1、第六章 二次型,6.1 二次型及其矩阵表示 6.2 化二次型为标准形 6.3 正定二次型与正定矩阵,在解析几何中 为了便于研究二次曲线 ax2bxycy21 的几何性质 我们可以选择适当的坐标旋转变换,把方程化为标准形 mx2ny21 化标准形的过程就是通过变量的线性变换化简一个二次齐次多项式 使它只含有平方项,6.1 二次型及其矩阵表示,或者，为了便于研究二次曲面,的几何性质 我们可以选择适当的坐标旋转变换,把方程化为标准形,（下面拓展到n元二次齐次函数）,称为二次型.,一、二次型及其标准形的概念,例如,都为二次型；,为二次型的标准形.,如果二次型的标准形形如 f y12y22 yp2yp1
2、2 yp+q2 p+qn 则这种标准形称为二次型的规范形,二、二次型的矩阵表示方法,若将含有 n 个变量 x1, x2 , , xn 的二次齐次多项式写成如下形式,我们可导出二次型的矩阵表示方法。,解,例,三、二次型的矩阵及秩,在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个 对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样， 二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系,6.2 化二次型为标准形,对于二次型，我们讨论的主要问题是： 寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形,一、线性变换,为线性变换。,称,定义：设A和B为两个n阶方阵，如果存在n阶可逆矩阵C，使得 ，,则称A与B
3、合同，或A合同与B。记为,并称由A到 的变换为合同变换，称C为合同变换矩阵。,二、矩阵的合同：,注意：矩阵间的合同关系与相似关系是不同的。,（相似等价）,（合同等价）,证明,即 为对称矩阵.,由此可知 经可逆变换 xCy后 二次型f 的矩阵由A变为与A合同的矩阵 CTAC（对称） 且二次型的秩不变,进一步，若 CTAC= -对角阵，,二次型能否经过非退化线性变换一定化为标准形?,问题一,定理,任何一个给定的二次型都可经过非退化线性变换化为标准形(或规范型)。换句话说，对 n 阶对称阵 A，总存在 n 阶可逆阵 C，使得,拉格朗日(Lagrange)配方法。,合同变换(行列对称初等变换)法；,常
4、见的方法,正交变换法。,问题二,如何化二次型为标准形?,针对二次型,针对二次型所对应的对称阵,三、化二次型为标准形的方法,（一）拉格朗日配方法,1. 若二次型含有 的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形。,拉格朗日配方法的步骤,例1,解,回代求解,所用变换矩阵为,2. 若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换,化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方 法配方.,解,例2,由于所给二次型中无平方项，所以,C1,再配方，得,回代求解,C2,所用变换矩阵为,所做非退化线性变换为,（二） 合同变换法化二次
5、型为标准形,(行变换与列变换对称，主对角以外元素化为零),已知矩阵间的合同关系亦为等价关系故可用初等变换来求与一个对称矩阵A合同的对角阵。,例3 用行列对称初等变换法化二次型为标准形。,解：,行变换与列变换对称,对称,（三）、用正交变换化二次型为标准形,用正交变换化二次型为标准形，其特点是保 持几何形状不变,(3) 令,即,其中,一、正交矩阵,则称 A 为正交矩阵。,此时显然有,则有,故 A 为正交矩阵。,正交矩阵的性质：,（2）若A为正交矩阵，则,证明： 因为A是正交矩阵，,所以有,(1) 若A是正交矩阵，则 及 均为正交矩阵,(3) 若A、B是n阶正交阵，则AB 为正交阵,证明：,所以，A
6、B为n阶方阵，,因为A、B是n阶矩阵，,且由A、B是正交矩阵，有,于是,所以AB 为正交矩阵.,证明,例1 设 问x为何值时,A为正交矩阵,解：,因为若A为正交矩阵，,令,例2 判别下列矩阵是否为正交阵,解,所以矩阵(1)不是正交矩阵,考察矩阵(1)的第一列和第二列，,由于,所以它是正交矩阵,由于,2.正交变换保持向量的长度不变,证明,性质,1.正交变换保持内积不变。,证明,定义 若C为正交阵，则线性变换 y=Cx 称为正交变换,二、正交变换,如何选取恰当的可逆变换矩阵C使,已知,结论：,n阶实对称矩阵必能正交合同对角化。,（1）实对称矩阵的特征值为实数.,证：,A为实对称矩阵,从而有,是A的
7、任一特征,值，则存在,两边取共轭转置,得,用X右乘上式得,又一方面,即,证：,因为,所以,由 时，得 ,即 正交.,（2）实对称矩阵A的不同特征值所对应的特征向量是正交的.,即几何重数等于代数重数,n阶实对称矩阵必能正交相似对角化。,（这里k可以为零）,用正交变换化二次型为标准形的具体步骤,正交变换不改变曲线或曲面的图形形状。,正交变换的特点：,（1）在正交变换X=CY下，向量的内积不变；,（2）正交变换X=CY把标准正交基变成标准正交基。,中的曲面方程可用二次型,表示,标准正交基,是A的标准正交特征向量， 给出了曲面的主轴方向。,主轴定理的几何说明：空间解析几何中的主轴化问题。,1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值,例2,从而得特征值,2求特征向量,3将特征向量正交化,得正交向量组,4将正交向量组单位化，得正交矩阵,于是所求正交变换为,即,主轴方向是特征向量 给出的方向。,小结,1. 实二次型的化简问题，在理论和实际中 经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一 一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩 阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请 同学们注意这种研究问题的思想方法,2. 实二次型的化简，并不局限于使用正交 矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运 算更快的可逆变换拉格朗日配方法与合同变 换法,
