全国，5)有 6 名男医生、5 名女医生，从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )A.60 种 B.70 种 C.75 种 D.150 种解析 从中选出 2 名男医生的选法有 C ＝15 种，从中选出 1 名女医生的选法有 C ＝5 种，26 15所以不同的选法共有 15×5＝75 种，故选 C.答案 C4.(2012·大纲全国，11)将字母 a， a， b， b， c， c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法有( )2A.12 种 B.18 种 C.24 种 D.36 种解析 第 1 列排 a， b， c 三个字母，共有 A 种，第 2 列还有 2 种，因此共有 2A ＝12 种.3 3答案 A5.(2013·大纲，14)6 个人排一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________种(用数字作答).解析 法一 第一步：先排除甲、乙的 4 人共有 A 种.第二步再排甲、乙，插空共 A 种.由4 25乘法原理共有 A A ＝480 种.425法二 6 人的全排列共有 A ＝720 种，甲、乙相邻的排法共有 A A ＝240 种，因此甲乙不6 25相邻的排法共有 720－240＝480 种.答案 480排列与组合1.(2016·四川，4)用数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )A.24 B.48 C.60 D.72解析 由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是 1，3，5；分为两步：先从1，3，5 三个数中选一个作为个位数有 C ，再将剩下的 4 个数字排列得到 A ，则满足条13 4件的五位数有 C ·A ＝72.选 D.13 4答案 D2.(2015·四川，6)用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40 000大的偶数共有( )A.144 个 B.120 个 C.96 个 D.72 个解析 由题意，首位数字只能是 4，5，若万位是 5，则有 3×A ＝72 个；若万位是 4，34则有 2×A 个＝48 个，故 40 000 大的偶数共有 72＋48＝120 个.选 B.34答案 B3.(2014·辽宁，6)6 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )A.144 B.120 C.72 D.24解析 3 人中每两人之间恰有一个空座位，有 A ×2＝12 种坐法，3 人中某两人之间有两3个空座位，有 A ×A ＝12 种坐法，所以共有 12＋12＝24 种坐法.3 2答案 D34.(2014·重庆，9)某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A.72 B.120 C.144 D.168解析 依题意，先仅考虑 3 个歌舞类节目互不相邻的排法种数为 A A ＝144，其中 3 个334歌舞类节目互不相邻但 2 个小品类节目相邻的排法种数为 A A A ＝24，因此满足题意的223排法种数为 144－24＝120，选 B.答案 B5.(2014·安徽，8)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为 60°的共有( )A.24 对 B.30 对 C.48 对 D.60 对解析 法一 直接法：如图，在上底面中选 B1D1，四个侧面中的面对角线都与它成 60°，共 8 对，同样 A1C1对应的也有 8 对，下底面也有 16 对，这共有 32 对；左右侧面与前后侧面中共有 16 对.所以全部共有 48 对.法二 间接法：正方体的 12 条面对角线中，任意两条垂直、平行或成角为 60°，所以成角为 60°的共有 C －12－6＝48.21答案 C6.(2013·山东，10)用 0，1，…，9 十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A.243 B.252 C.261 D.279解析 组成无重复数字的个数为 C C C ＝648，10 个数共组成三位数的个数为1919189×10×10＝900，故组成有重复数字的个数为 900－648＝252(个).答案 B7.(2012·辽宁，5)一排 9 个座位坐了 3 个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )A.3×3! B.3×(3！) 3 C.(3！) 4 D.9!解析 此排列可分两步进行，先把三个家庭分别排列，每个家庭有 3！种排法，三个家庭共有 3！×3！×3！＝(3！) 3种排法；再把三个家庭进行全排列有 3！种排法，因此不4同的坐法种数为(3！) 4.故选 C.答案 C8.(2015·广东，12)某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言(用数字作答).解析 依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从 40 人中任选两人的排列数，所以全班共写了 A ＝40×39＝1 560 条毕业留言.240答案 1 5609.(2014·北京，13)把 5 件不同产品摆成一排，若产品 A 与产品 B 相邻，且产品 A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有________种.解析 将 A、 B 捆绑在一起，有 A 种摆法，再将它们与其他 3 件产品全排列，有 A 种摆2 4法，共有 A A ＝48 种摆法，而 A、 B、 C 3 件在一起，且 A、 B 相邻， A、 C 相邻有24CAB、 BAC 两种情况，将这 3 件与剩下 2 件全排列，有 2×A ＝12 种摆法，故 A、 B 相邻，3A、 C 不相邻的摆法有 48－12＝36 种.答案 3610.(2014·浙江，14)在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张，其余 5 张无奖.将这 8 张奖券分配给 4 个人，每人 2 张，不同的获奖情况有________种(用数字作答).解析 分情况：一种情况将有奖的奖券按 2 张、1 张分给 4 个人中的 2 个人，种数为 C C23A ＝36；另一种将 3 张有奖的奖券分给 4 个人中的 3 个人，种数为 A ＝24，则获奖情况124 34总共有 36＋24＝60(种).答案 60排列组合中的创新问题11.(2016·北京，8)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( )A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多解析 取两个球往盒子中放有 4 种情况：①红＋红，则乙盒中红球数加 1 个；②黑＋黑，则丙盒中黑球数加 1 个；③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加 1 个；④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加 1 个；因为红球和黑球个数一样，所以①和②的情况一样多.③和④的情况随机，③和④对 B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的5黑球数没有任何影响，①和②出现的次数是一样的，所以对 B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一样.综上选 B.答案 B12.(2014·福建，10)用 a 代表红球， b 代表蓝球， c 代表黑球.由加法原理及乘法原理，从 1 个红球和 1 个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋ a)(1＋ b)的展开式1＋ a＋ b＋ ab 表示出来，如：“1”表示一个球都不取、 “a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从 5个无区别的红球、5 个无区别的蓝球、5 个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( )A.(1＋ a＋ a2＋ a3＋ a4＋ a5)(1＋ b5)(1＋ c)5B.(1＋ a5)(1＋ b＋ b2＋ b3＋ b4＋ b5)(1＋ c)5C.(1＋ a)5(1＋ b＋ b2＋ b3＋ b4＋ b5)(1＋ c5)D.(1＋ a5)(1＋ b)5(1＋ c＋ c2＋ c3＋ c4＋ c5)解析 分三步：第一步，5 个无区别的红球可能取出 0 个，1 个，…，5 个，则有(1＋ a＋ a2＋ a3＋ a4＋ a5)种不同的取法；第二步，5 个无区别的蓝球都取出或都不取出，则有(1＋ b5)种不同取法；第三步，5 个有区别的黑球看作 5 个不同色，从 5 个不同色的黑球中任取 0 个，1 个，…，5 个，有(1＋ c)5种不同的取法，所以所求的取法种数为(1＋ a＋ a2＋ a3＋ a4＋ a5)(1＋ b5)(1＋ c)5，故选 A.答案 A13.(2014·广东，8)设集合 A＝{( x1， x2， x3， x4， x5)|xi∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，那么集合 A 中满足条件“1≤| x1|＋| x2|＋| x3|＋| x4|＋| x5|≤3”的元素个数为( )A.60 B.90 C.120 D.130解析 易知| x1|＋| x2|＋| x3|＋| x4|＋| x5|＝1 或 2 或 3，下面分三种情况讨论.其一：|x1|＋| x2|＋| x3|＋| x4|＋| x5|＝1，此时，从 x1， x2， x3， x4， x5中任取一个让其等于 1或－1，其余等于 0，于是有 C C ＝10 种情况；其二：1512|x1|＋| x2|＋| x3|＋| x4|＋| x5|＝2，此时，从 x1， x2， x3， x4， x5中任取两个让其都等于1 或都等于－1 或一个等于 1、另一个等于－1，其余等于 0，于是有 2C ＋C C ＝40 种情25 2512况；其三：| x1|＋| x2|＋| x3|＋| x4|＋| x5|＝3，此时，从 x1， x2， x3， x4， x5中任取三个让其都等于 1 或都等于－1 或两个等于 1、另一个等于－1 或两个等于－1、另一个等于1，其余等于 0，于是有 2C ＋C C ＋C C ＝80 种情况.由于 10＋40＋80＝130，故答案为35 3513 3523D.答案 D614.(2013·四川，8)从 1，3，5，7，9 这五个数中，每次取出两个不同的数分别为 a， b，共可得到 lg a－lg b 的不同值的个数是( )A.9 B.10 C.18 D.20解析 首先从 1，3，5，7，9 这五个数中任取两个不同的数排列，共有 A ＝20 种排法，25因为 ＝ ， ＝ ，所以从 1，3，5，7，9 这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为31 93 13 39a， b，共可得到 lg a－lg b 的不同值的个数是：20－2＝18，故选 C.答案 C1【大高考】2017 版高考数学一轮总复习 第 10 章 计数原理、概率与统计 第 3 节 随机事件及其概率高考 AB 卷 理事件与概率1.(2014·全国Ⅰ，5)4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A. B. 18 58C. D.38 78解析 由题意知 4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动有 24种情况，而 4 位同学都选周六有 1 种情况，4 位同学都选周日有 1 种情况，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 P＝ ＝ ＝ ，故选 D.24－ 1－ 124 1416 78答案 D2.(2013·大纲版，20)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为 ，各局比赛12的结果相互独立，第 1 局甲当裁判.(1)求第 4 局甲当裁判的概率.(2)X 表示前 4 局中乙当裁判的次数，求 X 的数学期望.解 (1)记 A1表示事件“第 2 局结果为甲胜” ，A2表示事件“第 3 局甲参加比赛时，结果为甲负” ，A 表示事件“第 4 局甲当裁判”.则 A＝ A1 ·A2.P(A)＝ P(A1·A2)＝ P(A1)P(A2)＝ .14(2)X 的可能取值为 0，1，2.记 A3表示事件“第 3 局乙和丙比赛时，结果为乙胜” ，B1表示事件“第 1 局结果为乙胜丙” ，B2表示事件“第 2 局乙和甲比赛时，结果为乙胜”.B3表示事件“第 3 局乙参加比赛时，结果为乙负”.则 P(X＝0)＝ P(B1·B2·A3)2＝ P(B1)P(B2)P(A3)＝ ，18P(X＝2)＝ P( 1·B3)＝ P( 1)P(B3)＝ ，B－ B－ 14P(X＝1)＝1－ P(X＝0)－ P(X＝2)＝1－ － ＝ ，18 14 58E(X)＝0· P(X＝0)＋1· P(X＝1)＋2· P(X＝2)＝ .98事件与概率1.(2015·广东，4)袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球，5 个红球.从袋中任取 2 个球，所取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球的概率为( )A.1 B. 1121C. D.1021 521解析 从袋中任取 2 个球共有 C ＝105 种取法，其中恰好 1 个白球 1 个红球共有215C C ＝50 种取法，所以所取的球恰好 1 个白球 1 个红球的概率为 ＝ .101550105 1021答案 C2.(2013·上海)盒子中装有编号为 1，2，3，4，5，6，7，8，9 的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是________(结果用最简分数表示).解析 9 个数 5 个奇数，4 个偶数，由题意所求概率为 1－ ＝ .1318答案 13183.(2013·江苏，7)现有某类病毒记作 XmYn，其中正整数 m， n(m≤7， n≤9)可以任意选取，则 m， n 都取到奇数的概率为________.解析 m 可以取的值有：1，2，3，4，5，6，7 共 7 个， n 可以取的值有：1，2，3，4，5，6，7，8，9 共 9 个，所以总共有 7×9＝63 种可能，符合题意的 m 可以取 1，3，5，7 共 4 个，符合题意的 n 可以取 1，3，5，7，9 共 5 个，所以总共有4×5＝20 种可能符合题意，所以符合题意的概率为 .2063答案 20634.(2012·上海，11)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________(结果用最简分数表示).3解析 三位同学从三个项目选其中两个项目有 C C C ＝27 种，若有且仅有两人选择的项232323目完全相同，则有 C C C ＝18，所以有且仅有两人选择的项目完全相同的概率为 ＝ .2323121827 23答案 23第一 节 排列与 组 合知 识 点一 分 类 加法 计 数原理、分步乘法 计 数原理1.分 类 加法 计 数原理：完成一件事可以有 n类 方法，在第一类 方法中有 m1种不同的方法，在第二 类 方法中有 m2种不同的方法， …… 在第 n类 方法中有 mn种不同的方法，那么完成 这 件事共有 N＝ ________________种不同的方法 .m1＋ m2＋ … ＋ mn2.分步乘法 计 数原理：完成一件事需要分成 n个步 骤 ，做第一步有 m1种不同的方法，做第二步有 m2种不同的方法， ……做第 n步有 mn种不同的方法，那么完成 这 件事共有 N＝____________种不同的方法 .m1m2… mn3.注意的 问题 ： (1)使用分 类 加法 计 数原理 应 注意：分 类时标 准要明确，分 类应 做到不重不漏 .(2)应 用分步乘法 计 数原理 应 注意：① 明确 题 目中所指的 “ 完成一件事 ” 是什么事，必 须 要 经过几步才能完成 这 件事；② 完成 这 件事需要分成若干个步 骤 ，只有每个步 骤 都完成了才算完成 这 件事，缺少任何一步， 这 件事都不可能完成；③ 解决分步 问题时 要合理 设计 步 骤 、 顺 序，使各步互不干扰 ， 还 要注意元素是否可以重复 选 取 .►一个易 错 点：两个基本原理不清致 误 .(1)[① 切实理解 “ 完成一件事 ” 的含义 ， 以确定需要分类还要需要分步进行 .② 分类的关键在于要做到 “ 不重不漏 ” ， 分步的关键在于要正确设计分步的程序 ， 即合理分类 ， 准确分步 ]有 10本不同的数学 书 ， 9本不同的 语 文 书 ， 8本不同的英 语书 ，从中任取两本不同 类 的 书 ，共有 ______种不同的取法 .解析 分三 类 ， 第一 类 ：取数学 书 和 语 文 书 ， 有 10× 9＝ 90(种 )；第二 类 ：取数学 书 和英 语书 ， 有 10× 8＝ 80(种 )；第三类 ：取 语 文 书 和英 语书 ， 有 9× 8＝ 72(种 )， 故共有 90＋ 80＋72＝ 242(种 ).答案 242知 识 点二 排列与 组 合 .排列与排列数 组 合与 组 合数定 义排列：从 n个不同元素中取出m(m≤ n)个元素，按照__________排成一列，叫做从 n个不同元素中取出 m个元素的一个排列排列数：从 n个不同元素中取出m(m≤ n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从 n个不同元素中取出m个元素的排列数组 合：从 n个不同元素中取出 m(m≤ n)个元素_________，叫做从 n个不同元素中取出 m个元素的一个 组 合组 合数：从 n个不同元素中取出 m(m≤ n)个元素的所有不同 组 合的个数，叫做从 n个不同元素中取出 m个元素的 组 合数一定的 顺 序 合成一 组►一个区 别 ：排列与 组 合 .(2)[排列与组合最根本的区别在于 “ 有序 ” 和 “ 无序 ”. 取出元素后交换顺序 ， 如果与顺序有关是排列 ， 如果与顺序无关则是组合 ]从 2， 3， 5， 7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的 积 ；任取两个不同的数相除，有 n个不同的商， 则m∶ n＝ ________.答案 1∶ 2►一个易 错 点：均匀分 组 与不均匀分 组 混淆致 误 .答案 90►一个做 题 技巧： 间 接法 .(4)[按照 “ 正难则反 ” 的原则 ， 如果正面问题分类较多 ， 情况复杂或计算量较大 ， 可以从反面入手解决 ， 但应做到不重不漏 ]正六 边 形 顶 点和中心共 7个点，可 组 成 ________个三角形.答案 32►一个解 题 思路(5)[求解排列组合问题的思路： “ 排组分清 ， 加乘明确；有序排列 ， 无序组合；分类排加 ， 分步相乘 ” ]某班 级 有一个 7人小 组 ， 现 任 选 其中 3人相互 调 整座位，其余 4人座位不 变 ，则 不同的 调 整方案的种数有 ________.答案 70常 见 的解 题 策略有以下几种：(1)特殊元素 优 先安排的策略；(2)合理分 类 与准确分步的策略；(3)排列、 组 合混合 问题 先 选 后排的策略；(4)正 难则 反、等价 转 化的策略；有限制条件的排列 问题 或 组 合 问题 求解策略(5)相 邻问题 捆 绑处 理的策略；(6)不相 邻问题 插空 处 理的策略；(7)定序 问题 除法 处 理的策略；(8)分排 问题 直排 处 理的策略；(9)“ 小集 团 ” 排列 问题 中先整体后局部的策略 .【例 1】 有 3名男生， 4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法 总 数：(1)选 其中 5人排成一排；(2)排成前后两排，前排 3人，后排 4人；(3)全体排成一排，甲不站在排 头 也不站在排尾；(4)全体排成一排，女生必 须 站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相 邻 ；(6)全体排成一排，甲、乙两人中 间 恰好有 3人 .[点 评 ] 由于排列、组合问题的答案一般数目较大 ， 不易直接验证 ， 因此在检查结果时 ， 应着重检查所设计的解决问题的方案是否完备 ， 有无重复或遗漏 ， 也可采用多种不同的方法求解 ， 看结果是否相同 .￿ 排列 组 合 综 合 应 用 问题 的注意事 项排列、 组 合的 综 合 应 用突破方略(1)排列 组 合 综 合的 题 目，一般是将符合要求的元素取出 (组合 )或 进 行分 组 ，再 对 取出的元素或分好的 组进 行排列，其中分 组时 ，要注意 “ 平均分 组 ” 与 “ 不平均分 组 ” 的差异及分 类 的 标 准 .(2)解决 综 合 问题时 ，可能同 时应 用两个 计 数原理，即分 类的方法可能要运用分步完成，分步的方法可能会采取分 类 的思想求，分清完成 该 事情是分 类还 是分步， “ 类 ” 间 相互独立， “ 步 ” 间 相互 联 系 .【例 2】 (1)(2015·河南郑州二模 )某校开 设 A类选 修 课 2门 ；B类选 修 课 3门 ，一位同学从中 选 3门 ，若要求两 类课 程中至少 选 一 门 ， 则 不同的 选 法共有 ( )A.3种 B.6种 C.9种 D.18种(2)(2016·山东枣庄 4月模拟 )有 5本不同的 书 ，其中 语 文 书 2本，数学 书 2本，物理 书 1本，若将其随机地 摆 成一排，则 同一科目的 书 均不相 邻 的 摆 法有 ________种 (用数字作答 )答案 (1)C (2)48[点 评 ] 计数问题中 ， 首先要分清楚是排列问题还是组合问题， 即看取出的元素是 “ 排成一列 ” 还是 “ 合成一组 ” ， 不能将二者混淆 ， 若将排列问题误认为是组合问题 ， 会导致遗漏计数 ， 反之 ， 会导致重复计数 .解题时注意间接法的运用 .￿ 两个基本原理的 应 用【示例】 用 0， 1， 2， 3， 4， 5， 6这 7个数字可以 组 成________个无重复数字的四位偶数 .(用数字作答 )[解析 ] 要完成的 “ 一件事 ” 为 “ 组 成无重复数字的四位偶数 ” ， 所以千位数字不能 为 0， 个位数字必 须 是偶数 ，且 组成的四位数中四个数字不能重复，因此 应 先分 类 ，再分步 .第 1类 ， 当千位数字 为 奇数 ， 即取 1， 3， 5中的任意一个 时 ，个位数字可取 0， 2， 4， 6中的任意一个 ， 百位数字不能取与这 两个数字重复的数字 ， 十位数字不能取与 这 三个数字重复的数字 .根据分步乘法 计 算原理 ， 有 3× 4× 5× 4＝ 240(种 )取法 .第 2类 ， 当千位数字 为 偶数 ， 即取 2， 4， 6中的任意一个 时 ，个位数字可以取除首位数字的任意一个偶数数字 ， 百位数字不能取与 这 两个数字重复的数字 ， 十位数字不能取与 这 三个数字重复的数字 .根据分步乘法 计 算原理 ， 有 3× 3× 5× 4＝ 180(种 )取法 .根据分 类 加法 计 算原理 ， 共可以 组 成 240＋ 180＝ 420(个 )无重复数字的四位偶数 .[答案 ] 420第五 节 二 项 分布与正 态 分布知 识 点一 二 项 分布及其 应 用1.条件概率及其性 质条件概率的定 义 条件概率的性 质设 A， B为 两个事件，且 P(A)0，称 P(B|A)＝ _______为 在 ______发 生的条件下， ______发 生的条件概率① 0≤ P(B|A)≤ 1；② 如果 B， C是两个互斥事件， 则 P(B∪ C|A)＝_______________注意：若 A， B_________， 则 P(B|A)＝ P(B)事件 A事件 BP(B|A)＋ P(C|A)相互独立2.相互独立事件3.独立重复 试验 与二 项 分布独立重复 试验 二 项 分布定 义在 ______条件下重复做的 n次 试验为 n次独立重复 试验在 n次独立重复 试验 中， 设 事件 A发 生的次数 为 X，在每次 试验 中事件 A发 生的概率 为 p，此 时 称随机 变 量 X服从二 项 分布， 记 作 X～B(n， p)，并称 p为 _____概率计 算公式用 Ai(i＝ 1， 2， … ， n)表示第 i次 试验结 果，则 P(A1A2A3… An)＝P(A1)P(A2)P(A3)… P(An)在 n次独立重复 试验 中，事件 A恰好 发 生 k次的概率 为 P(X＝ k)＝__________ (k＝ 0， 1， 2， … ，n)相同成功►两个易混点： P(B|A)与 P(AB)；互斥事件与相互独立事件 .答案 A►两个关注点：二 项 分布的判断与概率公式 .知 识 点二 正 态 分布1.正 态 曲 线 及性 质不相交x＝ μ1μ瘦高 矮胖2.正 态 分布及三个常用数据►一个性 质 ：正 态 分布密度曲 线 的性 质 .￿ 条件概率的求法条件概率的突破方法【例 1】 在 100件 产 品中有 95件合格品， 5件不合格品， 现 从中不放回地取两次，每次任取一件， 则 在第一次取到不合格品后，第二次再取到不合格品的概率 为 ________.[点 评 ] 解答本 题 的关 键 是分清条件是什么和合理 应 用条件概率公式 .独立重复 试验 与二 项 分布求解方略[点 评 ] 多以解答 题 出 现 ， 难 度 为 中偏 难 .考 查 方式 为 求事件的概率分布列和期望等 .考 查 内容 为对 事件 类 型的判断和知 识 点的考 查 置于 实际问题 之中 ， 将 实际问题 中的量用随机 变 量正确表示是解决 问题 的入口 .￿ 服从正 态 分布的概率的求法正 态 分布突破方略(1)正 态 分布完全由参数 μ和 σ确定，其中 μ是随机 变 量取值 的均 值 ，可用 样 本均 值 去估 计 ， σ是随机 变 量取 值的 标 准差，可以用 样 本 标 准差去估 计 .(2)求正 态总 体 X在某区 间 内取 值 的概率 (即正 态 曲 线 与x轴 之 间 在 这 个区 间 上的面 积 )的基本方法① 利用正 态 分布的三个常数数据，把所求的 问题转 化到 这 三个区 间 内解决 .② 充分利用正 态 曲 线 的 对 称性及面 积为 1的性 质 .正 态 曲 线 关于直 线 x＝ μ对 称，从而在关于直 线 x＝ μ对 称的区 间 上，概率相等 .在利用 对 称性 转 化区 间时 ，要注意区 间 是关于直 线 x＝ μ对 称，而不是关于 x＝ 0(μ≠ 0时 )对 称 .【例 3】 (2015·河南 郑 州三模 )某班有 50名学生，一次数学考试 的成 绩 ξ服从正 态 分布 N(105， 102)，已知P(95≤ ξ≤ 105)＝ 0.32，估 计该 班学生数学成 绩 在 115分以上的人数 为 ( )A.10 B.9 C.8 D.7答案 B第六 节 离散型随机 变 量的分布列、均 值 与方差知 识 点一 离散型随机 变 量的分布列1.随机 变 量有关概念(1)随机 变 量：随着 __________变 化而 变 化的 变 量，常用字母 X， Y， ξ， η， … 表示 .(2)离散型随机 变 量：所有取 值 可以 ___________的随机 变 量.一一列出试验结 果2.离散型随机 变 量的分布列的概念及性 质概率分布列pi≥0(i＝ 1， 2， …， n)3.常 见 离散型随机 变 量的分布列P(X＝ 1)►两个关 键(1)[求离散型随机变量的分布列 ， 关键解决好两个问题 ， 一是求出 ξ的所有取值；二是求出 ξ每一个值时的概率 ]随机 变 量 ξ的等可能取 值为 1， 2， … ， n，若 P(ξ＜ 4)＝ 0.3， 则 n等于________.答案 10►两种分布：两点分布；超几何分布 .(2)[两点分布的试验结果只有两种可能 ， 要注意成功概率的值指的是哪一个量 ]设 某 项试验 的成功率是失 败 率的 2倍，用随机 变 量 ξ描述一次 试验 的成功次数， 则 P(ξ＝ 0)等于________.(3)[利用超几何分布求概率时 ， 不要机械记忆公式 ， 而要结合条件以及组合知识理解 M， N， n， k的含义 ]在 100张奖 券中，有 4张 能中 奖 ，从中任取 2张 ， 则 2张 都能中 奖 的概率是________.知 识 点二 离散型随机 变 量的均 值 与方差1.离散型随机 变 量的均 值 与方差(1)离散型随机 变 量 X的分布列X x1 x2 … xi … xnP p1 p2 … pi … pn(2)离散型随机 变 量 X的均 值 与方差x1p1＋ x2p2＋ …＋ 1xipi＋ … ＋ xnpn平均水平 平均偏离程度2.均 值 与方差的性 质(1)E(aX＋ b)＝ _____________ (a， b为 常数 )，(2)D(aX＋ b)＝ _________ (a， b为 常数 ).aE(X)＋ ba2D(X)3.两点分布与二 项 分布的均 值 、方差均 值 方差变 量 X服从两点分布 E(X)＝ ___ D(X)＝ _______X～ B(n， p) E(X)＝ ___ D(X)＝ _______pnpp(1－ p)np(1－ p)►五条性 质(4)[① E(C)＝ C(C为常数 )；② E(aX＋ b)＝ aE(X)＋ b(a， b为常数 )；③ E(X1＋ X2)＝ E(X1)＋ E(X2)；④ 如果 X1， X2相互独立 ， 则 E(X1· X2)＝ E(X1)E(X2)；⑤ D(aX＋ b)＝ a2· D(X)(a， b为常数 )]设 随机 变 量 x的方差D(X)＝ 1， 则 D(2x＋ 1)的 值为 ________.解析 D(2X＋ 1)＝ 4D(X)＝ 4× 1＝ 4.答案 4离散型随机 变 量及其分布列求解方法(1)求离散型随机 变 量分布列的步 骤① 明确随机 变 量的取 值 ，并确定随机 变 量服从何种概率分布； ② 求每一个随机 变 量取 值 的概率； ③ 列成表格 .对 于抽 样问题 ，要特 别 注意放回与不放回的区 别 ，一般地，不放回抽 样 由排列数公式求随机 变 量 对应 的概率，放回抽 样 由分步 计 数原理求随机 变 量 对应 的概率 .(2)分布列中某一栏的概率如果比较复杂，可不求而改由利用分布列的性质 p1＋ p2＋ … ＋ pn＝ 1求解比较方便，否则也可用此性质检验各概率的计算有无错误 .(3)利用分布列中各概率之和为 1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数 .(4)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式 .k[点 评 ] 解答本题关键是理清事件之间的关系 ， 把实际问题中随机变量的各个值归结为事件之间的关系 .求出各事件的概率也就求出了这个随机变量的分布列 .￿ 求离散型随机 变 量 ξ的均 值 与方差的步 骤离散型随机 变 量的均 值 与方差解 题 策略(1)理解 ξ的意 义 ，写出 ξ可能的全部 值 .(2)求 ξ取每个 值 的概率 .(3)写出 ξ的分布列 .(4)由均 值 的定 义 求 E(ξ).(5)由方差的定 义 求 D(ξ).￿ 离散型随机 变 量的均 值 与方差的常 见类 型及解 题 策略(1)求离散型随机 变 量的均 值 与方差 .可依 题设 条件求出离散型随机 变 量的概率分布列，然后利用均 值 、方差公式直接求解 .(2)由已知均 值 或方差求参数 值 .可依据条件利用均 值 、方差公式得出含有参数的方程，解方程即可求出参数 值 .(3)由已知条件，作出 对 两种方案的判断 .可依据均 值 、方差的意 义 ， 对实际问题 作出判断 .【例 2】 根据以往的 经验 ，某工程施工期 间 的降水量 X(单 位： mm)对 工期的影响如下表：降水量 X X300 300≤ X700 700≤ x900 x≥ 900工期延 误 天数 Y 0 2 6 10历 年气象 资 料表明， 该 工程施工期 间 降水量 X小于 300，700， 900的概率分 别为 0.3， 0.7， 0.9.求：(1)工期延 误 天数 Y的均 值 与方差；(2)在降水量 X至少是 300的条件下，工期延 误 不超 过 6天的概率 .解 (1)由已知条件和概率的加法公式有：P(X300)＝ 0.3， P(300≤ X700)＝ P(X700)－ P(X300)＝0.7－ 0.3＝ 0.4，P(700≤ X900)＝ P(X900)－ P(X700)＝ 0.9－ 0.7＝ 0.2，P(X≥ 900)＝ 1－ P(X900)＝ 1－ 0.9＝ 0.1，所以 Y的分布列 为 ：Y 0 2 6 10P 0.3 0.4 0.2 0.1于是， E(Y)＝ 0× 0.3＋ 2× 0.4＋ 6× 0.2＋ 10× 0.1＝ 3；D(Y)＝ (0－ 3)2× 0.3＋ (2－ 3)2× 0.4＋ (6－ 3)2× 0.2＋ (10－3)2× 0.1＝ 9.8，故工期延 误 天数 Y的均 值为 3，方差 为 9.8.(2)由概率的加法公式，得P(X≥ 300)＝ 1－ P(X300)＝ 0.7，又 P (300≤ X900)＝ P(X900)－ P(X300)＝ 0.9－ 0.3＝ 0.6.[点 评 ] (1)在解答有关均值和方差问题时 ， 有时也可直接应用离散型随机变量 ξ服从二项分布 B(n， p)的公式 E(ξ)＝ np，D(ξ)＝ np(1－ p)和 E(aξ＋ b)＝ aE(ξ)＋ b进行求解 .(2)机械地套用公式解题是易犯的错误 ， 要注意只有当随机变量服从特殊的分布时 ， 才可运用相应的均值公式求解 (或方差公式求解 ).￿ 离散型随机 变 量的期望和方差与 统计 的 综 合 问题 求解策略【示例】 (2016·四川雅安诊断 )某学校随机抽取部分新生 调查 其上学所需 时间 (单 位：分 钟 )，并将所得数据 绘 制成 频率分布直方 图 (如 图 )，其中，上学所需 时间 的范 围 是 [0，100)， 样 本数据分 组为 [0， 20)， [20， 40)， [40， 60)，[60， 80)， [80， 100].(1)求直方 图 中 x的 值 ；(2)如果上学所需 时间 不少于 1小 时 的学生可申 请 在学校住宿， 请 估 计 学校 600名新生中有多少名学生可申 请 住宿；(3)从学校的新生中任 选 4名学生，将 这 4名学生中上学所需 时间 少于 20分 钟 的人数 记为 X，求 X的分布列和数学期望 .(以直方 图 中新生上学所需 时间 少于 20分 钟 的 频 率作 为 每名新生上学所需 时间 少于 20分 钟 的概率 ).