2017届高考数学一轮复习 第四章 三角函数与解三角形课后作业 理（打包8套）.zip

1【创新方案】2017 届高考数学一轮复习 第四章 三角函数与解三角形 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数课后作业 理[全 盘 巩 固 ]一、选择题1．已知角 α 的终边与单位圆的交点 P ，则 tan α ＝( )(x，32)A. B．± C. D．±3 333 332．已知扇形的面积为 2，扇形圆心角的弧度数是 4，则扇形的周长为( )A．2 B．4 C．6 D．83．(2016·济南模拟)已知 sin θ －cos θ 1，则角 θ 的终边在( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限4．若 α 是第三象限角，则 y＝ ＋ 的值为( )sin α 2sinα 2cosα 2cosα 2A．0 B．2 C．－2 D．2 或－25．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形半径的大小无关；④若 sin α ＝sin β ，则 α 与 β 的终边相同；⑤若 cos θ cos x 成立的 x 的取值范围为( )A. ∪ B.(π 4， π 2) (π ， 5π4) (π 4， π )C. ∪ D.(π 4， π ) (5π4， 3π2) (π 4， 5π4)3．一扇形的圆心角为 120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________．4.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点 P 的位置在(0,0)，圆在 x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时， 的坐标为________．5．已知 sin α ＜0，tan α ＞0.(1)求 α 角的集合；(2)求 终边所在的象限；α 2(3)试判断 tan sin cos 的符号．α 2 α 2 α 2答 案[全 盘 巩 固 ]一、选择题1．解析：选 B 因为 P 在单位圆上，∴ x＝± .(x，32) 12∴tan α ＝± .332．解析：选 C 设扇形所在圆的半径为 R，则 2＝ ×4×R2，∴ R2＝1，∴ R＝1，扇形12的弧长为 4×1＝4，扇形的周长为 2＋4＝6.3．解析：选 B 由已知得(sin θ －cos θ )21，即 1－ 2sin θ cos θ 1，sin θ cos θ cos θ ，所以 sin θ 0cos θ ，所以角 θ 的终边在第二象限．4．解析：选 A 由于 α 是第三象限角，所以 是第二或第四象限角．α 2当 是第二象限角时， y＝ ＋ ＝1－1＝0；α 2sinα 2sinα 2－ cosα 2cosα 2当 是第四象限角时， y＝ ＋ ＝－1＋1＝0.α 2－ sinα 2sinα 2cosα 2cosα 25．解析：选 A 由于第一象限角 370°不小于第二象限角 100°，故①错；当三角形的内角为 90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于 sin＝sin ，但 与 的终边不相同，故④错；当 cos θ ＝－1， θ ＝π 时， θ 既不是π 6 5π6 π 6 5π6第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．二、填空题6．解析：2 010°＝ π＝12π－ ，676 5π6∴与 2 010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为－ .5π6答案：－5π67．解析：因为点 P(sin θ cos θ ，2cos θ )位于第三象限，所以 sin θ cos θ 0,2cos θ 0，即Error!所以 θ 为第二象限角．答案：二8．解析：∵cos α ≤0，sin α ＞0，∴Error!即－2 a≤3.答案：(－2,3]三、解答题9．解：由题意可知点 P(a，－ b)，则 sin α ＝ ，cos α ＝ ，tan － ba2＋ b2 aa2＋ b2α ＝－ ；由题意可知点 Q(b， a)，则 sin β ＝ ，cos β ＝ ，tan ba aa2＋ b2 ba2＋ b24β ＝ ，∴ ＋ ＋ ＝－1－ ＋ ＝0.ab sin αcos β tan αtan β 1cos α sin β b2a2 a2＋ b2a210．解：(1) α ＝60°＝ ， l＝10× ＝ (cm)．π 3 π 3 10π3(2)由已知得： l＋2 R＝20，所以 S＝ lR＝ (20－2 R)R＝10 R－ R2＝－( R－5) 2＋25，所以 R＝5 时， S 取得最大值12 1225，此时 l＝10 cm， α ＝2 rad.[冲 击 名 校 ]1．解析：选 C ∵ θ 是第四象限角，∴sin θ ∈(－1,0)．令 sin θ ＝ α ，当－1 α 0 时，sin α 0.故 sin(sin θ )0.2．解析：选 D 如图所示，找出在(0,2π)内，使 sin x＝cos x 的 x 值，sin ＝cosπ 4＝ ， sin ＝cos ＝－ .根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角 x∈π 4 22 5π4 5π4 22.(π 4， 5π4)3．解析：设扇形半径为 R，内切圆半径为 r.则( R－ r)sin 60°＝ r，即 R＝ r.(1＋233)又 S 扇 ＝ |α |R2＝ × ×R2＝ R2＝ π r2，12 12 2π3 π 3 7＋ 439∴ ＝ .S扇π r2 7＋ 439答案：(7＋4 )∶934.解析：如图，连接 AP，分别过 P， A 作 PC， AB 垂直 x 轴于 C， B 点，过 A 作 AD⊥ PC于 D 点．由题意知 的长为 2.∵圆的半径为 1，∴∠ BAP＝2，故∠ DAP＝2－ .π 25∴ DP＝ AP·sin ＝－cos 2，(2－π 2)∴ PC＝1－cos 2， DA＝ AP·cos ＝sin 2，(2－π 2)∴ OC＝2－sin 2.故 ＝ (2－sin 2,1－cos 2)．答案：(2－sin 2,1－cos 2)5．解：(1)由 sin α ＜0，知 α 的终边在第三、四象限或 y 轴的负半轴上；由 tan α ＞0, 知 α 在第一、三象限，故 α 角在第三象限，其集合为Error!.(2)由 2kπ＋π＜ α ＜2 kπ＋ ， k∈Z，得 kπ＋ ＜ ＜ kπ＋ ， k∈Z，3π2 π 2 α 2 3π4故 终边在第二、四象限．α 2(3)当 在第二象限时，tan ＜0， sin ＞0, cos ＜0，α 2 α 2 α 2 α 2所以 tan sin cos 取正号；α 2 α 2 α 2当 在第四象限时， tan ＜0， sin ＜0, cos ＞0，α 2 α 2 α 2 α 2所以 tan sin cos 也取正号．α 2 α 2 α 2因此，tan sin cos 取正号．α 2 α 2 α 21【创新方案】2017 届高考数学一轮复习 第四章 三角函数与解三角形 第七节 解三角形应用举例课后作业 理[全 盘 巩 固 ]一、选择题1.两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站南偏西 40°，灯塔 B在观察站南偏东 60°，则灯塔 A 在灯塔 B 的( )A．北偏东 10° B．北偏西 10°C．南偏东 80° D．南偏西 80°2.如图所示，为了测量某湖泊两侧 A， B 间的距离，李宁同学首先选定了与 A， B 不共线的一点 C(△ ABC 的角 A， B， C 所对的边分别记为 a， b， c)，然后给出了三种测量方案：①测量 A， C， b；②测量 a， b， C；③测量 A， B， a.则一定能确定 A， B 间的距离的所有方案的序号为( )A．①② B．②③C．①③ D．①②③3．在 200 米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30°、60°，则塔高是( )A. 米 B. 米4003 40033C．200 米 D．200 米34．一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40°的方向直线航行，30分钟后到达 B 处．在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70°，在 B处观察灯塔，其方向是北偏东 65°，那么 B， C 两点间的距离是( )A．10 海里 B．10 海里2 3C．20 海里 D．20 海里3 25.如图，一条河的两岸平行，河的宽度 d＝0.6 km，一艘客船从码头 A 出发匀速驶往河对岸的码头 B.已知 AB＝1 km，水的流速为 2 km/h，若客船从码头 A 驶到码头 B 所用的最短时间为 6 min，则客船在静水中的速度为( )2A．8 km/h B．6 km/h2C．2 km/h D．10 km/h34二、填空题6．江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为 45°和 60°，而且两条船与炮台底部连线成 30°角，则两条船相距________m.7.某同学骑电动车以 24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶，在点 A 处测得电视塔 S在电动车的北偏东 30°方向上，15 min 后到点 B 处，测得电视塔 S 在电动车的北偏东75°方向上，则点 B 与电视塔的距离是________km.8.如图，为测得河对岸塔 AB 的高，先在河岸上选一点 C，使 C 在塔底 B 的正东方向上，测得点 A 的仰角为 60°，再由点 C 沿北偏东 15°方向走 10 米到位置 D，测得∠ BDC＝45°，则塔 AB 的高是________米．三、解答题9．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m，速度为 50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为 15°，经过 420 s 后看山顶的俯角为 45°，则山顶的海拔高度为多少米？(取 ＝1.4， ＝1.7)2 3310.如图，在海岸 A 处发现北偏东 45°方向，距 A 处( －1)海里的 B 处有一艘走私3船．在 A 处北偏西 75°方向，距 A 处 2 海里的 C 处的我方缉私船奉命以 10 海里/小时的3速度追截走私船，此时走私船正以 10 海里/小时的速度，从 B 处向北偏东 30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．[冲 击 名 校 ]1．如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B， C 的俯角分别为 75°，30°，此时气球的高是 60 m，则河流的宽度 BC 等于( )A．240( －1)m B．180( －1)m3 2C．120( －1)m D．30( ＋1)m3 32．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45°，沿点 A 向北偏东 30°前进 100 m到达点 B，在点 B 测得水柱顶端的仰角为 30°，则水柱的高度是( )A．50 m B．100 mC．120 m D．150 m3.如图所示，某炮兵阵地位于地面 A 处，两观察所分别位于地面 C 处和 D 处，已知CD＝6 000 m，∠ ACD＝45°，∠ ADC＝75°，目标出现于地面 B 处时测得∠ BCD＝30°，∠ BDC＝15°，则炮兵阵地到目标的距离是________ m．(结果保留根号) 4．如图所示，长为 3.5 m 的木棒 AB 斜靠在石堤旁，木棒的一端 A 在离堤足 C 处 1.4 m 的地面上，另一端 B 在离堤足 C 处 2.8 m 的石堤上，石堤的倾斜角为 α ，则坡度值 tan 4α ＝________.5.已知岛 A 南偏西 38° 方向，距岛 A 3 海里的 B 处有一艘缉私艇．岛 A 处的一艘走私船正以 10 海里/时的速度向岛北偏西 22° 方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用 0.5 小时能截住该走私船？ (参 考 数 据 ： sin 38°＝ 5314 ， sin 22°＝ 3314)6．(2016·辽宁沈阳二中月考)在一个特定时段内，以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域，点 E 正北 55 海里处有一个雷达观测站 A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 45°且与点 A 相距 40 海里的位置 B，经过 40 分钟又测得该船已行2驶到点 A 北偏东 45°＋ θ 且与点 A 相距 10 海(其 中 sin θ ＝2626， 0°40＝ AQ，所以点 Q 位于点 A 和点 E 之间，且 QE＝ AE－ AQ＝15.过点 E 作EP⊥ BC 于点 P，则 EP 为点 E 到直线 BC 的距离．在 Rt△ QPE 中， PE＝ QE·sin∠ PQE＝ QE·sin∠ AQC＝ QE·sin(45°－∠ ABC)＝15× ＝3 7.55 5所以船会进入警戒水域．1【创新方案】2017 届高考数学一轮复习 第四章 三角函数与解三角形 第三节 三角函数的图象与性质课后作业 理[全 盘 巩 固 ]一、选择题1．(2015·四川高考)下列函数中，最小正周期为 π 且图象关于原点对称的函数是( )A． y＝cos B． y＝sin(2x＋π 2) (2x＋ π 2)C． y＝sin 2 x＋cos 2 x D． y＝sin x＋cos x2．若函数 f(x)同时具有以下两个性质：① f(x)是偶函数；②对任意实数 x，都有 f＝ f .则 f(x)的解析式可以是( )(π 4＋ x) (π 4－ x)A． f(x)＝cos x B． f(x)＝cos (2x＋π 2)C． f(x)＝sin D． f(x)＝cos 6 x(4x＋π 2)3．函数 y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间 内的图象是( )(π 2， 3π2)A BC D4．函数 f(x)＝sin 在区间 上的最小值为( )(2x－π 4) [0， π 2]A．－1 B．－ C．0 D.22 225．已知曲线 f(x)＝sin 2x＋ cos 2x 关于点( x0,0)成中心对称，若 x0∈ ，则3 [0，π 2]x0＝( )A. B. C. D.π12 π 6 π 3 5π12二、填空题26．设函数 f(x)＝3sin ，若存在这样的实数 x1， x2，对任意的 x∈R，都有(π 2x＋ π 4)f(x1)≤ f(x)≤ f(x2)成立，则| x1－ x2|的最小值为________．7．设函数 f(x)＝ Asin(ωx ＋ φ ) 与直线 y＝3 的交点的横(A0， ω 0， |φ |0)， f ＋ f ＝0，且 f(x)在区间3 (π 6) (π 2)上单调递减，则 ω ＝( )(π 6， π 2)A．3 B．2 C．6 D．52．函数 y＝sin( ωx ＋ φ ) 在区间 上单调递减，且函数值(ω 0且 |φ |0)和 g(x)＝3cos(2 x＋ φ )的图象的对称中心完(ω x－π 6)全相同，若 x∈ ，则 f(x)的取值范围是________．[0，π 2]4．已知函数 f(x)＝sin ，其中 x∈ .若 f(x)的值域是 ，则 a(2x＋π 6) [－ π 6， a] [－ 12， 1]的取值范围是________．答 案[全 盘 巩 固 ]一、选择题1．解析：选 A y＝cos ＝－sin 2x，最小正周期 T＝ ＝π，且为奇函数，(2x＋π 2) 2π2其图象关于原点对称，故 A 正确； y＝sin ＝cos 2x，最小正周期为 π，且为偶函(2x＋π 2)数，其图象关于 y 轴对称，故 B 不正确；C，D 均为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，故 C，D 不正确．2．解析：选 C 由题意可得，函数 f(x)是偶函数，且它的图象关于直线 x＝ 对π 4称．∵ f(x)＝cos x 是偶函数， f ＝ ，不是最值，故不满足图象关于直线 x＝ 对称，(π 4) 22 π 4故排除 A.∵函数 f(x)＝cos ＝－sin 2x 是奇函数，不满足条件，故排除 B.∵函数(2x＋π 2)f(x)＝sin ＝cos 4x 是偶函数， f ＝－1，是最小值，故满足图象关于直线 x＝(4x＋π 2) (π 4)对称，故 C 满足条件．∵函数 f(x)＝cos 6x 是偶函数， f ＝0，不是最值，故不满足π 4 (π 4)图象关于直线 x＝ 对称，故排除 D.π 43．解析：选 D y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|＝4．解析：选 B 因为 0≤ x≤ ，所以－ ≤2 x－ ≤ ，由正弦函数的图象知，π 2 π 4 π 4 3π41≥sin ≥－ ，所以函数 f(x)＝sin 在区间 上的最小值为－ .(2x－π 4) 22 (2x－ π 4) [0， π 2] 225．解析：选 C 由题意可知 f(x)＝2sin ，其对称中心为( x0,0)，故(2x＋π 3)2x0＋ ＝ kπ( k∈Z)，∴ x0＝－ ＋ (k∈Z)，又 x0∈ ，∴ k＝1， x0＝ .π 3 π 6 kπ2 [0， π 2] π 34二、填空题6．解析：∵对任意 x∈R，都有 f(x1)≤ f(x)≤ f(x2)成立，∴ f(x1)， f(x2)分别为函数f(x)的最小值和最大值，∴| x1－ x2|的最小值为 T＝ × ＝2.12 12 2ππ 2答案：27．解析：由题意得 A＝3， T＝π，∴ ω ＝2.∴ f(x)＝3sin(2 x＋ φ )．又 f ＝3 或 f ＝－3，(π 6) (π 6)∴2× ＋ φ ＝ kπ＋ ， k∈Z， φ ＝ ＋ kπ， k∈Z.π 6 π 2 π 6又∵| φ |0.从而 g(α )＝1－cos α ＝1－ ＝1－ ＝ .1－ sin2α45 15(2)f(x)≥ g(x)等价于 sin x≥1－cos x，3即 sin x＋cos x≥1.于是 sin ≥ .3 (x＋π 6) 12从而 2kπ＋ ≤ x＋ ≤2 kπ＋ ， k∈Z，即 2kπ≤ x≤2 kπ＋ ， k∈Z.π 6 π 6 5π6 2π3故使 f(x)≥ g(x)成立的 x 的取值集合为 x2kπ≤ x≤2 kπ＋ ， k∈Z.2π3[冲 击 名 校 ]1．解析：选 B ∵ f(x)在 上单调递减，且(π 6， π 2)6f ＋ f ＝0，∴ f ＝0，∵ f(x)＝sin ω x＋ ·cos ω x＝2sin ，∴ f(π 6) (π 2) (π 6＋ π 22 ) 3 (ω x＋ π 3)＝ f ＝2sin ＝0，∴ ω ＋ ＝ kπ (k∈Z)，(π 6＋ π 22 ) (π 3) (π 3ω ＋ π 3) π 3 π 3又 · ≥ － ， ω 0，∴ ω ＝2.12 2πω π 2 π 62．解析：选 A 函数 y＝sin( ωx ＋ φ )的最大值为 1，最小值为－1，由该函数在区间上单调递减，且函数值从 1 减小到－1，可知 － ＝ 为半周期，则周期为[π 6， 2π3] 2π3 π 6 π 2π， ω ＝ ＝ ＝2，此时原函数式为 y＝sin(2 x＋ φ )．又由函数 y＝sin( ωx ＋ φ )的图2πT 2ππ象过点 ，代入可得 φ ＝ ，因此函数为 y＝sin .令 x＝0，可得 y＝ .(π 6， 1) π 6 (2x＋ π 6) 123．解析：由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω ＝2，所以 f(x)＝3sin ，当 x∈ 时，－ ≤2 x－ ≤ ，所以－ ≤sin(2x－π 6) [0， π 2] π 6 π 6 5π6 12≤1，故 f(x)∈ .(2x－π 6) [－ 32， 3]答案： [－32， 3]4．解析：若－ ≤ x≤ ，则－ ≤2 x＋ ≤ ，此时－ ≤sin ≤1，即 f(x)的π 6 π 3 π 6 π 6 5π6 12 (2x＋ π 6)值域是 .[－12， 1]若－ ≤ x≤ a，则－ ≤2 x≤2 a，－ ≤2 x＋ ≤2 a＋ .因为当 2x＋ ＝－ 或π 6 π 3 π 6 π 6 π 6 π 6 π 62x＋ ＝ 时，π 6 7π6sin ＝－ ，所以要使 f(x)的值域是 ，则 ≤2 a＋ ≤ ，即(2x＋π 6) 12 [－ 12， 1] π 2 π 6 7π6≤2 a≤π，π 3所以 ≤ a≤ ，即 a 的取值范围是 .π 6 π 2 [π 6， π 2]答案： [π 6， π 2]1【创新方案】2017 届高考数学一轮复习 第四章 三角函数与解三角形 第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式课后作业 理[全 盘 巩 固 ]一、选择题1．(2016·商丘模拟)sin(－600°)的值为( )A. B. C．1 D.32 22 332．已知 tan(α －π)＝ ，且 α ∈ ，则 sin ＝( )34 (π 2， 3π2) (α ＋ π 2)A. B．－ C. D．－45 45 35 353．已知 2tan α ·sin α ＝3，－ 0，cos A0，∴sin A－cos A＝ ，②75∴由①，②可得 sin A＝ ，cos A＝－ ，45 35∴tan A＝ ＝ ＝－ .sin Acos A45－ 35 43[冲 击 名 校 ]1．解析：选 B ∵ ＜ α ＜ ，5π4 3π2∴cos α ＜0，sin α ＜0 且|cos α |＜|sin α |，5∴cos α －sin α ＞0.又(cos α －sin α )2＝1－2sin α cos α ＝1－2× ＝ ，18 34∴cos α －sin α ＝ .322．解析：选 B 由题意知：sin θ ＋cos θ ＝－ ，sin θ cos θ ＝ .∵(sin m2 m4θ ＋cos θ )2＝1＋2sin θ cos θ ，∴ ＝1＋ ，解得 m＝1± ，又 Δ ＝4 m2－16 m≥0，m24 m2 5∴ m≤0 或 m≥4，∴ m＝1－ .53．解析：法一：由题意得 sin α －cos α ＝ ，因为(sin α ＋cos α )2＋(sin 12α －cos α )2＝2，即(sin α ＋cos α )2＋ 2＝2，所以(sin α ＋cos α )2＝ .又 α ∈(12) 74，所以 sin α ＋cos α ＝ ，所以(0，π 2) 72＝ ＝－ (sin α ＋cos α )＝－ .cos 2αsin(α － π 4)cos2α － sin2α22 sin α － cos α  2 142法二：由题意得 sin α －cos α ＝ ，所以 sin ＝ ，sin ＝ .又12 2 (α － π 4) 12 (α － π 4) 24α ∈ ， 所以 α － ∈ ，所以 cos ＝ ，cos (0，π 2) π 4 (0， π 4) (α － π 4) 1442α ＝sin －2 α ＝－sin2 α － ＝－2sin cos ＝－2× × ＝－ ，所π 2 π 2 (α － π 4) (α － π 4) 24 144 74以 ＝ ＝－ .cos 2αsin(α － π 4)－ 7424 142答案：－1424．解析：由诱导公式可得Error!① 2＋② 2得 sin2α ＋3cos 2α ＝2，解得 cos2α ＝ .又12α ∈ ，所以 cos α ＝ ，代入②得 cos β ＝ .又 β ∈(0，π)，所以(－π 2， π 2) 22 32β ＝ ，sin β ＝ ，代入①得 sin α ＝ ，故 α ＝ ，所以 α ＋ β ＝ .π 6 12 22 π 4 5π12答案：5π1265．解：(1)原式＝ ＋sin2θsin θ － cos θ cos θ1－ sin θcos θ＝ ＋ ＝ ＝sin θ ＋cos θ .sin2θsin θ － cos θ cos2θcos θ － sin θ sin2θ － cos2θsin θ － cos θ由条件知 sin θ ＋cos θ ＝ ，3＋ 12故 ＋ ＝ .sin2θsin θ － cos θ cos θ1－ tan θ 3＋ 12(2)由已知，得 sin θ ＋cos θ ＝ ，sin θ cos θ ＝ ，3＋ 12 m2又 1＋2sin θ cos θ ＝(sin θ ＋cos θ )2，可得 m＝ .32(3)由Error! 知Error! 或Error!又 θ ∈(0,2π)，故 θ ＝ 或 θ ＝ .π 6 π 31【创新方案】2017 届高考数学一轮复习 第四章 三角函数与解三角形 第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式课后作业 理[全 盘 巩 固 ]一、选择题1．(2015·新课标全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )A．－ B. C．－ D.32 32 12 122．(2016·抚顺模拟)已知 sin 2α ＝ ，则 cos2 ＝( )13 (α － π 4)A. B. C．－ D．－13 23 23 133．已知 sin ＝ ，则 cos2 ＋ α 的值是( )(π 6－ α ) 13 π 3A. B. C．－ D．－79 13 13 794．已知锐角 α ， β 满足 sin α －cos α ＝ ，tan α ＋tan β ＋ ·tan α tan 16 3β ＝ ，则 α ， β 的大小关系是( )3A． α .又 tan α ＋tan 16 π 4β ＋ tan α tan β ＝ ，∴tan( α ＋ β )＝ ＝ ，∴ α ＋ β ＝ ，又3 3tan α ＋ tan β1－ tan α tan β 3 π 3α ，∴ β 0，∴tan( α ＋ β )＝ ＝ ，且 tan α 0，tan β 0，又 α ， β ∈tan α ＋ tan β1－ tan α tan β 3，故 α ， β ∈ ，∴ α ＋ β ∈(－π，0)，∴ α ＋ β ＝－ .(－π 2， π 2) (－ π 2， 0) 2π32．解析：选 C 由 sin ＝ 得 sin α －cos α ＝ ①，由 cos 2α ＝ 得(α －π 4) 7210 75 725cos2α －sin 2α ＝ ，所以(cos α －sin α )·(cos α ＋sin α )＝ ②.由①②可得725 725cos α ＋sin α ＝－ ③，由①③可得 sin α ＝ ，故选 C.15 353．解析：∵0 α ，－ β 0，∴ ＋ α ， － ，∴sin ＝ ＝π 2 π 2 π 4 π 4 3π4 π 4 π 4 β 2 π 2 (π 4＋ α ) 1－ 19 223，sin ＝ ＝ ，∴cos ＝cos ＋ α － － ＝cos cos(π 4－ β 2) 1－ 13 63 (α ＋ β 2) π 4 π 4 β 2 (π 4＋ α )＋sin ＋ α sin ＝ .(π 4－ β 2) π 4 (π 4－ β 2) 539答案：5394．解：(1) f ＝2sin ＝2sin ＝ .(5π4) (5π12－ π 6) π 4 2(2)由题设知， ＝ f ＝2sin α ， ＝ f(3β ＋2π)＝2sin ＝2cos 1013 (3α ＋ π 2) 65 (β ＋ π 2)β ，即 sin α ＝ ，cos β ＝ .513 35又 α ， β ∈ ，∴cos α ＝ ，sin β ＝ ，[0，π 2] 1213 45∴cos( α ＋ β )＝cos α cos β －sin α sin β ＝ × － × ＝ .1213 35 513 45 16651第四章 三角函数与解三角形 第八节 热点专题——三角函数与解三角形的热点问题课后作业 理1．已知 a， b， c 分别是△ ABC 的三个内角 A， B， C 的对边，(2 b－ c)cos A－ acos C＝0.(1)求角 A 的大小；(2)求函数 y＝ sin B＋sin 的最大值．3 (C－π 6)2．(2016·邵阳模拟)如图，在△ ABC 中， D 为 AB 边上一点， DA＝ DC，已知B＝ ， BC＝1. π 4(1)若△ ABC 是锐角三角形， DC＝ ，求角 A 的大小；63(2)若△ BCD 的面积为 ，求边 AB 的长．163．(2016·郑州模拟)在△ ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知 ＋1tan A＝ ，且 b＝ ， ac.1tan C 1sin B 2(1)求 ac 的值；(2)若△ ABC 的面积 S＝ ，求 a， c 的值．744．已知函数 f(x)＝sin －4sin 2ω x＋2( ω 0)，其图象与 x 轴相邻两个交点(2ω x－π 6)的距离为 .π 22(1)求函数 f(x)的解析式；(2)若将 f(x)的图象向左平移 m(m0)个单位长度得到函数 g(x)的图象恰好经过点，求当 m 取得最小值时， g(x)在 上的单调递增区间．(－π 3， 0) [－ π 6， 7π12]5．(2016·淄博模拟)已知在△ ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且sin ＝2cos A.(A＋π 6)(1)若 cos C＝ ，求证：2 a－3 c＝0；63(2)若 B∈ ，且 cos(A－ B)＝ ，求 sin B 的值．(0，π 3) 456．设△ ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，满足 ＝ .2a－ bc cos Bcos C(1)求角 C 的大小；(2)设函数 f(x)＝cos(2 x＋ C)，将 f(x)的图象向右平移 个单位长度后得到函数 g(x)π 4的图象，求函数 g(x)在区间 上的值域．[0，π 3]答 案1．解：(1)在△ ABC 中，由正弦定理得(2sin B－sin C)cos A－sin Acos C＝0，即 2sin Bcos A＝sin Acos C＋sin Ccos A，∴2sin Bcos A＝sin( A＋ C)＝sin B.又 sin B≠0，∴cos A＝ ，12又 0c，所以 a2ac＝2，即 a ，又 b＝ ，12 74 2 2所以 AB，故角 B 一定为锐角，因此 cos B＝ ＝ .1－ sin2B344由余弦定理可知 cos B＝ ＝ ，所以 a2＋ c2＝5，由 ac＝2 且 ac，解得a2＋ c2－ b22ac 34a＝2， c＝1.4．解：(1) f(x)＝sin －4sin 2ω x＋2(2ω x－π 6)＝sin 2 ω xcos －cos 2 ω xsin －2(1－cos 2 ω x)＋2π 6 π 6＝ sin 2ω x－ cos 2ω x＋2cos 2 ω x32 12＝ sin 2ω x＋ cos 2ω x32 32＝ 3(12sin 2ω x＋ 32cos 2ω x)＝ sin .3 (2ω x＋π 3)由题意知 f(x)的周期为 π，∴ ω ＝1，故 f(x)＝ sin .3 (2x＋π 3)(2)将 f(x)的图象向左平移 m(m0)个单位得到 g(x)的图象，则 g(x)＝ sin3.(2x＋ 2m＋π 3)∵ g(x)经过点 ，(－π 3， 0)∴ sin ＝0，即 sin ＝0，3 [2(－π 3)＋ 2m＋ π 3] (2m－ π 3)∴2 m－ ＝ kπ， k∈Z，解得 m＝ π＋ ， k∈Z，π 3 k2 π 6∵ m0，∴当 k＝0 时， m 取得最小值 .π 6此时， g(x)＝ sin .3 (2x＋2π3)若－ ≤ x≤ ，则 ≤2 x＋ ≤ ，π 6 7π12 π 3 2π3 11π6当 ≤2 x＋ ≤ ，即－ ≤ x≤－ 时， g(x)单调递增；π 3 2π3 π 2 π 6 π12当 ≤2 x＋ ≤ ，即 ≤ x≤ 时， g(x)单调递增．3π2 2π3 11π6 5π12 7π12∴ g(x)在 上的单调递增区间为 和 .[－π 6， 7π12] [－ π 6， － π12] [5π12， 7π12]55．解：由 sin ＝2cos A，得 sin A＋ cos A＝2cos A 即 sin A＝ cos A.(A＋π 6) 32 12 3因为 A∈(0，π)，且 cos A≠0，所以 tan A＝ ，所以 A＝ .3π 3(1)证明：因为 sin2C＋cos 2C＝1，cos C＝ ， C∈(0，π)，所以 sin C＝ ，63 33由正弦定理知 ＝ ，即 ＝ ＝ ＝ ，即 2a－3 c＝0.asin A csin C ac sin Asin C3233 32(2)因为 B∈ ，所以 A－ B＝ － B∈ ，(0，π 3) π 3 (0， π 3)因为 sin2(A－ B)＋cos 2(A－ B)＝1，所以 sin(A－ B)＝ ，所以 sin B＝sin[ A－( A－ B)]35＝sin Acos(A－ B)－cos Asin(A－ B)＝ .43－ 3106．解：(1)∵ a， b， c 是△ ABC 的内角 A， B， C 所对的三边，且 ＝ ，2a－ bc cos Bcos C∴由正弦定理得 ＝ ，即( sin A－sin B)cos C＝cos Bsin C，2sin A－ sin Bsin C cos Bcos C 2即 sin Acos C＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin( B＋ C)．2∵ A＋ B＋ C＝π，∴sin( B＋ C)＝sin A≠0，∴ cos C＝1，即 cos C＝ .222∵ C 是△ ABC 的内角，∴ C＝ .π 4(2)由(1)可知 f(x)＝cos ，(2x＋π 4)g(x)＝ f ＝cos ＝cos2 x－ .(x－π 4) [2(x－ π 4)＋ π 4] π 4∵0≤ x≤ ，∴－ ≤2 x－ ≤ ，π 3 π 4 π 4 5π12又 cos ＝cos ＝ ，5π12 (2π3－ π 4) 6－ 24∴ ≤cos ≤1，6－ 24 (2x－ π 4)∴ g(x)在区间 上的值域为 .[0，π 3] [6－ 24 ， 1]1【创新方案】2017 届高考数学一轮复习 第四章 三角函数与解三角形 第六节 正弦定理和余弦定理课后作业 理[全 盘 巩 固 ]一、选择题1．(2016·兰州模拟)在锐角△ ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若b＝2 asin B，则 A＝( )A．30° B．45° C．60° D．75°2．在△ ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，若 c＝1， B＝45°，cos A＝ ，则 b＝( )35A. B. C. D.53 107 57 52143．钝角三角形 ABC 的面积是 ， AB＝1， BC＝ ，则 AC＝( )12 2A．5 B. C．2 D．154．(2016·渭南模拟)在△ ABC 中，若 a2－ b2＝ bc 且 ＝2 ，则 A＝( )3sin A＋ Bsin B 3A. B. C. D.π 6 π 3 2π3 5π65．已知△ ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 ＝ ，则c－ bc－ a sin Asin C＋ sin BB＝( )A. B. C. D.π 6 π 4 π 3 3π4二、填空题6．在△ ABC 中，若 b＝2， A＝120°，三角形的面积 S＝ ，则三角形外接圆的半径为3________．7．(2015·广东高考)设△ ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.若 a＝ ，sin 3B＝ ， C＝ ，则 b＝________.12 π 68．(2016·昆明模拟)在△ ABC 中， B＝120°， AB＝ ， A 的角平分线 AD＝ ，则2 3AC＝________.三、解答题9．(2015·安徽高考)在△ ABC 中，∠ A＝ ， AB＝6， AC＝3 ，点 D 在 BC 边上，3π4 2AD＝ BD，求 AD 的长．210．(2016·太原模拟)已知 a， b， c 分别是△ ABC 的内角 A， B， C 所对的边，且c＝2， C＝ .π 3(1)若△ ABC 的面积等于 ，求 a， b；3(2)若 sin C＋sin( B－ A)＝2sin 2 A，求 A 的值．[冲 击 名 校 ]1．已知 a， b， c 分别为△ ABC 三个内角 A， B， C 的对边， a＝2，且(2＋ b)(sin A－sin B)＝( c－ b)sin C，则△ ABC 面积的最大值为( )A. B. C. D．232 332 3 32．在△ ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若△ ABC 的面积为 S，且2S＝( a＋ b)2－ c2，则 tan C 等于( )A. B. C．－ D．－34 43 43 343．在△ ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且满足 sin2A＋sin 2B＋sin Asin B＝sin 2C，则 的取值范围为________．a＋ bc4．在△ ABC 中， A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 asin A＝( b－ c)sin B＋(2 2c－ b)sin C.2(1)求角 A 的大小；(2)若 a＝ ，cos B＝ ， D 为 AC 的中点，求 BD 的长．10255答 案[全 盘 巩 固 ]一、选择题1．解析：选 A 因为在锐角△ ABC 中， b＝2 asin B，由正弦定理得，sin B＝2sin Asin B，所以 sin A＝ ，又 0A90°，所以 A＝30°.1232．解析：选 C 因为 cos A＝ ，所以 sin A＝ ＝ ＝ ，所以 sin 35 1－ cos2A 1－ (35)2 45C＝sin[180°－( A＋ B)]＝sin( A＋ B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝ cos 45°＋ sin 45°45 35＝ .由正弦定理 ＝ ，得 b＝ ×sin 45°＝ .7210 bsin B csin C 17210 573．解析：选 B 由题意可得 AB·BC·sin B＝ ，又 AB＝1， BC＝ ，所以 sin 12 12 2B＝ ，所以 B＝45°或 B＝135°.当 B＝45°时，由余弦定理可得 AC＝22＝1，此时 AC＝ AB＝1， BC＝ ，易得 A＝90°，与“钝角三角AB2＋ BC2－ 2AB·BC·cos B 2形”条件矛盾，舍去．所以 B＝135°.由余弦定理可得 AC＝ ＝AB2＋ BC2－ 2AB·BC·cos B.54．解析：选 A 因为 ＝2 ，故 ＝2 ，即 c＝2 b，cos A＝sin A＋ Bsin B 3 sin Csin B 3 3＝ ＝ ＝ ，所以 A＝ .b2＋ c2－ a22bc 12b2－ 3bc43b2 6b243b2 32 π 65．解析：选 C 根据正弦定理： ＝ ＝ ＝2 R，得asin A bsin B csin C＝ ＝ ，即 a2＋ c2－ b2＝ ac，得 cos B＝ ＝ ，故 B＝ .c－ bc－ a sin Asin C＋ sin B ac＋ b a2＋ c2－ b22ac 12 π 3二、填空题6．解析：由面积公式，得 S＝ bcsin A，代入得 c＝2，由余弦定理得12a2＝ b2＋ c2－2 bccos A＝2 2＋2 2－2×2×2cos 120°＝ 12，故 a＝2 ，由正弦定理，得32R＝ ＝ ，解得 R＝2.asin A 2332答案：27．解析：在△ ABC 中，∵sin B＝ ，0 Bπ，∴ B＝ 或 B＝ .12 π 6 5π6又∵ B＋ Cπ， C＝ ，∴ B＝ ，∴ A＝π－ － ＝ .π 6 π 6 π 6 π 6 2π3∵ ＝ ，∴ b＝ ＝1.asin A bsin B asin Bsin A答案：148．解析：如图，在△ ABD 中，由正弦定理，得 sin∠ ADB＝ ＝ ＝ .ABsin BAD 2×323 22由题意知 0°∠ ADB60°，所以∠ ADB＝45°，则∠ BAD＝180°－∠ B－∠ ADB＝15°，所以∠ BAC＝2∠ BAD＝30°，所以∠ C＝180°－∠ BAC－∠ B＝30°，所以 BC＝ AB＝ ，于是2由余弦定理，得 AC＝ ＝AB2＋ BC2－ 2AB·BCcos 120°＝ . 2 2＋  2 2－ 22×2×(－ 12) 6答案： 6三、解答题9．解：设△ ABC 的内角∠ BAC， B， C 所对边的长分别是 a， b， c，由余弦定理得 a2＝ b2＋ c2－2 bccos∠ BAC＝(3 )2＋6 2－2×3 ×6×cos2 23π4＝18＋36－(－36)＝90，所以 a＝3 .10又由正弦定理得 sin B＝ ＝ ＝ ，bsin∠ BACa 3310 1010由题设知 0＜ B＜ ，π 4所以 cos B＝ ＝ ＝ .1－ sin2B1－ 110 31010在△ ABD 中，因为 AD＝ BD，所以∠ ABD＝∠ BAD，所以∠ ADB＝π－2 B，故由正弦定理得AD＝ ＝ ＝ ＝ .AB·sin Bsin π － 2B 6sin B2sin Bcos B 3cos B 1010．解：(1)∵ c＝2， C＝ ，π 3∴由余弦定理得 4＝ a2＋ b2－2 abcos ＝ a2＋ b2－ ab.π 3∵△ ABC 的面积等于 ，∴ absin C＝ ，∴ ab＝4，312 3联立Error! 解得 a＝2， b＝2.(2)∵sin C＋sin( B－ A)＝2sin 2 A，5∴sin( B＋ A)＋sin( B－ A)＝4sin Acos A，∴sin Bcos A＝2sin Acos A，①当 cos A＝0 时， A＝ ；π 2②当 cos A≠0 时，sin B＝2sin A，由正弦定理得 b＝2 a，联立Error! 解得 a＝ ， b＝ ，233 433∴ b2＝ a2＋ c2.∵ C＝ ，∴ A＝ .π 3 π 6综上所述， A＝ 或 A＝ .π 2 π 6[冲 击 名 校 ]1．解析：选 C 由正弦定理得(2＋ b)(a－ b)＝( c－ b)c，即( a＋ b)(a－ b)＝( c－ b)c，即 b2＋ c2－ a2＝ bc，所以 cos A＝ ＝ .又 A∈(0，π)，所以 A＝ ，又b2＋ c2－ a22bc 12 π 3b2＋ c2－ a2＝ bc≥2 bc－4，即 bc≤4，故 S△ ABC＝ bcsin A≤ ×4× ＝ ，当且仅当12 12 32 3b＝ c＝2 时，等号成立，则△ ABC 面积的最大值为 .32．解析：选 C 因为 2S＝( a＋ b)2－ c2＝ a2＋ b2－ c2＋2 ab，所以结合三角形的面积公式与余弦定理，得 absin C＝2 abcos C＋2 ab，即 sin C－2cos C＝2，所以(sin C－2cos C)2＝4， ＝4，所以 ＝4，解得 tan C＝－ 或sin2C－ 4sin Ccos C＋ 4cos2Csin2C＋ cos2C tan2C－ 4tan C＋ 4tan2C＋ 1 43tan C＝0(舍去)，故选 C.3．解析：由正弦定理得 a2＋ b2－ c2＝－ ab，∴由余弦定理得 cos C＝ ＝－ ，a2＋ b2－ c22ab 12∴ C＝ .由正弦定理得 ＝ ＝ ·(sin A＋sin B)，又2π3 a＋ bc sin A＋ sin Bsin C 233A＋ B＝ ，∴ B＝ － A，∴sin A＋sin B＝sin A＋sin ＝sin .又 0A ，∴π 3 π 3 (π 3－ A) (A＋ π 3) π 3A＋ ，∴sin A＋sin B∈ ，∴ ∈ .π 3 π 32π3 (32， 1] a＋ bc (1， 233]答案： (1，233]4．解：(1)因为 asin A＝( b－ c)sin B＋( c－ b)sin C，2 2 2由正弦定理得 a2＝( b－ c)b＋( c－ b)c，整理得 a2＝ b2＋ c2－2 bc，2 2 2 2 2 2由余弦定理得 cos A＝ ＝ ＝ ，b2＋ c2－ a22bc 2bc2bc 226因为 A∈(0，π)，所以 A＝ .π 4(2)由 cos B＝ ，得 sin B＝ ＝ ＝ ，255 1－ cos2B 1－ 45 55所以 cos C＝cos[π－( A＋ B)]＝－cos( A＋ B)＝－ ＝－ .(22 ×255－ 22 ×55) 1010由正弦定理得 b＝ ＝ ＝2，所以 CD＝ AC＝1，asin Bsin A10×5522 12在△ BCD 中，由余弦定理得 BD2＝( )2＋1 2－2×1× × ＝13，所以 BD＝ .10 10 (－1010) 13