（浙江专用）2017年高考数学 专题八 解析几何练习（打包10套）.zip

1【步步高】 （浙江专用）2017 年高考数学 专题八 解析几何 第 63 练 直线与圆练习训练目标 (1)直线与圆的位置关系的判断与应用；(2)训练解题步骤的规范性.训练题型 (1)求圆的方程；(2)切线问题、弦长问题；(3)直线与圆的位置关系的应用.解题策略利用直线与圆的位置关系的几何意义、弦长公式及弦心距、半径、弦长的一半之间的关系，列方程或不等式.1．(2015·河北藁城一中月考)已知圆 C 与直线 l： x＋ y－1＝0 相切于点 P(3，－2)，且圆心在直线 y＝－4 x 上，求圆 C 的方程．2．(2015·甘肃天水一中第三次考试)已知圆 C：( x－3) 2＋( y－4) 2＝4.(1)若直线 l1过定点 A(1,0)，且与圆 C 相切，求直线 l1的方程；(2)若圆 D 半径为 3，圆心在直线 l2： x＋ y－2＝0 上，且与圆 C 外切，求圆 D 的方程．23．(2015·安徽六校一联)在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(0,3)，直线 l： y＝2 x－4，设圆C 的半径为 1，圆心在 l 上．若圆心 C 也在直线 y＝ x－1 上，过点 A 作圆 C 的切线，求切线的方程．4．(2015·雅安重点中学 1 月月考)已知圆 C：( x－ a)2＋( y－ a－1) 2＝9，其中 a 为实常数．(1)若直线 l： x＋ y－3＝0 被圆 C 截得的弦长为 2，求 a 的值；(2)设点 A(3,0)， O 为坐标原点，若圆 C 上存在点 M，使| MA|＝2| MO|，求 a 的取值范围．5．(2015·江西百校联考)已知点 G(5,4)，圆 C1：( x－1) 2＋( y－4) 2＝25，过点 G 的动直线l 与圆 C1相交于 E， F 两点，线段 EF 的中点为 C.(1)求点 C 的轨迹 C2的方程；(2)若过点 A(1,0)的直线 l1与 C2相交于 P， Q 两点，线段 PQ 的中点为 M；又 l1与l2： x＋2 y＋2＝0 的交点为 N，求证：| AM|·|AN|为定值．34答案解析1．解 方法一 设圆的标准方程为( x－ a)2＋( y－ b)2＝ r2，则有Error!解得 a＝1， b＝－4， r＝2 ，2∴圆的方程为( x－1) 2＋( y＋4) 2＝8，方法二 过切点 P(3，－2)且与直线 x＋ y－1＝0 垂直的直线方程为 y＋2＝ x－3，与 y＝－4 x 联立可求得圆心坐标为(1，－4)，∴半径 r＝ ＝2 ，(1－ 3)2＋ (－ 4＋ 2)2 2∴所求圆的方程为( x－1) 2＋( y＋4) 2＝8.2．解 (1)当直线 l1的斜率不存在时，直线 l1的方程为 x＝1；当直线 l1的斜率存在时，设直线 l1的方程为 y＝ k(x－1)，由 d＝ ＝2，|2k－ 4|k2＋ 1得 k＝ ，直线 l1的方程为 3x－4 y－3＝0.34故直线 l1的方程为 x＝1 或 3x－4 y－3＝0.(2)设圆 D 的圆心为 D(a,2－ a)，∵圆 D 与圆 C 外切，∴| CD|＝5，即 ( a－3) 2＋(2－ a－4) 2＝25，解得 a＝3 或 a＝－2.∴圆 D 的方程为( x－3) 2＋( y＋1) 2＝9或( x＋2) 2＋( y－4) 2＝9.3．解 由Error!得圆心 C 为(3,2)，∵圆 C 的半径为 1，∴圆 C 的方程为( x－3) 2＋( y－2) 2＝1.显然切线的斜率一定存在，设所求圆 C 的切线方程为 y＝ kx＋3，即 kx－ y＋3＝0.∴ ＝1，|3k－ 2＋ 3|k2＋ 1∴|3 k＋1|＝ ，k2＋ 1∴2 k(4k＋3)＝0，∴ k＝0 或 k＝－ ，345∴所求圆 C 的切线方程为 y＝3 或 y＝－ x＋3.34即切线的方程为 y＝3 或 3x＋4 y－12＝0.4．解 (1)由圆的方程知，圆 C 的圆心坐标为 C(a， a＋1)，半径为 3.设圆心 C 到直线 l 的距离为 d，因为直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2，所以 d2＋1＝9，解得 d＝2 ，2所以 ＝2 ，|a＋ (a＋ 1)－ 3|2 2即| a－1|＝2，解得 a＝－1 或 a＝3.(2)设 M(x， y)，由| MA|＝2| MO|，得 ＝2 ，(x－ 3)2＋ y2 x2＋ y2即 x2＋ y2＋2 x－3＝0，所以点 M 在圆心为 D(－1,0)，半径为 2 的圆上，又因为点 M 在圆 C 上，所以圆 C 与圆 D 有公共点，所以 1≤| CD|≤5，即 1≤ ≤5，(a＋ 1)2＋ (a＋ 1)2即Error!解得Error!即－1－ ≤ a≤－1－ 或－1＋ ≤ a≤－1＋ .522 22 22 522故 a 的取值范围是[－1－ ，－1－ ]∪[－1＋ ，－1＋ ]．522 22 22 5225．(1)解 圆 C1的圆心为(1,4)，半径为 5，设 C(x， y)，则 ＝( x－1， y－4)， ＝(5－ x,4－ y)，C1C→ CG→ 由题设知 · ＝0，C1C→ CG→ 所以( x－1)(5－ x)＋( y－4)(4－ y)＝0，即( x－3) 2＋( y－4) 2＝4，所以点 C 的轨迹 C2的方程是( x－3) 2＋( y－4) 2＝4.(2)证明 直线与圆相交，斜率必定存在，且不为 0，可设直线方程为 kx－ y－ k＝0，由Error! 得 N( ，－ )，2k－ 22k＋ 1 3k2k＋ 1又直线 C2M 与 l1垂直，6由Error! 得 M( ， )，k2＋ 4k＋ 31＋ k2 4k2＋ 2k1＋ k2所以| AM|·|AN|＝ ·(\f(k2＋ 4k＋ 3,1＋ k2)－ 1)2＋ (\f(4k2＋ 2k,1＋ k2))2(\f(2k－ 2,2k＋ 1)－ 1)2＋ (\f(－ 3k,2k＋ 1))2＝ · ·2|2k＋ 1|1＋ k2 1＋ k2 31＋ k2|2k＋ 1|＝6(定值)．1【步步高】 （浙江专用）2017 年高考数学 专题八 解析几何 阶段滚动检测 4 练习一、选择题1．(2015·日照一模)已知集合 A＝{( x， y)|y＝lg x}， B＝{( x， y)|x＝ a}，若 A∩ B＝∅，则实数 a 的取值范围是( )A． aa)上的函数 f(x)＝ sin x－ cos x 的值域是12 32，则 b－ a 的最大值 M 和最小值 m 分别是( )[－12， 1]A． m＝ ， M＝ B． m＝ ， M＝π 6 π 3 π 3 2π3C． m＝ ， M＝2π D． m＝ ， M＝4π3 2π3 4π35．(2015·温州二测)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是( )A．(18π－20)cm 3 B．(24π－20) cm 3C．(18π－28) cm 3 D．(24π－28) cm 326．(2015·湖北八校联考)已知点 A 是抛物线 C1： y2＝2 px (p0)与双曲线 C2： － ＝1 x2a2 y2b2(a0， b0)的一条渐近线的交点(异于原点)，若点 A 到抛物线 C1的准线的距离为 p，则双曲线 C2的离心率等于( )A. B．22C. D．457．(2015·广西二市联考)若数列{ an}满足 a1＝1， an－1 ＋ an＝ (n∈N *，且anan－ 1(n2－ n)·(－ 1)nn≥2)，则数列{ }的前 6 项和为( )an＋ 1(2n＋ 1)(2n＋ 3)A．－3 B．－ C. D．3115 1158．已知 P 是以 F1， F2为焦点的椭圆 ＋ ＝1 (ab0)上的任意一点，若x2a2 y2b2∠ PF1F2＝ α ，∠ PF2F1＝ β ，且 cos α ＝ ，sin( α ＋ β )＝ ，则该椭圆的离心率为( )55 35A. B. C. D.53 54 56 57二、填空题9．(2015·南京调研)如图，过椭圆 ＋ ＝1 (ab0)的左顶点 A 作x2a2 y2b2直线 l 交 y 轴于点 P，交椭圆于点 Q.若△ AOP 是等腰三角形，且＝2 ，则椭圆的离心率为________．PQ→ QA→ 10．(2015·台州调考)在长方体 ABCD—A1B1C1D1中，AB＝ BC＝2， AA1＝1，若 E， F 为 BD1的两个三等分点， G 为长方体 ABCD—A1B1C1D1表面上的动点，则∠ EGF 的最大值为________．11．设实数 x， y 满足约束条件Error!则目标函数 z＝ x＋ y 的最大值为________．12．对正整数 n，设曲线 y＝ xn(1－ x)在 x＝2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 an，则数列的前 n 项和 Sn＝________.{ann＋ 1}13．如果关于 x 的不等式| x－3|－| x－4|0.且 a2， a5， a14分别是等比数列{ bn}的b2， b3， b4.(1)求数列{ an}与{ bn}的通项公式；(2)设数列{ cn}对任意自然数 n 均有 ＋ ＋…＋ ＝ an＋1 成立，求 c1＋ c2＋…＋ c2 016的c1b1 c2b2 cnbn值．19．(2015·浙江绍兴一中交流卷)如图，四边形 ABEF 是等腰梯形，AB∥ EF， AF⊥ BF，矩形 ABCD 与梯形 ABEF 所在的平面互相垂直，已知AB＝2， EF＝1.(1)求证：平面 DAF⊥平面 CBF；(2)当 AD 的长为何值时，二面角 D—FE—B 的大小为 60°？20．(2015·福建)已知椭圆 E： ＋ ＝1( a＞ b＞0)过点(0， )，且离心率 e＝ .x2a2 y2b2 2 22(1)求椭圆 E 的方程；(2)设直线 l： x＝ my－1( m∈R)交椭圆 E 于 A， B 两点，判断点 G 与以线段 AB 为直径(－94， 0)的圆的位置关系，并说明理由．5答案解析1．D [因为 y＝lg x 的定义域为{ x|x0}，依题意知，对数函数 y＝lg x 的图象与直线x＝ a 没有交点，所以 a≤0.故选 D.]2．C [A 中，由 D(x)的定义直接可得 D(x)的值域为{0,1}．B 中， D(x)的定义域为R， D(－ x)＝Error!＝ D(x)，所以 D(x)为偶函数．C 中， D(x＋1)＝Error!＝ D(x)，所以可以确定 1 为 D(x)的一个周期，D 中， D(1)＝1， D( )＝0， D(2)＝1，…，所以 D(x)不是单调2函数．]3．D [由 f(x－1)＝ f(x＋1)可知 T＝2.∵ x∈[0,1]时， f(x)＝ x，又∵ f(x)是偶函数，∴可得图象如图．∴ f(x)＝ x在 x∈[0,4]上解的个数为 4.](110)4．D [依题意得 f(x)＝sin ，在坐标平面内画出函数 y＝ f(x)的大致图象，结合图(x－π 3)象可知，当函数 y＝ f(x)的值域是 时， m＝ ， M＝2 m＝ ，故选 D.][－12， 1] 2π3 4π35．D [根据三视图知，所求的几何体是由一个圆柱挖去一个四棱台得到的，圆柱的底面直径就是四棱台底面正方形的对角线，其长为 4 cm，高为 3 cm，四棱台的上底与下底分别2是边长为 4 cm 和 2 cm 的正方形，高为 3 cm，因此所求几何体的体积 V＝ V 圆柱 － V 四棱台＝π×(2 )2×3－ ×3×(22＋ ＋4 2)＝(24π－28)cm 3，故选 D.]213 22×426．C [∵点 A 到抛物线 C1的准线的距离为 p，∴ A 在直线 y＝ x 上，∴ ＝ ＝4，(p2， p) ba b2a2 c2－ a2a26又∵ e1，∴ e＝ ，故选 C.]57．B [由题意可得 ＋ ＝ ，1an 1an－ 1 1n(n－ 1)(－ 1)n则 － ＝ － ，(－ 1)nan (－ 1)n－ 1an－ 1 1n－ 1 1n累加得 ＝－ ， an＝(－1) n－1 n，(－ 1)nan 1n所以 ＝ ，an＋ 1(2n＋ 1)(2n＋ 3) (－ 1)n(n＋ 1)(2n＋ 1)(2n＋ 3)则前 6 项的和为＋ ＋ ＋ ＋ ＋－ 23×5 35×7 － 47×9 59×11 － 611×13 713×15＝－ (13×7＋ 17×11＋ 111×15)＝－ ×14 (13－ 17＋ 17－ 111＋ 111－ 115)＝－ ，故选 B.]1158．D [依题意得， ＝ ＝ ，所以 ＝ ，|PF1|sin β |PF2|sin α |F1F2|sin(α ＋ β ) |PF1|＋ |PF2|sin α ＋ sin β |F1F2|sin(α ＋ β )故 e＝ ＝ .由已知得 0cos(α ＋ β )，|F1F2||PF1|＋ |PF2| sin(α ＋ β )sin α ＋ sin β即 cos(α ＋ β )－1 时，不等式的解集不是空集．14. a214解析 当俯视图如题中所示时，点 Q 与点 D1重合、点 N 与点 C 重合，点 M 为 AD1的中点，如图①所示，此时如果把正方体的侧面 CDD1C1作为投影面，则三棱锥 Q—BMN，即三棱锥 D1—BMC 的正视图即为侧面 CDD1C1上的三角形 CD1H，如图②所示，其中 H 为 DD1的中点，其面积为 a2.1415.[0，18]8解析 椭圆 ＋ y2＝1 的右焦点为 F(1,0)，当直线 AB 的斜率存在时，设 AB 的方程为x22y＝ k(x－1)，代入椭圆方程 ＋ y2＝1 中，得(1＋2 k2)x2－4 k2x＋2 k2－2＝0，设 A(x1， y1)，x22B(x2， y2)， P(x0， y0)，则 x1＋ x2＝ ，所以 x0＝ ， y0＝ k(x0－1)4k21＋ 2k2 2k21＋ 2k2＝－ ， ＝ ， ＝ ，所以 · ＝ －k1＋ 2k2 OP→ ( 2k21＋ 2k2， － k1＋ 2k2) PF→ ( 11＋ 2k2， k1＋ 2k2) OP→ PF→ 2k2(1＋ 2k2)2＝ ＝ ，当 k＝0 时， · ＝0，k2(1＋ 2k2)2 k2(1＋ 2k2)2 k21＋ 4k2＋ 4k4 OP→ PF→ 当 k≠0 时， · ＝ ＝ ≤ ，当且仅当 k2＝ 时等号成立，且 ·OP→ PF→ k21＋ 4k2＋ 4k414＋ 1k2＋ 4k2 18 12 OP→ 0.PF→ 当直线 AB 的斜率不存在时， F 与 P 重合，所以 · ＝0.OP→ PF→ 综上， · 的取值范围为 .OP→ PF→ [0， 18]16．解 (1) f(x)＝ sin cos －cos 2 ＋13x2 x2 x＝ sin x－ cos x＋32 12 12＝sin ＋ .(x－π 6) 12令 2kπ－ ≤ x－ ≤2 kπ＋ (k∈Z)，π 2 π 6 π 2则 2kπ－ ≤ x≤2 kπ＋ (k∈Z)，π 3 2π3∴所求增区间为 (k∈Z)．[2kπ －π 3， 2kπ ＋ 2π3](2)由 a2＋ b2＝6 abcos C，sin 2C＝2sin Asin B⇒c2＝2 ab，∴cos C＝ ＝ ＝3cos C－1，a2＋ b2－ c22ab 6abcos C－ 2ab2ab即 cos C＝ ，又∵00)，则点 D 的坐标为(1,0， t)，易知等腰梯形 ABEF 的高为 ，32则 F ， E ，(12， 32， 0) (－ 12， 32， 0)所以 ＝ ， ＝ .DF→ (－ 12， 32， － t) DE→ (－ 32， 32， － t)设平面 DFE 的一个法向量为 n1＝( x， y， z)，则 n1· ＝0， n1· ＝0，DF→ DE→ 即Error!令 z＝ ，解得 x＝0， y＝2 t，∴ n1＝(0,2 t， )．3 3取平面 BEF 的一个法向量 n2＝(0,0,1)，依题意得 cos 60°＝ ，即 ＝ ，|n1·n2||n1|·|n2| 12 |0＋ 0＋ 3|4t2＋ 3×1解得 t＝ (负值舍去)．32因此，当 AD 的长为 时，二面角 D—EF—B 的大小为 60°.3220．解 方法一 (1)由已知得，Error!解得 Error!所以椭圆 E 的方程为 ＋ ＝1.x24 y22(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， AB 的中点为 H(x0， y0)．由Error!得( m2＋2) y2－2 my－3＝0.11所以 y1＋ y2＝ ， y1y2＝－ ，2mm2＋ 2 3m2＋ 2从而 y0＝ .mm2＋ 2所以| GH|2＝ 2＋ y ＝ 2＋ y(x0＋94) 20 (my0＋ 54) 20＝( m2＋1) y ＋ my0＋ .2052 2516＝|AB|24 (x1－ x2)2＋ (y1－ y2)24＝(1＋ m2)(y1－ y2)24＝(1＋ m2)[(y1＋ y 2)2－ 4y1y2]4＝(1＋ m2)(y － y1y2)，20故| GH|2－ ＝ my0＋(1＋ m2)y1y2＋|AB|24 52 2516＝ － ＋5m22(m2＋ 2) 3(1＋ m2)m2＋ 2 2516＝ ＞0，17m2＋ 216(m2＋ 2)所以| GH|＞ .|AB|2故点 G 在以 AB 为直径的圆外．(－94， 0)方法二 (1)同方法一．(2)设点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 ＝ ， ＝ .GA→ (x1＋ 94， y1) GB→ (x2＋ 94， y2)由Error!得( m2＋2) y2－2 my－3＝0，所以 y1＋ y2＝ ，2mm2＋ 2y1y2＝－ ，3m2＋ 212从而 · ＝ ＋ y1y2GA→ GB→ (x1＋ 94)(x2＋ 94)＝ ＋ y1y2(my1＋54)(my2＋ 54)＝( m2＋1) y1y2＋ m(y1＋ y2)＋54 2516＝ ＋ ＋－ 3(m2＋ 1)m2＋ 2 52m2m2＋ 2 2516＝ ＞0，17m2＋ 216(m2＋ 2)所以 cos〈 ， 〉＞0.GA→ GB→ 又 ， 不共线，所以∠ AGB 为锐角．GA→ GB→ 故点 G 在以 AB 为直径的圆外．(－94， 0)1【步步高】 （浙江专用）2017 年高考数学 专题八 解析几何 第 64 练 椭圆的定义与标准方程练习训练目标(1)理解椭圆的定义，能利用定义求方程；(2)会依据椭圆标准方程用待定系数法求椭圆方程.训练题型 (1)求椭圆的标准方程；(2)椭圆定义的应用；(3)求参数值.解题策略(1)定义法求方程；(2)待定系数法求方程；(3)根据椭圆定义及 a、 b、 c 之间的关系列方程求参数值.一、选择题1．椭圆 ＋ y2＝1 的两个焦点为 F1、 F2，过 F1作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交，一个交点x24为 P，则| PF2|等于( )A. B.32 3C. D．4722．(2015·厦门上学期期末)椭圆 E： ＋ ＝1( a0)的右焦点为 F，直线 y＝ x＋ m 与椭圆 Ex2a2 y23交于 A， B 两点，若△ FAB 周长的最大值为 8，则 m 的值等于( )A．0 B．1 C. D．233．(2015·四川石室中学“一诊”)点 F 为椭圆 ＋ ＝1( ab0)的一个焦点，若椭圆上存x2a2 y2b2在点 A，使得△ AOF 为正三角形，那么椭圆的离心率为( )A. B.22 32C. D. －13－ 12 34．(2015·三明模拟)设 F1， F2是椭圆 ＋ ＝1 的两个焦点， P 是椭圆上的点，且x249 y224|PF1|∶| PF2|＝4∶3，则△ PF1F2的面积为( )A．30 B．25C．24 D．405．(2016·杭州月考)若椭圆 ＋ ＝1( ab0)的离心率 e＝ ，右焦点为 F(c,0)，方程x2a2 y2b2 12ax2＋2 bx＋ c＝0 的两个实数根分别是 x1， x2，则点 P(x1， x2)到原点的距离为 ( )2A. B.272C．2 D.746．一个椭圆的中心在原点，焦点 F1， F2在 x 轴上， P(2， )是椭圆上一点，且3|PF1|，| F1F2|，| PF2|成等差数列，则椭圆的方程为( )A. ＋ ＝1 B. ＋ ＝1x28 y26 x216 y26C. ＋ ＝1 D. ＋ ＝1x28 y24 x216 y247．我们把离心率为黄金比 的椭圆称为“优美椭圆” ．设 F1， F2是“优美椭圆”5－ 12C： ＋ ＝1( ab0)的两个焦点，则椭圆 C 上满足∠ F1PF2＝90°的点 P 的个数为( )x2a2 y2b2A．0 B．1 C．2 D．38．已知两圆 C1：( x－4) 2＋ y2＝169， C2：( x＋4) 2＋ y2＝9，动圆在圆 C1内部且和圆 C1相内切，和圆 C2相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为( )A. － ＝1 B. ＋ ＝1x264 y248 x248 y264C. － ＝1 D. ＋ ＝1x248 y264 x264 y248二、填空题9．(2015·上海市十三校联考)若椭圆的方程为 ＋ ＝1，且此椭圆的焦距为 4，则x210－ a y2a－ 2实数 a＝________.10．(2015·合肥一模)若椭圆 ＋ ＝1 的焦点在 x 轴上，过点(1， )作圆 x2＋ y2＝1 的切x2a2 y2b2 12线，切点分别为 A， B，直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是________________．11．设 F1， F2分别是椭圆 ＋ y2＝1 的左，右焦点，若 P 是第一象限内该椭圆上的一点，且x24· ＝－ ，则点 P 的坐标为________．PF1→ PF2→ 5412．已知中心在原点，焦点坐标为 (0，±5 )的椭圆被直线 3x－ y－2＝0 截得的弦的中点2的横坐标为 ，则该椭圆的方程为________________．123答案解析1．C [不妨设 F1的坐标为( ，0)， P 点坐标为( x0， y0)，3∵ PF1与 x 轴垂直，∴ x0＝ .3把 x0＝ 代入椭圆方程 ＋ y2＝1，得 y ＝ ，3x24 20 14∴| PF1|＝ ，∴| PF2|＝4－| PF1|＝ .]12 722．B [设椭圆的左焦点为 F′，则△ FAB 的周长为 AF＋ BF＋ AB≤ AF＋ BF＋ AF′＋ BF′＝4 a＝8，所以 a＝2，当直线 AB 过焦点 F′(－1,0)时，△ FAB 的周长取得最大值，所以 0＝－1＋ m，所以 m＝1，故选 B.]3．D [由题意，可设椭圆的焦点 F 的坐标为( c,0)，因为△ AOF 为正三角形，则点( ， c)在椭圆上，c2 32代入得 ＋ ＝1，c24a2 3c24b2即 e2＋ ＝4，得 e2＝4－2 ，3e21－ e2 3因为 e∈(0,1)，解得 e＝ －1.3故选 D.]4．C [∵| PF1|＋| PF2|＝14，又| PF1|∶| PF2|＝4∶3，∴| PF1|＝8，| PF2|＝6，∵| F1F2|＝10，∴ PF1⊥ PF2.∴ S△ PF1F2＝ |PF1|·|PF2|12＝ ×8×6＝24.]125．A [由 e＝ ＝ ，得 a＝2 c，ca 12所以 b＝ ＝ c，a2－ c2 3则方程 ax2＋2 bx＋ c＝0 为 2x2＋2 x＋1＝0，34所以 x1＋ x2＝－ ， x1x2＝ ，312则点 P(x1， x2)到原点的距离为d＝ ＝x21＋ x2 (x1＋ x2)2－ 2x1x2＝ ＝ ，故选 A.]3－ 1 26．A [设椭圆的标准方程为 ＋ ＝1( ab0)．x2a2 y2b2由点 P(2， )在椭圆上知 ＋ ＝1.34a2 3b2又| PF1|，| F1F2|，| PF2|成等差数列，则| PF1|＋| PF2|＝2| F1F2|，即 2a＝2×2 c， ＝ ，ca 12又 c2＝ a2－ b2，联立得 a2＝8， b2＝6，故选 A.]7．A [设| PF1|＝ m，| PF2|＝ n，则 Error!mn＝2 a2－2 c2.而 ＝ ，5－ 12 ca所以 mn＝2 a2－2( a)2＝( －1) a2，5－ 12 5与 m＋ n＝2 a 联立无实数解．]8．D [设圆 M 的半径为 r，则| MC1|＋| MC2|＝(13－ r)＋(3＋ r)＝168＝| C1C2|，所以 M 的轨迹是以 C1， C2为焦点的椭圆，且 2 a＝16,2 c＝8，故所求的轨迹方程为 ＋ ＝1.]x264 y2489．4 或 8解析 ①当焦点在 x 轴上时，10－ a－( a－2)＝2 2，解得 a＝4.②当焦点在 y 轴上时， a－2－(10－ a)＝2 2，解得 a＝8.10. ＋ ＝1x25 y24解析 由题意可设斜率存在的切线的方程为5y－ ＝ k(x－1)( k 为切线的斜率)，12即 2kx－2 y－2 k＋1＝0，由 ＝1，解得 k＝－ ，|－ 2k＋ 1|4k2＋ 4 34所以圆 x2＋ y2＝1 的一条切线方程为 3x＋4 y－5＝0，求得切点 A( ， )，易知另一切点 B(1,0)，35 45则直线 AB 的方程为 y＝－2 x＋2.令 y＝0 得右焦点为(1,0)，即 c＝1，令 x＝0 得上顶点为(0,2)，即 b＝2，所以 a2＝ b2＋ c2＝5，故所求椭圆的方程为 ＋ ＝1.x25 y2411．(1， )32解析 设 P(x， y)(x0， y0)， F1(－ ，0)， F2( ，0)．3 3则Error!解得Error! 即 P(1， )．3212. ＋ ＝1y275 x225解析 根据题意可设椭圆的方程为＋ ＝1( ab0)，y2a2 x2b2联立直线与椭圆方程可得，(9b2＋ a2)x2－12 b2x＋4 b2－ a2b2＝0，则可得弦的中点的横坐标为 ，6b29b2＋ a2即 ＝ ，6b29b2＋ a2 12又 a2－ b2＝50，解得 a2＝75， b2＝25，所以椭圆的方程为 ＋ ＝1.y275 x2251【步步高】 （浙江专用）2017 年高考数学 专题八 解析几何 第 65 练 椭圆的几何性质练习训练目标 熟练掌握椭圆的几何性质并会应用.训练题型(1)求离心率的值或范围；(2)应用几何性质求参数值或范围；(3)椭圆方程与几何性质综合应用.解题策略(1)利用定义| PF1|＋| PF2|＝2 a 找等量关系；(2)利用 a2＝ b2＋ c2及离心率 e＝找等量关系；(3)利用焦点三角形的特殊性找等量关系.ca一、选择题1．(2015·日照二模)已知焦点在 x 轴上的椭圆 C： ＋ y2＝1( a0)，过右焦点作垂直于 xx2a2轴的直线交椭圆于 A、 B 两点，且| AB|＝1，则该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.32 12 154 532．(2015·山西大学附中月考)已知椭圆 C： ＋ ＝1( ab0)的左，右焦点分别为x2a2 y2b2F1， F2，若椭圆 C 上恰好有 6 个不同的点 P，使得△ F1F2P 为等腰三角形，则椭圆 C 的离心率的取值范围是( )A．( ， ) B．( ，1)13 23 12C．( ，1) D．( ， )∪( ，1)23 13 12 123．(2015·江西吉安一中上学期第二阶段考试)在椭圆 ＋ ＝1 上有两个动点 P， Q， E(3,0)为x236 y29定点， EP⊥ EQ，则 E ·Q 的最小值为( )P→ P→ A．6 B．3－ C．9 D．12－63 34．(2015·江西重点中学盟校一联)已知焦点在 x 轴上的椭圆的方程为 ＋ ＝1，随着x24a y2a2－ 1a 的增大，该椭圆的形状( )A．越接近于圆 B．越扁C．先接近于圆后越扁 D．先越扁后接近于圆5．(2015·包头学业水平测试二)已知椭圆 E： ＋ ＝1( ab0)的右焦点为 F(3,0)，过点x2a2 y2b2F 的直线交 E 于 A， B 两点，若 AB 的中点坐标为(2，－1)，则 E 的方程为( )2A. ＋ ＝1 B. ＋ ＝1x218 y29 x232 y216C. ＋ ＝1 D. ＋ ＝1x227 y218 x236 y2276．已知椭圆 C： ＋ ＝1( ab0)的左焦点为 F，椭圆 C 与过原点的直线相交于 A， B 两点，x2a2 y2b2连接 AF， BF，若| AB|＝10，| AF|＝6，cos∠ ABF＝ ，则椭圆 C 的离心率为( )45A. B. C. D.12 22 57 587．(2015·滕州第五中学上学期第三次阶段性考试)已知椭圆 ＋ ＝1( ab0)上一点 A 关x2a2 y2b2于原点的对称点为点 B， F 为右焦点，若 AF⊥ BF，设∠ ABF＝ α ，且 α ∈[ ， ]，则该椭π 6 π 4圆离心率 e 的取值范围为( )A．[ ， －1] B．[ ，1)22 3 22C．[ ， ] D．[ ， ]22 32 33 638.如图， F1， F2是椭圆 C1： ＋ y2＝1 与双曲线 C2的公共焦点， A， B 分x24别是 C1， C2在第二、四象限的公共点．若四边形 AF1BF2为矩形，则 C2的离心率是( )A. B. C. D.2 332 62二、填空题9．(2015·江苏宿豫实验高中第四次质量抽测)椭圆 C： ＋ ＝1( ab0)的右焦点为 F，直x2a2 y2b2线 y＝－ x 与椭圆 C 交于 A， B 两点，且 AF⊥ BF，则椭圆 C 的离心率为________．310．(2015·苏锡常镇二调)已知 A 为椭圆 ＋ ＝1 上的动点， MN 为圆( x－1) 2＋ y2＝1 的一x29 y25条直径，则 A ·A 的最大值为________．M→ N→ 11．(2015·上海六校 3 月联考)已知点 F 为椭圆 C： ＋ y2＝1 的左焦点，点 P 为椭圆 C 上x22任意一点，点 Q 的坐标为(4,3)，则| PQ|＋| PF|取最大值时，点 P 的坐标为________．12．(2015·黑龙江哈六中上学期期末)已知椭圆 ＋ ＝1( ab0)的左，右焦点分别为x2a2 y2b23F1(－ c,0)， F2(c,0)，若椭圆上存在点 P 使 ＝ ，则该椭圆的离心率的asin∠ PF1F2 csin∠ PF2F1取值范围为____________．4答案解析1．A [因为椭圆 ＋ y2＝1( a0)的焦点在 x 轴上，x2a2所以 c＝ ，a2－ 1又过右焦点且垂直于 x 轴的直线为 x＝ c，将其代入椭圆方程中，得 ＋ y2＝1，c2a2则 y＝± ，1－ c2a2又| AB|＝1，所以 2 ＝1，1－ c2a2得 ＝ ，c2a2 34又椭圆的离心率 e∈(0,1)，所以该椭圆的离心率 e＝ ＝ .]ca 322．D [6 个不同的点中有两个为短轴的两个端点，另外 4 个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称，左右对称，不妨设 P 在第一象限，|PF1||PF2|，当| PF1|＝| F1F2|＝2 c 时，|PF2|＝2 a－| PF1|＝2 a－2 c，即 2c2a－2 c，解得 e＝ ，ca12因为 02c，且 2c＋2 c2a－2 c，解得 0，所以 e2＋2 e－10(0 e1)，解得椭圆离心率的取值范围为( －1,1)．21【步步高】 （浙江专用）2017 年高考数学 专题八 解析几何 第 66 练 双曲线的定义与标准方程练习训练目标 (1)理解双曲线定义并会灵活应用；(2)会求双曲线标准方程.训练题型 (1)利用定义求方程；(2)利用标准方程求双曲线方程；(3)标准方程的应用.解题策略 (1)根据定义求轨迹方程；(2)待定系数法求标准方程.一、选择题1．(2015·厦门质检)已知 M(－2,0)， N(2,0)，| PM|－| PN|＝4，则动点 P 的轨迹是( )A．双曲线B．双曲线左边一支C．一条射线D．双曲线右边一支2．已知方程 ＋ ＝1 的图象是双曲线，则 m 的取值范围是( )x22－ m y2m－ 1A． m2C．123．已知双曲线的中心在原点，且一个焦点为 F1(－ ，0)，点 P 位于该双曲线上，线段 PF15的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程为( )A. － y2＝1 B． x2－ ＝1x24 y24C. － ＝1 D. － ＝1x22 y23 x23 y224．(2015·天津)已知双曲线 － ＝1( a＞0， b＞0)的一条渐近线过点(2， ) ，且双曲x2a2 y2b2 3线的一个焦点在抛物线 y2＝4 x 的准线上，则双曲线的方程为( )7A. － ＝1 B. － ＝1x221 y228 x228 y221C. － ＝1 D. － ＝1x23 y24 x24 y235．(2015·山东滕州第一中学 1 月期末)过双曲线 C： － ＝1( a0， b0)的右顶点作 x 轴x2a2 y2b2的垂线与 C 的一条渐近线相交于点 A，若以 C 的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过 A， O 两点( O 为坐标原点)，则双曲线 C 的方程为( )A. － ＝1 B. － ＝1x24 y212 x27 y292C. － ＝1 D. － ＝1x28 y28 x212 y246．(2015·宜宾一模)已知点 F1(－ ，0)， F2( ，0)，动点 P 满足| PF2|－| PF1|＝2，当点2 2P 的纵坐标为 时，点 P 到坐标原点的距离是( )12A. B.62 32C. D．237．(2015·开封摸底)从双曲线 － ＝1( a0， b0)的左焦点 F 引圆 x2＋ y2＝ a2的切线，切x2a2 y2b2点为 T，延长 FT 交双曲线右支于 P 点，若 M 为线段 FP 的中点， O 为坐标原点，则|MO|－| MT|与 b－ a 的关系为( )A．| MO|－| MT|b－ aB．| MO|－| MT|0， b0)的一条渐近线平行于直线x2a2 y2b2l： y＝2 x＋10，双曲线的一个焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为________．3答案解析1．C [因为| PM|－| PN|＝| MN|＝4，所以动点 P 的轨迹是以 N(2,0)为端点向右的一条射线，故选 C.]2．D [由(2－ m)(m－1)2.]3．B [方法一 由题意得，双曲线的另一个焦点 F2的坐标为( ，0)，5点 P 的坐标为( ，4)，所以| PF1|＝ ＝6，5 (2\r(5))2＋ 42|PF2|＝4， a＝ ＝1， b2＝ c2－ a2＝4，6－ 42所以双曲线的方程为 x2－ ＝1.y24方法二 由题意得，双曲线的另一个焦点 F2的坐标为( ，0)，点 P 的坐标为( ，4)，设5 5双曲线方程为 － ＝1( a0， b0)，则有Error!得Error!故双曲线的方程为 x2－ ＝1.]x2a2 y2b2 y244．D [双曲线 － ＝1 的渐近线方程为 y＝± x，x2a2 y2b2 ba又渐近线过点(2， )，所以 ＝ ，即 2b＝ a，①32ba 3 3抛物线 y2＝4 x 的准线方程为 x＝－ ，7 7由已知，得 ＝ ，即 a2＋ b2＝7，②a2＋ b2 7联立①②解得 a2＝4， b2＝3，所求双曲线的方程为 － ＝1，选 D.]x24 y235．A [依题意， A(a， b)，以 C 的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过 A， O 两点( O 为坐标原点)，∴ c＝4， ＝4，(4－ a)2＋ (－ b)2又 a2＋ b2＝16，∴ a＝2， b2＝12，∴双曲线 C 的方程为 － ＝1.]x24 y2126．A [由已知可得动点 P 的轨迹为焦点在 x 轴上的双曲线的左支，且 c＝ ， a＝1，∴ b＝1，2∴双曲线方程为 x2－ y2＝1( x≤－1)．将 y＝ 代入上式，可得点 P 的横坐标为 x＝－ ，12 524∴点 P 到原点的距离为 ＝ .](－ \f(\r(5),2))2＋ (\f(1,2))2627．C [设 F1是双曲线的右焦点，连接 PF1，由双曲线的定义知| PF|－| PF1|＝2 a，①∵ OM 是△ FF1P 的中位线，∴| PF1|＝2| OM|，②又∵ M 是 FP 的中点，∴| PF|＝2| MF|，③②③代入①得 2|MF|－2| OM|＝2 a，|MF|－| OM|＝ a，④∵| MF|＝| MT|＋| TF|，|TF|2＝| OF|2－| OT|2＝ c2－ a2＝ b2，∴| TF|＝ b，∴| MF|＝| MT|＋ b，⑤把⑤代入④得| MT|＋ b－| OM|＝ a，∴| OM|－| MT|＝ b－ a，故选 C.]8．B [设圆锥曲线 C 的方程为 ＋ ＝1，x2m y2n则Error!解得 n＝－4， m＝1，所以曲线 C 一定是双曲线．]9.π 2解析 由双曲线的方程 － ＝1，x29 y216得 a2＝9， b2＝16， c2＝25，设∠ F1PF2＝ θ ，在△ PF1F2中，|F1F2|2＝| PF1|2＋| PF2|2－2| PF1||PF2|cos θ＝(| PF1|－| PF2|)2＋2| PF1||PF2|(1－cos θ )，∵| F1F2|＝2 c＝10，∴100＝36＋64×(1－cos θ )，∴cos θ ＝0，∵ θ ∈(0，π)，∴ θ ＝ ，π 2∴∠ F1PF2＝ .π 2510． x2－ ＝1 ( x≤－1)y28解析 由题意知| PC|－| PA|＝20， b0)，y2a2 x2b2C(x′， y′)( x′0)，|BC|＝ t(0t2 )．2如图，连接 AC，∵ AB 为直径，∴∠ ACB＝90°，作 CE⊥ AB 于 E，则| BC|2＝| BE|·|BA|，∴ t2＝4(2－ y′)，即 y′＝2－ t2.14∴梯形的周长 l＝4＋2 t＋2 y′＝－ t2＋2 t＋812＝－ (t－2) 2＋10，12∴当 t＝2 时， l 最大．此时，| BC|＝2，| AC|＝2 ，3又点 C 在双曲线的上支上，且 A、 B 为焦点，∴| AC|－| BC|＝2 a，即 2a＝2 －2，3∴ a＝ －1，3∴ b2＝2 ，3∴所求方程为 － ＝1.y24－ 23 x22312. － ＝1x25 y220解析 双曲线的渐近线方程为 y＝± x，ba6因为一条渐近线与直线 y＝2 x＋10 平行，所以 ＝2.ba又因为双曲线的一个焦点在直线 y＝2 x＋10 上，所以－2 c＋10＝0，所以 c＝5.由Error! 得Error!故双曲线的方程为 － ＝1.x25 y220