（江苏专用）2018版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 文（课件+教师用书）（打包16套）苏教版.zip

14.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数1.角的概念(1)任意角：①定义：角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角.(2)所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，构成的角的集合是 S＝{ β |β ＝ k·360°＋ α ， k∈Z}.(3)象限角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x 轴的正半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.2.弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad 表示，读作弧度.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0.(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝ rad，1 rad＝ °.π180 (180π )(3)扇形的弧长公式： l＝| α |·r，扇形的面积公式： S＝ lr＝ |α |·r2.12 123.任意角的三角函数任意角 α 的终边与单位圆交于点 P(x， y)时，sin α ＝ y，cos α ＝ x，tan α ＝ (x≠0).yx三个三角函数的初步性质如下表：三角函数 定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sin α R ＋ ＋ － －cos α R ＋ － － ＋tan α {α |α ≠ kπ＋ ， kπ 2∈Z}＋ － ＋ －24.三角函数线如图，设角 α 的终边与单位圆交于点 P，过 P 作 PM⊥ x 轴，垂足为 M，过 A(1,0)作单位圆的切线与 α 的终边或终边的反向延长线相交于点 T.三角函数线有向线段 MP 为正弦线；有向线段 OM 为余弦线；有向线段 AT 为正切线【知识拓展】1.三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦.2.任意角的三角函数的定义(推广)设 P(x， y)是角 α 终边上异于顶点的任一点，其到原点 O 的距离为 r，则 sin α ＝ ，cos yrα ＝ ，tan α ＝ (x≠0).xr yx【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角.( × )(2)角 α 的三角函数值与其终边上点 P 的位置无关.( √ )(3)不相等的角终边一定不相同.( × )(4)终边相同的角的同一三角函数值相等.( √ )(5)若 α ∈(0， )，则 tan α α sin α .( √ )π 2(6)若 α 为第一象限角，则 sin α ＋cos α 1.( √ )31.(教材改编)在 0°到 360°之间与－120°终边相同的角是 .答案 240°解析 与－120°终边相同的角 α ＝－120°＋ k·360°(k∈Z)，由 0°≤－120°＋ k·360°＜360°， k∈Z，得 ≤ k0.则实数a 的取值范围是 .(2)满足 cos α ≤－ 的角 α 的集合为 .12答案 (1)(－2,3] (2){ α |2kπ＋ π≤ α ≤2 kπ＋ π， k∈Z}23 43解析 (1)∵cos α ≤0，sin α 0，∴角 α 的终边落在第二象限或 y 轴的正半轴上.∴Error! ∴－20，tan θ cos x 成立的 x 的取值范围为 .答案 ( ， )π 4 5π4解析 如图所示，找出在(0,2π)内，使 sin x＝cos x 的 x 值，sin ＝cos ＝ ，sin π 4 π 4 22＝cos ＝－ .根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角 x∈( ， ).5π4 5π4 22 π 4 5π411.若－ 0.(1)求角 α 的集合；(2)求 终边所在的象限；α 2(3)试判断 tan sin cos 的符号.α 2 α 2 α 2解 (1)由 sin α 0，知 α 在第一、三象限，故角 α 在第三象限，其集合为{ α |2kπ＋π0，cos 0，α 2 α 2所以 tan sin cos 也取正号.α 2 α 2 α 2因此，tan sin cos 取正号.α 2 α 2 α 214.2 同角三角函数基本关系及诱导公式1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α ＋cos 2α ＝1.(2)商数关系： ＝tan α .sin αcos α2.各角的终边与角 α 的终边的关系角2kπ＋ α (k∈Z)π＋ α － α图示与角 α 终边的关系 相同 关于原点对称 关于 x轴对称角 π－ α － απ2 ＋ απ2图示与角 α 终边的关系 关于 y轴对称 关于直线 y＝ x对称3.六组诱导公式组数 一 二 三 四 五 六角2kπ＋ α (k∈Z)π＋ α － α π－ α － απ2＋ απ2正弦 sin α －sin α－sin αsin α cos α cos α余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α－sin α2正切 tan α tan α－tan α－tan α口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限【知识拓展】1.诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.2.同角三角函数基本关系式的常用变形(sin α ±cos α )2＝1±2sin α cos α ；(sin α ＋cos α )2＋(sin α －cos α )2＝2；(sin α ＋cos α )2－(sin α －cos α )2＝4sin α cos α .【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若 α ， β 为锐角，则 sin2α ＋cos 2β ＝1.( × )(2)若 α ∈R，则 tan α ＝ 恒成立.( × )sin αcos α(3)sin(π＋ α )＝－sin α 成立的条件是 α 为锐角.( × )(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限” ，其中的奇、偶是指 的奇数倍和偶π2数倍，变与不变指函数名称的变化.( √ )1.(2015·福建改编)若 sin α ＝－ ，且 α 为第四象限角，则 tan α 的值为 .513答案 －512解析 ∵sin α ＝－ ，且 α 为第四象限角，∴cos α ＝ ，513 1213∴tan α ＝ ＝－ .sin αcos α 5122.(教材改编)已知 cos θ ＝ ，且 ＜ θ ＜2π，那么 tan θ 的值为 .35 3π2答案 －43解析 因为 θ 为第四象限角，所以 tan θ ＜0，sin θ ＜0，3sin θ ＝－ ＝－ ，所以 tan θ ＝ ＝－ .1－ cos2θ45 sin θcos θ 433.(2016·连云港模拟)计算：sin π＋cos π＝ .116 103答案 －1解析 ∵sin π＝sin(π＋ π)＝－sin ＝－ ，116 56 5π6 12cos π＝cos(2π＋ )＝cos ＝－ ，103 4π3 4π3 12∴sin π＋cos π＝－1.116 1034.(教材改编)已知 tan α ＝1，则 ＝ .2sin α － cos αsin α ＋ cos α答案 12解析 原式＝ ＝ ＝ .2tan α － 1tan α ＋ 1 2－ 11＋ 1 125.(教材改编)化简：tan 3π － α sin π － α  sin 3π2－ α ＋ ＝ .sin 2π － α  cos α － 7π2sin 3π2＋ α  cos 2π ＋ α 答案 1解析 因为 tan(3π－ α )＝－tan α ，sin(π－ α )＝sin α ，sin( － α )＝－cos α ，sin(2π－ α )＝－sin α ，3π2cos(α － )＝cos( α ＋ )＝－sin α ，7π2 π2sin( ＋ α )＝－cos α ，cos(2π＋ α )＝cos α ，3π2所以原式＝ ＋－ tan αsin α  － cos α  － sin α  － sin α － cos α cos α＝ －1cos2α sin2αcos2α＝1－ sin2αcos2α＝ ＝1.cos2αcos2α4题型一 同角三角函数关系式的应用例 1 (1)已知 sin α cos α ＝ ，且 sin α ，∴cos α －sin α ＞0.又(cos α －sin α )2＝1－2sin α cos α ＝1－2× ＝ ，18 34∴cos α －sin α ＝ .32(2)由Error! 得5cos2θ － cos θ － ＝0，解得 cos θ ＝ 或－ .85 2125 35 725因为 θ 是第三象限角，所以 cos θ ＝－ ，725从而 sin θ ＝－ ，所以 sin θ ＋cos θ ＝－ .2425 3125思维升华 (1)利用 sin2α ＋cos 2α ＝1 可以实现角 α 的正弦、余弦的互化，利用＝tan α 可以实现角 α 的弦切互化.sin αcos α(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于 sin α ＋cos α ，sin α cos α ，sin α －cos α 这三个式子，利用(sin α ±cos α )2＝1±2sin α cos α ，可以知一求二.(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α ＋cos 2α ，sin 2α ＝1－cos 2α ，cos 2α ＝1－sin 2α .已知 sin α －cos α ＝ ， α ∈(0，π)，则 tan α ＝ .2答案 －1解析 由Error!消去 sin α 得 2cos2α ＋2 cos α ＋1＝0，2即( cos α ＋1) 2＝0，25∴cos α ＝－ .22又 α ∈(0，π)，∴ α ＝ ，3π4∴tan α ＝tan ＝－1.3π4题型二 诱导公式的应用例 2 (1)(2016·宿迁模拟)已知 f(x)＝，则 f(－ )＝ .sin 2π － x ·cos 32π ＋ xcos 3π － x ·sin 112π － x 21π4(2)已知 A＝ ＋ (k∈Z)，则 A的值构成的集合是 .sin kπ ＋ α sin α cos kπ ＋ α cos α答案 (1)－1 (2){2，－2}解析 (1) f(x)＝ ＝－tan 2x，－ sin x·sin x－ cos x· － cos xf(－ )＝－tan 2(－ )＝－tan 2 π＝－1.21π4 21π4 34(2)当 k为偶数时， A＝ ＋ ＝2；sin αsin α cos αcos α当 k为奇数时， A＝ － ＝－2.－ sin αsin α cos αcos α∴ A的值构成的集合是{2，－2}.思维升华 (1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.②化简：统一角，统一名，同角名少为终了.(2)含 2π 整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有 2π 的整数倍的三角函数式中可直接将 2π 的整数倍去掉后再进行运算，如 cos(5π－ α )＝cos(π－ α )＝－cos α .(1) 化简： ＝ .tan π ＋ α  cos 2π ＋ α  sin α － 3π2cos － α － 3π  sin － 3π － α (2)(2016·南京模拟)已知角 α 终边上一点 P(－4,3)，则6的值为 .cos π2＋ α  ·sin － π － α cos 11π2－ α  ·sin 9π2＋ α 答案 (1)－1 (2)－34解析 (1)原式＝tan α cos α sin[－ 2π ＋  α ＋ π2 ]cos 3π ＋ α  [－ sin 3π ＋ α  ]＝ ＝tan α cos α sin π2＋ α  － cos α  sin α tan α cos α cos α － cos α  sin α＝－ ＝－ · ＝－1.tan α cos αsin α sin αcos α cos αsin α(2)原式＝ ＝tan α ， － sin α  sin α － sin α  cos α根据三角函数的定义得 tan α ＝－ .34题型三 同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用例 3 (1)已知 α 为锐角，且有 2tan(π－ α )－3cos( ＋ β )＋5＝0，tan(π＋ α )π2＋6sin(π＋ β )－1＝0，则 sin α 的值是 .答案 31010解析 2tan(π－ α )－3cos( ＋ β )＋5＝0 化简为π2－2tan α ＋3sin β ＋5＝0， ①tan(π＋ α )＋6sin(π＋ β )－1＝0 化简为tan α －6sin β －1＝0. ②由①②消去 sin β ，解得 tan α ＝3.又 α 为锐角，根据 sin2α ＋cos 2α ＝1，解得 sin α ＝ .31010(2)已知－π0，∴cos x0，sin x－cos x0，cos x0，又(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝ ，4925故 sin x－cos x＝ .75思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.(2)注意角的范围对三角函数符号的影响.已知 sin α 是方程 5x2－7 x－6＝0 的根，求 的值.sin α ＋ 3π2 sin 3π2－ α  tan2 2π － α  tan π － α cos π2－ α  cos π2＋ α 8解 由于方程 5x2－7 x－6＝0 的两根为 2和－ ，35所以 sin α ＝－ ，35再由 sin2α ＋cos 2α ＝1，得 cos α ＝± ＝± ，1－ sin2α45所以 tan α ＝± ，34所以原式＝－ cos α  － cos α  ·tan2α  － tan α sin α · － sin α ＝tan α ＝± .347.分类讨论思想在三角函数中的应用典例 (1)已知 sin α ＝ ，则 tan(α ＋π)＋ ＝ .255sin(5π2＋ α )cos(5π2－ α )(2)已知 k∈Z，化简： ＝ .sin kπ － α  cos[ k－ 1 π － α ]sin[ k＋ 1 π ＋ α ]cos kπ ＋ α 思想方法指导 (1)在利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时，要根据角的范围对开方结果进行讨论.(2)利用诱导公式化简时要对题中整数 k是奇数或偶数进行讨论.解析 (1)∵sin α ＝ ＞0，∴ α 为第一或第二象限角.255tan(α ＋π)＋ ＝tan α ＋sin(5π2＋ α )cos(5π2－ α ) cos αsin α＝ ＋ ＝ .sin αcos α cos αsin α 1sin α cos α①当 α 是第一象限角时，cos α ＝ ＝ ，1－ sin2 α55原式＝ ＝ .1sin α cos α 52②当 α 是第二象限角时，cos α ＝－ ＝－ ，1－ sin2α55原式＝ ＝－ .1sin α cos α 529综合①②知，原式＝ 或－ .52 52(2)当 k＝2 n(n∈Z)时，原式＝sin 2nπ － α  cos[ 2n－ 1 π － α ]sin[ 2n＋ 1 π ＋ α ]cos 2nπ ＋ α ＝sin － α  ·cos － π － α sin π ＋ α  ·cos α＝ ＝－1；－ sin α  － cos α － sin α ·cos α当 k＝2 n＋1( n∈Z)时，原式＝sin[ 2n＋ 1 π － α ]·cos[ 2n＋ 1－ 1 π － α ]sin[ 2n＋ 1＋ 1 π ＋ α ]·cos[ 2n＋ 1 π ＋ α ]＝sin π － α  ·cos αsin α ·cos π ＋ α ＝ ＝－1.sin α ·cos αsin α  － cos α 综上，原式＝－1.答案 (1) 或－ (2)－152 521.(2016·盐城模拟)已知 cos α ＝ ， α ∈(0，π)，则 tan α 的值为 .45答案 34解析 ∵ α ∈(0，π)，∴sin α ＝ ＝ ＝ ，1－ cos2α1－  45 2 35由 tan α ＝ ，得 tan α ＝ .sin αcos α 342.已知 cos α ＝ ，且－ ＜ α ＜0，13 π2则 ＝ .cos － α － π  sin 2π ＋ α  tan 2π － α sin 3π2－ α  cos π2＋ α 答案 －2 2解析 原式＝ ＝tan α ， － cos α  ·sin α · － tan α  － cos α  · － sin α ∵cos α ＝ ，－ 0，cos α 0，∴sin A－cos A＝ ，75∴sin A＝ ，cos A＝－ ，45 35故 tan A＝－ .4313.已知 f(x)＝ (n∈Z).cos2 nπ ＋ x ·sin2 nπ － xcos2[ 2n＋ 1 π － x](1)化简 f(x)的表达式；(2)求 f( )＋ f( )的值.π2 014 503π1 007解 (1)当 n为偶数，即 n＝2 k(k∈Z)时，f(x)＝cos2 2kπ ＋ x ·sin2 2kπ － xcos2[ 2×2k＋ 1 π － x]＝ ＝cos2x·sin2 － xcos2 π － x cos2x· － sin x 2 － cos x 213＝sin 2x；当 n为奇数，即 n＝2 k＋1( k∈Z)时，f(x)＝cos2[ 2k＋ 1 π ＋ x]·sin2[ 2k＋ 1 π － x]cos2{[2× 2k＋ 1 ＋ 1]π － x}＝cos2[2kπ ＋  π ＋ x ]·sin2[2kπ ＋  π － x ]cos2[2× 2k＋ 1 π ＋  π － x ]＝ ＝ ＝sin 2x，cos2 π ＋ x ·sin2 π － xcos2 π － x  － cos x 2sin2x － cos x 2综上得 f(x)＝sin 2x.(2)由(1)得 f( )＋ f( )π2 014 503π1 007＝sin 2 ＋sin 2π 014 1 006π2 014＝sin 2 ＋sin 2( － )π 014 π2 π2 014＝sin 2 ＋cos 2 ＝1.π 014 π 01414.3 三角函数的图象与性质1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数 y＝sin x， x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，( ，1)，(π，0)，(π2，－1)，(2π，0).3π2余弦函数 y＝cos x， x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，( ，0)，(π，－1)，π2( ，0)，(2π，1).3π22.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x图象定义域 R R{x|x∈R 且x≠ ＋ kπ ， k∈Z}π2值域 [－1，1] [－1，1] R单调性在[－ ＋2 kπ， ＋2 kπ2 π2π]( k∈Z)上递增；在[ ＋2 kπ， ＋2 kπ2 3π2π]( k∈Z)上递减在[－π＋2 kπ，2 kπ](k∈Z)上递增；在[2kπ，π＋2 kπ](k∈Z)上递减在(－ ＋ kπ， ＋ kπ2 π2π)( k∈Z)上递增最值 当 x＝ ＋2 kπ( k∈Z)π2时， ymax＝1；当 x＝2 kπ( k∈Z)时， ymax＝1；当2当x＝－ ＋2 kπ( k∈Z)π2时， ymin＝－1x＝π＋2 kπ( k∈Z)时， ymin＝－1奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数对称中心 (kπ，0)( k∈Z) ( ＋ kπ，0) π2(k∈Z)( ，0)( k∈Z)kπ2对称轴方程 x＝ ＋ kπ( k∈Z)π2 x＝ kπ( k∈Z)周期 2π 2π π【知识拓展】1.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是 个周期.14(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.奇偶性若 f(x)＝ Asin(ωx ＋ φ )(A， ω ≠0)，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是 φ ＝ ＋ kπ( k∈Z)；π2(2)f(x)为奇函数的充要条件是 φ ＝ kπ( k∈Z).【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y＝sin x在第一、第四象限是增函数.( × )(2)常数函数 f(x)＝ a是周期函数，它没有最小正周期.( √ )(3)正切函数 y＝tan x在定义域内是增函数.( × )(4)已知 y＝ ksin x＋1， x∈R，则 y的最大值为 k＋1.( × )(5)y＝sin | x|是偶函数.( √ )(6)若 sin x ，则 x .( × )22 π431.函数 f(x)＝cos(2 x－ )的最小正周期是________.π6答案 π解析 最小正周期为 T＝ ＝ ＝π.2πω 2π22.(教材改编)函数 y＝－tan x的单调递减区间是________________.答案 (－ ＋ kπ， ＋ kπ)( k∈Z)π2 π2解析 因为 y＝tan x与 y＝－tan x的单调性相反，所以 y＝－tan x的单调递减区间为(－ ＋ kπ， ＋ kπ) ( k∈Z).π2 π23.(教材改编)sin 11°，cos 10°，sin 168°的大小关系为________________.答案 sin 11°＜sin 168°＜cos 10°解析 sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°，又 y＝sin x在[0°，90°]上是增函数，∴sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，即 sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.4.(教材改编) y＝1＋sin x， x∈[0,2π]的图象与直线 y＝ 的交点个数为________.32答案 2解析 在同一坐标系中作出函数 y＝1＋sin x， x∈[0,2π]和 y＝ 的图象(图略)，由图象可32得有两个交点.5.(教材改编)下列满足函数 y＝tan 的条件是________.(填序号)x2①在(0， )上单调递增；π2②为奇函数；③以 π 为最小正周期；④定义域为{ x|x≠ ＋ ， k∈Z}.π4 kπ2答案 ①②解析 ①令 00， k∈Z，得 k＝0，所以 ω ∈[ ， ].12 54 54 12 54引申探究本例(2)中，若已知 ω 0，函数 f(x)＝cos( ωx ＋ )在( ，π)上单调递增，则 ω 的取值π4 π2范围是____________.答案 [ ， ]32 74解析 函数 y＝cos x的单调递增区间为[－π＋2 kπ，2 kπ]， k∈Z，则Error!解得 4k－ ≤ ω ≤2 k－ ， k∈Z，52 14又由 4k－ － ≤0， k∈Z 且 2k－ ＞0， k∈Z，52 (2k－ 14) 14得 k＝1，所以 ω ∈ .[32， 74]思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减” ；②求形如 y＝ Asin(ωx ＋ φ )或y＝ Acos(ωx ＋ φ )(其中 ω ＞0)的单调区间时，要视“ ωx ＋ φ ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果 ω ＜0，那么一定先借助诱导公式将 ω 化为正数，防止把单调性弄错.(2)已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.(1)函数 f(x)＝sin 的单调减区间为________.(－ 2x＋π3)(2)若函数 f(x)＝sin ωx (ω ＞0)在区间[0， ]上单调递增，在区间[ ， ]上单调递减，π3 π3 π2则 ω ＝________.答案 (1) ， k∈Z (2)[kπ －π12， kπ ＋ 512π ] 32解析 (1)由已知函数得 y＝－sin ，(2x－π3)欲求函数的单调减区间，只需求 y＝sin 的单调增区间.(2x－π3)7由 2kπ－ ≤2 x－ ≤2 kπ＋ ， k∈Z，π2 π3 π2得 kπ－ ≤ x≤ kπ＋ ， k∈Z.π12 5π12故所给函数的单调减区间为 (k∈Z).[kπ －π12， kπ ＋ 5π12](2)∵ f(x)＝sin ωx (ω ＞0)过原点，∴当 0≤ ωx ≤ ，即 0≤ x≤ 时，π2 π2ωy＝sin ωx 是增函数；当 ≤ ωx ≤ ，即 ≤ x≤ 时，π2 3π2 π2ω 3π2ωy＝sin ωx 是减函数.由 f(x)＝sin ωx (ω ＞0)在 上单调递增，[0，π3]在 上单调递减，知 ＝ ，∴ ω ＝ .[π3， π2] π2ω π3 32题型三 三角函数的周期性、对称性命题点 1 周期性例 3 (1)(2016·南通模拟)函数 y＝ sin 2x＋ cos2x－ 的最小正周期为________.12 3 32(2)若函数 f(x)＝2tan( kx＋ )的最小正周期 T满足 10且| φ |0，函数 f(x)＝－2 asin ＋2 a＋ b，当 x∈ 时，－5≤ f(x)≤1.(2x＋π6) [0， π2](1)求常数 a， b的值；(2)设 g(x)＝ f 且 lg g(x)0，求 g(x)的单调区间.(x＋π2)解 (1)∵ x∈ ，∴2 x＋ ∈ ，[0，π2] π6 [π6， 7π6]∴sin ∈ ，(2x＋π6) [－ 12， 1]∴－2 asin ∈[－2 a， a]，(2x＋π6)∴ f(x)∈[ b,3a＋ b]，又∵－5≤ f(x)≤1，∴ b＝－5,3 a＋ b＝1，因此 a＝2， b＝－5.(2)由(1)得 f(x)＝－4sin －1，(2x＋π6)g(x)＝ f ＝－4sin －1(x＋π2) (2x＋ 7π6)＝4sin －1，(2x＋π6)又由 lg g(x)0，得 g(x)1，15∴4sin －11，∴sin ，(2x＋π6) (2x＋ π6)12∴2 kπ＋ 2x＋ 2kπ＋ ， k∈Z，π6 π6 5π6其中当 2kπ＋ 2x＋ ≤2 kπ＋ ， k∈Z 时，π6 π6 π2g(x)单调递增，即 kπ x≤ kπ＋ ， k∈Z，π6∴ g(x)的单调增区间为 ， k∈Z.(kπ ， kπ ＋π6]又∵当 2kπ＋ 2x＋ 2kπ＋ ， k∈Z 时，π2 π6 5π6g(x)单调递减，即 kπ＋ xkπ＋ ， k∈Z.π6 π3∴ g(x)的单调减区间为 ， k∈Z.(kπ ＋π6， kπ ＋ π3)14.4 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用1.y＝ Asin(ωx ＋ φ )的有关概念振幅 周期 频率 相位 初相y＝ Asin(ωx ＋ φ )(A0， ω 0)，x∈RA T＝2πωf＝ ＝1T ω2πωx ＋ φ φ2.用五点法画 y＝ Asin(ωx ＋ φ )一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：x0－ φω π 2－ φωπ － φω 3π2－ φω2π － φωωx ＋ φ 0 π 2 π 3π2 2πy＝ Asin(ωx ＋ φ ) 0 A 0 － A 03.函数 y＝sin x 的图象经变换得到 y＝ Asin(ωx ＋ φ ) (A0， ω 0)的图象的步骤如下【知识拓展】1.由 y＝sin ωx 到 y＝sin( ωx ＋ φ )(ω 0， φ 0)的变换：向左平移 个单位长度而非 φφω个单位长度.2.函数 y＝ Asin(ωx ＋ φ )的对称轴由 ωx ＋ φ ＝ kπ＋ ， k∈Z 确定；对称中心由π 2ωx ＋ φ ＝ kπ， k∈Z 确定其横坐标.2【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y＝sin 的图象是由 y＝sin 的图象向右平移 个单位得到的.( √ )(x－π 4) (x＋ π 4) π 2(2)将函数 y＝sin ωx 的图象向右平移 φ (φ 0)个单位长度，得到函数 y＝sin( ωx － φ )的图象.( × )(3)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.( × )(4)函数 y＝ Asin(ωx ＋ φ )的最小正周期为 T＝ .( × )2πω(5)把 y＝sin x 的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 ，所得图象对应的函数解12析式为 y＝sin x.( × )12(6)若函数 y＝ Acos(ωx ＋ φ )的最小正周期为 T，则函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为 .( √ )T21.(教材改编) y＝2sin( x－ )的振幅，频率和初相分别为______________.12 π 3答案 2， ，－14π π 3解析 由题意知 A＝2， f＝ ＝ ＝ ，初相为－ .1T ω2π 14π π 32.(教材改编)将 y＝ sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的 2 倍，横坐标不变，便得12到函数 f(x)的图象，则 f(x)＝________.答案 sin x解析 将函数 y＝ sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的 2 倍，横坐标不变，便得到12函数 f(x)＝2× sin x＝sin x 的图象.123.(2016·全国甲卷改编)函数 y＝ Asin(ωx ＋ φ )的部分图象如图所示，则函数的表达式为______________.3答案 y＝2sin (2x－π 6)解析 由图可知， T＝2 ＝π，所以 ω ＝2，由五点作图法可知 2× ＋ φ ＝ ，[π 3－ (－ π 6)] π 3 π 2所以 φ ＝－ ，所以函数的解析式为 y＝2sin .π 6 (2x－ π 6)4.若函数 y＝sin( ωx ＋ φ ) (ω 0)的部分图象如图所示，则 ω ＝________.答案 4解析 由函数图象知 T＝ ×2＝ ，π 4 π 2ω ＝ ＝ ＝4.2πT 2ππ 25.(教材改编) 在同一平面直角坐标系中，画出三个函数 f(x)＝ sin(2x＋ )， g(x)2π 4＝sin(2 x＋ )， h(x)＝cos( x－ )的部分图象(如图)，则 a， b， c 对应的函数依次是π 3 π 6______________.答案 h(x)， f(x)， g(x)解析 由于函数 f(x)， g(x)， h(x)的最大值分别是 ，1,1，因此结合图形可知，曲线 b2为 f(x)的图象；又 g(x)， h(x)的最小正周期分别是 π、2π，因此结合图形可知，曲线a， c 分别是 h(x)， g(x)的图象.题型一 函数 y＝ Asin(ωx ＋ φ )的图象及变换4例 1 (2015·湖北)某同学用“五点法”画函数 f(x)＝ Asin(ωx ＋ φ )在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： (ω 0， |φ |0)个单位长度，得到 y＝ g(x)的图象.若y＝ g(x)图象的一个对称中心为 ，求 θ 的最小值.(5π12， 0)解 (1)根据表中已知数据，解得 A＝5， ω ＝2， φ ＝－ .数据补全如下表：π 6ωx ＋ φ 0 π 2 π 3π2 2πx π12 π 3 7π12 5π6 π1312Asin(ωx ＋ φ ) 0 5 0 －5 0且函数解析式为 f(x)＝5sin .(2x－π 6)(2)由(1)知 f(x)＝5sin ，(2x－π 6)得 g(x)＝5sin .(2x＋ 2θ －π 6)因为函数 y＝sin x 图象的对称中心为( kπ，0)， k∈Z.令 2x＋2 θ － ＝ kπ，解得 x＝ ＋ － θ ， k∈Z.π 6 kπ2 π12由于函数 y＝ g(x)的图象关于点 成中心对称，(5π12， 0)所以令 ＋ － θ ＝ ，解得 θ ＝ － ， k∈Z.kπ2 π12 5π12 kπ2 π 3由 θ 0 可知，当 k＝1 时， θ 取得最小值 .π 6引申探究在本例(2)中，将 f(x)图象上所有点向左平移 个单位长度，得到 g(x)的图象，求 g(x)的π 65解析式，并写出 g(x)图象的对称中心.解 由(1)知 f(x)＝5sin(2 x－ )，π 6因此 g(x)＝5sin[2( x＋ )－ ]π 6 π 6＝5sin(2 x＋ ).π 6因为 y＝sin x 的对称中心为( kπ，0)， k∈Z.令 2x＋ ＝ kπ， k∈Z，解得 x＝ － ， k∈Z.π 6 kπ2 π12即 y＝ g(x)图象的对称中心为( － ，0)， k∈Z.kπ2 π12思维升华 (1)五点法作简图：用“五点法”作 y＝ Asin(ωx ＋ φ )的简图，主要是通过变量代换，设 z＝ ωx ＋ φ ，由 z 取 0， ，π， π，2π 来求出相应的 x，通过列表，计算得出π 2 32五点坐标，描点后得出图象.(2)图象变换：由函数 y＝sin x 的图象通过变换得到 y＝ Asin(ωx ＋ φ )的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.把函数 y＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移 个单位，得到的函数图象的解析式是________________.π 4答案 y＝cos 2 x解析 由 y＝sin x 图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图象的解析式为 y＝sin 2 x，再向左平移 个单位得 y＝sin 2( x＋ )，即 y＝cos 2 x.π 4 π 4题型二 由图象确定 y＝ Asin(ωx ＋ φ )的解析式例 2 如图是函数 y＝ Asin(ωx ＋ φ )(A0， ω 0，| φ |0， ω 0)解析式的步骤(1)求 A， B，确定函数的最大值 M 和最小值 m，则 A＝ ， B＝ .M－ m2 M＋ m2(2)求 ω ，确定函数的周期 T，则 ω ＝ .2πT(3)求 φ ，常用方法如下：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.②五点法：确定 φ 值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下：“第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 ωx ＋ φ ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋ φ ＝ ；“第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)为 ωx ＋ φ ＝π；“第四点”(即图π 2象的“谷点”)为 ωx ＋ φ ＝ ；“第五点”为 ωx ＋ φ ＝2π.3π2(2016· 徐州模拟 )已知函数 f(x)＝sin( ωx ＋ φ ) (ω 0，| φ |0，－ ≤ φ 0)， x∈R.在曲线 y＝ f(x)与直线 y＝1 的交点3中，若相邻交点距离的最小值为 ，则 f(x)的最小正周期为________.π 3答案 π解析 f(x)＝ sin ωx ＋cos ωx ＝2sin( ωx ＋ )(ω 0).3π 6由 2sin(ωx ＋ )＝1，得 sin(ωx ＋ )＝ ，π 6 π 6 12∴ ωx ＋ ＝2 kπ＋ 或 ωx ＋ ＝2 kπ＋ π( k∈Z).π 6 π 6 π 6 56令 k＝0，得 ωx 1＋ ＝ ， ωx 2＋ ＝ π，π 6 π 6 π 6 56∴ x1＝0， x2＝ .2π3ω由| x1－ x2|＝ ，得 ＝ ，∴ ω ＝2.π 3 2π3ω π 3故 f(x)的最小正周期 T＝ ＝π.2π24.(2017·江苏通州中学月考)函数 f(x)＝2sin( ωx ＋ φ )(ω 0，－ 0)的部分图象如图所示，若AB＝5，则 ω 的值为________.答案 π 3解析 如图，过点 A 作垂直于 x 轴的直线 AM，过点 B 作垂直于 y 轴的直线 BM，直线 AM 和直线 BM 相交于点 M，在 Rt△ AMB 中， AM＝4， BM＝ · ＝ ， AB＝5，由勾股定理得12 2πω πωAM2＋ BM2＝ AB2，14所以 16＋( )2＝25， ＝3， ω ＝ .πω πω π 38.(2016·南通质检)设函数 y＝sin( ωx ＋ )(00，所以 ωx ＋ ∈( ， ω π＋ )，又函数当且仅当 x＝ 时取得π 3 π 3 π 3 π12最大值，所以Error! 解得 ω ＝2.9.(2016·扬州期末)已知函数 f(x)＝sin(2 x＋ )(0≤ x0)图象的两条相邻的对称轴π 6之间的距离为 ，且该函数图象关于点( x0,0)成中心对称， x0∈[0， ]，则 x0＝________.π 2 π 2答案 π51215解析 两条相邻的对称轴之间的距离为 ＝ ，所以 T＝π.而 T＝ ，得 ω ＝2.因为 f(x)T2 π 2 2πω的图象关于点( x0,0)成中心对称，所以 sin(2x0＋ )＝0.又因为 x0∈[0， ]，所以π 6 π 22x0＋ ∈[ ， π]，所以 2x0＋ ＝π，即 x0＝ π.π 6 π 6 76 π 6 51212.(2016·江苏扬州中学月考)将 y＝sin 2 x 的图象向右平移 φ 个单位( φ 0)，使得平移后的图象仍过点( ， )，则 φ 的最小值为________.π 3 32答案 π 6解析 由题意得 sin( －2 φ )＝ ，2π3 32∴－2 φ ＋ ＝2 kπ＋ (k∈Z)或－2 φ ＋ ＝2 kπ＋ (k∈Z)，∴ φ ＝－ kπ＋ (k∈Z)或2π3 π 3 2π3 2π3 π 6φ ＝－ kπ ( k∈Z)，又 φ 0，∴ φ 的最小值为 .π 613.设函数 f(x)＝ Asin(ωx ＋ φ ) (A， ω ， φ 是常数， A0， ω 0).若 f(x)在区间[ ， ]π 6 π 2上具有单调性，且 f( )＝ f( )＝－ f( )，则 f(x)的最小正周期为________.π 2 2π3 π 6答案 π解析 记 f(x)的最小正周期为 T.由题意知 ≥ － ＝ ，T2 π 2 π 6 π 3由 f( )＝ f( )＝－ f( )，π 2 2π3 π 6且 － ＝ ，2π3 π 2 π 6可作出示意图如图所示(一种情况)：∴ x1＝( ＋ )× ＝ ，π 2 π 6 12 π 3x2＝( ＋ )× ＝ ，π 2 2π3 12 7π12∴ ＝ x2－ x1＝ － ＝ ，∴ T＝π.T4 7π12 π 3 π 414.函数 f(x)＝ Asin(ωx ＋ φ ) (A0， ω 0,0φ )的部分图象如图所示. π 216(1)求 f(x)的解析式；(2)设 g(x)＝[ f(x－ )]2，求函数 g(x)在 x∈[－ ， ]上的最大值，并确定此时 x 的值.π12 π 6 π 3解 (1)由题图知 A＝2， ＝ ，T4 π 3则 ＝4× ，∴ ω ＝ .2πω π 3 32又 f(－ )＝2sin[ ×(－ )＋ φ ]π 6 32 π 6＝2sin(－ ＋ φ )＝0，π 4∴sin( φ － )＝0，π 4∵0 φ ，∴－ φ － ，π 2 π 4 π 4 π 4∴ φ － ＝0，即 φ ＝ ，π 4 π 4∴ f(x)的解析式为 f(x)＝2sin( x＋ ).32 π 4(2)由(1)可得f(x－ )＝2sin[ (x－ )＋ ]π12 32 π12 π 4＝2sin( x＋ )，32 π 8∴ g(x)＝[ f(x－ )]2＝4×π12 1－ cos 3x＋ π 42＝2－2cos(3 x＋ )，π 4∵ x∈[－ ， ]，∴－ ≤3 x＋ ≤ ，π 6 π 3 π 4 π 4 5π4∴当 3x＋ ＝π，即 x＝ 时， g(x)max＝4.π 4 π 4