1、中南大学信息学院自动化系,DgXu,1,现代控制理论Modern Control Theory 讲授：徐德刚Email: ,中南大学信息学院自动化系,DgXu,2,第三章 状态方程的解,3.1 线性时不变（LTI)系统齐次状态方程的解 3.2 矩阵指数 3.3 线性时不变系统非齐次状态方程的解 3.4 线性时不变系统的状态转移矩阵 3.5 线性时变系统状态方程的解 3.6 连续系统的时间离散化 3.7 线性离散系统状态方程的解,第三章 状态方程的解,中南大学信息学院自动化系,DgXu,3,控制系统的分析分为定量分析和定性分析两个方面,3-1 线性系统齐次状态方程的解,对决定控制系统行为和综合控
2、制系统结构具有重要意义的几个关键的性质进行定性研究,定量分析,定量的确定控制系统有外部输入作用所引起的响应,对控制系统的规律进行精确的研究,定性分析,能控性、能观测性和稳定性,中南大学信息学院自动化系,DgXu,4,线性控制系统的状态方程,运动分析,即由初始状态和外加输入引起的响应。,叠加原理,中南大学信息学院自动化系,DgXu,5,3.2 矩阵指数,3.2.1 矩阵指数的性质,第三章 状态方程的解,证明:,中南大学信息学院自动化系,DgXu,6,第三章 状态方程的解,中南大学信息学院自动化系,DgXu,7,证明 由于：,中南大学信息学院自动化系,DgXu,8,只有当 AB=BA 时有： e(
3、A+B)t eAt eBt= 0。,中南大学信息学院自动化系,DgXu,9,则有：,第三章 状态方程的解,3.2.2 几个特殊矩阵指数,(1)若 为对角矩阵,中南大学信息学院自动化系,DgXu,10,证明:,第三章 状态方程的解,由 定义知,中南大学信息学院自动化系,DgXu,11,第三章 状态方程的解,中南大学信息学院自动化系,DgXu,12,则有：,第三章 状态方程的解,中南大学信息学院自动化系,DgXu,13,则有：,第三章 状态方程的解,中南大学信息学院自动化系,DgXu,14,则有：,第三章 状态方程的解,(4)若 为,中南大学信息学院自动化系,DgXu,15,3.2.3 矩阵指数的
4、计算,(1)定义法：,按照定义直接计算，适合于计算机实现,(2)拉氏变换法：,有：,第三章 状态方程的解,线性齐次方程,中南大学信息学院自动化系,DgXu,16,例,解：,给定线性定常系统,求矩阵指数,方法1,方法2,中南大学信息学院自动化系,DgXu,17,中南大学信息学院自动化系,DgXu,18,(3) 标准型法：,第三章 状态方程的解,中南大学信息学院自动化系,DgXu,19,证明：,经过非奇异变换，可将系统矩阵A变换为约当型,中南大学信息学院自动化系,DgXu,20,解: 1) 求特征值,第三章 状态方程的解,中南大学信息学院自动化系,DgXu,21,2) 计算特征向量：,3) 构造变
5、换阵P：,第三章 状态方程的解,中南大学信息学院自动化系,DgXu,22,则有：,第三章 状态方程的解,中南大学信息学院自动化系,DgXu,23,第三章 状态方程的解,设 具有 个重特征值 则有,中南大学信息学院自动化系,DgXu,24,解: 1)计算特征向量和广义特征向量。,第三章 状态方程的解,中南大学信息学院自动化系,DgXu,25,得：,2)计算矩阵指数：,第三章 状态方程的解,中南大学信息学院自动化系,DgXu,26,第三章 状态方程的解,中南大学信息学院自动化系,DgXu,27,(4) 化有限项法,根据：,第三章 状态方程的解,凯莱-哈密尔顿定理,中南大学信息学院自动化系,DgXu
6、,28,1) 特征根两两互异：,第三章 状态方程的解,中南大学信息学院自动化系,DgXu,29,第三章 状态方程的解,2)有 个重特征值,两端对 求1至 阶导数得：,解方程组可求得,中南大学信息学院自动化系,DgXu,30,第三章 状态方程的解,对于 有,对于 有,中南大学信息学院自动化系,DgXu,31,从而可联立求得：,第三章 状态方程的解,因为-1是重根，故需补充方程：,中南大学信息学院自动化系,DgXu,32,由此可得：,第三章 状态方程的解,中南大学信息学院自动化系,DgXu,33,例,解：,给定线性定常系统,求矩阵指数,方法1,方法2,根据矩阵指数的定义求解,应用拉氏反变换法求解,
7、中南大学信息学院自动化系,DgXu,34,方法3,变换为约当型矩阵,中南大学信息学院自动化系,DgXu,35,方法4,中南大学信息学院自动化系,DgXu,36,3.3 线性时不变系统非齐次状态方程的解,初始状态为零时线性定常系统的强迫运动,非奇次状态方程,线性系统的零状态响应,证明,等式两端左乘,即,即,命题得证,中南大学信息学院自动化系,DgXu,37,例,解：,系统的零输入响应,系统零状态响应,中南大学信息学院自动化系,DgXu,38,线性定常系统运动规律应满足叠加原理,同时考虑初始状态和外加输入的线性定常系统解的表达式,其解为,中南大学信息学院自动化系,DgXu,39,例,解：,系统状态
8、方程为,试求方程的解,初始条件,中南大学信息学院自动化系,DgXu,40,求解状态方程式的另一种方法,取拉氏变换,两端取拉氏反变换,比较两式,得,中南大学信息学院自动化系,DgXu,41,例,解：,中南大学信息学院自动化系,DgXu,42,作业,3.1 3.2 3.6 3.7,中南大学信息学院自动化系,DgXu,43,3.4 线性时不变系统的状态转移矩阵,3.4.1 基本概念,线性时不变系统状态方程的解,第三章 状态方程的解,中南大学信息学院自动化系,DgXu,44,(1) x(t)是由初值引起的零输入解和控制所产生的零状态解的叠加和。,(2) 解的结构显示了从x(t0)到x(t)的一种变换关系。,第三章 状态方程的解,3.4.2 线性时不变系统的状态转移矩阵,定义：线性定常连续系统的状态方程为：,其中： 称为状态转移矩阵。,中南大学信息学院自动化系,DgXu,45,称满足如下矩阵方程,第三章 状态方程的解,3.4.3 状态转移矩阵的性质：,得解阵 称为系统的状态转移矩阵。,
