2017届高考数学二轮复习 第2部分 专题一 三角函数与解三角形 文（课件+习题）（打包24套）.zip

类 型一类 型二 类 型三 限时规范训练 专题 一 三角函数与解三角形必考点一 三角函数图象与性质1限时规范训练一 三角函数图象与性质(建议用时 45 分钟)解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1．已知函数 f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－ .12(1)若 0＜ α ＜ ，且 sin α ＝ ，求 f(α )的值；π 2 22(2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间．解：(1)因为 0＜ α ＜ ，sin α ＝ ，所以 cos α ＝ .π 2 22 22所以 f(α )＝ － ＝ .22(22＋ 22) 12 12(2)因为 f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－ ＝sin xcos x＋cos 2x－ ＝ sin 12 12 122x＋ － ＝ sin 2x＋ cos 2x＝ sin ，所以 T＝ ＝π.1＋ cos 2x2 12 12 12 22 (2x＋ π 4) 2π2由 2kπ－ ≤2 x＋ ≤2 kπ＋ ， k∈Z，π 2 π 4 π 2得 kπ－ ≤ x≤ kπ＋ ， k∈Z.3π8 π 8所以 f(x)的单调递增区间为 ， k∈Z.[kπ －3π8， kπ ＋ π 8]2．已知向量 a＝(cos x，sin x)，向量 b＝(cos x，－sin x)， f(x)＝ a·b.(1)求函数 g(x)＝ f(x)＋sin 2 x 的最小正周期和对称轴方程；(2)若 x 是第一象限角且 3f(x)＝－2 f′( x)，求 tan 的值．(x＋π 4)解：(1)∵ g(x)＝ f(x)＋sin 2 x＝cos 2x－sin 2x＋sin 2 x＝cos 2 x＋sin 2 x＝ sin ，2 (2x＋π 4)∴函数 g(x)＝ f(x)＋sin 2 x 最小正周期 T＝ ＝π.2π2当 2x＋ ＝ ＋ kπ( k∈Z)时，π 4 π 2x＝ ＋ .kπ2 π 8∴函数 g(x)＝ f(x)＋sin 2 x 的对称轴方程为 x＝ ＋ (k∈Z)．kπ2 π 82(2)由 3f(x)＝－2 f′( x)，得 3cos 2x＝4sin 2 x.3cos2x－3sin 2x－8sin xcos x＝0.(3cos x＋sin x)(cos x－3sin x)＝0.又 x 是第一象限角，∴cos x＝3sin x，故 tan x＝ .13∴tan ＝ ＝ ＝2.(x＋π 4)tan x＋ tanπ 41－ tan xtanπ 41＋ 131－ 133．(2016·山东枣庄质检)已知函数 f(x)＝sin ＋sin －2cos 2 ， x∈R(其中 ω ＞0)．(ω x＋π 6) (ω x－ π 6) ω x2(1)求函数 f(x)的值域；(2)若函数 f(x)的图象与直线 y＝－1 的两个相邻交点间的距离为 ，求函数 f(x)的单调递π 2增区间．解：(1) f(x)＝ sin ωx ＋ cosωx ＋ sin ωx － cos ωx －(cos ωx ＋1)32 12 32 12＝2 － 1(32sin ω x－ 12cos ω x)＝2sin －1.(ω x－π 6)由－1≤sin ≤1，(ω x－π 6)得－3≤2sin －1≤1，(ω x－π 6)所以函数 f(x)的值域为[－3,1]．(2)由题设条件及三角函数的图象和性质可知，f(x)的周期为 π，所以 ＝π，即 ω ＝2.2πω所以 f(x)＝2sin －1，(2x－π 6)再由 2kπ－ ≤2 x－ ≤2 kπ＋ (k∈Z)，π 2 π 6 π 2解得 kπ－ ≤ x≤ kπ＋ (k∈Z)．π 6 π 3所以函数 f(x)的单调递增区间为 (k∈Z)．[kπ －π 6， kπ ＋ π 3]34．已知函数 f(x)＝ Asin(ωx ＋ φ ) 的部分图象如图所(x∈ R， A＞ 0， ω ＞ 0， 0＜ φ ＜π 2)示， P 是图象的最高点， Q 为图象与 x 轴的交点， O 为坐标原点．若 OQ＝4， OP＝ ， PQ＝5.13(1)求函数 y＝ f(x)的解析式；(2)将函数 y＝ f(x)的图象向右平移 2 个单位后得到函数 y＝ g(x)的图象，当 x∈(－1,2)时，求函数 h(x)＝ f(x)·g(x)的值域．解：(1)由条件知 cos∠ POQ＝ ＝ ，所以 P(1,2)．42＋  5 2－  13 22×4×5 55由此可得 A＝2，周期 T＝4×(4－1)＝12，又 ＝12，则 ω ＝ .将点 P(1,2)代入 f(x)2πω π 6＝2sin ，(π 6x＋ φ )得 sin ＝1，∴ ＋ φ ＝2 kπ＋ ， φ ＝2 kπ＋ (k∈Z)．(π 6＋ φ ) π 6 π 2 π 3因为 0＜ φ ＜ ，所以 φ ＝ ，于是 f(x)＝2sin .π 2 π 3 (π 6x＋ π 3)(2)由题意得 g(x)＝2sin ＝2sin x.[π 6 x－ 2 ＋ π 3] π 6所以 h(x)＝ f(x)·g(x)＝4sin ·sin x(π 6x＋ π 3) π 6＝2sin 2 x＋2 sin x·cos x＝1－cos x＋π 6 3 π 6 π 6 π 3sin x＝1＋2sin .3π 3 (π 3x－ π 6)当 x∈(－1,2)时， x－ ∈ ，π 3 π 6 (－ π 2， π 2)所以 sin ∈(－1,1), 即 1＋2sin ∈(－1,3)．于是函数 h(x)的值域为(π 3x－ π 6) (π 3x－ π 6)(－1,3)．类 型一类 型二 类 型三 限时规范训练 规范滚动训练 必考点二 解三角形1限时规范训练二 解三角形(建议用时 45 分钟)解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1．如图，在△ ABC 中，∠ ABC＝90°， AB＝ ， BC＝1， P 为△ ABC 内一点，∠ BPC＝90°.3(1)若 PB＝ ，求 PA；12(2)若∠ APB＝150°，求 tan∠ PBA.解：(1)由已知得，∠ PBC＝60°，所以∠ PBA＝30°.在△ PBA 中，由余弦定理得 PA2＝3＋ －2× × cos 30°＝ .故 PA＝ .14 3 12 74 72(2)设∠ PBA＝ α ，则∠ BCP＝ α ，在 Rt△ BCP 中， PB＝ BCsin α ＝sin α ，在△ PBA 中，由正弦定理得 ＝ ，3sin 150° sin αsin 30°－ α 化简得 cos α ＝4sin α .3所以 tan α ＝ ，即 tan∠ PBA＝ .34 342．如图，在△ ABC 中，∠ B＝ ， AB＝8，点 D 在 BC 边上，且 CD＝2，π 3cos∠ ADC＝ .17(1)求 sin∠ BAD；(2)求 BD， AC 的长．解：(1)在△ ADC 中，因为cos∠ ADC＝ ，所以 sin∠ ADC＝ .17 437所以 sin∠ BAD＝sin(∠ ADC－∠ B)2＝sin∠ ADCcos B－cos∠ ADCsin B＝ × － × ＝ .437 12 17 32 3314(2)在△ ABD 中，由正弦定理得BD＝ ＝ ＝3.AB·sin∠ BADsin∠ ADB8×3314437在△ ABC 中，由余弦定理得AC2＝ AB2＋ BC2－2 AB·BC·cos B＝8 2＋5 2－2×8×5× ＝49.12所以 AC＝7.3．在△ ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c.已知 A＝ ， b2－ a2＝ c2.π 4 12(1)求 tan C 的值；(2)若△ ABC 的面积为 3，求 b 的值．解：(1)由 b2－ a2＝ c2及正弦定理得 sin2B－ ＝12 12sin2C，所以－cos 2 B＝sin 2C.12又由 A＝ ，即 B＋ C＝ π，得π 4 34－cos 2 B＝－cos[2 ]＝－cos ＝sin 2 C＝2sin Ccos C，(3π4－ C) (3π2－ 2C)∴2sin Ccos C＝sin 2C 解得 tan C＝2.(2)由 tan C＝2， C∈(0，π)得 sin C＝ ，255cos C＝ .55又因为 sin B＝sin( A＋ C)＝sin ，所以 sin B＝ .(π 4＋ C) 31010由正弦定理 ＝ ，得 c＝ b，bsin B csin C 223又因为 A＝ ， bcsin A＝3，所以 bc＝6 ，故 b＝3.π 4 12 24．△ ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c.向量 m＝( a， b)与 n＝(cos A，sin B)平3行．3(1)求 A；(2)若 a＝ ， b＝2，求△ ABC 的面积．7解：(1)因为 m∥ n，所以 asin B－ bcos A＝0，由正弦定理，得 sin Asin B－ sin 3 3Bcos A＝0，又 sin B≠0，从而 tan A＝ ，3由于 0＜ A＜π，所以 A＝ .π 3(2)法一：由余弦定理 a2＝ b2＋ c2－2 bccos A，及 a＝ ， b＝2， A＝ ，7π 3得 7＝4＋ c2－2 c，即 c2－2 c－3＝0，因为 c＞0，所以 c＝3.故△ ABC 的面积为 bcsin A＝ .12 332法二：由正弦定理，得 ＝ ，7sinπ 3 2sin B从而 sin B＝ ，217又由 a＞ b，知 A＞ B，所以 cos B＝ .277故 sin C＝sin( A＋ B)＝sin (B＋π 3)＝sin Bcos ＋cos Bsin ＝ .π 3 π 3 32114所以△ ABC 的面积为 absin C＝ .12 3321专题一 三角函数与解三角形必考点一 三角函数图象与性质类型一 学会踩点[例 1] (本题满分 12 分)已知函数 f(x)＝cos x·sin － cos2x＋ ， x∈R.(x＋π 3) 3 34(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在闭区间 x∈ 上的最大值和最小值．[－π 4， π 4]解：(1)由已知得 f(x)＝cos x· － cos2x＋ ＝ sin x·cos (12sin x＋ 32cos x) 3 34 12x－ cos2x＋ (2 分)32 34＝ sin 2x－ (1＋cos 2 x)＋ ＝ sin 2x－ cos 2x(4 分)14 34 34 14 34＝ sin .(6 分)12 (2x－ π 3)所以， f(x)的最小正周期 T＝ ＝π.(7 分)2π2(2)因为 f(x)在区间 上是减函数，在区间 上是增函数．(10 分)[－π 4， － π12] [－ π12， π 4]f ＝－ ， f ＝－ ， f ＝ .(11 分)(－π 4) 14 (－ π12) 12 (π 4) 14所以，函数 f(x)在闭区间 上的最大值为 ，最小值为－ .(12 分)[－π 4， π 4] 14 12评分细则：得分点及踩点说明(1)第(1)问无化简过程，直接得到 f(x)＝sin ，扣 5 分．每一步用公式正确就得分．12 (2x－ π 3)(2)化简结果错误，但中间某一步正确，给 2 分．(3)第(2)问只求出 f ＝－ ， f ＝ 得出最大值为 ，最小值为－ ，得 1 分．(－π 4) 14 (π 4) 14 14 14(4)若单调性出错，只得 1 分．(5)单调性正确，但计算错误，扣 2 分．(6)若求出 2x－ 的范围，再求函数的最值，同样得分．π 31．已知函数 f(x)＝4cos ωx ·sin (ω ＞0)的最小正周期为 π.(ω x＋π 4)2(1)求 ω 的值；(2)讨论 f(x)在区间 上的单调性．[0，π 2]解：(1) f(x)＝4cos ωx sin(ω x＋π 4)＝2 sin ωx cos ωx ＋2 cos2ωx2 2＝ (sin 2ωx ＋cos 2 ωx )＋2 2＝2sin ＋ .(2ω x＋π 4) 2因为 f(x)的最小正周期为 π，且 ω ＞0，所以 ＝π，故 ω ＝1.2π2ω(2)由(1)知， f(x)＝2sin ＋ .(2x＋π 4) 2若 0≤ x≤ ，则 ≤2 x＋ ≤ .π 2 π 4 π 4 5π4当 ≤2 x＋ ≤ ，即 0≤ x≤ 时， f(x)单调递增；π 4 π 4 π 2 π 8当 ≤2 x＋ ≤ ，即 ≤ x≤ 时， f(x)单调递减．π 2 π 4 5π4 π 8 π 2综上可知， f(x)在 上单调递增，在 上单调递减．[0，π 8] [π 8， π 2]类型二 学会审题[例 2] 已知函数 f(x)＝ sin(ωx ＋ φ ) 的图象关于直线 x＝3 (ω ＞ 0， －π 2 ≤ φ ＜ π 2)对称，且图象上相邻两个最高点的距离为 π.π 3(1)求 ω 和 φ 的值；(2)若 f ＝ ，求 cos 的值．(α 2) 34(π 6＜ α ＜ 2π3) (α ＋ 3π2)审题路线图(1)条 件 ： f x 图 象 上 相 邻 两 个 最 高 点 距 离 为 πf x 的 周 期 为 π3ω ＝ 2条 件 ： f x 图 象 关 于 直 线 x＝ π 3对 称2×π 3＋ φ ＝ kπ ＋ π 2 k∈ Zφ ＝ － π 6(2)条 件 ： f(α 2)＝ 34sin(α － π 6)＝ 14cos(α － π 6)＝ 154cos(α ＋ 3π2)＝ 3＋ 158[规范解答] (1)因为 f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为 π，所以 f(x)的最小正周期为 T＝π，从而 ω ＝ ＝2.2πT又因为 f(x)的图象关于直线 x＝ 对称，π 3所以 2× ＋ φ ＝ kπ＋ ， k∈Z.π 3 π 2由－ ≤ φ ＜ ，得 k＝0，π 2 π 2所以 φ ＝ － ＝－ .π 2 2π3 π 64(2)由(1)得 f ＝ sin ＝ ，(α 2) 3 (2·α 2－ π 6) 34所以 sin ＝ .(α －π 6) 14由 ＜ α ＜ ，π 6 2π3得 0＜ α － ＜ ，π 6 π 2所以 cos ＝ ＝ ＝ .(α －π 6) 1－ sin2(α － π 6) 1－ (14)2 154所以 cos ＝sin α ＝sin(α ＋3π2) [(α － π 6)＋ π 6]＝sin cos ＋cos sin(α －π 6) π 6 (α － π 6) π 6＝ × ＋ ×14 32 154 12＝ .3＋ 1582．(2016·山东临沂一模)已知函数 f(x)＝2cos 2ω x－1＋2 cos ω xsin ω x(0＜ ω ＜1)，3直线 x＝ 是 f(x)图象的一条对称轴．π 3(1)试求 ω 的值；(2)已知函数 y＝ g(x)的图象是由 y＝ f(x)图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，然后再向左平移 个单位长度得到的，若 g ＝ ， α ∈ ，求 sin α 的值．2π3 (2α ＋ π 3) 65 (0， π 2)解： f(x)＝2cos 2ω x－1＋2 cos ω xsin ω x＝cos 2 ω x＋ sin 2ω x＝2sin .3 3 (2ω x＋π 6)(1)由于直线 x＝ 是函数 f(x)＝π 32sin 图象一条对称轴，(2ω x＋π 6)∴sin ＝±1.(2π3ω ＋ π 6)∴ ω ＋ ＝ kπ＋ (k∈Z)，2π3 π 6 π 2∴ ω ＝ k＋ (k∈Z)．32 12又 0＜ ω ＜1， k∈Z，从而 k＝0，∴ ω ＝ .125(2)由(1)知 f(x)＝2sin ，(x＋π 6)由题意可得g(x)＝2sin ，[12(x＋ 2π3)＋ π 6]即 g(x)＝2cos x.12∵ g ＝2cos ＝ ，(2α ＋π 3) (α ＋ π 6) 65∴cos ＝ .(α ＋π 6) 35又 α ∈ ，(0，π 2)∴ ＜ α ＋ ＜ ，π 6 π 6 2π3∴sin ＝ ，(α ＋π 6) 45∴sin α ＝sin [(α ＋π 6)－ π 6]＝sin cos －cos sin(α ＋π 6) π 6 (α ＋ π 6) π 6＝ × － × ＝ .45 32 35 12 43－ 310类型三 学会规范[例 3] (本题满分 12 分)已知函数 f(x)＝ a·(b－ a)，其中向量 a＝(cos ωx ，0)， b＝(sin ωx, 1)，且 ω 为正实数．3(1)求 f(x)的最大值；(2)对任意 m∈R，函数 y＝ f(x)， x∈[ m， m＋π)的图象与直线 y＝ 有且仅有一个交点，求12ω 的值，并求满足 f(x)＝ 的 x 值．3－ 12 (x∈ [π12， 7π12])[考生不规范示例]解：(1)∵ f(x)＝ a·(b－ a)＝ a·b－| a|2＝ cos ωx sin ωx ＋0－cos 2ωx ＝ sin 2ωx －cos 2ωx332＝ sin 2ωx － ＝sin －32 1＋ cos 2ω x2 (2ω x－ π 6) 12又∵－1≤sin ≤1，∴ f(x)的最大值为 .(2ω x－π 6) 126(2)函数 f(x)与直线 y＝ 有且只有一个交点，12∴ f(x)的周期为 π，∴ ＝π，∴ ω ＝2，2πω∴ f(x)＝sin － ，(4x－π 6) 12∴sin － ＝ ，(4x－π 6) 12 3－ 12∴sin ＝ ，(4x－π 6) 32∵ x∈ ，∴4 x∈ ，[π12， 7π12] [π 3， 7π3]∴4 x－ ∈ ，π 6 [π 6， 13π6 ]∴4 x－ ＝ 或 ，即 x＝ 或 x＝ .π 6 π 3 2π3 π 8 5π24[规范解答] (1)∵ a·b＝ cos ωx sin ωx ＋0×13＝ sin 2ωx .(2 分)32∴ f(x)＝ a·(b－ a)＝ a·b－| a|2＝ sin 2ω x－cos 2ω x32＝ sin 2ω x－32 1＋ cos 2ω x2＝ sin2ω x－ cos 2ω x－ (4 分)32 12 12＝sin － .(2ω x－π 6) 12∵－1≤sin ≤1，∴ f(x)的最大值为 .(6 分)(2ω x－π 6) 12(2)函数 f(x)的最大值为 ， y＝ f(x)， x∈[ m， m＋π)的图象与直线 y＝ 有且仅有一个交点，12 12(8 分)∴函数 f(x)的周期 T 为 π.∴ ＝π，∴ ω ＝1.2π2ω∴ f(x)＝sin － ，(2x－π 6) 127∴sin － ＝ ，(2x－π 6) 12 3－ 12∴sin ＝ .(10 分)(2x－π 6) 32∵ x∈ ，∴2 x∈ ，[π12， 7π12] [π 6， 7π6]∴2 x－ ∈[0，π]，∴2 x－ ＝ 或 ，即 x＝ 或 x＝ .(12 分)π 6 π 6 π 3 2π3 π 4 5π12[终极提升]——登高博见方法诠释将三角函数化为 y＝ Asin(ωx ＋ φ )之后(1)令 ωx ＋ φ ＝ kπ＋ (k∈Z)，可求得对称轴方程．π 2(2)令 ωx ＋ φ ＝ kπ( k∈Z)，可求得对称中心的横坐标．(3)将 ωx ＋ φ 看作整体，可求得 y＝ Asin(ωx ＋ φ )的单调区间，注意ω 的符号．(4)讨论意识：当 A 为参数时，求最值应分情况讨论 A＞0， A＜0.限时规范训练一 三角函数图象与性质(建议用时 45 分钟)解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1．已知函数 f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－ .12(1)若 0＜ α ＜ ，且 sin α ＝ ，求 f(α )的值；π 2 22(2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间．解：(1)因为 0＜ α ＜ ，sin α ＝ ，所以 cos α ＝ .π 2 22 22所以 f(α )＝ － ＝ .22(22＋ 22) 12 12(2)因为 f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－ ＝sin xcos x＋cos 2x－ ＝ sin 12 12 122x＋ － ＝ sin 2x＋ cos 2x＝ sin ，所以 T＝ ＝π.1＋ cos 2x2 12 12 12 22 (2x＋ π 4) 2π2由 2kπ－ ≤2 x＋ ≤2 kπ＋ ， k∈Z，π 2 π 4 π 2得 kπ－ ≤ x≤ kπ＋ ， k∈Z.3π8 π 88所以 f(x)的单调递增区间为 ， k∈Z.[kπ －3π8， kπ ＋ π 8]2．已知向量 a＝(cos x，sin x)，向量 b＝(cos x，－sin x)， f(x)＝ a·b.(1)求函数 g(x)＝ f(x)＋sin 2 x 的最小正周期和对称轴方程；(2)若 x 是第一象限角且 3f(x)＝－2 f′( x)，求 tan 的值．(x＋π 4)解：(1)∵ g(x)＝ f(x)＋sin 2 x＝cos 2x－sin 2x＋sin 2 x＝cos 2 x＋sin 2 x＝ sin ，2 (2x＋π 4)∴函数 g(x)＝ f(x)＋sin 2 x 最小正周期 T＝ ＝π.2π2当 2x＋ ＝ ＋ kπ( k∈Z)时，π 4 π 2x＝ ＋ .kπ2 π 8∴函数 g(x)＝ f(x)＋sin 2 x 的对称轴方程为 x＝ ＋ (k∈Z)．kπ2 π 8(2)由 3f(x)＝－2 f′( x)，得 3cos 2x＝4sin 2 x.3cos2x－3sin 2x－8sin xcos x＝0.(3cos x＋sin x)(cos x－3sin x)＝0.又 x 是第一象限角，∴cos x＝3sin x，故 tan x＝ .13∴tan ＝ ＝ ＝2.(x＋π 4)tan x＋ tanπ 41－ tan xtanπ 41＋ 131－ 133．(2016·山东枣庄质检)已知函数 f(x)＝sin ＋sin －2cos 2 ， x∈R(其中 ω ＞0)．(ω x＋π 6) (ω x－ π 6) ω x2(1)求函数 f(x)的值域；(2)若函数 f(x)的图象与直线 y＝－1 的两个相邻交点间的距离为 ，求函数 f(x)的单调递π 2增区间．解：(1) f(x)＝ sin ωx ＋ cosωx ＋ sin ωx － cos ωx －(cos ωx ＋1)32 12 32 12＝2 － 1(32sin ω x－ 12cos ω x)9＝2sin －1.(ω x－π 6)由－1≤sin ≤1，(ω x－π 6)得－3≤2sin －1≤1，(ω x－π 6)所以函数 f(x)的值域为[－3,1]．(2)由题设条件及三角函数的图象和性质可知，f(x)的周期为 π，所以 ＝π，即 ω ＝2.2πω所以 f(x)＝2sin －1，(2x－π 6)再由 2kπ－ ≤2 x－ ≤2 kπ＋ (k∈Z)，π 2 π 6 π 2解得 kπ－ ≤ x≤ kπ＋ (k∈Z)．π 6 π 3所以函数 f(x)的单调递增区间为 (k∈Z)．[kπ －π 6， kπ ＋ π 3]4．已知函数 f(x)＝ Asin(ωx ＋ φ ) 的部分图象如图所(x∈ R， A＞ 0， ω ＞ 0， 0＜ φ ＜π 2)示， P 是图象的最高点， Q 为图象与 x 轴的交点， O 为坐标原点．若 OQ＝4， OP＝ ， PQ＝5.13(1)求函数 y＝ f(x)的解析式；(2)将函数 y＝ f(x)的图象向右平移 2 个单位后得到函数 y＝ g(x)的图象，当 x∈(－1,2)时，求函数 h(x)＝ f(x)·g(x)的值域．解：(1)由条件知 cos∠ POQ＝ ＝ ，所以 P(1,2)．42＋  5 2－  13 22×4×5 55由此可得 A＝2，周期 T＝4×(4－1)＝12，又 ＝12，则 ω ＝ .将点 P(1,2)代入 f(x)2πω π 6＝2sin ，(π 6x＋ φ )得 sin ＝1，∴ ＋ φ ＝2 kπ＋ ， φ ＝2 kπ＋ (k∈Z)．(π 6＋ φ ) π 6 π 2 π 3因为 0＜ φ ＜ ，所以 φ ＝ ，于是 f(x)＝2sin .π 2 π 3 (π 6x＋ π 3)10(2)由题意得 g(x)＝2sin ＝2sin x.[π 6 x－ 2 ＋ π 3] π 6所以 h(x)＝ f(x)·g(x)＝4sin ·sin x(π 6x＋ π 3) π 6＝2sin 2 x＋2 sin x·cos x＝1－cos x＋π 6 3 π 6 π 6 π 3sin x＝1＋2sin .3π 3 (π 3x－ π 6)当 x∈(－1,2)时， x－ ∈ ，π 3 π 6 (－ π 2， π 2)所以 sin ∈(－1,1), 即 1＋2sin ∈(－1,3)．于是函数 h(x)的值域为(π 3x－ π 6) (π 3x－ π 6)(－1,3)．必考点二 解三角形类型一 学会踩点[例 1] (本题满分 12 分)△ ABC 中， D 是 BC 上的点， AD 平分∠ BAC，△ ABD 是△ ADC 面积的2 倍．(1)求 .sin Bsin C(2)若 AD＝1， DC＝ ，求 BD 和 AC 的长．22解：(1) S△ ABD＝ AB·ADsin∠ BAD，(1 分)12S△ ADC＝ AC·ADsin∠ CAD(2 分)12因为 S△ ABD＝2 S△ ADC，∠ BAD＝∠ CAD，所以 AB＝2 AC.(4 分)由正弦定理可得 ＝ ＝ .(6 分)sin Bsin C ACAB 12(2)因为△ ABD 与△ ADC 等高，所以 S△ ABD∶ S△ ADC＝ BD∶ DC，所以 BD＝ .(8 分)2在△ ABD 和△ ADC 中，由余弦定理知，AB2＝ AD2＋ BD2－2 AD·BDcos∠ ADB，(9 分)AC2＝ AD2＋ DC2－2 AD·DCcos∠ ADC，(10 分)故 AB2＋2 AC2＝3 AD2＋ BD2＋2 DC2＝6.(11 分)11由(1)知 AB＝2 AC，所以 AC＝1.(12 分)评分细则：得分点及踩点说明(1)第(1)问，正确列出面积公式各得 1 分(2)得出 AB＝2 AC，得 2 分(3)将正弦比转化为边长比得 2 分，错误结果扣 1 分．(4)第(2)问，正确得出 BD 的值得 2 分，面积比转化正确，值算错扣 1 分(5)正确利用余弦定理各得 1 分(6)两式相加消去角得 1 分1．(2016·高考全国乙卷)△ ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 2cos C(acos B＋ bcos A)＝ c.(1)求 C；(2)若 c＝ ，△ ABC 的面积为 ，求△ ABC 的周长．7332解：(1)由已知及正弦定理得2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，即 2cos Csin(A＋ B)＝sin C，故 2sin Ccos C＝sin C.可得 cos C＝ ，所以 C＝ .12 π 3(2)由已知得 absin C＝ .12 332又 C＝ ，所以 ab＝6.π 3由已知及余弦定理得 a2＋ b2－2 abcos C＝7，故 a2＋ b2＝13，从而( a＋ b)2＝25.所以△ ABC 的周长为 5＋ .7类型二 学会审题[例 2] △ ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 a＝ bcos C＋ csin B.(1)求 B；(2)若 b＝2，求△ ABC 面积的最大值．审题路线图：12[规范解答] (1)由已知及正弦定理得 sin A＝sin Bcos C＋sin C·sin B． ①又 A＝π－( B＋ C)，故 sin A＝sin( B＋ C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．②由①②和 C∈(0，π)得 sin B＝cos B.又 B∈(0，π)，所以 B＝ .π 4(2)△ ABC 的面积 S＝ acsin B＝ ac.12 24由已知及余弦定理得 4＝ a2＋ c2－2 accos .π 4又 a2＋ c2≥2 ac，故 ac≤ ，当且仅当 a＝ c 时，等号成立．42－ 2因此△ ABC 面积的最大值为 ＋1.22．(2016·高考山东卷)在△ ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.已知 2(tan A＋tan B)＝ ＋ .tan Acos B tan Bcos A(1)证明： a＋ b＝2 c；(2)求 cos C 的最小值．解：(1)证明：由题意知2 ＝ ＋ ，(sin Acos A＋ sin Bcos B) sin Acos Acos B sin Bcos Acos B化简得 2(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin A＋sin B，即 2sin(A＋ B)＝sin A＋sin B.因为 A＋ B＋ C＝π，所以 sin(A＋ B)＝sin(π－ C)＝sin C，从而 sin A＋sin B＝2sin C，由正弦定理得 a＋ b＝2 c.13(2)由(1)知 c＝ ，a＋ b2所以 cos C＝ ＝a2＋ b2－ c22ab a2＋ b2－ (a＋ b2 )22ab＝ － ≥ ，38(ab＋ ba) 14 12当且仅当 a＝ b 时，等号成立，故 cos C 的最小值为 .12类型三 学会规范[例 3] (本题满分 12 分)已知 a， b， c 分别为△ ABC 内角 A， B， C 的对边，sin 2B＝2sin Asin C.(1)若 a＝ b，求 cos B；(2)设 B＝90°，且 a＝ ，求△ ABC 的面积．2[考生不规范示例](1)∵ b2＝ ac， a＝ b∴cos B＝ ＝a2＋ c2－ b22ac 14(2)∵ a2＋ c2＝ b2， a＝ ∴ c＝ a＝ ∴ S＝12 2[规范解答] (1)由题设及正弦定理可得 b2＝2 ac.(2 分)又 a＝ b，可得 b＝2 c， a＝2 c.由余弦定理可得 cos B＝ ＝ .(6 分)a2＋ c2－ b22ac 14(2)由(1)知 b2＝2 ac.因为 B＝90°，由勾股定理得 a2＋ c2＝ b2.(8 分)故 a2＋ c2＝2 ac，得 c＝ a＝ .2所以△ ABC 的面积为 S＝ ac＝ × × ＝1.(12 分)12 12 2 2[终极提升]——登高博见求解三角形的基本量的技巧：先将几何问题转化为代数问题，正确分析已知等式中的边角关系，利用正弦定理、余弦定理、任意三角形面积公式等进行三角形中边角的互化．若要把“边”化为“角” ，常利用“ a＝2 Rsin A， b＝2 Rsin B， c＝2 Rsin C”，若要把“角”化为“边” ，常利用“sin A＝ ，sin B＝ ，sin C＝ ，cos C＝ ”等，然后利用a2R b2R c2R a2＋ b2－ c22ab三角形的内角和定理、大边对大角及三角函数等知识求出三角形的基本量.14限时规范训练二 解三角形(建议用时 45 分钟)解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1．如图，在△ ABC 中，∠ ABC＝90°， AB＝ ， BC＝1， P 为△ ABC 内一点，∠ BPC＝90°.3(1)若 PB＝ ，求 PA；12(2)若∠ APB＝150°，求 tan∠ PBA.解：(1)由已知得，∠ PBC＝60°，所以∠ PBA＝30°.在△ PBA 中，由余弦定理得 PA2＝3＋ －2× × cos 30°＝ .故 PA＝ .14 3 12 74 72(2)设∠ PBA＝ α ，则∠ BCP＝ α ，在 Rt△ BCP 中， PB＝ BCsin α ＝sin α ，在△ PBA 中，由正弦定理得 ＝ ，3sin 150° sin αsin 30°－ α 化简得 cos α ＝4sin α .3所以 tan α ＝ ，即 tan∠ PBA＝ .34 342．如图，在△ ABC 中，∠ B＝ ， AB＝8，点 D 在 BC 边上，且 CD＝2，π 3cos∠ ADC＝ .17(1)求 sin∠ BAD；(2)求 BD， AC 的长．解：(1)在△ ADC 中，因为cos∠ ADC＝ ，所以 sin∠ ADC＝ .17 437所以 sin∠ BAD＝sin(∠ ADC－∠ B)＝sin∠ ADCcos B－cos∠ ADCsin B15＝ × － × ＝ .437 12 17 32 3314(2)在△ ABD 中，由正弦定理得BD＝ ＝ ＝3.AB·sin∠ BADsin∠ ADB8×3314437在△ ABC 中，由余弦定理得AC2＝ AB2＋ BC2－2 AB·BC·cos B＝8 2＋5 2－2×8×5× ＝49.12所以 AC＝7.3．在△ ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c.已知 A＝ ， b2－ a2＝ c2.π 4 12(1)求 tan C 的值；(2)若△ ABC 的面积为 3，求 b 的值．解：(1)由 b2－ a2＝ c2及正弦定理得 sin2B－ ＝12 12sin2C，所以－cos 2 B＝sin 2C.12又由 A＝ ，即 B＋ C＝ π，得π 4 34－cos 2 B＝－cos[2 ]＝－cos ＝sin 2 C＝2sin Ccos C，(3π4－ C) (3π2－ 2C)∴2sin Ccos C＝sin 2C 解得 tan C＝2.(2)由 tan C＝2， C∈(0，π)得 sin C＝ ，255cos C＝ .55又因为 sin B＝sin( A＋ C)＝sin ，所以 sin B＝ .(π 4＋ C) 31010由正弦定理 ＝ ，得 c＝ b，bsin B csin C 223又因为 A＝ ， bcsin A＝3，所以 bc＝6 ，故 b＝3.π 4 12 24．△ ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c.向量 m＝( a， b)与 n＝(cos A，sin B)平3行．(1)求 A；16(2)若 a＝ ， b＝2，求△ ABC 的面积．7解：(1)因为 m∥ n，所以 asin B－ bcos A＝0，由正弦定理，得 sin Asin B－ sin 3 3Bcos A＝0，又 sin B≠0，从而 tan A＝ ，3由于 0＜ A＜π，所以 A＝ .π 3(2)法一：由余弦定理 a2＝ b2＋ c2－2 bccos A，及 a＝ ， b＝2， A＝ ，7π 3得 7＝4＋ c2－2 c，即 c2－2 c－3＝0，因为 c＞0，所以 c＝3.故△ ABC 的面积为 bcsin A＝ .12 332法二：由正弦定理，得 ＝ ，7sinπ 3 2sin B从而 sin B＝ ，217又由 a＞ b，知 A＞ B，所以 cos B＝ .277故 sin C＝sin( A＋ B)＝sin (B＋π 3)＝sin Bcos ＋cos Bsin ＝ .π 3 π 3 32114所以△ ABC 的面积为 absin C＝ .12 332专题一 规范滚动训练(一)(建议用时 45 分钟)解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1．在锐角△ ABC 中， a， b， c 分别为角 A， B， C 所对的边，且 a＝2 csin A.3(1)求角 C 的大小；(2)若 c＝2，且△ ABC 的面积为 ，求 a＋ b 的值．3解：(1)由题意得 ＝sin A，由正弦定理得 ＝sin A，3a2c 3sin A2sin C又 sin A≠0，∴sin C＝ ，又 0°＜ C＜90°，32∴ C＝60°.(2)∵ S△ ABC＝ absin 60°＝ ，∴ ab＝4.12 317又 c＝2，∴由余弦定理得 c2＝ a2＋ b2－2 abcos 60°，即 4＝ a2＋ b2－2 ab· ，即 4＝( a＋ b)2－2 ab－ ab，12∴( a＋ b)2＝4＋3 ab＝16，∴ a＋ b＝4.2．已知函数 f(x)＝2cos π x·cos2 ＋sin[( x＋1)π]·sin φ －cos π x 的φ 2 (0＜ φ ＜ π 2)部分图象如图所示．(1)求 φ 的值及图中 x0的值；(2)将函数 f(x)的图象上的各点向左平移 个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标不变，16纵坐标伸长到原来的 倍，得到函数 g(x)的图象，求函数 g(x)在区间 上的最大值3 [－12， 13]和最小值．解：(1) f(x)＝2cos π x·cos2 ＋sin[( x＋1)π]·sin φ －cos π x＝cos π x·φ 2－sin π x·sin φ(2cos2φ 2－ 1)＝cos π x·cos φ －sin π x·sin φ ＝cos(π x＋ φ )．由题图可知，cos φ ＝ ，又 0＜ φ ＜ ，所以 φ ＝ .32 π 2 π 6又 cos ＝ ，所以 π x0＋ ＝ ，(π x0＋π 6) 32 π 6 11π6所以 x0＝ .53(2)由(1)可知 f(x)＝cos ，将图象上的各点向左平移 个单位长度得到 y＝cos(π x＋π 6) 16[π (x＋ 16)＋ π 6]＝cos 的图象，然后将各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的 倍后得到 g(x)(π x＋π 3) 3＝ cos 的图象．3 (π x＋π 3)因为 x∈ ，所以－ ≤π x＋ ≤ .[－12， 13] π 6 π 3 2π318所以当 π x＋ ＝0，即 x＝－ 时， g(x)取得最大值 ；π 3 13 3当 π x＋ ＝ ，即 x＝ 时， g(x)取得最小值－ .π 3 2π3 13 323．已知在△ ABC 中，角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，向量 m＝(2 b,1)，n＝(2 a－ c，cos C)，且 m∥ n.(1)若 b2＝ ac，试判断△ ABC 的形状；(2)求 y＝1－ 的值域．2cos 2A1＋ tan A解：(1)由已知， m∥ n，则 2bcos C＝2 a－ c，由正弦定理，得 2sin Bcos C＝2sin( B＋ C)－sin C，即 2sin Bcos C＝2sin Bcos C＋2cos Bsin C－sin C，在△ ABC 中，sin C≠0，因而 2cos B＝1，则 B＝ .π 3又 b2＝ ac， b2＝ a2＋ c2－2 accos B，因而 ac＝ a2＋ c2－2 accos ，即( a－ c)2＝0，π 3所以 a＝ c，△ ABC 为等边三角形．(2)y＝1－2cos 2A1＋ tan A＝1－2 cos2A－ sin2A1＋ sin Acos A＝1－2cos A(cos A－sin A)＝sin 2 A－cos 2 A＝ sin ，由已知条件 B＝ 知 A∈ .2 (2A－π 4) π 3 (0， 2π3]所以，2 A－ ∈ .π 4 (－ π 4， 3π4)因而所求函数的值域为(－1， ]．24．已知函数 f(x)＝2sin sin ， x∈R.(x－π 6) (x＋ π 3)(1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)在△ ABC 中，若 A＝ ， c＝2，且锐角 C 满足 f ＝ ，求△ ABC 的面积 S.π 4 (C2＋ π 6) 12解：(1)由题意得，f(x)＝2sin sin(x－π 6) (x＋ π 3)19＝2sin sin(x－π 6) [π 2＋ (x－ π 6)]＝2sin cos(x－π 6) (x－ π 6)＝sin ，(2x－π 3)所以函数 f(x)的最小正周期为 ＝π.2π2(2)由(1)得， f ＝sin ＝sin C，(C2＋ π 6) [2(C2＋ π 6)－ π 3]所以 sin C＝ ，又角 C 为锐角，所以 C＝ .12 π 6由正弦定理，得 ＝ ＝ ＝ ＝ ，ac sin Asin Csinπ 4sinπ 62212 2又 c＝2，所以 a＝2 .2又 sin B＝sin[π－( A＋ C)]＝sin( A＋ C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝ ，6＋ 24所以△ ABC 的面积 S＝ acsin B＝ ×2 ×2× ＝1＋ .12 12 2 6＋ 24 3