1、第4讲：单纯形法的 进一步讨论,浙江工业大学经贸管理学院 曹柬,一、LP问题的标准化,LP模型的标准形式,运筹学 第4讲：单纯形法的进一步讨论,目标函数为max型X 0b 0,! 单纯形法仅适于LP标准模型的求解,非标准型LP模型的标准化（P10）,一、若目标函数为：min Z = CX令Z = -Z，则原目标函数转化为 max Z = -CX,二、若存在bi 0将bi所在的约束条件式两边同乘（1）,三、若约束条件不等式为“”左式加入松弛变量xj，xj0,运筹学 第4讲：单纯形法的进一步讨论,五、若存在xj无约束可令xj = xj - xj, xj, xj0,六、若存在xj 0令 xj = -
2、xj，xj0,四、若约束条件不等式为“”左式减去剩余变量xj，xj 0,运筹学 第4讲：单纯形法的进一步讨论,min z = x1 +2x2 + 3x3 s.t. -2x1 + x2 + x3 9-3x1 + x2 + 2x3 44x1 - 2x2 - 3x3 = -6 x10 , x2 0，x3无约束,例1：将下述LP模型转化为标准型,运筹学 第4讲：单纯形法的进一步讨论,max z = -3x1 + x3 s.t. x1 + x2 + x3 4-2x1 + x2 - x3 13x2 + x3 = 9x1, x2 , x3 0,例2：求解如下LP模型：,运筹学 第4讲：单纯形法的进一步讨论,
3、二、人工变量法(大M法),为使LP标准模型的初始可行基为单位矩阵，填入人工变量！,在目标函数中，令人工变量的系数为任意大的负值，采用“M”表示。,当所有检验数j 0，但基变量中仍含有非零的人工变量，说明该LP模型无可行解。,运筹学 第4讲：单纯形法的进一步讨论,退化问题：当存在多个相同的最小比值，或存在多个相同的最大j0时，说明模型中存在多余的约束，使多个基可行解对应同一顶点。当模型存在退化解时，处理方法如下：最小比值相同时，取下标值最大的变量为换出变量j最大值相同时，取下标值最小的变量为换入变量,运筹学 第4讲：单纯形法的进一步讨论,大M法的问题在于：采用手工计算求解不会碰到问题，但用计算机
4、求解时，对M只能在计算机中输入一个机器最大字长的数字；显然，如果其他参数值大于或与这个数字相近，便会导致计算结果发生错误！,运筹学 第4讲：单纯形法的进一步讨论,max z = -4x1 x2 s.t. 3x1 + x2 = 34x1 + 3x2 - x3 = 6x1 + 2x2 + x4 = 4x1-4 0,例3：P20例2.6,运筹学 第4讲：单纯形法的进一步讨论,运筹学 第4讲：单纯形法的进一步讨论,三、二阶段法,针对大M法存在的问题，我们可以对添加人工变量后的LP模型分为两个阶段来计算，称为二阶段法(P22)。,第一阶段：先求一个目标函数中只包含人工变量的LP模型，也就是说，令目标函数
5、中其他变量的系数为0，人工变量的系数为某个正常数(一般为1)，在原问题约束条件不变的情况下求解。第二阶段：当第一阶段求解结果表明模型有可行解时，在原问题中去除人工变量，从第一阶段的最优解出发，继续求解。,例4：采用二阶段法求解P22中LP模型,运筹学 第4讲：单纯形法的进一步讨论,运筹学 第4讲：单纯形法的进一步讨论,首先应确定当x5, x6=0时，可行域是否存在！,则第一阶段先求解如下的LP模型：,显然，若z=0，即x5, x6=0，则问题的可行域存在。,运筹学 第4讲：单纯形法的进一步讨论,x5, x6=0，则 z=0，问题的可行域存在。,运筹学 第4讲：单纯形法的进一步讨论,去除x5和x
6、6，进一步求解第二阶段的LP模型：,得到最优解和最优值。,四、采用单纯形法求解的几种情况,惟一最优解无可行解(P23-例2.7)所有检验数j 0，但基变量中仍含有非零人工变量无界解(例5)当存在最大的j 0，但值无解多重最优解(例6:习题2-1)当所有检验数0，但存在非基变量j = 0，该非基变量可以作为换入变量，模型存在多重最优解,运筹学 第4讲：单纯形法的进一步讨论,max z = 3x1 + 2x2 s.t. -2x1 + x2 2x1 - 3x2 3x1, x2 0,例5：求解如下LP模型,运筹学 第4讲：单纯形法的进一步讨论,max z = 3x1 + 2x2 + 0x3 + 0x4 s.t. -2x1 + x2 + x3 = 2x1 - 3x2 + x4 = 3x1, x2 0,解：将模型化为标准型，,运筹学 第4讲：单纯形法的进一步讨论,由于maxj |j 0所对应的值无解，则该LP问题解无界。,运筹学 第4讲：单纯形法的进一步讨论,作业：习题2-6，习题2-7，2.3(2, 3),准备：习题2-11，案例1，案例2,运筹学 第4讲：单纯形法的进一步讨论,
