2016高中数学 第一章 集合与函数（课件+习题）（打包25套）湘教版必修1.zip

11．1.1 集合的含义和表示第 1 课时 集合的概念[学习目标] 1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性.2.体会元素与集合间的“从属关系”.3.记住常用数集的表示符号并会应用.4.会判断集合是有限集还是无限集．[知识链接]1．在初中，我们学习数的分类时，学过自然数的集合，正数的集合，负数的集合，有理数的集合．2．在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合．几何图形都可以看成点的集合．3．解不等式 2x－1＞3 得 x＞2，即所有大于 2 的实数集在一起称为这个不等式的解集．4．一元二次方程 x2－3 x＋2＝0 的解是 x＝1， x＝2.[预习导引]1．集合的概念在数学语言中，把一些对象放在一起考虑时，就说这些事物组成了一个集合，给这些对象的总的名称，就是这个集合的名字．这些对象中的每一个，都叫作这个集合的一个元素．我们约定，同一集合中的元素是互不相同的．2．元素与集合的关系知识点 关系 概念 记法 读法属于若 S 是一个集合， a 是 S 的一个元素，就说 a 属于 S a∈ Sa 属于 S元素与集合的关系不属于 若 a 不是 S 的元素，就说 a 不属于 S a∉S a 不属于 S3.常用数集及符号表示名称非负整数集自然数集正整数集 整数集 有理数集 实数集符号 N N＋ Z Q R4.集合的分类集合Error!空集：没有元素的集合，记作∅.2要点一 集合的基本概念例 1 下列每组对象能否构成一个集合：(1)我们班的所有高个子同学；(2)不超过 20 的非负数；(3)直角坐标平面内第一象限的一些点；(4) 的近似值的全体．3解 (1)“高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合．(2)任给一个实数 x，可以明确地判断是不是“不超过 20 的非负数” ，即“0≤ x≤20”与“ x＞20 或 x＜0” ，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过 20 的非负数”能构成集合；(3)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(4)“ 的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的3近似值，所以“ 的近似值的全体”不能构成集合．3规律方法 判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的．如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合．跟踪演练 1 下列所给的对象能构成集合的是________．(1)所有正三角形；(2)第一册课本上的所有难题；(3)比较接近 1 的正整数全体；(4)某校高一年级的 16 岁以下的学生．答案 (1)(4)解析 序号 能否构成集合 理由(1) 能 其中的元素满足三条边相等(2) 不能“难题”的标准是模糊的、不确定的，所以所给的对象不确定，故不能构成集合(3) 不能“比较接近 1”的标准不明确，所以所给的对象不确定，故不能构成集合(4) 能 其中的元素是“16 岁以下的学生”要点二 元素与集合的关系3例 2 所给下列关系正确的个数是( )①－ ∈R；② ∉Q；③0∈N ＋ ；④|－3|∉N ＋ .12 2A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析 － 是实数， 是无理数，∴①②正确．N ＋ 表示正整数集，∴③和④不正确．12 2规律方法 1.由集合中元素的确定性可知，对任意的元素 a 与集合 A，在“ a∈ A”与“a∉A”这两种情况中必有一种且只有一种成立．2．符号“∈”和“∉”只表示元素与集合之间的关系，而不能用于表示其他关系．3． “∈”和“∉”具有方向性，左边是元素，右边是集合．跟踪演练 2 设不等式 3－2 x＜0 的解集为 M，下列关系中正确的是( )A．0∈ M,2∈ M B．0∉ M,2∈ MC．0∈ M,2∉M D．0∉ M,2∉M答案 B解析 本题是判断 0 和 2 与集合 M 间的关系，因此只需判断 0 和 2 是不是不等式 3－2 x＜0的解即可，当 x＝0 时，3－2 x＝3＞0，所以 0∉M；当 x＝2 时，3－2 x＝－1＜0，所以 2∈ M.要点三 集合中元素的特性及应用例 3 已知集合 B 含有两个元素 a－3 和 2a－1，若－3∈ B，试求实数 a 的值．解 ∵－3∈ B，∴－3＝ a－3 或－3＝2 a－1.若－3＝ a－3，则 a＝0.此时集合 B 含有两个元素－3，－1，符合题意；若－3＝2 a－1，则 a＝－1.此时集合 B 含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，满足题意的实数 a 的值为 0 或－1.规律方法 1.由于集合 B 含有两个元素，－3∈ B，本题以－3 是否等于 a－3 为标准，进行分类，再根据集合中元素的互异性对元素进行检验．2．解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准．跟踪演练 3 已知集合 A＝{ a＋1， a2－1}，若 0∈ A，则实数 a 的值为________．答案 1解析 ∵0∈ A，∴0＝ a＋1 或 0＝ a2－1.当 0＝ a＋1 时， a＝－1，此时 a2－1＝0， A 中元素重复，不符合题意．当 a2－1＝0 时， a＝±1. a＝－1(舍)，∴ a＝1.此时， A＝{2,0}，符合题意.41．下列能构成集合的是( )A．中央电视台著名节目主持人B．我市跑得快的汽车C．上海市所有的中学生D．香港的高楼答案 C解析 A、B、D 中研究的对象不确定，因此不能构成集合．2．集合 A 中只含有元素 a，则下列各式一定正确的是( )A．0∈ A B． a∉A C． a∈ A D． a＝ A答案 C解析 由题意知 A 中只有一个元素 a，∴ a∈ A，元素 a 与集合 A 的关系不能用“＝” ，也不能确定 a 是否等于 0，故选 C.3．设 A 表示“中国所有省会城市”组成的集合，则深圳________ A；广州________ A(填∈或∉)．答案 ∉ ∈解析 深圳不是省会城市，而广州是广东省的省会．4．已知① ∈R；② ∈Q；③0∈N；④π∈Q；⑤－3∉Z. 正确的个数为________．513答案 3解析 ①②③是正确的；④⑤是错误的．5．已知 1∈{ a2， a}，则 a＝________.答案 －1解析 当 a2＝1 时， a＝±1，但 a＝1 时， a2＝ a，由元素的互异性知 a＝－1.1.判断一组对象的全体能否构成集合，关键是看研究对象是否确定．若研究对象不确定，则不能构成集合．2．集合中的元素是确定的，某一元素 a 要么满足 a∈ A，要么满足 a∉A，两者必居其一．这也是判断一组对象能否构成集合的依据．3．集合中元素的三种特性：确定性、互异性、无序性．求集合中字母的取值时，一定要检验是否满足集合中元素的互异性.5一、基础达标1．有下列各组对象：①接近于 0 的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面上到点 O 的距离等于 1 的点的全体；④直角三角形的全体．其中能构成集合的个数是( )A．2 B．3 C．4 D．5答案 A解析 ①不能构成集合， “接近”的概念模糊，无明确标准．②不能构成集合， “比较小”也是不明确的，多小算“比较小”没明确标准．③④均可构成集合，因为任取一个元素是不是此集合的元素有明确的标准可依．2．已知集合 A 由 x＜1 的数构成，则有( )A．3∈ A B．1∈ AC．0∈ A D．－1∉ A答案 C解析 很明显 3,1 不满足不等式，而 0，－1 满足不等式．3．若一个集合中的三个元素 a， b， c 是△ ABC 的三边长，则此三角形一定不是( )A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形答案 D解析 根据集合中元素的互异性可知，一定不是等腰三角形．4．已知集合 A 含有三个元素 2,4,6，且当 a∈ A 时，有 6－ a∈ A，则 a 为( )A．2 B．2 或 4 C．4 D．0答案 B解析 若 a＝2∈ A，则 6－ a＝4∈ A；或 a＝4∈ A，则 6－ a＝2∈ A；若 a＝6∈ A，则6－ a＝0∉ A.故选 B.5．已知集合 A 中只含有 1， a2两个元素，则实数 a 不能取的值为________．答案 ±1解析 由 a2≠1，得 a≠±1.6．若 x∈N，则满足 2x－5＜0 的元素组成的集合中所有元素之和为________．答案 36解析 由 2x－5＜0，得 x＜ ，又 x∈N，52∴ x＝0,1,2，故所有元素之和为 3.7．判断下列说法是否正确？并说明理由．(1)参加 2012 年伦敦奥运会的所有国家构成一个集合；(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；(3)1,0.5，， 组成的集合含有四个元素；32 12(4)我校的年轻教师构成一个集合．解 (1)正确．因为参加 2012 年伦敦奥运会的国家是确定的，明确的．(2)不正确．因为高科技产品的标准不确定．(3)不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于 0.5＝ ，在这个集合中只能作为一12个元素，故这个集合含有三个元素．(4)不正确．因为年轻没有明确的标准．二、能力提升8．已知集合 A 是由 0， m， m2－3 m＋2 三个元素组成的集合，且 2∈ A，则实数 m 的值为( )A．2 B．3C．0 或 3 D．0,2,3 均可答案 B解析 因为 2∈ A，所以 m＝2 或 m2－3 m＋2＝2，解得 m＝0 或 m＝2 或 m＝3.又集合中的元素要满足互异性，对 m 的所有取值进行一一验证可得 m＝3，故选 B.9．已知集合 P 中元素 x 满足： x∈N，且 2＜ x＜ a，又集合 P 中恰有三个元素，则整数a＝________.答案 6解析 ∵ x∈N，且 2＜ x＜ a，∴结合数轴知 a＝6.10．如果有一集合含有三个元素 1， x， x2－ x，则实数 x 的取值范围是________．答案 x≠0,1,2， .1±52解析 由集合元素互异性可得 x≠1， x2－ x≠1， x2－ x≠ x，解得 x≠0,1,2， .1±5211．已知集合 A 是由 a－2,2 a2＋5 a,12 三个元素组成的，且－3∈ A，求实数 a.解 由－3∈ A，可得－3＝ a－2 或－3＝2 a2＋5 a，∴ a＝－1 或 a＝－ .32则当 a＝－1 时， a－2＝－3,2 a2＋5 a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故 a＝－1 应舍7去．当 a＝－ 时， a－2＝－ ，2 a2＋5 a＝－3，∴ a＝－ .32 72 32三、探究与创新12．设 P、 Q 为两个非空实数集合， P 中含有 0,2,5 三个元素， Q 中含有 1,2,6 三个元素，定义集合 P＋ Q 中的元素是 a＋ b，其中 a∈ P， b∈ Q，则 P＋ Q 中元素的个数是多少？解 ∵当 a＝0 时， b 依次取 1,2,6，得 a＋ b 的值分别为 1,2,6；当 a＝2 时， b 依次取 1,2,6，得 a＋ b 的值分别为 3,4,8；当 a＝5 时， b 依次取 1,2,6，得 a＋ b 的值分别为 6,7,11.由集合元素的互异性知 P＋ Q 中元素为 1,2,3,4,6,7,8,11，共 8 个．13．设 A 为实数集，且满足条件：若 a∈ A，则 ∈ A(a≠1)．11－ a求证：(1)若 2∈ A，则 A 中必还有另外两个元素；(2)集合 A 不可能是单元素集．证明 (1)若 a∈ A，则 ∈ A.11－ a又∵2∈ A，∴ ＝－1∈ A.11－ 2∵－1∈ A，∴ ＝ ∈ A.11－  － 1 12∵ ∈ A，∴ ＝2∈ A.12 11－ 12∴ A 中另外两个元素为－1， .12(2)若 A 为单元素集，则 a＝ ，11－ a即 a2－ a＋1＝0，方程无解．∴ a≠ ，∴集合 A 不可能是单元素集．11－ a1第 2课时 表示集合的方法[学习目标] 1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法).2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合.3.能记住各类区间的含义及其符号，会用区间表示集合．[知识链接]1．质数又称素数，指在一个大于 1的自然数中，除了 1和此整数自身外，不能被其他自然数(不包括 0)整除的数．2．函数 y＝ x2－2 x－1 的图象与 x轴有 2个交点，函数 y＝ x2－2 x＋1 的图象与 x轴有 1个交点，函数 y＝ x2－ x＋1 的图象与 x轴没有交点．[预习导引]1．列举法(1)把集合中的元素一个一个地写出来表示集合的方法，叫作列举法．(2)用列举法表示集合，通用的格式是在一个大括号里写出每个元素的名字，相邻的名字用逗号分隔．2．描述法(1)把集合中元素共有的，也只有该集合中元素才有的属性描述出来，以确定这个集合，叫作描述法．(2)用描述法表示集合，通用的格式是在一个大括号里写出集合中元素的共有属性；也可以在大括号里先写出其中元素的一般属性或形式，再写出特写的符号(竖线)，然后在符号后面列出这些元素要满足的其他条件．3．区间设 a， b是两个实数，且 a＜ b，区间的含义及表示如下表名称 定义 符号 数轴表示闭区间 {x|a≤ x≤ b}[a， b]开区间{x|a＜ x＜ b}(a， b)左闭右开区间{x|a≤ x＜ b}[a， b)左开右闭区间{x|a＜ x≤ b}(a， b]2无穷区间 {x|x≤ a} (－∞， a]无穷区间 {x|x＜ a} (－∞， a)无穷区间 {x|x＞ a} (a，＋∞)无穷区间 {x|x≥ a} [a，＋∞)要点一 用列举法表示集合例 1 用列举法表示下列集合：(1)小于 10的所有自然数组成的集合；(2)方程 x2＝ x的所有实数根组成的集合；(3)由 1～20 以内的所有质数组成的集合．解 (1)设小于 10的所有自然数组成的集合为 A，那么 A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．(2)设方程 x2＝ x的所有实数根组成的集合为 B，那么 B＝{0,1}．(3)设由 1～20 以内的所有质数组成的集合为 C，那么 C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．规律方法 对于元素个数较少的集合或元素个数不确定但元素间存在明显规律的集合，可采用列举法．应用列举法时要注意：①元素之间用“， ”而不是用“、 ”隔开；②元素不能重复．跟踪演练 1 用列举法表示下列集合：(1)我国现有的所有直辖市；(2)绝对值小于 3的整数集合；(3)一次函数 y＝ x－1 与 y＝－ x＋ 的图象交点组成的集合．23 43解 (1){北京，上海，天津，重庆}；(2){－2，－1,0,1,2}；(3)方程组Error!的解是Error!所求集合为 .{(75， 25)}要点二 用描述法表示集合例 2 用描述法表示下列集合：(1)正偶数集；(2)被 3除余 2的正整数的集合；3(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．解 (1)偶数可用式子 x＝2 n， n∈Z 表示，但此题要求为正偶数，故限定 n∈N ＋ ，所以正偶数集可表示为{ x|x＝2 n， n∈N ＋ }．(2)设被 3除余 2的数为 x，则 x＝3 n＋2， n∈Z，但元素为正整数，故 x＝3 n＋2， n∈N，所以被 3除余 2的正整数集合可表示为{x|x＝3 n＋2， n∈N}．(3)坐标轴上的点( x， y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为 0，即 xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{( x， y)|xy＝0}．规律方法 用描述法表示集合时应注意：①“竖线”前面的 x∈R 可简记为 x；②“竖线”不可省略；③ p(x)可以是文字语言，也可以是数学符号语言，能用数学符号表示的尽量用数学符号表示；④同一个集合，描述法表示可以不唯一．跟踪演练 2 用描述法表示下列集合：(1)所有被 5整除的数；(2)方程 6x2－5 x＋1＝0 的实数解集；(3)集合{－2，－1,0,1,2}．解 (1){ x|x＝5 n， n∈Z}；(2){x|6x2－5 x＋1＝0}；(3){x∈Z|| x|≤2}．要点三 列举法与描述法的综合运用例 3 集合 A＝{ x|kx2－8 x＋16＝0}，若集合 A只有一个元素，试求实数 k的值，并用列举法表示集合 A.解 (1)当 k＝0 时，原方程为 16－8 x＝0.∴ x＝2，此时 A＝{2}．(2)当 k≠0 时，由集合 A中只有一个元素，∴方程 kx2－8 x＋16＝0 有两个相等实根．则 Δ ＝64－64 k＝0，即 k＝1.从而 x1＝ x2＝4，∴集合 A＝{4}．综上所述，实数 k的值为 0或 1.当 k＝0 时， A＝{2}；当 k＝1 时， A＝{4}．规律方法 1.(1)本题在求解过程中，常因忽略讨论 k是否为 0而漏解．(2)因4kx2－8 x＋16＝0 是否为一元二次方程而分 k＝0 和 k≠0 而展开讨论，从而做到不重不漏．2．解答与描述法有关的问题时，明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点．跟踪演练 3 把例 3中条件“有一个元素”改为“有两个元素” ，求实数 k取值范围的集合．解 由题意可知方程 kx2－8 x＋16＝0 有两个实根．∴Error!解得 k＜1，且 k≠0.∴ k取值范围的集合为{ k|k＜1，且 k≠0}.1．集合{ x∈N ＋ |x－3＜2}用列举法可表示为( )A．{0,1,2,3,4} B．{1, 2,3,4}C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}答案 B解析 { x∈N ＋ |x－3＜2}＝{ x∈N ＋ |x＜5}＝{1,2,3,4}．2．已知集合 A＝{ x∈N|－ ≤ x≤ }，则( )3 3A．－1∈ A B．0∈ AC. ∈ A D．2∈ A3答案 B解析 ∵0∈N 且－ ≤0≤ ，∴0∈ A.3 33．用描述法表示方程 x＜－ x－3 的解集为________．答案 { x|x＜－ }32解析 ∵ x＜－ x－3，∴ x＜－ .32∴解集为{ x|x＜－ }．324．已知 x∈N，则方程 x2＋ x－2＝0 的解集用列举法可表示为________．答案 {1}解析 由 x2＋ x－2＝0，得 x＝－2 或 x＝1.又 x∈N，∴ x＝1.5．(1)全体非负实数组成的集合用区间表示为________．(2)既是不等式 x＋2≥0 的解又是不等式 3－ x≥0 的解组成的集合用区间表示为________．(3)若有区间( m－1,2 m＋3)，则 m的取值范围是________．5答案 (1)[0，＋∞) (2)[－2,3] (3)(－4，＋∞)1.表示集合的要求：(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则．(2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合．2．在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式．(2)元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．一、基础达标1．下列关系式中，正确的是( )A．{2,3}≠{3,2}B．{( a， b)}＝{( b， a)}C．{ x|y＝ x2＋1}＝{ y|y＝ x＋1}D．{ y|y＝ x2＋1}＝{ x|y＝ x＋1}答案 C解析 A 中{2,3}＝{3,2}，集合元素具有无序性；B 中集合中的点不同，故集合不同；C 中{x|y＝ x2＋1}＝{ y|y＝ x＋1}＝R；D 中{ y|y＝ x2＋1}＝{ y|y≥1}≠{ x|y＝ x＋1}＝R.故选 C.2．方程组Error!的解集是( )A．{ x＝1， y＝1} B．{1}C．{(1,1)} D．(1,1)答案 C解析 方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除 A，B，而 D不是集合的形式，排除 D.3．集合 M＝{( x， y)|xy＜0， x∈R， y∈R}是( )A．第一象限内的点集 B．第三象限内的点集C．第四象限内的点集 D．第二、四象限内的点集答案 D解析 因为 xy＜0，所以有 x＞0， y＜0；或者 x＜0， y＞0.因此集合 M表示的点集在第四象6限和第二象限．4．集合 A＝{ y|y＝ x2＋1}，集合 B＝{( x， y)|y＝ x2＋1}( A， B中 x∈R， y∈R)．选项中元素与集合的关系都正确的是( )A．2∈ A，且 2∈ BB．(1,2)∈ A，且(1,2)∈ BC．2∈ A，且(3,10)∈ BD．(3,10)∈ A，且 2∈ B答案 C解析 集合 A中元素 y是实数，不是点，故选项 B，D 不对．集合 B的元素( x， y)是点而不是实数，2∈ B不正确，所以 A不对．5．将集合{( x， y)|2x＋3 y＝16， x， y∈N}用列举法表示为________．答案 {(2,4)，(5,2)，(8,0)}解析 ∵3 y＝16－2 x＝2(8－ x)，且 x∈N， y∈N，∴ y为偶数且 y≤5，∴当 x＝2 时，y＝4，当 x＝5 时 y＝2，当 x＝8 时， y＝0.6．有下面四个结论：①0 与{0}表示同一个集合；②集合 M＝{3,4}与 N＝{(3,4)}表示同一个集合；③方程( x－1) 2(x－2)＝0 的所有解的集合可表示为{1,1,2}；④集合{ x|4＜ x＜5}不能用列举法表示．其中正确的结论是________(填写序号)．答案 ④解析 {0}表示元素为 0的集合，而 0只表示一个元素，故①错误；②集合 M是实数 3,4的集合，而集合 N是实数对(3,4)的集合，不正确；③不符合集合中元素的互异性，错误；④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示．7．下面三个集合：A＝{ x|y＝ x2＋1}；B＝{ y|y＝ x2＋1}；C＝{( x， y)|y＝ x2＋1}．问：(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义是什么？解 (1)在 A、 B、 C三个集合中，虽然代表元素满足的表达式一致，但代表元素互不相同，所以它们是互不相同的集合．(2)集合 A的代表元素是 x，满足 y＝ x2＋1，故 A＝{ x|y＝ x2＋1}＝R.7集合 B的代表元素是 y，满足 y＝ x2＋1，故 B＝{ y|y＝ x2＋1}＝{ y|y≥1}．集合 C的代表元素是( x， y)，满足条件 y＝ x2＋1，即表示满足 y＝ x2＋1 的实数对( x， y)；也可认为满足条件 y＝ x2＋1 的坐标平面上的点．因此， C＝{( x， y)|y＝ x2＋1}＝{点 P∈平面 α |P是抛物线 y＝ x2＋1 上的点}．二、能力提升8．已知 x， y为非零实数，则集合 M＝Error!＋Error!为( )A．{0,3} B．{1,3}C．{－1,3} D．{1，－3}答案 C解析 当 x＞0， y＞0 时， m＝3，当 x＜0， y＜0 时， m＝－1－1＋1＝－1.若 x， y异号，不妨设 x＞0， y＜0，则 m＝1＋(－1)＋(－1)＝－1.因此 m＝3 或 m＝－1，则 M＝{－1,3}．9．已知集合 A＝{1,2,3,4,5}， B＝{( x， y)|x∈ A， y∈ A， x－ y∈ A}，则 B中所含元素的个数为( )A．3 B．6 C．8 D．10答案 D解析 ∵ B＝{( x， y)|x∈ A， y∈ A， x－ y∈ A}， A＝{1,2,3,4,5}，∴ x＝2， y＝1； x＝3， y＝1,2； x＝4， y＝1,2,3； x＝5， y＝1,2,3,4.∴ B＝{(2,1}，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，∴ B中所含元素的个数为10.10．如图所示，图中阴影部分(含边界)的点的坐标的集合表示为________．答案 {( x， y)|－1≤ x≤3，且 0≤ y≤3}解析 图中阴影部分点的横坐标为－1≤ x≤3，纵坐标为 0≤ y≤3，故用描述法可表示为Error!11．已知集合 A＝{ x∈R| ax2＋2 x＋1＝0}，其中 a∈R.若 1是集合 A中的一个元素，请用列举法表示集合 A.解 ∵1 是集合 A中的一个元素，∴1 是关于 x的方程 ax2＋2 x＋1＝0 的一个根，8∴ a·12＋2×1＋1＝0，即 a＝－3.方程即为－3 x2＋2 x＋1＝0，解这个方程，得 x1＝1， x2＝－ ，13∴集合 A＝{－ ，1}．13三、探究与创新12．定义集合运算 A*B＝{ z|z＝ xy， x∈ A， y∈ B}．设 A＝{1,2}， B＝{0,2}，则集合 A*B的所有元素之和是多少？解 当 x＝1 或 2， y＝0 时， z＝0；当 x＝1， y＝2 时， z＝2；当 x＝2， y＝2 时， z＝4.所以 A*B＝{0,2,4}，所以元素之和为 0＋2＋4＝6.13．已知集合 A＝{ x|ax2－3 x－4＝0， x∈R}：(1)若 A中有两个元素，求实数 a的取值范围；(2)若 A中至多有一个元素，求实数 a的取值范围．解 (1)∵ A中有两个元素，∴关于 x的方程 ax2－3 x－4＝0 有两个不等的实数根，∴Error! 得 a＞－ 且 a≠0，916故所求 a的取值范围是{ a|a＞－ ，且 a≠0}．916(2)当 a＝0 时， A＝{－ }；43当 a≠0 时，关于 x的方程 ax2－3 x－4＝0 应有两个相等的实数根或无实数根，∴ Δ ＝9＋16 a≤0，即 a≤－ .916故所求的 a的取值范围是{ a|a≤－ ，或 a＝0}.91611.1.2 集合的包含关系[学习目标] 1.明确子集，真子集，两集合相等的概念.2.会用符号表示两个集合之间的关系.3.能根据两集合之间的关系求解参数的范围.4.知道全集，补集的概念，会求集合的补集．[知识链接]1．已知任意两个实数 a， b，如果满足 a≥ b， b≥ a，则它们的大小关系是 a＝ b.2．若实数 x 满足 x＞1，如何在数轴上表示呢？ x≥1 时呢？答案 3．方程 ax2－( a＋1) x＋1＝0 的根一定有两个吗？答案 不一定．[预习导引]1．集合之间的关系关系 概念 符号表示 图形表示子集如果集合 B 的每个元素都是集合 A 的元素，就说 B 包含于 A，或者说 A 包含 B.若 B 包含于 A，称 B 是 A 的一个子集B⊆A或真子集如果 B 是 A 的子集，但 A 不是 B 的子集，就说 B 是 A 的真子集 B A集合相等如果 B 是 A 的子集， A 也是 B 的子集，就说两个集合相等A＝ B全集、补集如果在某个特定的场合，要讨论的对象都是集合 I 的元素和子集，就可以约定把集合 I叫作全集．若 A 是全集 I 的子集， I 中不属于 A 的元素组成的子集叫作 A 的补集∁IA2.常用结论(1)任意一个集合 A 都是它本身的子集，即 A⊆A.2(2)空集是任意一个集合的子集，即对任意集合 A，都有∅⊆ A.要点一 有限集合的子集确定问题例 1 写出集合 A＝{1,2,3}的所有子集和真子集．解 由 0 个元素构成的子集：∅；由 1 个元素构成的子集：{1}，{2}，{3}；由 2 个元素构成的子集：{1,2}，{1,3}，{2,3}；由 3 个元素构成的子集：{1,2,3}．由此得集合 A 的所有子集为∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}， {1,3}，{2,3}，{1,2,3}．在上述子集中，除去集合 A 本身，即{1,2,3}，剩下的都是 A 的真子集．规律方法 1.求解有限集合的子集问题，关键有三点：(1)确定所求集合；(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．2．一般地，若集合 A 中有 n 个元素，则其子集有 2n个，真子集有 2n－1 个，非空真子集有2n－2 个．跟踪演练 1 已知集合 M 满足{2,3}⊆ M⊆{1,2,3,4,5}，求集合 M 及其个数．解 当 M 中含有两个元素时， M 为{2,3}；当 M 中含有三个元素时， M 为{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}；当 M 中含有四个元素时， M 为{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}；当 M 中含有五个元素时， M 为{2,3,1,4,5}；所以满足条件的集合 M 为{2,3}，{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}，{2,3,1,4,5}，集合 M 的个数为 8.要点二 集合间关系的判定例 2 指出下列各对集合之间的关系：(1)A＝{－1,1}， B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；(2)A＝{ x|x 是等边三角形}， B＝{ x|x 是等腰三角形}；(3)A＝{ x|－1＜ x＜4}， B＝{ x|x－5＜0}；(4)M＝{ x|x＝2 n－1， n∈N ＋ }， N＝{ x|x＝2 n＋1， n∈N ＋ }．解 (1)集合 A 的代表元素是数，集合 B 的代表元素是有序实数对，故 A 与 B 之间无包含关系．(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故 A B.3(3)集合 B＝{ x|x＜5}，用数轴表示集合 A， B 如图所示，由图可知 A B.(4)由列举法知 M＝{1,3,5,7，…}， N＝{3,5,7,9，…}，故 N M.规律方法 对于连续实数组成的集合，通常用数轴来表示，这也属于集合表示的图示法．注意在数轴上，若端点值是集合的元素，则用实心点表示；若端点值不是集合的元素，则用空心点表示．跟踪演练 2 集合 A＝{ x|x2＋ x－6＝0}， B＝{ x|2x＋7＞0}，试判断集合 A 和 B 的关系．解 A＝{－3,2}， B＝ .{x|x＞ －72}∵－3＞－ ，2＞－ ，72 72∴－3∈ B,2∈ B，∴ A⊆B又 0∈ B，但 0∉A，∴ A B.要点三 简单的补集运算例 3 (1)设全集 U＝{1,2,3,4,5}，集合 A＝{1,2}，则∁ U A 等于( )A．{1,2} B．{3,4,5}C．{1,2,3,4,5} D．∅(2)若全集 U＝R，集合 A＝{ x|x≥1}，则∁ U A＝________.答案 (1)B (2){ x|x＜1}解析 (1)∵ U＝{1,2,3,4,5}， A＝{1,2}，∴∁ UA＝ {3,4,5}．(2)由补集的定义，结合数轴可得∁ U A＝{ x|x＜1}．规律方法 1.根据补集定义，当集合中元素离散时，可借助图；当集合中元素连续时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．2．解题时要注意使用补集的几个性质：∁ UU＝∅，∁ U∅＝ U， A∪(∁ UA)＝ U.跟踪演练 3 已知全集 U＝{ x|x≥－3}，集合 A＝{ x|－3＜ x≤4}，则∁ U A＝________.答案 { x|x＝－3，或 x＞4}解析 借助数轴得∁ UA＝{ x|x＝－3，或 x＞4}．要点四 由集合间的关系求参数范围问题例 4 已知集合 A＝{ x|－3≤ x≤4}， B＝{ x|2m－1＜ x＜ m＋1}，且 B⊆A.求实数 m 的取值范围．解 ∵ B⊆A，(1)当 B＝∅时， m＋1≤2 m－1，解得 m≥2.(2)当 B≠∅时，有Error!4解得－1≤ m＜2，综上得实数 m 的取值范围为{m|m≥－1}．规律方法 1.(1)分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个集合．(2)利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误．2．涉及字母参数的集合关系时，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．跟踪演练 4 已知集合 A＝{ x|1≤ x≤2}， B＝{ x|1≤ x≤ a， a≥1}．(1)若 A B，求 a 的取值范围；(2)若 B⊆A，求 a 的取值范围．解 (1)若 A B，由图可知 a＞2.(2)若 B⊆A，由图可知 1≤ a≤2.1．集合 A＝{ x|0≤ x＜3， x∈N}的真子集的个数为( )A．4 B．7 C．8 D．16答案 B解析 可知 A＝{0,1,2}，其真子集为：∅，{0}，{1}，{2} ，{0,1}，{0,2}，{1,2}．共有7(个)．2．设集合 M＝{ x|x＞－2}，则下列选项正确的是( )A．{0}⊆ M B．{0}∈ MC．∅∈ M D．0⊆ M答案 A解析 选项 B、C 中均是集合之间的关系，符号错误；选项 D 中是元素与集合之间的关系，符号错误．3．设全集 U＝R， A＝{ x|0≤ x≤6}，则∁ RA 等于( )A．{0,1,2,3,4,5,6} B．{ x|x＜0，或 x＞6}C．{ x|0＜ x＜6} D．{ x|x≤0，或 x≥6}答案 B解析 A＝{ x|0≤ x≤6}，结合数轴可得，∁ RA＝{ x|x＜0，或 x＞6}．4．已知集合 A＝{2,9}，集合 B＝{1－ m,9}，且 A＝ B，则实数 m＝________.答案 －15解析 ∵ A＝ B，∴1－ m＝2，∴ m＝－1.5．已知∅{ x|x2－ x＋ a＝0}，则实数 a 的取值范围是________ ．答案 { a|a≤ }14解析 ∵∅{ x|x2－ x＋ a＝0}．∴{ x|x2－ x＋ a＝0}≠∅.即 x2－ x＋ a＝0 有实根．∴ Δ ＝(－1) 2－4 a≥0，得 a≤ .141.对子集、真子集有关概念的理解(1)集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素，即由 x∈ A，能推出 x∈ B，这是判断A⊆B 的常用方法．(2)不能简单地把“ A⊆B”理解成“ A 是 B 中部分元素组成的集合” ，因为若 A＝∅ 时，则 A 中不含任何元素；若 A＝ B，则 A 中含有 B 中的所有元素．(3)在真子集的定义中， A、 B 首先要满足 A⊆B，其次至少有一个 x∈ B，但 x∉A.2．集合子集的个数求解集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．集合的子集、真子集个数的规律为：含 n 个元素的集合有 2n个子集，有 2n－1 个真子集，有2n－2 个非空真子集．一、基础达标1．下列命题中，正确的有( )①空集是任何集合的真子集；②若 A B， B C，则 A C；③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集；④如果不属于 B 的元素也不属于 A，则 A⊆B.A．①② B．②③C．②④ D．③④答案 C解析 ①空集只是空集的子集而非真子集，故①错；②真子集具有传递性，故②正确；③若一个集合是空集，则没有真子集，故③错；④画图易知④正确．62．已知集合 A⊆{0,1,2}，且集合 A 中至少含有一个偶数，则这样的集合 A 的个数为( )A．6 B．5 C．4 D．3答案 A解析 集合{0,1,2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1} ，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有 6 个．3．设集合 P＝{ x|y＝ x2}， Q＝{( x， y)|y＝ x2}，则 P 与 Q 的关系是( )A． P⊆Q B． P⊇QC． P＝ Q D．以上都不对答案 D解析 集合 P 是指函数 y＝ x2的自变量 x 的取值范围，集合 Q 是指所有二次函数 y＝ x2图象上的点，故 P， Q 不存在谁包含谁的关系．4．已知集合 A＝{ x|－1＜ x＜4}， B＝{ x|x＜ a}，若 A B，则实数 a 满足( )A． a＜4 B． a≤4C． a＞4 D． a≥4答案 D解析 由 A B，结合数轴，得 a≥4.5．集合{－1,0,1}共有________个子集．答案 8解析 由于集合中有 3 个元素，故该集合有 23＝8(个)子集．6．设 M 为非空的数集， M⊆{1,2,3}，且 M 中至少含有一个奇数元素，则这样的集合 M 共有________个．答案 6解析 集合{1,2,3}的所有子集共有 23＝8(个)，集合{2}的所有子集共有 2 个，故满足要求的集合 M 共有 8－2＝6(个)．7．已知集合 A＝{( x， y)|x＋ y＝2， x， y∈N}，试写出 A 的所有子集．解 ∵ A＝{( x， y)|x＋ y＝2， x， y∈N}，∴ A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．∴ A 的子集有：∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2) ，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．二、能力提升8．已知集合 A＝{ x|ax2＋2 x＋ a＝0， a∈R}，若集合 A 有且仅有 2 个子集，则实数 a 的取值是( )A．1 B．－1C．0,1 D．－1,0,17答案 D解析 因为集合 A 有且仅有 2 个子集，所以 A 仅有一个元素，即方程 ax2＋2 x＋ a＝0( a∈R)仅有一个根．(1)当 a＝0 时，方程化为 2x＝0，此时 A＝{0}，符合题意．(2)当 a≠0 时，由 Δ ＝2 2－4· a·a＝0，即 a2＝1，∴ a＝±1.此时 A＝{－1}，或 A＝{1}，符合题意．∴ a＝0 或 a＝±1.9．已知集合 A＝{高一·三班同学}， B＝{高一·三班二组成员}，则( )A． A⊇B B． A⊆BC． A B D． B A答案 D10．设集合 A＝{1,3， a}， B＝{1， a2－ a＋1}，且 A⊇B，则实数 a 的值为________．答案 －1 或 2解析 A⊇B，则 a2－ a＋1＝3 或 a2－ a＋1＝ a，解得 a＝2 或 a＝－1 或 a＝1，结合集合元素的互异性，可确定 a＝－1 或 a＝2.11．已知集合 A＝{ x|x2－4 x＋3＝0}， B＝{ x|mx－3＝0}，且 B⊆A，求实数 m 的集合．解 由 x2－4 x＋3＝0，得 x＝1 或 x＝3.∴集合 A＝{1,3}．(1)当 B＝∅时，此时 m＝0，满足 B⊆A.(2)当 B≠∅时，则 m≠0， B＝{ x|mx－3＝0}＝ .{3m}∵ B⊆A，∴ ＝1 或 ＝3，解之得 m＝3 或 m＝1.3m 3m综上可知，所求实数 m 的集合为{0,1,3}．三、探究与创新12．已知集合 A＝{ x|2a－2＜ x＜ a}， B＝{ x|1＜ x＜2}，且 A ∁RB，求 a 的取值范围．解 ∁ RB＝{ x|x≤1 或 x≥2}≠∅，∵ A ∁RB，∴分 A＝∅和 A≠∅ 两种情况讨论．(1)若 A＝∅，此时有 2a－2≥ a，∴ a≥2.(2)若 A≠∅，8则有Error! 或Error!∴ a≤1.综上所述， a 的取值范围是{ a|a≤1 或 a≥2}．13．若集合 A＝{ x|x2＋ x－6＝0}， B＝{ x|x2＋ x＋ a＝0}，且 B⊆A，求实数 a 的取值范围．解 A＝{－3,2}．对于 x2＋ x＋ a＝0，①当 Δ ＝1－4 a＜0，即 a＞ 时， B＝∅， B⊆A 成立；14②当 Δ ＝1－4 a＝0，即 a＝ 时，14B＝{－ }， B⊆A 不成立；12③当 Δ ＝1－4 a＞0，即 a＜ 时，若 B⊆A 成立，14则 B＝{－3,2}，∴ a＝－3×2＝－6.综上： a 的取值范围为{ a|a＞ 或 a＝－6}.14