2016高中数学 第三章 直线与方程（课件+习题）（打包16套）新人教A版必修2.zip

第三章 直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.1 倾斜角与斜率自主预习课堂探究自主预习1.理解直线的倾斜角与斜率的概念 .2.掌握倾斜角与斜率的对应关系 .3.掌握过两点的直线的斜率公式 .课标要求知识梳理1.直线的倾斜角(1)直线 l的倾斜角的定义当直线 l与 x轴相交时 ,我们取 x轴作为基准 , 正向与直线 l 方向之间所成的角 α 叫做直线 l的倾斜角 .(2)倾斜角的范围 :当直线 l与 x轴 时 ,我们规定它的倾斜角为 0°. 因此 ,直线的倾斜角 α 的取值范围为 .x轴 向上平行或重合0°≤α0时 ,α 的范围是 ;当 k0时 ,α 的范围是 . 题后反思 (1)根据定义求直线的倾斜角的关键是根据题意画出草图 ,则直线向上的方向与 x轴的正方向所成的角 ,即为直线的倾斜角 .(2)直线的斜率 k随倾斜角 α 增大时的变化情况 :① 当 0°≤α90° 时 ,随 α 的增大 ,k在 [0,+∞) 范围内增大 ;② 当 90°α180° 时 ,随 α 的增大 ,k在 (-∞,0) 范围内增大 .斜率公式的应用题型二【 教师备用 】斜率公式与两点顺序有关吗 ?与 x轴或 y轴平行时 ,斜率公式适用吗 ?题后反思 利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项(1)运用公式的前提条件是 “ x1≠x 2”, 即直线不与 x轴垂直 ,因为当直线与 x轴垂直时 ,斜率是不存在的 ;(2)斜率公式与两点 P1,P2的先后顺序无关 ,也就是说公式中的 x1与 x2,y1与 y2可以同时交换位置 .即时训练 2-1:设 A(m,-m+3),B(2,m-1),C(-1,4),直线 AC的斜率等于直线 BC的斜率的 3倍 ,求实数 m的值 .【备用例 2】 求经过 A(m,3),B(1,2)两点的直线的斜率 ,并指出倾斜角 α的取值范围 .直线的斜率的应用题型三【 例 3】 已知直线 l过点 P(-1,2),且与以 A(-2,-3),B(3,0)为端点的线段相交 ,求直线 l的斜率的取值范围 .题后 反思 探究直线过定点旋转求直线的倾斜角或斜率的范围时 ,一般按以下规律求解 .直线绕定点由与 x轴平行 (或重合 )位置按逆时针方向旋转到与 y轴平行 (或重合 )时 ,斜率由 0逐渐增大到 +∞; 按顺时针方向时 ,斜率由 0逐渐减小到 -∞. 这种方法既可定性分析倾斜角与斜率的关系 ,也可以定量求解斜率和倾斜角的取值范围 .【 备用例 3】 已知三点 A(0,-1),B(1,2),C(2,5).求证 :三点在同一直线上 .- 1 -3.1.1 倾斜角与斜率【选题明细表】 知识点、方法 题号直线的倾斜角、斜率的定义 1、3、4、6、9、10斜率公式 2、5、7直线斜率的应用 8、11、12、13基础巩固1.给出下列命题:①任何一条直线都有惟一的倾斜角;②一条直线的倾斜角可以为-30°;③倾斜角为 0°的直线只有一条,即 x轴;④按照倾斜角的概念,直线倾斜角的集合{α|0°≤α0,即 m1.选 A.4.(2015陕西府谷三中月考)若直线 l的向上方向与 y轴的正方向成 60°角,则 l的倾斜角为( C )(A)30° (B)60°(C)30°或 150° (D)60°或 120°解析:直线 l可能有两种情形,如图所示,故直线 l的倾斜角为 30°或 150°.故选 C.5.(2015宝鸡园丁中学月考)若经过 P(-2,2m)和 Q(m,8)的直线的斜率等于 1,则 m的值为( B )- 2 -(A)1 (B)2 (C)1或 4 (D)1或 2解析:由 =1,得 m=2,故选 B.6.a,b,c是两两不等的实数,则经过 P(b,b+c),C(a,c+a)两点直线的倾斜角为 . 解析:由题意知,b≠a,所以 k= =1,故倾斜角为 45°.答案:45°7.在平面直角坐标系中,画出过点 P(1,2)且斜率为 1的直线 l.解:设 A(x1,y1)是直线 l上与 P不重合的一点,则 =1,即 y1=x1+1.设 x1=0,则 y1=1,于是 A(0,1),所以过点 A(0,1)和 P(1,2)的直线即为 l,如图.8.求证:A(1,-1),B(-2,-7),C(0,-3)三点共线.证明:因为 kAB= =2,kAC= =2.所以 kAB=kAC.因为直线 AB与直线 AC的倾斜角相同且过同一点 A,所以直线 AB与直线 AC为同一直线.故 A,B,C三点共线.能力提升9.若图中的直线 l1,l2,l3的斜率分别为 k1,k2,k3,则有( C )(A)k1k2k3- 3 -(B)k2k3k1(C)k1k3k2(D)k2k1k3解析:设直线 l1,l2,l3的倾斜角分别为 α 1,α 2,α 3,由题图可知 α 3α 290°α 1,故相应斜率的关系为 k10k3k2,故选 C.10.已知 M（1, ）,N（ ,3）,若直线 l的倾斜角是直线 MN倾斜角的一半,则直线 l的斜率为( B )(A) (B) (C)1 (D)解析:设直线 MN的倾斜角为 α,则 tan α= = = ,α=60°,所以直线 l的倾斜角为 30°,斜率为 ,故选 B.11.(2015河南禹州一中月考)若 A(2,-3),B(4,3),C（5, ）在同一条直线上,则 k= . 解析:由题意,得 kAB= = ,得 k=12.答案:1212.已知 A(3,3),B(-4,2),C(0,-2),(1)求直线 AB和 AC的斜率;(2)若点 D在线段 BC上(包括端点)移动时,求直线 AD的斜率的变化范围.解:(1)由斜率公式可得直线 AB的斜率kAB= = ,直线 AC的斜率kAC= = ,所以直线 AB的斜率为 ,AC的斜率为 .- 4 -(2)如图,当 D由 B运动到 C时,直线 AD的斜率由 kAB增大到 kAC,所以直线 AD的斜率的变化范围是[ , ].探究创新13.已知实数 x,y满足 y=-2x+8,且 2≤x≤3,求 的最大值和最小值.解:如图所示,由于点(x,y)满足关系式 2x+y=8,且 2≤x≤3,可知点 P(x,y)在线段 AB上移动,并且 A,B两点的坐标可分别求得为 A(2,4),B(3,2).由于 的几何意义是直线 OP的斜率,且 kOA=2,kOB= ,所以可求得 的最大值为 2,最小值为 .3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 自主预习课堂探究自主预习1.理解两条直线平行或垂直的条件 .2.会利用斜率判断两条直线平行或垂直 .课标要求知识梳理设 两条不重合的直 线 l1、 l2的斜率分 别为 k1、 k2,若 l1∥l 2,则 k1 k2;反之 ,若 k1=k2,则 l1 l2.特 别 地 ,若两条不重合的直 线 的斜率不存在 ,则这两条直 线 也平行 .1.两条直线平行的判定2.两条直线垂直的判定如果两条直 线 都有斜率 ,且它 们 互相垂直 ,那么它 们 的斜率之 积 等于 ;反之 ,如果它 们 的斜率之 积 等于 ,那么它 们 互相垂直 ,即 ⇒l1⊥l 2,l1⊥l 2⇒ .=∥-1-1 k1k2=-1k1k2=-1自我检测BC B 已知直 线 l1,l2的斜率分 别为 k1,k2,且 k1=2,l1⊥l 2,则k2= . 4.(两直线垂直关系 )答案 :2课堂探究两条直线的平行关系题型一【 教师备用 】1.两条直线平行其倾斜角什么关系 ?反之呢 ?提示 :两条直线平行其倾斜角相等 ;反之不成立 .2.有人说 :两条直线平行 ,斜率一定相等 .这种说法对吗 ?提示 :不对 ,若两直线平行 ,只有在它们都存在斜率时 ,斜率相等 ,若两直线都垂直于 x轴 ,虽然它们平行 ,但斜率都不存在 .根据下列 给 定的条件 ,判断直 线 l1与直 线 l2是否平行 .(1)l1经过 点 A(2,1),B(-3,5),l2经过 点 C(3,-3),D(8,-7);(2)l1经过 点 E(0,1),F(-2,-1),l2经过 点 G(3,4),H(2,3);(3)l1的 倾 斜角 为 60°,l 2经过 点 M(1, ),N(-2,-2);(4)l1平行于 y轴 ,l2经过 点 P(0,-2),Q(0,5).【 例 1】题后反思 判断两条不重合直线是否平行的步骤两条直线的垂直关系题型二【 教师备用 】如果两条直线垂直 ,则它们的斜率的积一定等于 -1吗 ?提示 :不一定 .若两条直线的斜率都存在 ,它们垂直时斜率之积是 -1,但若两条直线它们的斜率一个是 0,另一个不存在时 ,两条直线也互相垂直 ,但斜率的积不为 -1.【 例 2】 已知 △ ABC三个顶点坐标分别为 A(-2,-4),B(6,6),C(0,6),求此三角形三边的高所在直线的斜率 .题后反思 使用斜率公式解决两直线垂直问题的步骤(1)首先查看所给两点的横坐标是否相等 ,若相等 ,则直线的斜率不存在 ,若不相等 ,则将点的坐标代入斜率公式 .(2)求值 :计算斜率的值 ,进行判断 .尤其是点的坐标中含有参数时 ,应用斜率公式要对参数进行讨论 .总之 ,l1与 l2一个斜率为 0,另一个斜率不存在时 ,l1⊥l 2;l1与 l2斜率都存在时,满足 k1· k2=-1.已知直 线 l1经过 点 A(3,a),B(a-2,-3),直 线 l2经过 点 C(2,3),D(-1,a-2),如果 l1⊥l 2,则 a= . 即时训练 2-1:答案 :5或 -6直线平行与垂直关系的应用 题型三【 例 3】 已知长方形 ABCD的三个顶点的坐标分别为 A(0,1),B(1,0),C(3,2),求第四个顶点 D的坐标 .题后 反思 利用平行、垂直关系式的关键在于正确求解斜率 ,特别是含参数的问题 ,必须要分类讨论 ;其次要注意的是斜率不存在并不意味着问题无解 .即时训练 3-1:已知平行四边形 ABCD的三个顶点的坐标分别为 A(0,1),B(1,0),C(4,3),则顶点 D的坐标为 . 【 备用例 2】 已知 A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点 ,若顺次连接A,B,C,D四点 ,试判定图形 ABCD的形状 .【 备用例 3】 如图所示 ,P是正方形 ABCD的对角线 BD上一点 ,四边形 PECF是矩形 ,求证 :PA⊥EF.- 1 -3.1.2 两条直线平行与垂直的判定【选题明细表】 知识点、方法 题号两直线平行关系 1、2、6、9两直线垂直关系 3、4、7、10、12两直线平行、垂直关系的应用 5、8、11、13基础巩固1.下列说法正确的是( C )(A)如果两条直线平行,则它们的斜率相等(B)如果两条直线垂直,则它们的斜率互为负倒数(C)如果两条直线的斜率之积为-1,则两条直线垂直(D)如果两条直线的斜率不存在,则该直线一定平行于 y 轴解析:如果两条直线平行,斜率存在时会相等,还有斜率不存在的情况,故 A 错;同理 B 错;如果两条直线的斜率不存在,则该直线一定平行于 y 轴或与 y 轴重合,故 D 错;只有 C 正确,故选 C.2.已知过点 P(3,2m)和点 Q(m,2)的直线与过点 M(2,-1)和点 N(-3,4)的直线平行,则 m 的值是( B )(A)1 (B)-1 (C)2 (D)-2解析:因为 MN∥PQ,所以 kMN=kPQ,即 = ,解得 m=-1,故选 B.3.以 A(-1,1),B(2,-1),C(1,4)为顶点的三角形是( C )(A)锐角三角形(B)钝角三角形(C)以 A 点为直角顶点的直角三角形(D)以 B 点为直角顶点的直角三角形解析:如图所示,易知 kAB= =- ,kAC= = ,由 kAB·kAC=-1 知三角形是以 A 点为直角顶点的直角三角形,故选 C.4.若点 A(0,1),B（ ,4）在直线 l1上,l 1⊥l 2,则直线 l2的倾斜角为( C )(A)-30° (B)30° (C)150° (D)120°解析:k AB= = ,故 l1的倾斜角为 60°,l1⊥l 2,所以 l2的倾斜角为 150°,故选 C.5.已知点 A(2,3),B(-2,6),C(6,6),D(10,3),则以 A,B,C,D 为顶点的四边形是( B )- 2 -(A)梯形 (B)平行四边形(C)菱形 (D)矩形解析:如图所示,易知 kAB=- ,kBC=0,kCD=- ,kAD=0,kBD=- ,kAC= ,所以 kAB=kCD,kBC=kAD,kAB·kAD=0,kAC·kBD=- ,故 AD∥BC,AB∥CD,AB 与 AD 不垂直,BD 与 AC 不垂直.所以四边形 ABCD 为平行四边形.故选 B.6.已知△ABC 中,A(0,3)、B(2,-1),E、F 分别为 AC、BC 的中点,则直线 EF 的斜率为 .解析:因为 E、F 分别为 AC、BC 的中点,所以 EF∥AB.所以 kEF=kAB= =-2.答案:-27.已知直线 l1过点 A(-2,3),B(4,m),直线 l2过点 M(1,0),N(0,m-4),若 l1⊥l 2,则常数 m 的值是 . 解析:由 l1⊥l 2得,k AB·kMN=-1,所以 · =-1,解得 m=1 或 6.答案:1 或 68.已知在▱ABCD 中,A(1,2),B(5,0),C(3,4).(1)求点 D 的坐标;(2)试判断▱ABCD 是否为菱形.解:(1)设 D(a,b),由四边形 ABCD 是平行四边形,得 kAB=kCD,kAD=kBC,即 解得所以 D(-1,6).(2)因为 kAC= =1,kBD= =-1,- 3 -所以 kAC·kBD=-1.所以 AC⊥BD.所以▱ABCD 为菱形.能力提升9.已知点 A(m,3),B(2m,m+4),C(m+1,2),D(1,0),且直线 AB 与直线 CD 平行,则 m 的值为( D )(A)1 (B)0 (C)0 或 2 (D)0 或 1解析:m=0 时,直线 AB 与 CD 斜率均不存在,互相平行;m≠0 时, = ,解得 m=1,故选 D.10.已知点 A(-2,-5),B(6,6),点 P 在 y 轴上,且∠APB=90°,则点 P 的坐标为( C )(A)(0,-6) (B)(0,7)(C)(0,-6)或(0,7) (D)(-6,0)或(7,0)解析:由题意可设点 P 的坐标为(0,y).因为∠APB=90°,所以 AP⊥BP,且直线 AP 与直线 BP 的斜率都存在.又 kAP= ,kBP= ,kAP·kBP=-1,即 ·（- ）=-1,解得 y=-6 或 y=7.所以点 P 的坐标为(0,-6)或(0,7),故选 C.11.直线 l1,l2的斜率 k1,k2是关于 k 的方程 2k2-3k-b=0 的两根,若 l1⊥l 2,则 b= ;若l1∥l 2,则 b= . 解析:若 l1⊥l 2,则 k1k2=-1,即- =-1,b=2,若 l1∥l 2,则 Δ=9+8b=0,b=- .答案:2 -12.如图所示,一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路,已知矩形花园长 AD=5 m,宽 AB=3 m,其中一条小路定为 AC,另一条小路过点 D 和 BC 上一点 M,试确定 M 的位置,使得两条小路所在直线 AC 与 DM 相互垂直.解:如图所示,以点 B 为坐标原点,BC、BA 所在直线分别为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系.- 4 -由 AD=5,AB=3,可得 C(5,0),D(5,3),A(0,3).设点 M 的坐标为(x,0),因为 AC⊥DM,所以 kAC·kDM=-1,所以 · =-1,即 x= =3.2,即 BM=3.2 m 时,两条小路所在直线 AC 与 DM 相互垂直.探究创新13.已知 A(0,3),B(-1,0),C(3,0),求 D 点的坐标,使四边形 ABCD 为直角梯形(A,B,C,D 按逆时针方向排列).解:设所求点 D 的坐标为(x,y),如图,由于 kAB=3,kBC=0,所以 kAB·kBC=0≠-1,即 AB 与 BC 不垂直,故 AB,BC 都不可作为直角梯形的直角腰.①若 CD 是直角梯形的直角腰,则 BC⊥CD,AD⊥CD.因为 kBC=0,所以 CD 的斜率不存在,从而有 x=3.又 kAD=kBC,所以 =0,即 y=3.此时 AB 与 CD 不平行.故所求点 D 的坐标为(3,3).②若 AD 是直角梯形的直角腰,则 AD⊥AB,AD⊥CD.因为 kAD= ,kCD= ,由于 AD⊥AB,所以 ·3=-1.又 AB∥CD,所以 =3.解上述两式可得 此时 AD 与 BC 不平行.综上可知,使四边形 ABCD 为直角梯形的点 D 的坐标可以为(3,3)或（ , ）.3.2 直线的方程3.2.1 直线的点斜式方程自主预习课堂探究自主预习1.了解直线的点斜式方程的推导过程 .2.掌握直线的点斜式方程并会应用 .3.掌握直线的斜截式方程 ,了解截距的概念 .课标要求知识梳理1.直线的点斜式方程(1)定 义 :如 图 所示 ,直 线 l过 定点 P(x0,y0),斜率 为 k,则 把方程 y-y0=k(x-x0)叫做直 线 l的点斜式方程 ,简 称点斜式 .(2)说 明 :如 图 所示 ,过 定点 P(x0,y0),倾 斜角是 90° 的直 线 没有点斜式 ,其方程 为 x-x0=0,或 .x=x02.直线的斜截式方程(1)定义 :如图所示 ,直线 l的斜率为 k,且与 y轴的交点为 (0,b),则方程 叫做直线 l的斜截式方程 ,简称斜截式 .y=kx+b(2)说明 :一条直线与 y轴的交点 (0,b)的纵坐标 b叫做直线在 y轴上的 .倾斜角是 的直线没有斜截式方程 .截距直角自我检测1.(直线的点斜式方程 )直线 l的点斜式方程是 y-2=3(x+1),则直线 l的斜率是 ( )(A)2 (B)-1 (C)3 (D)-32.(直线的点斜式方程 )过点 P(-2,0),斜率为 3的直线方程是 ( )(A)y=3x-2 (B)y=3x+2 (C)y=3(x-2) (D)y=3(x+2)3.(直线的斜截式方程 )直线 y=2x-4在 y轴上的截距为 ( )(A)-2 (B)2 (C)-4 (D)44.(直线的斜截式方程 )在 y轴上的截距为 2,且与直线 y=-3x-4平行的直线的斜截式方程为 . 答案 :y=-3x+2CDC若直 线 l1:y=(2a-1)x+3与直 线 l2:y=4x-3垂直,则 a= . 5.(两直线平行或垂直关系 )课堂探究直线的点斜式方程题型一【 教师备用 】使用直线的点斜式方程有什么条件 ?提示 :点斜式方程使用的前提条件是直线的斜率存在 ,因此点斜式方程不能表示与 x轴垂直的直线 ,过点 P(x1,y1),且与 x轴垂直的直线方程可写成 x=x1.【例 1】 根据下列条件写出直线的方程 .(1)经过点 A(-1,4),倾斜角为 135°;(2)经过点 B(1,-2),且与 y轴平行 ;(3)经过点 C(-1,2),且与 x轴平行 .解 : (1)因为倾斜角为 135°, 所以 k=tan 135°=-1,所以直线方程为 y-4=-(x+1),即 x+y-3=0.(2)因为直线与 y轴平行 ,所以倾斜角为 90°,所以直线的斜率不存在 ,所以直线方程为 x=1.(3)因为直线与 x轴平行 ,所以倾斜角为 0°, 所以 y=2.题后反思 已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标 ,均可用直线方程的点斜式表示 ,直线方程的点斜式 ,应在直线斜率存在的条件下使用 .当直线的斜率不存在时 ,直线方程为 x=x0.即时训练 1-1:根据条件写出下列直线的点斜式方程 .(1)经过点 A(-1,4),倾斜角为 60°;(2)经过点 B(4,2),倾斜角为 90°;(3)经过原点 ,倾斜角为 60°;(4)经过点 D(-1,1),与 x轴平行 .【 思维激活 】 已知 △ ABC中 ,A(1,-4),B(2,6),C(-2,0),AD⊥BC 于 D,求直线 AD的方程 .【 备用例 1】 已知直线 l过点 A(2,1),且斜率与直线 y-1=4x-3的斜率互为负倒数 ,求直线 l的方程 .【 备用例 2】 直线 l经过点 P(-5,-4),且 l与坐标轴围成的三角形的面积为 5,试求 l的方程 .直线的斜截式方程题型二【 教师备用 】1.直线的斜截式方程与一次函数有何关系 ?提示 :当 k≠0 时 ,斜截式方程 y=kx+b是一次函数的形式 ;而一次函数 y=kx+b中 ,k是直线的斜率 ,常数 b是直线在 y轴上的截距 ,一次函数表示直线 ,但是有些直线的方程不一定能写成一次函数的形式 .2.截距与距离有何区别 ?提示 :截距与距离是两个不同的概念 ,截距 b可以大于等于或小于 0,而距离只能是非负的实数 .题后反思 直线的斜截式方程的求解策略(1)求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在 y轴上的截距 ,代入方程即可 .(2)当斜率和截距未知时 ,可结合已知条件 ,先求出斜率和截距 ,再写出直线的斜截式方程 .(1)倾斜角为 30°, 在 y轴上的截距是 -3的直线的斜截式方程为 ; (2)直线 l1与直线 l2:y=3x+1平行 ,又直线 l1过点 (3,5),则直线 l1的方程为 . 即时训练 2-1:平行与垂直的应用 题型三【 例 3】 当 a为何值时 ,(1)两直线 y=ax-2与 y=(a+2)x+1互相垂直 ?(2)两直线 y=-x+4a与 y=(a2-2)x+4互相平行 ?题后 反思 设直线 l1和 l2的斜率 k1,k2都存在 ,其方程分别为 l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,那么 ① l1∥l 2⇔k1=k2且 b1≠b 2;②k 1=k2且 b1=b2⇔两条直线重合 ;③l 1⊥l 2⇔k1· k2=-1.即时训练 3-1:已知直线 l过点 A(2,-3).(1)若 l与直线 y=-2x+5平行 ,求其方程 ;(2)若 l与直线 y=-2x+5垂直 ,求其方程 .- 1 -3.2 直线的方程3.2.1 直线的点斜式方程【选题明细表】 知识点、方法 题号直线的点斜式方程 1、5、6、7、8、10直线的斜截式方程 2、3、4、9直线平行与垂直的应用 11基础巩固1.方程 y=k(x-2)表示( B )(A)通过点(2,0)的一切直线(B)通过点(2,0)且不垂直于 x轴的一切直线(C)通过点(-2,0)的一切直线(D)通过点(2,0)且除去 x轴的一切直线解析:方程 y=k(x-2)表示的直线都过点(2,0)且存在斜率.故选 B.2.(2015天水一中高一期末检测)倾斜角为 135°,在 y轴上的截距为-1 的直线方程是( D )(A)x-y+1=0 (B)x-y-1=0(C)x+y-1=0 (D)x+y+1=0解析:因为倾斜角为 135°,所以斜率为-1,所以直线方程为 y=-x-1,即 x+y+1=0,故选 D.3.直线 y=kx+b通过第一、三、四象限,则有( B )(A)k0,b0 (B)k0,b0 (D)k0,b0,故选 B.4.与直线 y=2x+1垂直,且在 y轴上的截距为 4的直线的斜截式方程为( D )(A)y= x+4 (B)y=2x+4(C)y=-2x+4 (D)y=- x+4解析:与直线 y=2x+1垂直,故斜率为- ,所以所求的直线方程为 y=- x+4,故选 D.5.下列四个结论:- 2 -①方程 k= 与方程 y-2=k(x+1)可表示同一直线;②直线 l过点 P(x1,y1),倾斜角为 90°,则其方程为 x=x1;③直线 l过点 P(x1,y1),斜率为 0,则其方程为 y=y1;④所有直线都有点斜式和斜截式方程.其中正确的个数为( B )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:①中 k= 表示的直线上少一点(-1,2),y-2=k(x+1)则表示整条直线,故不正确;②③正确;直线斜率不存在时,无法用点斜式和斜截式方程表示,故④不正确,故选 B.6.(2015安康旬阳一中月考)已知一直线过点 P(0,2),且斜率与直线 y=-2x+3的斜率相等,则该直线方程是 . 解析:因直线 y=-2x+3的斜率为-2,故由点斜式可得直线方程 y-2=-2x,即 y=-2x+2.答案:y=-2x+2.7.直线 y=ax-3a+2(a∈R)必过定点 . 解析:将直线方程变形为 y-2=a(x-3),由直线方程的点斜式可知,直线过定点(3,2).答案:(3,2)8.已知直线 l经过点(0,-2),其倾斜角是 60°.(1)求直线 l的方程;(2)求直线 l与两坐标轴围成三角形的面积.解:(1)直线 l的方程为 y+2= (x-0),即 y= x-2.(2)令 x=0得 y=-2,令 y=0得 x= ,所求面积 S= ×2× = .能力提升9.在同一直角坐标系中,表示直线 y=ax与 y=x+a正确的是( C )解析:由直线 y=x+a的斜率为 1,可排除选项 B、D,结合选项 A、C 可知 a0,因此 y=ax的斜率为负数,故排除选项 A,选 C.10.已知点 A(-2,1),B(3,-1)关于直线 l对称,且点（2, ）在直线 l上,则直线 l的方程是 .解析:因为 kAB= =- ,且 AB⊥l,所以 kl= ,- 3 -又点（2, ）在直线 l上,所以直线 l的方程为 y- = (x-2),即 5x-2y-7=0.答案:5x-2y-7=0探究创新11.求斜率为 且与坐标轴所围成的三角形的周长为 12的直线的方程.解:设直线方程为 y= x+b,令 x=0,得 y=b;令 y=0,得 x=- b,由题意得|b|+︱- b︱+ =12,整理得|b|+ |b|+ |b|=12,解得 b=3或-3,所以所求直线方程为 y= x±3,即 3x-4y±12=0.3.2.2 直线的两点式方程自主预习课堂探究自主预习1.了解直线方程的两点式的推导过程 .2.会利用两点式求直线的方程 .3.掌握直线方程的截距式 ,并会应用 .课标要求知识梳理(2)说明 :与坐标轴垂直的直线没有两点式方程 .(2)说明 :一条直线与 x轴的交点 (a,0)的横坐标 a叫做直线在 x轴上的截距 .与坐标轴垂直和过原点的直线均没有截距式 .自我检测B A B 4.(中点坐标公式 )若已知 A(1,2)及 AB中点 (2,3),则 B点的坐标是 . 答案 :(3,4)5.(直线两点式方程 )经过点 A(3,2),B(4,3)的直线方程是 . 答案 :x-y-1=0课堂探究直线的两点式方程题型一【 教师备用 】1.直线的两点式方程运用条件是什么 ?提示 :当直线斜率不存在 (x1=x2)或斜率为零 (y1=y2)时 ,不能用两点式表示 .提示 :前者不能表示垂直于坐标轴的直线 ,后者适用于过任意已知两点的直线 .【例 1】 已知 △ ABC三个顶点坐标 A(2,-1),B(2,2),C(4,1),求三角形三条边所在的直线方程 .题后反思 求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标 ,求过这两点的直线方程时 ,首先要判断是否满足两点式方程的适用条件 :两点的连线不垂直于坐标轴 ,若满足 ,则考虑用两点式求方程 .(2)由于减法的顺序性 ,一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误 .在记忆和使用两点式方程时 ,必须注意坐标的对应关系 .即时训练 1-1:三角形的三个顶点是 A(-1,0),B(3,-1),C(1,3),求三角形三边所在直线的方程 .直线的截距式方程题型二【 教师备用 】1.直线的截距式方程适用的条件是什么 ?提示 :截距存在且不为零 ,过原点的直线 ,与坐标轴垂直的直线都不能用截距式方程表示 .提示 :都不是 .截距式方程的特点有两个 ,一是中间必须用 “ +” 号连接 ,二是等号右边为 1.题后反思 利用截距式求直线方程的策略(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交 ,则可考虑选用截距式求直线方程,用待定系数法确定其系数即可 ;(2)选用截距式求直线方程时 ,必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直 .如果题中出现直线在两坐标轴上的 “ 截距相等 ”“ 截距互为相反数 ” 等条件时 ,采用截距式求直线方程 ,要注意考虑 “ 零截距 ”的情况 .即时训练 2-1:已知直线 l与 x轴、 y轴分别交于 A,B两点且线段 AB的中点为 P(4,1),求直线 l的方程 .【思维激活】 (2015日照一中月考 )过 A(1,4)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线共有 条 . 解析 :一条是截距为 0,一条是截距相等 (不为 0),一条是截距互为相反数(不为 0)共三条 .答案 :3【备用例 1】 (2015青岛一中联考 )已知直线 l在 x轴上的截距比在 y轴上的截距大 1,且过定点 (6,-2),求直线 l的方程 .【备用例 2】 求过点 A(4,2),且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线 l的方程 .直线方程的应用题型三题后 反思即时训练 3-1:一条直线经过点 A(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积为 1,则此直线的方程为 . 答案 :2x+y+2=0或 x+2y-2=0- 1 -3.2.2 直线的两点式方程【选题明细表】 知识点、方法 题号直线的两点式方程 3、4、7、11直线的截距式方程 2、5、9、10中点坐标公式,直线方程的理解及应用 1、6、8、12、13基础巩固1.下列四个命题中的真命题是( B )(A)经过定点 P0(x0,y0)的直线都可以用方程 y-y0=k(x-x0)表示(B)经过任意两个不同点 P1(x1,y1)、P 2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y 1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示(C)不经过原点的直线都可以用方程 + =1表示(D)经过定点 A(0,b)的直线都可以用方程 y=kx+b表示解析:当直线与 y轴重合时,斜率不存在,选项 A、D 不正确;当直线垂直于 x轴或 y轴时,直线方程不能用截距式表示,选项 C不正确,选项 B正确.故选 B.2.直线 l过点 A(3,0)和点 B(0,2),则直线 l的方程是( A )(A)2x+3y-6=0 (B)3x+2y-6=0(C)2x+3y-1=0 (D)3x+2y-1=0解析:由直线的截距式方程可得,直线 l的方程为 + =1,即 2x+3y-6=0,故选 A.3.已知 M(3, ),A(1,2),B(3,1),则过点 M(3, )和线段 AB的中点的直线方程为( B )(A)4x+2y=5 (B)4x-2y=5(C)x+2y=5 (D)x-2y=5解析:线段 AB的中点坐标为(2, ).所以所求直线方程为 = ,即 4x-2y=5,选 B.4.过两点(-1,1)和(3,9)的直线在 x轴上的截距为( A )(A)- (B)- (C) (D)2解析:由直线的两点式方程可得直线方程为 = ,即 2x-y+3=0,令 y=0得 x=- .故选 A.5.(2015江西崇义中学月考)经过点 M(1,1),且在两坐标轴上截距相等的直线是( C )(A)x+y=2 (B)x+y=1(C)x+y=2或 x=y (D)x=1或 y=1- 2 -解析:若截距为 0,则直线方程为 y=x,若截距不为 0,设直线方程为 + =1,又直线过 M点,所以 + =1,所以 a=2,故直线方程为 x+y=2,故选 C.6.(2015江西广昌一中月考)点 M(4,1)关于点 N(2,-3)的对称点 P的坐标为 . 解析:设 P(x,y),则 所以故点 P的坐标为(0,-7).答案:(0,-7)7.经过点 A(2,1),在 x轴上的截距是-2 的直线方程是 . 解析:由题意知直线过两点(2,1),(-2,0),由两点式方程可得所求直线的方程为 = ,即 x-4y+2=0.答案:x-4y+2=08.已知△ABC 的三个顶点为 A(0,3),B(1,5),C(3,-5).(1)求边 AB所在的直线方程;(2)求中线 AD所在直线的方程.解:(1)设边 AB所在的直线的斜率为 k,则 k= =2.它在 y轴上的截距为 3.所以,由斜截式得边 AB所在的直线的方程为 y=2x+3.(2)B(1,5)、C(3,-5), =2, =0,所以 BC的中点 D(2,0).由截距式得中线 AD所在的直线的方程为 + =1.能力提升9.直线 l1: - =1与直线 l2: - =1在同一坐标系中的图象可能是( B )- 3 -解析:l 1在 x轴上的截距为 m与 l2在 y轴上的截距为-m 互为相反数,l 1在 y轴上的截距为-n与 l2在 x轴上的截距为 n互为相反数,符合此关系的只有选项 B.故选 B.10.直线 l过点 P(-1,2),分别与 x、y 轴交于 A、B 两点,若 P为线段 AB的中点,则直线 l的方程为 . 解析:由题意可得 A(-2,0),B(0,4).故直线 l的方程为 + =1,即 2x-y+4=0.答案:2x-y+4=011.(2015南昌二中月考)经过 A(1,3)和 B(a,4)的直线方程为 . 解析:当 a=1时,直线 AB的斜率不存在,所求直线的方程为 x=1;当 a≠1 时,由两点式,得 = ,即 x-(a-1)y+3a-4=0.这个方程中,对 a=1时方程为 x=1也满足.所以,所求的直线方程为 x-(a-1)y+3a-4=0.答案:x-(a-1)y+3a-4=012.已知 A(-m-3,2),B(-2m-4,4),C(-m,m),D(3,3m+2),若直线 AB⊥CD,求 m的值.解:因为 A、B 两点纵坐标不相等,所以 AB与 x轴不平行.因为 AB⊥CD,所以 CD与 x轴不垂直,-m≠3,即 m≠-3.①当 AB与 x轴垂直时,-m-3=-2m-4,解得 m=-1.而 m=-1时 C、D 纵坐标均为-1,所以 CD∥x 轴,此时 AB⊥CD,满足题意.②当 AB与 x轴不垂直时,由斜率公式kAB= = ,kCD= = .因为 AB⊥CD,所以 kAB·kCD=-1,即 · =-1,- 4 -解得 m=1,综上 m的值为 1或-1.探究创新13.过点 P(2,3)作直线 l,使 l与点 A(-1,-2)、B(7,4)的距离相等,这样的直线 l存在吗?若存在,求出其方程;若不存在,请说明理由.解:这样的直线 l存在,有两条.①过点 P与线段 AB的中点 M(3,1)的直线满足题意,直线 l的方程为 = ,即 2x+y-7=0.②过点 P与直线 AB平行的直线满足题意,直线 l的斜率 k=kAB= = ,直线 l的方程为 y-3= (x-2),即 3x-4y+6=0.综上,直线 l的方程为 2x+y-7=0或 3x-4y+6=0.3.2.3 直线的一般式方程 自主预习课堂探究自主预习1.了解二元一次方程与直线的对应关系 .2.掌握直线方程的一般式 .3.能根据所给条件求直线方程 ,并能在几种形式间相互转化 .课标要求知识梳理直线的一般式方程(1)定义 :关于 x,y的二元一次方程 (其中 A,B不同时为 0)叫做直线的一般式方程 ,简称一般式 .(2)适用范围 :平面直角坐标系中 ,任何一条直线都可用一般式表示 .Ax+By+C=0(4)二元一次方程与直线的关系 :二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标 .这个方程的全体解组成的集合 ,就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合 ,这些点的集合就组成了一条直线 .二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的 .自我检测A B B 4.(一般式的应用 )直线 x+y+1=0在 y轴上的截距为 . 答案 :-15.(求直线的一般式方程 )过点 P(1,2),且斜率与直线 y=-2x+3的斜率相等的直线方程为 . 答案 :2x+y-4=0课堂探究求直线的一般式方程题型一【 教师备用 】直线的一般式方程的理解1.当 A=0或 B=0或 C=0时 ,方程 Ax+By+C=0分别表示什么样的直线 ?2.在什么条件下 ,一般式方程可以转化为斜截式、点斜式或截距式方程 ?题后反思 根据已知条件求直线方程的策略 :在求直线方程时 ,设一般式方程并不简单 ,常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程再化为一般式方程 ,一般选用规律为 :(1)已知直线的斜率和直线上点的坐标时 ,选用点斜式 ;(2)已知直线的斜率和在 y轴上的截距时 ,选用斜截式 ;(3)已知直线上两点坐标时 ,选用两点式 .(4)已知直线在 x轴 ,y轴上的截距时 ,选用截距式 .利用直线一般式方程解决平行、垂直问题题型二(1)已知直 线 l1:2x+(m+1)y+4=0与直 线 l2:mx+3y-2=0平行 ,求 m的 值 .(2)当 a为 何 值时 ,直 线 l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直 线 l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直 ?【 例 2】题后反思 所给直线方程是一般式 ,且直线斜率可能不存在时 ,利用l1⊥l 2⇔A1A2+B1B2=0和 l1∥l 2⇔A1B2-A2B1=0且 A1C2-A2C1≠0( 或 B1C2-B2C1≠0) 来判定两条直线是否垂直或平行 ,避免了讨论斜率是否存在的情况 ,比用斜率来判定更简便 .已知两直 线 l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,当 m为 何 值时,直 线 l1∥l 2?l1⊥l 2?即时训练 2-1:【备用例 1】 已知直线 l的方程为 3x+4y-12=0,求满足下列条件的直线 l′的方程 :(1)过点 (-1,3),且与 l平行 ;(2)过点 (-1,3),且与 l垂直 .解 : (1)由 l′ 与 l平行 ,可设 l′ 的方程为 3x+4y+m=0.将点 (-1,3)代入上式得 m=-9.所以所求直线的方程为 3x+4y-9=0.(2)由 l′ 与 l垂直 ,可设 l′ 的方程为 4x-3y+n=0.将 (-1,3)代入上式得 n=13.所以所求直线的方程为 4x-3y+13=0.直线的一般式方程的应用题型三【 例 3】 设直线 l的方程为 (a+1)x+y+2-a=0(a∈ R).(1)若 l在两坐标轴上的截距互为相反数 ,求 l的方程 ;(2)若 l不经过第二象限 ,求实数 a的取值范围 .题后 反思 (1)已知直线的方程可确定其斜率、截距 ,从而可解决与斜率、截距有关的问题 .(2)已知直线的大致位置 ,可确定斜率、截距的范围 (或符号 ),从而可建立不等式求解参数的范围 ,反之若已知斜率、截距的范围 (或符号 )也可确定直线的大致位置 .即时训练 3-1:求平行于直线 2x-y+3=0,且与两坐标轴围成的直角三角形面积为 9的直线方程 .【备用例 2】 已知直线 l:5ax-5y-a+3=0.(1)求证 :不论 a为何值 ,直线 l总经过第一象限 ;(2)为使直线不经过第二象限 ,求 a的取值范围 .