2016高中数学 全册（课件+习题打包54套）湘教版必修1.zip

12．1 指数函数2．1.1 指数概念的推广[学习目标] 1.理解根式的概念及分数指数幂的含义.2.会进行根式与分数指数幂的互化.3.掌握根式的运算性质和有理指数幂的运算性质．[知识链接]1．4 的平方根为±2,8 的立方根为 2.2．2 3·22＝32，(2 2)2＝16，(2·3) 2＝36， ＝4.2523[预习导引]1．把 n(正整数)个实数 a 的连乘记作 an，当 a≠0 时有 a0＝1， a－ n＝ (n∈N)．1an2．整数指数幂的运算有下列规则：am·an＝ am＋ n， ＝ am－ n，( am)n＝ amn，( ab)n＝ an·bn，( )n＝ (b≠0)．aman ab anbn3．若一个(实)数 x 的 n 次方( n∈N， n≥2)等于 a，即 xn＝ a，就说 x 是 a 的 n 次方根.3 次方根也称为立方根．当 n 是奇数时，数 a 的 n 次方根记作 .naa＞0 时， ＞0； a＝0 时， ＝0； a＜0 时， ＜0.na n0 na当 n 是偶数时，正数 a 的 n 次方根有两个，它们互为相反数．其中正的 n 次方根叫作算术根，记作 .也就是说，当 a＞0 时，如 xn＝ a，那么 x＝± .na na规定： ＝0，负数没有偶次方根．n04．式子 叫作根式( n∈N， n≥2)， n 叫作根指数， a 叫作被开方数．一般地，有( )n＝ a.na na当 n 为奇数时， ＝ a；当 n 为偶数时， ＝| a|.nan nan5．当 a＞0， m， n∈N 且 n≥2 时，规定＝ a ， ＝ a .nam1nam 6．规定 0 的正分数指数幂为 0,0 没有负分数指数幂，在 a＞0 时，对于任意有理数 m， n 仍有公式am·an＝ am＋ n， ＝ am－ n，( am)n＝ amn，( ab)m＝ am·bm，( )m＝ (b≠0)．aman ab ambm7．对任意的正有理数 r 和正数 a，若 a＞1 则 ar＞1；若 a＜1 则 ar＜1.根据负指数的意义和倒数的性质可得：2对任意的负有理数 r 和正数 a，若 a＞1，则 ar＜1；若 a＜1 则 ar＞1.8．任意正数 a 的无理数次幂有确定的意义．于是，给了任意正数 a，对任意实数 x， a 的 x次幂 ax都有了定义．可以证明，有理数次幂的前述运算规律，对实数次幂仍然成立．类似地，还有不等式：对任意的正实数 x 和正数 a，若 a＞1 则 ax＞1；若 a＜1 则 ax＜1.对任意的负实数 x 和正数 a，若 a＞1 则 ax＜1；若 a＜1 则 ax＞1.要点一 根式的运算例 1 求下列各式的值：(1) ；(2) ；(3) ；3 － 2 3 4 － 3 2 8 3－ π  8(4) － ， x∈(－3,3)．x2－ 2x＋ 1 x2＋ 6x＋ 9解 (1) ＝－2.3 － 2 3(2) ＝ ＝ .4 － 3 2 432 3(3) ＝|3－π|＝π－3.8 3－ π  8(4)原式＝ － ＝| x－1|－| x＋3|， x－ 1 2  x＋ 3 2当－3＜ x≤1 时，原式＝1－ x－( x＋3)＝－2 x－2.当 1＜ x＜3 时，原式＝ x－1－( x＋3)＝－4.因此，原式＝Error!规律方法 1.解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．2．开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．跟踪演练 1 化简下列各式．(1) ；(2) ；(3) .5 － 2 5 4 － 10 4 4 a－ b 4解 (1) ＝－2.5 － 2 5(2) ＝|－10|＝10.4 － 10 4(3) ＝| a－ b|＝Error!4 a－ b 4要点二 根式与分数指数幂的互化例 2 将下列根式化成分数指数幂形式：(1) · ； (2) ；3a 4a aaa(3) · ； (4)( )2· .3a2 a3 3a ab33解 (1) · ＝ a ·a ＝ a ；3a 4a134712(2)原式＝ a ·a ·a ＝ a ；28(3)原式＝ a ·a ＝ a ；3136(4)原式＝( a )2·a ·b ＝ a b .12732规律方法 在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子： a ＝ 和 a ＝ ＝ ，其中字母 a 要使式子有意义．mnnam n1a 1nam跟踪演练 2 用分数指数幂表示下列各式：(1) · (a＜0)；(2) (a， b＞0)；3a 6－ a 3ab2 ab 3(3)( ) (b＜ 0)；(4) (x≠0)．4b2313x 5x2 2解 (1)原式＝ a ·(－ a)16＝－(－ a) ·(－ a) ＝－(－ a) (a＜0)；312(2)原式＝ ＝ 3ab2·ab 3ab＝( a ·b ) ＝ a b (a， b＞0)；5271567(3)原式＝ b × × ＝(－ b) (b＜0)；34219(4)原式＝ ＝ ＝ x .1x·x× 1x 53要点三 分数指数幂的运算例 3 (1)计算：0.064 － 0＋[(－2) 3] ＋16 －0.75 ＋|－0.01| ；13(－ 78) 412(2)化简： ÷ (a＞0)．3aa－ 3 3a－ 7·3a13解 (1)原式＝(0.4 3) －1＋(－2) －4 ＋(2 4)－0.75 ＋(0.1 2) ＝0.4 －1 －1＋ ＋ ＋0.1＝ .116 18 14380(2)原式＝[ a × ·a ×( )]÷[a ×( )·a × ]19221273123＝ a － ＋ － ＝ a0＝1.96376规律方法 指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．跟踪演练 3 计算或化简：4(1) ＋ (0.002) －10( －2) －1 ＋( － )0；(－ 338) 2215 2 3(2) · .3a·a－ 3  a－ 5 · a 13解 (1)原式＝(－1) ＋ － ＋123(338) (1500) 2105－ 2＝ ＋500 －10( ＋2)＋1(278) 3125＝ ＋10 －10 －20＋1＝－ .49 5 5 1679(2)原式＝( a ·a ) ·[(a－5 ) ·(a )13]323212＝( a0) ·(a ·a )13512＝( a－4 ) ＝ a－2 .1．下列各式正确的是( )A．( )3＝ a B．( )4＝－73a 47C．( )5＝| a| D. ＝ a5a 6a6答案 A解析 ( )4＝7，( )5＝ a， ＝| a|.47 5a 6a62. ＋ 的值是( ) a－ b 2 5 a－ b 5A．0 B．2( a－ b)C．0 或 2(a－ b) D． a－ b答案 C解析 当 a－ b≥0 时，原式＝ a－ b＋ a－ b＝2( a－ b)；当 a－ b＜0 时，原式＝ b－ a＋ a－ b＝0.3．计算[(－ )2] 的结果是 ( )21A. B．－2 2C. D．－22 22答案 A解析 [(－ )2] ＝[( )2] ＝ .212 1254．在 －1 ，2 ， ，2 －1 中，最大的数是( )(－12) (12)A. －1 B．2(－12) C. D．2 －1(12)答案 C解析 －1 ＝－2,2 ＝ ＝ ， ＝ ，2 －1 ＝ ，所以 最大．(－12) 1212 22 (12)2 12 (12)5．2 ＋ ＋ － ·8 ＝________. － 4 02 12－ 1  1－ 5 0 3答案 2 －32解析 原式＝ ＋ ＋ ＋1 －2 2＝2 －3.12 12 2 21.掌握两个公式：(1)( )n＝ a；(2) n 为奇数， ＝ a， n 为偶数， ＝| a|＝Error!na nan nan2．根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理指数幂的运算性质进行运算．在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解．一、基础达标1．化简 的结果是 ( )3aaA． a B. C． a2 D.a 3a答案 B解析 ＝( a·a ) ＝( a ) ＝ a ＝ .3aa123213a2．若(1－2 x) 有意义，则 x 的取值范围是( )4A．R B．{ x|x∈R 且 x≠ }12C．{ x|x＞ } D．{ x|x＜ }12 12答案 D解析 (1－2 x)－ ＝ ，∴1－2 x＞0，得 x＜ .34 14 1－ 2x 3 123．16 等于( )146A. B．－ C．2 D．－212 12答案 A解析 16 ＝ (24) ＝2 4×( )＝2 －1 ＝ .114124．计算 0.25－0.5 ＋ － 的值为( )(127) 3416A．7 B．3 C．7 或 3 D．5答案 B解析 0.25 －0.5 ＋ －(127) 3416＝ ＋ －(14) 2[(13)3] 424＝ 2×（ ） ＋ 3×（ ） －2(12) (13) ＝2＋3－2＝3.5．设 a － a ＝ m，则 等于( )12a2＋ 1aA． m2－2 B．2－ m2 C． m2＋2 D． m2答案 C解析 ∵ a － a ＝ m，∴ 2＝ m2，12(a－ a)即 a＋ a－1 －2＝ m2， a＋ ＝ m2＋2.1a∴ ＝ m2＋2.故选 C.a2＋ 1a6．如果 a＝3， b＝384，那么 a n－3 ＝________.[(ba)]答案 3×2 n－3解析 a n－3 ＝3 n－3 ＝3(128 )n－3 ＝3×2 n－3 .[(ba)] [(3843)] 177．求下列各式的值：(1)7 －3 －6 ＋ ；33 324319 4333(2) 0.5＋0.1 －2 ＋ －3π 0＋ .(279) (21027)3748解 (1)原式＝7×3 －3 －6 ＋1323×3 3(13)2 43×37＝7×3 －6×3 －6×3 ＋3131321＝2×3 －2×3×3＝2×3 －2×3 ＝0.1313(2)原式＝ ＋10 2＋ －3＋(259) (6427)3748＝ ＋100＋ －3＋ ＝100.53 916 3748二、能力提升8．设 2a＝5 b＝ m，且 ＋ ＝2，则 m 等于( )1a 1bA. B．10 C．20 D．10010答案 A解析 ∵2 a＝ m,5b＝ m，∴2＝ m ，5＝ m ，∵2×5＝ m ·m ＝ m ＋ ∴ m2＝10，∴ m＝ .1a1b1ab1ab10故选 A.9．化简 得( )23－ 610－ 43＋ 22A．3＋ B．2＋ C．1＋2 D．1＋22 3 2 3答案 A解析 原式＝ 23－ 610－ 4 2＋ 1＝ ＝23－ 622－ 42＋  2 2 23－ 6 2－ 2＝ ＝ 3＋ .9＋ 62＋ 2 210．设 α ， β 是方程 5x2＋10 x＋1＝0 的两个根，则 2α ·2β ＝________，(2 α )β ＝________.答案 214 5解析 利用一元二次方程根与系数的关系，得 α ＋ β ＝－2， αβ ＝ .15则 2α ·2β ＝2 α ＋ β ＝2 －2 ＝ ，(2 α )β ＝2 αβ ＝2 .14 1511．计算下列各式的值：(1)(0.027) － ＋256 ＋(2 ) －3 －1 ＋π 0；13(614)2342(2)(a ·b ) · ÷ (a＞0， b＞0)．855a4 5b38解 (1)原式＝[(0.3) 3] － ＋(4 4) ＋(2 ) － ＋1＝0.3－ ＋4 3＋2－ ＋1＝64 .1[(52)2]132313 52 13 715(2)原式＝ a ×( )·b( )×( )·a ÷b852655＝ a ·b ·a ÷b4343＝ a ＋ b － ＝ a0b0＝1.55三、探究与创新12．(1)已知 2x＋2 － x＝ a(常数)，求 8x＋8 － x的值；(2)已知 x＋ y＝12， xy＝9 且 x＜ y，求 的值．x－ yx＋ y解 (1)∵4 x＋4 － x＝(2 x)2＋(2 － x)2＝(2 x＋2 － x)2－2·2 x·2－ x＝ a2－2，∴8 x＋8 － x＝2 3x＋2 －3 x＝(2 x)3＋(2 － x)3＝(2 x＋2 － x)·[(2x)2－2 x·2－ x＋(2 － x)2]＝(2 x＋2 － x)(4x＋4 － x－1)＝ a(a2－2－1)＝ a3－3 a.(2) ＝x－ yx＋ y  x－ y 2 x＋ y  x－ y＝ .① x＋ y － 2 xyx－ y∵ x＋ y＝12， xy＝9，②∴( x－ y)2＝( x＋ y)2－4 xy＝12 2－4×9＝108.又∵ x＜ y，∴ x－ y＝－6 .③3将②③代入①，得 ＝ ＝－ .x－ yx＋ y 12－ 2×9－ 63 3313．当 x＝ ， y＝2－ 时，化简( x － y )·(x ＋ x y ＋ y )．2＋ 2 221432132解 原式＝( x )3－( y )3＝ x2－ y－1 ，因为 x＝ ， y＝2－ ，所以原式＝2＋ －12＋ 2 2 2＝ .12－ 2 2＋ 2212.4.2 计算函数零点的二分法[学习目标] 1.能用二分法求出方程的近似解.2.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想．[知识链接]现有一款三星手机，目前知道它的价格在 500～1 000 元之间，你能在最短的时间内猜出与它最近的价格吗？(误差不超过 20 元)，猜价格方案：(1)随机；(2)每次增加 20 元；(3)每次取价格范围内的中间价，采取哪一种方案好呢？[预习导引]用二分法求函数零点的一般步骤已知函数 y＝ f(x)定义在区间 D 上，求它在 D 上的一个零点 x0的近似值 x，使它与零点的误差不超过正数 ε ，即使得| x－ x0|≤ ε .用二分法求函数零点的一般步骤如下：(1)在 D 内取一个闭区间[ a0， b0]⊆D，使 f(a0)与 f(b0)异号，即 f(a0)·f(b0)＜0，零点位于区间[ a0， b0]中．(2)取区间[ a0， b0]的中点，则此中点对应的横坐标为 x0＝ .a0＋ b02计算 f(x0)和 f(a0)．并判断：①如果 f(x0)＝0，则 x0就是 f(x)的零点，计算终止；②如果 f(a0)·f(x0)＜0，则零点位于区间[ a0， x0]中，令 a1＝ a0， b1＝ x0；③如果 f(a0)·f(x0)＞0，则零点位于区间[ x0， b0]中，令 a1＝ x0， b1＝ b0.(3)对区间[ a1， b1]，按(2)中的方法，可以得到区间[ a2， b2]，且它的长度是区间[ a1， b1]长度的一半．如此反复地二分下去，可以得到一系列有限区间[ a0， b0]，[ a1， b1]，[ a2， b2]，[ a3， b3]，…，其中每个区间的长度都是它前一个区间长度的一半．继续实施上述步骤，函数的零点总位于区间[ an， bn]上，当| an－ bn|＜2 ε 时，区间[ an， bn]的中点 xn＝ (an＋ bn)就是函数 y＝ f(x)的近似零点，计算终止．这时函数 y＝ f(x)的近似零12点与真正零点的误差不超过 ε .要点一 二分法概念的理解例 1 下列图象与 x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )2答案 A解析 按定义， f(x)在[ a， b]上是连续的，且 f(a)·f(b)＜0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点．故结合各图象可得选项 B、C、D 满足条件，而选项 A 不满足，在 A 中，图象经过零点 x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解．故选 A.规律方法 1.准确理解“二分法”的含义．二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．2． “二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点．跟踪演练 1 (1)下列函数中，能用二分法求零点的为( )(2)用二分法求函数 f(x)在区间[ a， b]内的零点时，需要的条件是( )① f(x)在区间[ a， b]内连续不断；② f(a)·f(b)＜0；③ f(a)·f(b)＞0；④ f(a)·f(b)≥0.A．①② B．①③C．①④ D．①②③答案 (1)B (2)A解析 (1)函数图象连续不断，函数零点附近的函数值异号，这样的函数零点才能使用二分法求解，观察四个函数图象，只有 B 选项符合．(2)由二分法的意义，知选 A.3要点二 用二分法求方程的近似解例 2 用二分法求方程 x2－10＝0 在区间[3.1,3.2]上的近似解(误差不超过 0.001，即ε ＝0.001)．解 设 f(x)＝ x2－10，则 f(3.1)＝－0.39，f(3.2)＝0.24.取 a0＝3.1， b0＝3.2，有 f(a0)·f(b0)＜0.列表计算：n an bn bn－ an f(an) f(bn) xn＝an＋ bn20 3.100 0 3.200 0 0.100 0 －0.390 0 0.240 0 3.150 01 3.150 0 3.200 0 0.050 0 －0.077 5 0.240 0 3.175 02 3.150 0 3.175 0 0.025 0 －0.077 5 0.080 6 3.162 53 3.150 0 3.162 5 0.012 5 －0.077 5 0.001 4 3.156 34 3.156 3 3.162 5 0.006 2 －0.037 8 0.001 4 3.159 45 3.159 4 3.162 5 0.003 1 －0.018 2 0.001 4 3.161 06 3.161 0 3.162 5 0.001 5 －0.008 1 0.001 4 3.161 8由于 b6－ a6＝0.001 5＜0.002＝2 ε ，计算停止，取 ＝ x6＝ ＝3.161 x3.161 0＋ 3.162 5275≈3.162 为方程的近似解．规律方法 给定 ε ，用二分法求 f(x)零点近似值的步骤如下：(1)确定区间[ a， b]，验证 f(a)·f(b)＜0；(2)求区间( a， b)的中点 c；(3)计算 f(c)；①若 f(c)＝0，则 c 就是函数的零点；②若 f(a)·f(c)＜0，则令 b＝ c(此时零点 x0∈( a， c))；③若 f(a)·f(c)＞0，则令 a＝ c(此时零点 x0∈( c， b))．(4)重复第(3)步，可得到一系列有限区间，其中每个区间的长度都是它前一个区间长度的一半，当所在区间值小于 2ε 时，区间中点就是函数 f(x)的近似零点．跟踪演练 2 若函数 f(x)的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定 f(x)的零点所在的区间为______．(只填序号)①(－∞，1] ②[1,2] ③[2,3] ④[3,4]⑤[4,5] ⑥[5,6] ⑦[6，＋∞)x 1 2 3 4 5 6f(x) 136.123 15.542 －3.930 10.678 －50.667 －305.6784答案 ③④⑤1．用二分法求函数 f(x)＝ x3＋5 的零点可以取的初始区间是( )A．[－2,1] B．[－1,0]C．[0,1] D．[1,2]答案 A解析 ∵ f(－2)＝－3＜0， f(1)＝6＞0，f(－2)· f(1)＜0，故可取[－2,1]作为初始区间，用二分法逐次计算．2．定义在 R 上的函数 f(x)的图象是连续不断的曲线，已知函数 f(x)在区间( a， b)上有一个零点 x0，且 f(a)·f(b)＜0，用二分法求 x0时，当 f ＝0 时，则函数 f(x)的零点是( )(a＋ b2 )A．( a， b)外的点B． x＝a＋ b2C．区间 或 内的任意一个实数(a，a＋ b2 ) (a＋ b2 ， b)D． x＝ a 或 x＝ b答案 B解析 由二分法的思想，采用二分法得到的零点可能是准确值，也可能是近似值．由 f＝0，知选 B.(a＋ b2 )3．函数 f(x)的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程 f(x)＝0 在(1,2)内近似解的过程中得 f(1)＜0， f(1.5)＞0， f(1.25)＜0，则方程的解所在区间为( )A．(1.25,1.5) B．(1,1.25)C．(1.5,2) D．不能确定答案 A解析 由于 f(1.25)f(1.5)＜0，则方程的解所在区间为(1.25,1.5)．4．函数 f(x)＝log 2x＋2 x－1 的零点必落在区间( )A. B.(18， 14) (14， 12)C. D．(1,2)(12， 1)答案 C解析 f ＝－ ＜0，(18) 1545f ＝－ ＜0，(14) 52f ＝－1＜0，(12)f(1)＝1＞0， f(2)＝4＞0，∴函数零点落在区间 上．(12， 1)5．用二分法求方程 x3－2 x－5＝0 在区间(2,3)内的实根，取区间中点为 x0＝2.5，那么下一个有根的区间是________．答案 (2,2.5)解析 f(2)＝2 3－2×2－5＝－1＜0，f(2.5)＝2.5 3－2×2.5－5＝5.625＞0，∴下一个有根的区间是(2,2.5)．1.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的误差，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．2．并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：(1)在区间[ a， b]上连续不断；(2)f(a)·f(b)＜0.上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值．一、基础达标1．已知函数 f(x)的图象如图，其中零点的个数及可以用二分法求解的个数分别为( )A．4,4 B．3,4 C．5,4 D．4,3答案 D解析 由图象知函数 f(x)与 x 轴有 4 个交点，因此零点个数为 4，从左往右数第 4 个交点两侧不满足 f(a)·f(b)＜0，因此不能用二分法求零点，而其余 3 个均可使用二分法求零点．2．为了求函数 f(x)＝2 x－ x2的一个零点，某同学利用计算器，得到自变量 x 和函数值 f(x)的部分对应值[ f(x)的值精确到 0.01]如下表如示：6x 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0f(x) 1.16 1.00 0.68 0.24 －0.25 －0.70 －1.00则函数 f(x)的一个零点所在的区间是( )A．(0.6,1.0) B．(1.4,1.8)C．(1.8,2.2) D．(2.6,3.0)答案 C解析 ∵ f(1.8)·f(2.2)＝0.24×(－0.25)＜0，∴零点在区间(1.8,2.2)上．故选 C.3．用二分法研究函数 f(x)＝ x3＋3 x－1 的零点时，第一次经计算 f(0)＜0， f(0.5)＞0，可得其中一个零点 x0∈________，第二次应计算________，以上横线上应填的内容为( )A．(0,0.5)， f(0.25) B．(0,1)， f(0.25)C．(0.5,1)， f(0.75) D．(0,0.5)， f(0.125)答案 A解析 二分法要不断地取区间的中点值进行计算．由 f(0)＜0， f(0.5)＞0 知x0∈(0,0.5)．再计算 0 与 0.5 的中点 0.25 的函数值，以判断 x0的更准确位置．4．设方程 2x＋2 x＝10 的根为 β ，则 β ∈( )A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)答案 C解析 设 f(x)＝2 x＋2 x－10，则 f(x)在 R 上为单调增函数，故只有一个零点． f(0)＝－9， f(1)＝－6，f(2)＝－2， f(3)＝4，∴ f(2)·f(3)＜0.∴ β ∈(2,3)．5．函数 y＝ x与函数 y＝lg x 的图象的交点的横坐标约是( )(12)A．1.5 B．1.6C．1.7 D．1.8答案 D解析 设 f(x)＝lg x－ x，(12)经计算 f(1)＝－ ＜0， f(2)＝lg 2－ ＞0，12 14所以方程 lg x－ x＝0 在(1,2)内有解．(12)应用二分法逐步缩小方程实数解所在的区间，可知选项 D 符合要求．6．用二分法求方程 ln x－2＋ x＝0 在区间[1,2]上零点的近似值，先取区间中点 c＝ ，则327下一个含根的区间是________．答案 (1，32)解析 令 f(x)＝ln x－2＋ x，∵ f(1)＝－1＜0， f(2)＝ln 2＞0，f ＝ln － ＞0，(32) 32 12∴下一个含根的区间是 .(1，32)7．用二分法求函数 f(x)＝3 x－ x－4 的一个零点，其参考数据如下：f(1.600 0)＝0.200 f(1.587 5)＝0.133 f(1.575 0)＝0.067f(1.562 5)＝0.003 f(1.556 2)＝－0.029 f(1.550 0)＝－0.060据此数据，求 f(x)＝3 x－ x－4 的一个零点的近似值(误差为 0.01)．解 由表中 f(1.562 5)＝0.003， f(1.556 2)＝－0.029.∴ f(1.562 5)·f(1.556 2)＜0.又|1.562 5－1.556 2|＝0.006 3＜0.01，∴一个零点近似值为 1.562 5(不唯一)．二、能力提升8．在用“二分法”求函数 f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是( )A．[1,4] B．[－2,1]C. D.[－ 2，52] [－ 12， 1]答案 D解析 由于第一次所取的区间为[－2,4]，∴第二次所取区间为[－2,1]或[1,4]，第三次所取区间为， ， 或 .[－ 2， －12][－ 12， 1] [1， 52] [52， 4]9．下面关于二分法的叙述，正确的是( )A．用二分法可求所有函数零点的近似值B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C．二分法无规律可循D．只有在求函数零点时才用二分法答案 B解析 只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号，才可以用二分法8求函数的零点的近似值，故 A 错；二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故 C 错；求方程的近似解也可以用二分法，故 D 错．10．已知图象连续不断的函数 y＝ f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点(误差为 0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________．答案 4解析 设等分的最少次数为 n，则由 ＜0.01，得 2n＞10，∴ n 的最小值为 4.0.12n11．画出函数 f(x)＝ x2－ x－1 的图象，并利用二分法说明方程 x2－ x－1＝0 在[0,2]内的根的情况．解 图象如图所示，因为 f(0)＝－1＜0， f(2)＝1＞0，所以方程 x2－ x－1＝0在(0,2)内有根 x0；取(0,2)的中点 1，因为 f(1)＝－1＜0，所以 f(1)·f(2)＜0，根 x0在区间(1,2)内；再取(1,2)的中点 1.5， f(1.5)＝－0.25＜0，所以 f(1.5)·f(2)＜0，根 x0在区间(1.5,2)内；取(1.5,2)的中点 1.75， f(1.75)＝0.312 5＞0，所以 f(1.5)·f(1.75)＜0，根 x0在区间(1.5,1.75)内．这样继续下去，可以得到满足一定精确度的方程的近似根．三、探究与创新12．求方程 ln x＋ x－3＝0 在(2,3)内的近似解．(误差为 0.1)解 令 f(x)＝ln x＋ x－3，求函数 f(x)＝0 在(2,3)内的零点．∵ f(2)＝ln 2－1＜0， f(3)＝ln 3＞0，取(2,3)作为初始区间，用二分法列表如下：区间 中点的值 中点函数近似值(2,3) 2.5 0.416(2,2.5) 2.25 0.061(2,2.25) 2.125 －0.121(2.125,2.25) 2.187 5 －0.030∵2.25－2.187 5＝0.062 5＜0.1，9∴在区间(2.187 5,2.25)内任意实数都是函数的零点的近似值，即方程的近似解可取为2.25.13．用二分法求 的近似值(误差为 0.1)．5解 设 x＝ ，则 x2＝5，即 x2－5＝0，5令 f(x)＝ x2－5.因为 f(2.2)＝－0.16＜0. f(2.4)＝0.76＞0，所以 f(2.2)·f(2.4)＜0，说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点 x0，取区间(2.2,2.4)的中点 x1＝2.3，则 f(2.3)＝0.29.因为 f(2.2)·f(2.3)＜0，∴ x0∈(2.2,2.3)，再取区间(2.2,2.3)的中点 x2＝2.25，f(2.25)＝0.062 5.因为 f(2,2)·f(2.25)＜0，所以 x0∈(2.2,2.25)．由于|2.25－2.2|＝0.05＜0.1，所以 的近似值可取为 2.25.512．5 函数模型及其应用2．5.1 几种函数增长快慢的比较[学习目标] 1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长快慢；理解直线上升，对数增长，指数爆炸的含义.2.会分析具体的实际问题，建模解决实际问题．[预习导引]1．三种函数模型的性质函数性质y＝ ax(a＞1)y＝log ax(a＞1)y＝ xn(n＞0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增 单调递增 单调递增图象的变化随 x 增大逐渐变陡随 x 增大逐渐变缓随 n 值而不同2.三种函数的增长速度比较(1)在区间(0，＋∞)上，函数 y＝ ax(a＞1)， y＝log ax(a＞1)和 y＝ xn(n＞0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上．(2)在区间(0，＋∞)上随着 x 的增大， y＝ ax(a＞1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝ xn(n＞0)的增长速度，而 y＝log ax(a＞1)的增长速度则会越来越慢．(3)存在一个 x0，使得当 x＞ x0时，有 logax＜ xn＜ ax.要点一 函数模型的增长差异例 1 (1)当 x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )A． y＝10 000 x B． y＝log 2xC． y＝ x1 000 D． y＝ x(e2)(2)四个变量 y1， y2， y3， y4随变量 x 变化的数据如下表：x 1 5 10 15 20 25 30y1 2 26 101 226 401 626 9012y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109y3 2 10 20 30 40 50 60y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907关于 x 呈指数函数变化的变量是________．答案 (1)D (2) y2解析 (1)由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当 x 越来越大时，函数 y＝ x增长速度(e2)最快．(2)以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的．从表格中可以看出，四个变量 y1， y2， y3， y4均是从 2 开始变化，变量 y1， y2， y3， y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量 y2的增长速度最快，可知变量 y2关于 x 呈指数函数变化．规律方法 在区间(0，＋∞)上，尽管函数 y＝ ax(a＞1)， y＝log ax(a＞1)和 y＝ xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着 x 的增大，y＝ ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于 y＝ xn(n＞0)的增长速度，而y＝log ax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，总会存在一个 x0，若 x＞ x0，有 logax＜ xn＜ ax.跟踪演练 1 如图给出了红豆生长时间 t(月)与枝数 y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )A．指数函数： y＝2 t B．对数函数： y＝log 2tC．幂函数： y＝ t3 D．二次函数： y＝2 t2答案 A解析 由题中图象可知，该函数模型为指数函数．要点二 几种函数模型的比较例 2 某汽车制造商在 2013 年初公告：随着金融危机的解除，公司计划 2013 年生产目标定为 43 万辆．已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：年份 2010 2011 2012产量 8(万) 18(万) 30(万)如果我们分别将 2010,2011,2012,2013 定义为第一、二、三、四年．现在你有两个函数模型：3二次函数模型 f(x)＝ ax2＋ bx＋ c(a≠0)，指数函数模型 g(x)＝ a·bx＋ c(a≠0， b＞0， b≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年销量 y 与年份 x 的关系？解 建立年销量 y 与年份 x 的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30)．(1)构造二次函数模型 f(x)＝ ax2＋ bx＋ c(a≠0)，将点坐标代入，可得Error!解得 a＝1， b＝7， c＝0，则 f(x)＝ x2＋7 x，故 f(4)＝44，与计划误差为 1.(2)构造指数函数模型g(x)＝ a·bx＋ c(a≠0， b＞0， b≠1)，将点坐标代入，可得Error!解得 a＝ ， b＝ ， c＝－42.则 g(x)＝ · x－42，1253 65 1253 (65)故 g(4)＝ · 4－42＝44.4，与计划误差为 1.4.1253 (65)由(1)(2)可得， f(x)＝ x2＋7 x 模型能更好地反映该公司年销量 y 与年份 x 的关系．规律方法 1.此类问题求解的关键是首先利用待定系数法求出相关函数模型，也就是借助数据信息，得到相关方程，进而求出待定参数．2．理解“模型能更好反映该公司年销量 y 与年份 x 的关系”的含义，在此基础上利用既定值来检验模型的优劣．跟踪演练 2 函数 f(x)＝lg x， g(x)＝0.3 x－1 的图象如图．(1)指出 C1， C2分别对应图中哪一个函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对 f(x)， g(x)的大小进行比较)．解 (1)由函数图象特征及变化趋势，知曲线 C1对应的函数为 g(x)＝0.3 x－1，曲线 C2对应的函数为 f(x)＝lg x.(2)当 x∈(0， x1)时， g(x)＞ f(x)；当 x∈( x1， x2)时， g(x)＜ f(x)；当 x∈( x2，＋∞)时， g(x)＞ f(x)．函数 g(x)＝0.3 x－1 呈直线增长，函数 f(x)随着 x 的逐渐增大，其函数值变化的越来越慢，为“蜗牛式”增长.41．当 x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )A． y＝100 x B． y＝log 100xC． y＝ x100 D． y＝100 x答案 D解析 几种函数模型中，指数函数增长最快，故选 D.2．当 2＜ x＜4 时，2 x， x2，log 2x 的大小关系是( )A．2 x＞ x2＞log 2x B． x2＞2 x＞log 2xC．2 x＞log 2x＞ x2 D． x2＞log 2x＞2 x答案 B解析 方法一 在同一平面直角坐标系中分别画出函数 y＝log 2x， y＝ x2， y＝2 x，在区间(2,4)上从上往下依次是 y＝ x2， y＝2 x， y＝log 2x 的图象，所以 x2＞2 x＞log 2x.方法二 比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法．可取 x＝3，经检验易知选 B.3．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长 10.4%，要增长到原来的 x 倍，需经过 y 年，则函数 y＝ f(x)的图象大致是( )答案 D解析 设该林区的森林原有蓄积量为 a，由题意，得 ax＝ a(1＋0.104) y，故 y＝log 1.104x(x≥1)，∴ y＝ f(x)的图象大致为 D 中图象．4．某种动物繁殖数量 y(只)与时间 x(年)的关系为 y＝ alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100 只，到第 7 年它们发展到( )A．300 只 B．400 只C．500 只 D．600 只答案 A解析 由已知第一年有 100 只，得 a＝100.将 a＝100， x＝7 代入 y＝ alog2(x＋1)，得 y＝300.5．某种产品每件 80 元，每天可售出 30 件，如果每件定价 120 元，则每天可售出 20 件，如5果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为________．答案 y＝－ x＋50(0＜ x＜200)．14解析 设解析式为 y＝ kx＋ b，由Error! 解得 k＝－ ， b＝50，14∴ y＝－ x＋50(0＜ x＜200)．14三种函数模型的选取(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．(3)幂函数模型 y＝ xn(n＞0)，则可以描述增长幅度不同的变化： n 值较小( n≤1)时，增长较慢； n 值较大( n＞1)时，增长较快．一、基础达标1．下列函数中，增长速度最慢的是( )A． y＝6 x B． y＝log 6xC． y＝ x6 D． y＝6 x答案 B解析 对数函数增长的越来越慢，故选 B.2．甲从 A 地到 B 地，途中前一半路程的行驶速度是 v1，后一半路程的行驶速度是 v2(v1＜ v2)，则甲从 A 地到 B 地走过的路程 s 与时间 t 的关系图象为( )答案 B解析 ∵ v1＜ v2，∴前半段路程用的时间长．3．据报道，某淡水湖的湖水在 50 年内减少了 10%，若按此规律，设 2013 年的湖水量为 m，从 2013 年起，经过 x 年后湖水量 y 与 x 的函数关系为( )6A． y＝0.9 B． y＝(1－0.1 )mx50 x50C． y＝0.9 m D． y＝(1－0.1 50x)mx50答案 C解析 设每年湖水量为上一年的 q%，则( q%)50＝0.9，∴ q%＝0.9 .150∴ x 年后的湖水量为 y＝0.9 m.x504．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为 0.2 万公顷、0.4 万公顷和 0.76 万公顷，则沙漠增加数 y(万公顷)关于年数 x(年)的函数关系较为近似的是( )A． y＝0.2 x B． y＝ (x2＋2 x)110C． y＝ D． y＝0.2＋log 16x2x10答案 C解析 将 x＝1,2,3， y＝0.2,0.4,0.76 分别代入验算．5．已知某工厂生产某种产品的月产量 y 与月份 x 满足关系 y＝ a·(0.5)x＋ b，现已知该厂今年 1 月、2 月生产该产品分别为 1 万件、1.5 万件．则此厂 3 月份该产品产量为________万件．答案 1.75解析 由Error!得Error!所以 y＝－2×0.5 x＋2，所以 3 月份产量为 y＝－2×0.5 3＋2＝1.75(万件)．6．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图象如图所示．现给出下列说法：①前 5 min 温度增加的速度越来越快；②前 5 min 温度增加的速度越来越慢；③5 min 以后温度保持匀速增加；④5 min 以后温度保持不变．其中正确的说法是________．答案 ②④解析 因为温度 y 关于时间 t 的图象是先凸后平，即 5 min 前每当 t 增加一个单位增量Δ t，则 y 相应的增量 Δ y 越来越小，而 5 min 后 y 关于 t 的增量保持为 0，则②④正确．77．一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买全票一张，其余人可享受半票优惠． ”乙旅行社说：“家庭旅行为集体票，按原价 优惠． ”这两家旅行社的23原价是一样的．试就家庭里不同的孩子数，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠．解 设家庭中孩子数为 x(x≥1， x∈N ＋ )，旅游收费为 y，旅游原价为 a.甲旅行社收费： y＝ a＋ (x＋1) a＝ (x＋3) a；12 12乙旅行社收费： y＝ (x＋2) a.23∵ (x＋2) a－ (x＋3) a＝ (x－1) a，23 12 16∴当 x＝1 时，两家旅行社收费相等．当 x＞1 时，甲旅行社更优惠．二、能力提升8．若 x∈(1,2)，则下列结论正确的是( )A．2 x＞ ＞lg x B．2 x＞lg x＞12 12C． ＞ 2x＞lg x D． ＞lg x＞2 x1答案 A解析 ∵ x∈(1,2)，∴2 x∈(2,4)．∴ ∈(1 ， )，lg x∈(0,1)．122∴2 x＞ ＞lg x.9．向高为 H 的水瓶内注水，注满为止，如果注水量 V 与水深 h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( )答案 B解析 (如图)取 OH 的中点 E 作 h 轴的垂线，由图知当水深 h 达到容量一半时，体积 V 大于一半．易知 B 符合题意．810．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度 v m/s 和燃料质量 M kg、火箭(除燃料外)质量 m kg 的关系是 v＝2 000·ln ，则当燃料质量是火箭质量的______倍时，火箭的最(1＋Mm)大速度可达 12 km/s.答案 e 6－1解析 由题意得 2 000ln ＝12 000.(1＋Mm)∴ln ＝6，从而 ＝e 6－1.(1＋Mm) Mm11．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为 V(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为 Q，研究中发现 V 与 log3 成正比，且当 Q＝900 时， V＝1.Q100(1)求出 V 关于 Q 的函数解析式；(2)计算一条鲑鱼的游速是 1.5 m/s 时耗氧量的单位数．解 (1)设 V＝ k·log3 ，Q100∵当 Q＝900 时， V＝1，∴1＝ k·log3 ，900100∴ k＝ ，12∴ V 关于 Q 的函数解析式为 V＝ log3 .12 Q100(2)令 V＝1.5，则 1.5＝ log3 ，12 Q100∴ Q＝2 700，∴一条鲑鱼的游速是 1.5 m/s 时耗氧量为 2 700 个单位．三、探究与创新12．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为 50 元，其成本价为 25 元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有 0.5 立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施．方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理 1 立方米污水所用原料费 2 元，并且每月排污设备损耗费为 30 000 元；9方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理 1 立方米污水需付 14 元的排污费．问：(1)工厂每月生产 3 000 件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明．(2)若工厂每月生产 6 000 件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？解 设工厂每月生产 x 件产品时，依方案一的利润为 y1，依方案二的利润为 y2，由题意知y1＝(50－25) x－2×0.5 x－30 000＝24 x－30 000，y2＝(50－25) x－14×0.5 x＝18 x.(1)当 x＝3 000 时， y1＝42 000， y2＝54 000，∵ y1＜ y2，∴应选择方案二处理污水．(2)当 x＝6 000 时， y1＝114 000，y2＝108 000，∵ y1＞ y2，∴应选择方案一处理污水．13．我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．声音的强度用瓦/米2(W/m2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用 L1表示，它们满足以下公式： L1＝10 lg (单位为分贝， L1≥0，其中 I0＝1×10 －12 ，是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开II0端)．回答下列问题：(1)树叶沙沙声的强度是 1×10－12 W/m2，耳语的强度是 1×10－10 W/m2，恬静的无线电广播的强度是 1×10－8 W/m2，试分别求出它们的强度水平；(2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在 50 分贝以下，试求声音强度 I 的范围为多少？解 (1)由题意知：树叶沙沙声的强度水平为 L2＝10 lg ＝10 lg 1＝0(分贝)；I2I0耳语的强度水平为L3＝10 lg ＝10 lg 10 2＝20(分贝)；I3I0恬静的无线电广播的强度水平为L4＝10lg ＝10lg 10 4＝40(分贝)．I4I0(2)由题意知 0≤ L1＜50，即 0≤10lg ＜50，II010所以 1≤ ＜10 5，II0即 1×10－12 ≤ I＜1×10 －7 .所以新建的安静小区的声音强度 I 大于等于 1×10－12 W/m2，同时小于 1×10－7 W/m2.