1、第二章 矩 阵,简 介,矩阵被赋予特定的数学运算的矩形数表.,可以用来表示各种对象之间的关系, 例,如成绩表;,交通网络.,经济生产投入表;,还可以通过引入矩阵运算, 发现, 挖掘各种对象之间深层次关系.,内 容,基本要求,掌握矩阵及其运算法则的定义,区别矩阵运算与数值运算的异同;熟练使用分块矩阵运算技巧;掌握可逆矩阵的判断条件及逆矩阵的求法,第一节 矩阵及其运算,第二节 可逆矩阵与分块矩阵,第一节 矩阵及其运算法则,1 矩阵的概念,3 矩阵的简单应用,2 矩阵的运算,1 矩阵的概念,所谓矩阵通俗而言就是矩形数表.,数表这种形态在实际生活和学习中随处可见.,例如, 考虑五个城市的航空交通情况,
2、(路线及时间),为了简洁表示常将其表示为数表:, ,再如某小组成绩单:,用矩形数表表示如右:,定义1.2 若两个矩阵既有相同的行数又有相同的列数,那么称这两个矩阵为同型矩阵.,若两同型矩阵对应元素也相同, 那么此两矩阵被认为是同一矩阵.,定义1.1 由mn个数aij (i=1,2,m; j=1,2,n)排成的m行n列的矩形数表,称为m行n列矩阵, 简称为mn矩阵.,A= Amn=(aij)mn=,aij称为矩阵A的(第i行第j列)元素.,几种特殊矩阵(从形式上看),1. 所有元素都为实数的矩阵称为实矩阵,至少有一个元素不是实数而是复数的矩阵称为复矩阵.,2. 所有元素均为非负数的矩阵称为非负矩
3、阵,所有元素均为正数的矩阵称为正矩阵,所有元素均为负数的矩阵称为负矩阵.,3. 所有元素均为0的矩阵称为零矩阵. 零矩阵通常用粗体的0表示,并注意与数0的区别.,4. nn的矩阵Ann被称为n阶方阵,简记作An.,对n阶方阵A=(aij)nn, 若满足对所有ij, aij=0, 则称A为下三角矩阵.,上三角矩阵,下三角矩阵,即,若n阶方阵A=(aij)nn,满足对所有ij, aij=0, 则称A为对角矩阵,记作diag(1,2,n) (假定对角线元素为1,2,n).,即,diag(1,2,n)=,单位矩阵,In (En)=,数量矩阵,aIn (aEn)=,只有一行的矩阵称为行矩阵或行向量,只有
4、一列的矩阵称为列矩阵或列向量. 行矩阵和列矩阵一般用小写粗体字母表示.,行矩阵(向量),列矩阵(向量),(a) 线性运算,定义1.3 对任意数k, 称矩阵(kaij)mn为数k与矩阵A=(aij)mn的乘积矩阵, 记作kA或Ak. 即,注: 称矩阵-A=(-aij)mn为矩阵A的负矩阵.,称这种数与矩阵的乘积运算为数乘运算.,2 矩阵的运算,定义1.4 设A=(aij)mn, B=(bij)mn为两同型矩阵, 称矩阵C=(aij+bij)mn为矩阵A与B的和, 记作A+B.,对两同型矩阵可定义矩阵加法.,利用负矩阵我们可以定义矩阵减法: A-B=A+(-B).,数乘及矩阵加法满足如下法则: (
5、以下矩阵均同型),(1) A+B=B+A (2)A+(B+C)=(A+B)+C,(4) A+(-A)=0,(5) 1A=A (6)k(lA)=(kl)A;,(7) (k+l)A=kA+lA (8)k(A+B)=kA+kB,注: 0A=0, 其中等号右边的0为与A同型的零矩阵.,(3) A+0=A;,即,例1.1 已知,求2(B-A),注: 由矩阵减法可知,(b) 矩阵乘法,若矩阵A的列数与矩阵B的行数相同, 那么我们可以定义矩阵A,B之间的乘法.,定义1.5 设A=(aij)mn为任一矩阵, B=(bij)nl为任一行数与A列数相同的矩阵, 称ml矩阵C=(cij)ml为矩阵A与矩阵B的乘积,
6、 记作AB, 其中,矩阵乘法的定义有现实背景.,即,例1.2,矩阵乘法具有如下性质,(1) (AB)C=A(BC) (2) (A+B)C=AC+BC,(3) C(A+B)=CA+CB (4) k(AB)=(kA)B=A(kB),注1: 矩阵乘法消去律不成立, 即一般地由AB=AC 不能推出 B=C, 也不能由AB=0 推出A=0或B=0.,注2: 矩阵乘法交换律不成立, 即一般地 ABBA.,定义1.6 如果两个矩阵A, B满足AB=BA, 那么称矩阵A, B可交换.,注: 若矩阵A,B可交换,那么A,B必为同型方阵.,例1.4,求 AB及BA,例1.4表明数量矩阵可与任何同型矩阵交换.,进一
7、步可验证:若IC有意义, 则aIC=aC;,同样计算可知,若CI有意义,则C(aI) =aC.,(c) 矩阵的转置,其中bij=aji,关于转置有如下性质：,例1.5 已知,求,定义1.7 把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵叫做A的转置矩阵, 记做AT(或A) . 即,解 直接计算可得,定义1.8 若n阶方阵A满足A=AT, 则称A是对称矩阵; 若A=-AT, 则称A是反对称矩阵.,例1.6 设列矩阵x=(x1, x2,xn)T满足xTx=1, I为n阶单位矩阵, H=I-2xxT, 证明H是对称矩阵且HHT=I.,注: T是一个1行1列的矩阵. 在不引起误解情况下常简单地将其看成一个数.
8、,(d) 方阵的幂,容易验证方阵幂满足,(1) AkAl=Ak+l (2) (Ak)l=Akl.,解:直接结算可知,解:直接结算可知,进一步计算可得,(e) 方阵的行列式,定义1.10 由n阶方阵A的元素按原来排列的形式构成的n阶行列式称为矩阵A的行列式, 记作detA或 |A|. 即,方阵行列式有如下性质(A, B为n阶方阵),(1) |AT|=|A| (2) |kA|=kn|A| (3)|AB|=|A|B|,证明: 只证(3).,例1.9 已知A为3阶方阵 且|A|=-2, 求 |A|A|.,对线性方程组,3 矩阵表示的简单应用,-矩阵方程,称矩阵A为(1)的系数矩阵,像(2)这种含有矩阵值未知量的方程为矩阵方程.,注: 矩阵乘法建立了线性方程组(1)与矩阵方程(2)之间的等价性,从而在线性方程组理论与矩阵理论之间建立了桥梁.,解 由矩阵乘法,矩阵X可设为,因此,思 考 题,2 A,B均为方阵,
