2017届高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法、复数 理（课件+习题）（打包11套）.zip

1【创新方案】2017 届高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法、复数 第一节 合情推理与演绎推理课后作业 理[全 盘 巩 固 ]一、选择题1．观察( x2)′＝2 x，( x4)′＝4 x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数 f(x)满足 f(－ x)＝ f(x)，记 g(x)为 f(x)的导函数，则 g(－ x)＝( )A． f(x) B．－ f(x) C． g(x) D．－ g(x)2．观察下列各式： a＋ b＝1， a2＋ b2＝3， a3＋ b3＝4， a4＋ b4＝7， a5＋ b5＝11，…，则a10＋ b10＝( )A．121 B．123 C．231 D．2113．在平面几何中有如下结论：正三角形 ABC 的内切圆面积为 S1，外接圆面积为 S2，则 ＝ ，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体 P­ABC 的内切球体积为 V1，外接S1S2 14球体积为 V2，则 ＝( )V1V2A. B. C. D.18 19 164 1274．(2016·陕西商洛期中)对于任意的两个实数对( a， b)和( c， d)，规定：( a， b)＝( c， d)，当且仅当 a＝ c， b＝ d；运算“” 为：( a， b)( c， d)＝( ac－ bd， bc＋ ad)；运算“” 为：( a， b)( c， d)＝( a＋ c， b＋ d)，设 p， q∈R，若(1,2)( p， q)＝(5,0)，则(1,2)( p， q)＝( )A．(4,0) B．(2,0) C．(0,2) D．(0，－4)5．(2016·西安五校联考)已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第 60 个“整数对”是( )A．(7,5) B．(5,7) C．(2,10) D．(10,1)二、填空题6．观察下列不等式：≥2× ，52－ 225－ 2 72≥ × 3，45－ 3542－ 32 52 (72)≥ × 5，98－ 2893－ 23 83 (112)≥2×7 5，910－ 51095－ 552……由以上不等式，可以猜测：当 ab0， s、 r∈N *时，有 ≥________.as－ bsar－ br7．(2016·日照模拟)对于实数 x，[ x]表示不超过 x 的最大整数，观察下列等式：[ ]＋[ ]＋[ ]＝3，1 2 3[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＝10，4 5 6 7 8[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＝21，9 10 11 12 13 14 15……按照此规律第 n 个等式的等号右边的结果为________．8．如果函数 f(x)在区间 D 上是凸函数，那么对于区间 D 内的任意 x1， x2，…， xn，都有 ≤ f .若 y＝sin x 在区间(0，π)上是f x1 ＋ f x2 ＋ …＋ f xnn (x1＋ x2＋ …＋ xnn )凸函数，那么在△ ABC 中，sin A＋sin B＋sin C 的最大值是________．三、解答题9．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{ an}是等和数列，且a1＝2，公和为 5.求：(1) a18的值；(2)该数列的前 n 项和 Sn.10．在 Rt△ ABC 中， AB⊥ AC， AD⊥ BC 于 D，求证： ＝ ＋ .在四面体 ABCD 中，1AD2 1AB2 1AC2类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由．[冲 击 名 校 ]1．(2016·太原模拟)某单位安排甲、乙、丙三人在某月 1 日至 12 日值班，每人 4天．甲说：我在 1 日和 3 日都有值班；乙说：我在 8 日和 9 日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是( )3A．2 日和 5 日 B．5 日和 6 日C．6 日和 11 日 D．2 日和 11 日2．如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标 0，点(1,0)处标 1，点(1，－1)处标 2，点(0，－1)处标 3，点(－1，－1)处标 4，点(－1,0)处标 5，点(－1,1)处标 6，点(0,1)处标 7，依此类推，则标签为 2 0132的格点的坐标为( ) A．(1 006,1 005) B．(1 007,1 006)C．(1 008,1 007) D．(1 009,1 008)3．设函数 f(x)＝ (x0)，观察：xx＋ 2f1(x)＝ f(x)＝ ，xx＋ 2f2(x)＝ f(f1(x))＝ ，x3x＋ 4f3(x)＝ f(f2(x))＝ ，x7x＋ 8f4(x)＝ f(f3(x))＝ ，x15x＋ 16……根据以上事实，由归纳推理可得：当 n∈N *且 n≥2 时， fn(x)＝ f(fn－1 (x))＝________.4．(2016·淄博模拟)如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形” ，它是由整数的倒数组成的，第 n 行有 n 个数且两端的数均为 (n≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数1n的和，如 ＝ ＋ ， ＝ ＋ ， ＝ ＋ ，则第 7 行第 4 个数(从左往右)为________．11 12 12 12 13 16 13 14 11245．对于三次函数 f(x)＝ ax3＋ bx2＋ cx＋ d(a≠0)，给出定义：设 f′( x)是函数 y＝ f(x)的导数， f″( x)是 f′( x)的导数，若方程 f″( x)＝0 有实数解 x0，则称点( x0， f(x0))为函数y＝ f(x)的“拐点” ．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点” ；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若 f(x)＝ x3－ x2＋3 x－ ，请你根据这13 12 512一发现，(1)求函数 f(x)＝ x3－ x2＋3 x－ 的对称中心；13 12 512(2)计算 f ＋ f ＋ f ＋ f ＋…＋ f .(12 017) ( 22 017) ( 32 017) ( 42 017) (2 0162 017)答 案[全 盘 巩 固 ]一、选择题1．解析：选 D 由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当 f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故 g(－ x)＝－ g(x)．2．解析：选 B 法一：由 a＋ b＝1， a2＋ b2＝3，得 ab＝－1，代入后三个等式中符合，则 a10＋ b10＝( a5＋ b5)2－2 a5b5＝123.法二：令 an＝ an＋ bn，则 a1＝1， a2＝3， a3＝4， a4＝7，…，得 an＋2 ＝ an＋ an＋1 ，从而a6＝18， a7＝29， a8＝47， a9＝76， a10＝123.3．解析：选 D 正四面体的内切球与外接球的半径之比为 1∶3，故 ＝ .V1V2 1274．解析：选 B 由(1,2)( p， q)＝(5,0)得5Error!⇒Error!所以(1,2)( p， q)＝(1,2)(1 ，－2)＝(2,0)．5．解：选 B 依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第 n 组中每个“整数对”的和均为 n＋1，且第 n 组共有 n 个“整数对” ，这样的前 n 组一共有个“整数对” ，注意到 ＜60＜ ，因此第 60 个n n＋ 12 10× 10＋ 12 11× 11＋ 12“整数对”处于第 11 组(每个“整数对”的和为 12 的组)的第 5 个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为 12 的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第 60 个“整数对”是(5,7)．二、填空题6．解析：由已知不等式可知， ≥2× ＝ × 2－1 ， ≥ × 3＝ ×52－ 225－ 2 72 21 (5＋ 22 ) 45－ 3542－ 32 52 (72) 525－2 ， ≥ × 5＝ × 8－3 ， ≥2×7 5＝ × 10－5 ，故猜想当(4＋ 32 ) 98－ 2893－ 23 83 (112) 83 (9＋ 22 ) 910－ 51095－ 55 105 (9＋ 52 )ab0， s、 r∈N *时， ≥ s－ r.as－ bsar－ br sr(a＋ b2 )答案： s－ rsr(a＋ b2 )7．解析：因为[ ]＋[ ]＋[ ]＝1×3，[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]1 2 3 4 5 6 7 8＝2×5，[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＋[ ]＝3×7，……，以此9 10 11 12 13 14 15类推，第 n 个等式的等号右边的结果为 n(2n＋1)，即 2n2＋ n.答案：2 n2＋ n8．解析：由题意知，凸函数满足≤ f ，f x1 ＋ f x2 ＋ …＋ f xnn (x1＋ x2＋ …＋ xnn )又 y＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则 sin A＋sin B＋sin C≤3sin ＝3sin ＝ .A＋ B＋ C3 π 3 332答案：332三、解答题9．解：(1)由等和数列的定义，数列{ an}是等和数列，且 a1＝2，公和为 5，易知a2n－1 ＝2， a2n＝3( n＝1,2，…)，故 a18＝3.(2)当 n 为偶数时，Sn＝ a1＋ a2＋…＋ an＝( a1＋ a3＋…＋ an－1 )＋( a2＋ a4＋…＋ an)6＝2＋2＋…＋ ＋3＋3＋…＋2 n2个 2 3 n2个 3＝ n；52当 n 为奇数时，Sn＝ Sn－1 ＋ an＝ (n－1)＋2＝ n－ .52 52 12综上所述， Sn＝Error!10 解：如图所示，由射影定理 AD2＝ BD·DC， AB2＝ BD·BC， AC2＝ BC·DC，∴ ＝1AD21BD·DC＝ ＝ .BC2BD·BC·DC·BC BC2AB2·AC2又 BC2＝ AB2＋ AC2，∴ ＝ ＝ ＋ .1AD2 AB2＋ AC2AB2·AC2 1AB2 1AC2猜想，在四面体 ABCD 中， AB、 AC、 AD 两两垂直， AE⊥平面 BCD，则 ＝ ＋ ＋1AE2 1AB2 1AC2.1AD2证明：如图，连接 BE 并延长交 CD 于 F，连接 AF.∵ AB⊥ AC， AB⊥ AD，∴ AB⊥平面 ACD.∵ AF⊂平面 ACD，∴ AB⊥ AF.在 Rt△ ABF 中， AE⊥ BF，∴ ＝ ＋ .1AE2 1AB2 1AF2∵ AB⊥平面 ACD，∴ AB⊥ CD.∵ AE⊥平面 BCD，∴ AE⊥ CD.又 AB 与 AE 交于点 A，7∴ CD⊥平面 ABF，∴ CD⊥ AF.∴在 Rt△ ACD 中 ＝ ＋ ，1AF2 1AC2 1AD2∴ ＝ ＋ ＋ .1AE2 1AB2 1AC2 1AD2[冲 击 名 校 ]1．解析：选 C 这 12 天的日期之和 S12＝ (1＋12)＝78，甲、乙、丙各自的日期之122和是 26.对于甲，剩余 2 天日期之和 22，因此这两天是 10 日和 12 日，故甲在 1 日，3 日，10 日，12 日有值班；对于乙，剩余 2 天日期之和是 9，可能是 2 日，7 日，也可能是 4 日，5 日，因此丙必定值班的日期是 6 日和 11 日．2．解析：选 B 因为点(1,0)处标 1＝1 2，点(2,1)处标 9＝3 2，点(3,2)处标 25＝5 2，点(4,3)处标 49＝7 2，依此类推得点(1 007，1 006)处标 2 0132.故选 B.3．解析：根据题意知，分子都是 x，分母中的常数项依次是 2,4,8,16，…，可知fn(x)的分母中常数项为 2n，分母中 x 的系数为 2n－1，故 fn(x)＝ f(fn－1 (x))＝.x 2n－ 1 x＋ 2n答案：x 2n－ 1 x＋ 2n4．解析：设第 n 行第 m 个数为 a(n， m)，由题意知 a(6,1)＝ ， a(7,1)＝ ，∴ a(7,2)16 17＝ a(6,1)－ a(7,1)＝ － ＝ ， a(6,2)＝ a(5,1)－ a(6,1)＝ － ＝ ， a(7,3)＝ a(6,2)16 17 142 15 16 130－ a(7,2)＝ － ＝ ， a(6,3)＝ a(5,2)－ a(6，2)＝ － ＝ ，∴ a(7,4)＝ a(6,3)130 142 1105 120 130 160－ a(7,3)＝ － ＝ .160 1105 1140答案：11405．解：(1) f′( x)＝ x2－ x＋3， f″( x)＝2 x－1，由 f″( x)＝0，即 2x－1＝0，解得 x＝ .12f ＝ × 3－ × 2＋3× － ＝1.(12) 13 (12) 12 (12) 12 512由题中给出的结论，可知函数 f(x)＝ x3－ x2＋3 x－ 的对称中心为 .13 12 512 (12， 1)(2)由(1)，知函数 f(x)＝ x3－ x2＋3 x－ 的对称中心为 ，13 12 512 (12， 1)8所以 f ＋ f ＝2，即 f(x)＋ f(1－ x)＝2.(12＋ x) (12－ x)故 f ＋ f ＝2，(12 017) (2 0162 017)f ＋ f ＝2，(22 017) (2 0152 017)f ＋ f ＝2，(32 017) (2 0142 017)……f ＋ f ＝2，(2 0162 017) ( 12 017)所以 f ＋ f ＋ f ＋…＋ f ＝ ×2×2 016＝2 016.(12 017) ( 22 017) ( 32 017) (2 0162 017) 121【创新方案】2017 届高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法、复数 第三节 数学归纳法课后作业 理[全 盘 巩 固 ]一、选择题1．已知 f(n)＝ ＋ ＋ ＋…＋ ，则( )1n 1n＋ 1 1n＋ 2 1n2A． f(n)中共有 n 项，当 n＝2 时， f(2)＝ ＋12 13B． f(n)中共有 n＋1 项，当 n＝2 时， f(2)＝ ＋ ＋12 13 14C． f(n)中共有 n2－ n 项，当 n＝2 时， f(2)＝ ＋12 13D． f(n)中共有 n2－ n＋1 项，当 n＝2 时， f(2)＝ ＋ ＋12 13 142．某个命题与自然数 n 有关，若 n＝ k(k∈N *)时命题成立，那么可推得当 n＝ k＋1 时该命题也成立，现已知 n＝5 时，该命题不成立，那么可以推得( )A． n＝6 时该命题不成立 B． n＝6 时该命题成立C． n＝4 时该命题不成立 D． n＝4 时该命题成立3．用数学归纳法证明不等式 1＋ ＋ ＋…＋ ＞ (n∈N *)成立，其初始值至少12 14 12n－ 1 12764应取( )A．7 B．8 C．9 D．104．凸 n 边形有 f(n)条对角线，则凸 n＋1 边形的对角线的条数 f(n＋1)为( )A． f(n)＋ n＋1 B． f(n)＋ nC． f(n)＋ n－1 D． f(n)＋ n－25．利用数学归纳法证明“( n＋1)( n＋2) …·(n＋ n)＝2 n×1×3×…×(2n－1)，n∈N *”时，从“ n＝ k”变到“ n＝ k＋1”时，左边应增乘的因式是( )A．2 k＋1 B．2(2 k＋1)C. D.2k＋ 1k＋ 1 2k＋ 3k＋ 1二、填空题6．用数学归纳法证明 1＋ ＋ ＋…＋ 1)，第一步要证的不等式是12 13 12n－ 1________________．7．用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时， xn＋ yn能被 x＋ y 整除” ，当第二步假设n＝2 k－1( k∈N *)命题为真时，进而需证 n＝________时，命题亦真．28．用数学归纳法证明 1＋2＋3＋…＋ n2＝ ，则当 n＝ k＋1 时左端应在 n＝ k 的n4＋ n22基础上加上的项为______________________________________．三、解答题9．求证：1－ ＋ － ＋…＋ － ＝ ＋ ＋…＋ (n∈N *)．12 13 14 12n－ 1 12n 1n＋ 1 1n＋ 2 12n10．用数学归纳法证明：1＋ ＋ ＋…＋ 的过程中，由 n＝ k 推导1n＋ 1 1n＋ 2 1n＋ n1324n＝ k＋1 时，不等式的左边增加的式子是____________．4．已知函数 f(x)＝ x3－ x，数列{ an}满足条件： a1≥1， an＋1 ≥ f′( an＋1)，试比较13＋ ＋ ＋…＋ 与 1 的大小，并说明理由．11＋ a1 11＋ a2 11＋ a3 11＋ an3答 案[全 盘 巩 固 ]一、选择题1．解析：选 D 由 f(n)可知，共有 n2－ n＋1 项，且 n＝2 时， f(2)＝ ＋ ＋ .12 13 142．解析：选 C 因为当 n＝ k(k∈N *)时命题成立，则当 n＝ k＋1 时，命题也成立．现已知 n＝5 时，命题不成立，故 n＝4 时命题也不成立．3．解析：选 B 左边＝1＋ ＋ ＋…＋ ＝ ＝2－ ，代入验证可知 n 的12 14 12n－ 11－ 12n1－ 12 12n－ 1最小值是 8.4．解析：选 C 边数增加 1，顶点也相应增加 1 个，它与和它不相邻的 n－2 个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加 n－1 条．5．解析：选 B 当 n＝ k(k∈N *)时，左式为( k＋1)( k＋2) ·…·( k＋ k)；当 n＝ k＋1 时，左式为(k＋1＋1)·( k＋1＋2)·…·( k＋1＋ k－1)·( k＋1＋ k)·(k＋1＋ k＋1)，则左边应增乘的式子是 ＝2(2 k＋1)． 2k＋ 1  2k＋ 2k＋ 1二、填空题6．解析：当 n＝2 时，左边为 1＋ ＋ ＝1＋ ＋ ，右边为 2.故应填 1＋ ＋ 2 3－1，由此猜想： an≥2 n－1.下面用数学归纳法证明这个猜想：①当 n＝1 时， a1≥2 1－1＝1，结论成立；②假设 n＝ k(k≥1 且 k∈N *)时结论成立，即 ak≥2 k－1.当 n＝ k＋1 时，由 g(x)＝( x＋1) 2－1 在区间[1，＋∞)上是增函数知 ak＋1 ≥( ak＋1)2－1≥2 2k－1≥2 k＋1 －1，即 n＝ k＋1 时，结论也成立．由①②知，对任意 n∈N *，都有 an≥2 n－1.即 1＋ an≥2 n，∴ ≤ ，11＋ an 12n∴ ＋ ＋ ＋…＋ ≤ ＋ ＋ ＋…＋ ＝1－ n1.11＋ a1 11＋ a2 11＋ a3 11＋ an 12 122 123 12n (12)1【创新方案】2017 届高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法、复数 第二节 直接证明与间接证明课后作业 理[全 盘 巩 固 ]一、选择题1．用反证法证明命题：“若 a， b， c， d∈R， a＋ b＝1， c＋ d＝1，且 ac＋ bd1，则a， b， c， d 中至少有一个负数”的假设为( )A． a， b， c， d 中至少有一个正数B． a， b， c， d 全都为正数C． a， b， c， d 全都为非负数D． a， b， c， d 中至多有一个负数2．若 a， b， c 是不全相等的正数，给出下列判断：①( a－ b)2＋( b－ c)2＋( c－ a)2≠0；② ab 与 abc，且 a＋ b＋ c＝0，求证0 B． a－ c0C．( a－ b)(a－ c)0 D．( a－ b)(a－ c)bc B． bca C． cab D． acb5．已知函数 f(x)＝ x， a， b 为正实数， A＝ f ， B＝ f( )， C＝ f ，则(12) (a＋ b2 ) ab (2aba＋ b)A， B， C 的大小关系为( )A． A≤ B≤ C B． A≤ C≤ BC． B≤ C≤ A D． C≤ B≤ A二、填空题6．用反证法证明命题“ a， b∈R， ab 可以被 5 整除，那么 a， b 中至少有一个能被 5整除” ，那么假设的内容是________．7．已知点 An(n， an)为函数 y＝ 图象上的点， Bn(n， bn)为函数 y＝ x 图象上的点，x2＋ 1其中 n∈N *，设 cn＝ an－ bn，则 cn与 cn＋1 的大小关系为________．8．若二次函数 f(x)＝4 x2－2( p－2) x－2 p2－ p＋1，在区间[－1,1]内至少存在一点c，使 f(c)0，则实数 p 的取值范围是________．三、解答题29．若 a＞ b＞ c＞ d＞0 且 a＋ d＝ b＋ c，求证： ＋ ＜ ＋ .d a b c10．已知 a1＋ a2＋ a3＋ a4100，求证： a1， a2， a3， a4中至少有一个数大于 25.[冲 击 名 校 ]1．等差数列{ an}的前 n 项和为 Sn， a1＝1＋ ， S3＝9＋3 .2 2(1)求数列{ an}的通项 an与前 n 项和 Sn；(2)设 bn＝ (n∈N *)，求证：数列{ bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．Snn2．已知函数 f(x)＝tan x， x∈ ，若 x1， x2∈ ，且 x1≠ x2，求证：(0，π 2) (0， π 2)[f(x1)＋ f(x2)]f .12 (x1＋ x22 )3．已知二次函数 f(x)＝ ax2＋ bx＋ c(a0)的图象与 x 轴有两个不同的交点，若 f(c)＝0，且 00.(1)证明： 是 f(x)＝0 的一个根；1a(2)试比较 与 c 的大小；1a(3)证明：－20⇔(a－ c)(2a＋ c)0⇔(a－ c)(a－ b)0.4．解析：选 A ∵ a＝ － ＝ ， b＝ － ＝ ， c＝ － ＝ ，3 213＋ 2 6 5 16＋ 5 7 6 17＋ 6且 ＋ ＋ ＋ 0，7 6 6 5 3 2∴ abc.5．解析：选 A 因为 ≥ ≥ ，又 f(x)＝ x在 R 上是单调减函数，故 fa＋ b2 ab 2aba＋ b (12)≤ f( )≤ f .(a＋ b2 ) ab (2aba＋ b)二、填空题6．解析：“至少有 n 个”的否定是“最多有 n－1 个” ，故应假设 a， b 中没有一个能被 5 整除．答案： a， b 中没有一个能被 5 整除7．解析：由条件得 cn＝ an－ bn＝ － n＝ ，n2＋ 11n2＋ 1＋ n∴ cn随 n 的增大而减小，∴ cn＋1 0 或 f(1)0，4即 2p2－ p－1f ，12 (x1＋ x22 )即证明 (tan x1＋tan x2)tan ，12 x1＋ x22只需证明 tan ，12(sin x1cos x1＋ sin x2cos x2) x1＋ x225只需证明 .sin x1＋ x22cos x1cos x2 sin x1＋ x21＋ cos x1＋ x2由于 x1， x2∈ ，故 x1＋ x2∈(0，π)．(0，π 2)∴cos x1cos x20，sin( x1＋ x2)0,1＋cos( x1＋ x2)0，故只需证明 1＋cos( x1＋ x2)2cos x1cos x2，即证 1＋cos x1cos x2－sin x1sin x22cos x1cos x2，即证 cos(x1－ x2)f .12 (x1＋ x22 )3．解：(1)证明：∵ f(x)的图象与 x 轴有两个不同的交点，∴ f(x)＝0 有两个不等实根 x1， x2.∵ f(c)＝0，∴ x1＝ c 是 f(x)＝0 的根．又 x1x2＝ ，ca∴ x2＝ ，1a(1a≠ c)∴ 是 f(x)＝0 的一个根．1a(2)假设 0，1a 1a由 00，知 f 0 与 f ＝0 矛盾，∴ ≥ c.(1a) (1a) 1a又∵ ≠ c，∴ c.1a 1a(3)证明：由 f(c)＝0，得 ac＋ b＋1＝0，∴ b＝－1－ ac.又 a0， c0，∴ b0，∴ b－2，∴－2 b－1.61【创新方案】2017 届高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法、复数 第五节 复 数课后作业 理[全 盘 巩 固 ]一、选择题1．设 x∈R，则“ x＝1”是“复数 z＝( x2－1)＋( x＋1)i 为纯虚数”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．(2016·株洲模拟)复数 的共轭复数是( )1＋ 2i2－ iA. B．－ C．i D．－i3i5 3i53．(2016·开封模拟)已知复数 z＝1＋ ai(a∈R)(i 是虚数单位)， ＝－ ＋ i，则zz 35 45a＝( )A．2 B．－2 C．±2 D．－124．复数 z＝ (i 为虚数单位)， z 在复平面内所对应的点在( )i － 2－ i 2A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限5.如图，若向量 OZ― →对应的复数为 z，则 z＋ 表示的复数为( ) 4zA．1＋3i B．－3－i C．3－i D．3＋i二、填空题6．复数 (i 为虚数单位)的共轭复数为________．－ 1＋ 3i1＋ 2i7．若 ＝ a＋ bi(a， b 为实数，i 为虚数单位)，则 a＋ b＝________.3＋ bi1－ i8．复数 z 满足(3－4i) z＝5＋10i，则| z|＝________.三、解答题9．计算：(1) ； － 1＋ i  2＋ ii32(2) ； 1＋ 2i 2＋ 3 1－ i2＋ i(3) ＋ ；1－ i 1＋ i 2 1＋ i 1－ i 2(4) .1－ 3i 3＋ i 210．复数 z1＝ ＋(10－ a2)i， z2＝ ＋(2 a－5)i，若 1＋ z2是实数，求实数 a 的3a＋ 5 21－ a z值．[冲 击 名 校 ]1．设复数 z1， z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称，若 z1＝1－2i，则 的虚部为( )z2z1A. B．－ C. D．－35 35 45 452．设 f(n)＝ n＋ n(n∈N *)，则集合{ f(n)}中元素的个数为( )(1＋ i1－ i) (1－ i1＋ i)A．1 B．2 C．3 D．无数个3．复数 z1， z2满足 z1＝ m＋(4－ m2)i， z2＝2cos θ ＋( λ ＋3sin θ )i(m， λ ， θ ∈R)，并且 z1＝ z2，则 λ 的取值范围是( )A．[－1,1] B. [－916， 1]C. D.[－916， 7] [916， 7]4．已知复数 z＝ ＋ (m∈R)的实部是虚部的 2 倍，则 m＝________.1＋ mi4－ 3i m255．已知复数 z＝ ，则复数 z 在复平面内对应的点为i＋ i2＋ i3＋ …＋ i2 0141＋ i________．6．定义运算 ＝ ad－ bc.若复数 x＝ ， y＝ ，则 y＝________.|a bc d| 1－ i1＋ i |4i xi2 x＋ i|3答 案[全 盘 巩 固 ]一、选择题1．解析：选 C 由纯虚数的定义知：Error!⇒ x＝1.2．解析：选 D 由 ＝ ＝ ＝i，∴共轭复数为－i.1＋ 2i2－ i  1＋ 2i  2＋ i 2－ i  2＋ i 5i53．解析：选 B ∵ z＝1＋ ai，∴ ＝1－ ai， ＝ ＝ ＝－ ＋ i，∴Error!解得 a＝－2.zzz 1－ ai1＋ ai 1－ a2－ 2ai1＋ a2 35 454．解析：选 A 因为 z＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＋ i，所i － 2－ i 2 i4＋ 4i－ 1 i3＋ 4i i 3－ 4i25 425 325以 z 在复平面内所对应的点 在第一象限．(425， 325)5.解析：选 D 由图可得 Z(1，－1)，即 z＝1－i，所以 z＋ ＝1－i＋ ＝1－i＋4z 41－ i＝1－i＋ ＝1－i＋2＋2i＝3＋i.4 1＋ i 1－ i  1＋ i 4＋ 4i2二、填空题6．解析：因为复数 ＝ ＝ ＝1＋i，所以其共轭复数－ 1＋ 3i1＋ 2i  － 1＋ 3i  1－ 2i 1＋ 2i  1－ 2i 5＋ 5i5＝1－i.z答案：1－i7．解析：由 ＝ ＝ ＝ a＋ bi，3＋ bi1－ i  3＋ bi  1＋ i 1－ i  1＋ i 3－ b＋  3＋ b i2得 a＝ ， b＝ ，解得 b＝3， a＝0，所以 a＋ b＝3.3－ b2 3＋ b2答案：38．解析：由(3－4i) z＝5＋10i 知，|3－4i|·| z|＝|5＋10i|，即 5|z|＝5 ，解得5|z|＝ .5答案： 54三、解答题9．解：(1) ＝ ＝ ＝－1－3i. － 1＋ i  2＋ ii3 － 3＋ i－ i  － 3＋ i i－ i·i(2) ＝ ＝ ＝ ＝ ＋ i. 1＋ 2i 2＋ 3 1－ i2＋ i － 3＋ 4i＋ 3－ 3i2＋ i i2＋ i i 2－ i5 15 25(3) ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝－1.1－ i 1＋ i 2 1＋ i 1－ i 2 1－ i2i 1＋ i－ 2i 1＋ i－ 2 － 1＋ i2(4) ＝ ＝ ＝ ＝－ － i.1－ 3i 3＋ i 2  3＋ i  － i 3＋ i 2 － i3＋ i  － i  3－ i4 14 3410．解： 1＋ z2＝ ＋( a2－10)i＋ ＋(2 a－5)iz3a＋ 5 21－ a＝ ＋[( a2－10)＋(2 a－5)]i(3a＋ 5＋ 21－ a)＝ ＋( a2＋2 a－15)i.a－ 13 a＋ 5  a－ 1∵ 1＋ z2是实数，∴ a2＋2 a－15＝0，解得 a＝－5 或 a＝3.z∵ a＋5≠0，∴ a≠－5，故 a＝3.[冲 击 名 校 ]1．解析：选 D 复数 z1＝1－2i 对应的点(1，－2)关于虚轴对称的点为(－1，－2)，则 z2＝－1－2i，所以 ＝ ＝ ＝ － i 的虚部是－ .z2z1 － 1－ 2i1－ 2i －  1＋ 2i 25 35 45 452．解析：选 C f(n)＝ n＋ n＝i n＋(－i) n， f(1)＝0， f(2)＝－2， f(3)(1＋ i1－ i) (1－ i1＋ i)＝0， f(4)＝2， f(5)＝0，….∴集合中共有 3 个元素．3．解析：选 C 由复数相等的充要条件可得Error!化简得 4－4cos 2θ ＝ λ ＋3sin θ ，由此可得 λ ＝－4cos 2θ －3sin θ ＋4＝－4(1－sin 2θ )－3sin θ ＋4＝4sin 2 θ －3sin θ ＝4 2－ ，因为 sin θ ∈[－1，1]，所以 4sin2θ －3sin θ ∈ .(sin θ －38) 916 [－ 916， 7]4．解析：由题意知，z＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ，因为实部是虚部的 2 倍，1＋ mi4－ 3i m25  1＋ mi  4＋ 3i 4－ 3i  4＋ 3i m25 4－ 2m＋  4m＋ 3 i25所以 4－2 m＝2(4 m＋3)，解得 m＝－ .15答案：－155．解析：∵i 4n＋1 ＋i 4n＋2 ＋i 4n＋3 ＋i 4n＋4 ＝i＋i 2＋i 3＋i 4＝0，而 2 013＝4×503＋1,2 014＝4×503＋2，∴ z＝ ＝ ＝ ＝ ＝i＋ i2＋ i3＋ …＋ i2 0141＋ i i＋ i21＋ i － 1＋ i1＋ i  － 1＋ i  1－ i 1＋ i  1－ i5＝i，对应的点为(0,1)．2i2答案：(0,1)6．解析：因为 x＝ ＝ ＝－i.所以 y＝ ＝ ＝－2.1－ i1＋ i  1－ i 22 |4i xi2 x＋ i| |4i 12 0|答案：－21【创新方案】2017 届高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法、复数 第四节 算法与程序框图课后作业 理[全 盘 巩 固 ]一、选择题1．执行如图所示的程序框图．若输出 y＝－ ，则输入角 θ ＝( )3A. B．－ C. D．－π 6 π 6 π 3 π 32．执行如图所示的程序框图，输出的 x 值为( )A．11 B．13 C．15 D．43．(2015·湖南高考)执行如图所示的程序框图，如果输入 n＝3，则输出的 S＝( )2A. B. C. D.67 37 89 494．(2015·天津高考)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值为( )A．－10 B．6 C．14 D．185.执行如图所示的程序框图，若输入的 a， b， k 分别为 1,2,3，则输出的 M＝( )A. B.203 72C. D.165 15836．如图所示程序框图的功能是：给出以下十个数：5,9,80,43,95,73,28,17,60,36，把大于 60 的数找出来，则框图中的①②应分别填入的是( )A． x60？， i＝ i－1 B． x60？， i＝ i＋1 D． xb THENm＝ aELSEm＝ bEND IFPRINT mEND49．(人教 B)运行如图所示的程序，输出的结果是________．a＝ 1；b＝ 2；a＝ a＋ b；print %io 2 ， a10．已知某程序框图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为________．[冲 击 名 校 ]1．执行如图所示的程序框图，输出的 S 的值为( )A．3 B．－6 C．10 D．－152．某班有 50 名学生，在一次数学考试中， an表示学号为 n 的学生的成绩，则执行如图所示的程序框图，下列结论正确的是( )5A． P 表示成绩不高于 60 分的人数B． Q 表示成绩低于 80 分的人数C． R 表示成绩高于 80 分的人数D． Q 表示成绩不低于 60 分，且低于 80 分的人数3．执行如图所示的程序框图，若输入 x＝9，则输出 y＝________.4．某程序框图如图所示，若判断框内为 k≥ n，且 n∈N 时，输出的 S＝57，则判断框内 n 应为________．6答 案[全 盘 巩 固 ]一、选择题1．解析：选 D 由输出 y＝－ 5；i＝2 i＝4， S＝ S－ i＝18－4＝14，不满足 i5；i＝2 i＝8， S＝ S－ i＝14－8＝6，满足 i5；故输出 S＝6.5.解析：选 D 第一次循环： M＝ ， a＝2， b＝ ， n＝2；第二次循环：32 32M＝ ， a＝ ， b＝ ， n＝3；第三次循环： M＝ ， a＝ ， b＝ ， n＝4，则输出 M＝ .83 32 83 158 83 158 1586．解析：选 C 对于 A，D，由于 i＝ i－1，则会进入死循环，而对于 B，选出的数小于 60.二、填空题7．解析： a 的值依次为 1,4,13,40,121，然后跳出循环体，故输出的 a 值是 121.答案：1218．解析：由不等式 k2－6 k＋50 可得 k5 或 k4，结束循环，输出 logyx＝log 327＝3.答案：3[冲 击 名 校 ]1．解析：选 C 第一次循环： S＝－1， i＝2；第二次循环： S＝－1＋4＝3， i＝3；第三次循环： S＝3－9＝－6， i＝4；第四次循环： S＝－6＋16＝10， i＝5，此时循环终止，输出 S＝10.2．解析：选 D P 表示成绩低于 60 分的人数， Q 表示成绩低于 80 分且不低于 60 分的人数， R 表示成绩不低于 80 分的人数．3．解析：第一次循环： y＝5， x＝5；第二次循环： y＝ ， x＝ ；第三次循环： y＝113 113，此时| y－ x|＝ ＝ 1，故输出 y＝ .299 |299－ 113| 49 299答案：2994．解析：程序在运行过程中各值变化如下表：k S 是否继续循环循环前 1 1第一次循环 2 4 是第二次循环 3 11 是第三次循环 4 26 是第四次循环 5 57 否故跳出循环的条件应为 k≥5.若输出的 S＝57，则判断框内 n 应为 5.答案：5