（江苏专用）2017版高考数学 专题4 三角函数、解三角形习题 文（打包11套）.zip

1【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学 专题 4 三角函数、解三角形 24 三角函数的概念 文训练目标 (1)任意角的概念；(2)弧度制；(3)三角函数的概念；(4)三角函数线.训练题型(1)终边相同的角及表示；(2)弧长公式、扇形面积公式的应用；(3)三角函数的坐标法定义.解题策略(1)利用直角坐标系建立象限角，使任意角有了统一的载体；(2)弧度制使角与实数建立了一一对应关系；(3)用单位圆上点的坐标表示三角函数是研究三角函数的基础；(4)可利用三角函数线解简单的三角不等式.1．若角 α 满足 180°0)是角 α 终边上一点，则 2sin α ＋cos α ＝________.11．已知扇形的圆心角是 α ，半径为 R，弧长为 l.若扇形的周长为 20 cm，当扇形的圆心角α ＝________弧度时，这个扇形的面积最大．12．已知角 θ 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴非负半轴，若 P(4， y)是角 θ 终边上一点，2且 sin θ ＝－ ，则 y＝________.25513．角 α 满足 sin α ≥ ，则适合条件的角 α 的集合为________________．3214．已知 sin θ ·tan θ 0，则角 θ 位于第________象限．3答案解析1．270° 2.[2kπ＋ ，2 kπ＋ ](k∈Z)π 4 3π43． M N 4.－4 5.－456．4 x＋3 y＝0 7.二 8.四9．2解析 设此扇形的半径为 r，弧长为 l，则 2r＋ l＝4，面积 S＝ rl＝ r(4－2 r)＝－ r2＋2 r＝－( r－1) 2＋1，12 12故当 r＝1 时 S 最大，这时 l＝4－2 r＝2.从而 α ＝ ＝ ＝2.lr 2110. 11.2 12.－82513．[2 kπ＋ ，2 kπ＋ ]， k∈Zπ 3 2π314．二或三1【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学 专题 4 三角函数、解三角形 25 同角三角函数关系式和诱导公式 文训练目标 (1)同角三角函数基本关系式的应用；(2)诱导公式的应用.训练题型 (1)利用公式进行三角函数式的求值；(2)化简三角函数式.解题策略(1)寻找角和式子之间的联系，结合公式转化；(2)诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.1．化简： ＝________.1－ 2sin 40°cos 40°2．已知 sin α ＝ ，则 sin4α －cos 4α ＝________.553．已知 α ∈( ，π)，tan( α ＋ )＝ ，则 sin α ＋cos α ＝________.π 2 π 4 174．(2015·河南实验中学期中)记 cos(－80°)＝ k，那么 tan 100°＝________.5．已知 α ∈(－ ，0)，sin α ＝－ ，则 cos(π－ α )＝________.π 2 356．已知 sin( － x)＝ ，则 cos(x＋ )＝________.π 3 35 π 67．已知 sin( ＋ α )＝cos(π－ α )，则 α 的取值范围是________．π 28．已知直线 l 的倾斜角是 θ ，且 sin θ ＝ ，则直线 l 的斜率 k＝________.5139．若 sin(π＋ α )＝ ， α 是第三象限的角，则 ＝________.35sinπ ＋ α2 － cosπ ＋ α2sinπ － α2 － cosπ － α210．已知 f(x)＝ asin(π x＋ α )＋ bcos(π x＋ β )＋4，若 f(2 016)＝5，则 f(2 017)＝________.11．若 α 2π，化简 ＋ ＝________.3π2 1－ cos α1＋ cos α 1＋ cos α1－ cos α12．化简 ＝________.sin 2π － α  cos π ＋ α  cos π 2＋ α  cos 11π2 － α cos π － α  sin 3π － α  sin － π － α  sin 9π2＋ α 13．若 cos( － θ )＝ ，则 cos( ＋ θ )－sin 2(θ － )＝________.π 6 33 5π6 π 614．(2015·上海静安区一模)已知 tan α ，tan β 是方程 x2＋3 x＋4＝0 的两根，3α ， β ∈(－ ， )，则 α ＋ β ＝________.π 2 π 22答案解析1．cos 40°－sin 40° 2.－ 3.－35 154．－ 5.－ 6.1－ k2k 45 357．{ α |α ＝ kπ＋ ， k∈Z}π 28．± 9.－ 10.3 11.－512 12 2sin α12．－tan α13．－2＋ 33解析 cos( ＋ θ )＝cos[π－( － θ )]＝－cos( － θ )＝－ ，5π6 π 6 π 6 33sin2(θ － )＝[－sin( － θ )]2＝1－cos 2( － θ )＝1－( )2＝ ，π 6 π 6 π 6 33 23所以 cos( ＋ θ )－sin 2(θ － )＝－ － ＝－ .5π6 π 6 33 23 2＋ 3314．－2π3解析 根据一元二次方程根与系数的关系得 tan α ＋tan β ＝－3 ，tan α tan β ＝4.3因为 α ， β ∈(－ ， )，π 2 π 2所以 tan α 0，tan β 0， α ， β ∈(－ ，0)．π 2tan(α ＋ β )＝ ＝ ＝ ，tan α ＋ tan β1－ tan α tan β － 331－ 4 3所以 α ＋ β ＝－ .2π31【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学 专题 4 三角函数、解三角形 26 三角函数的图像与变换 文训练目标 (1)三角函数图象的简图；(2)三角函数图象的变换.训练题型(1)“五点法”作简图；(2)已知函数图象求解析式；(3)三角函数图象变换；(4)三角函数图象的应用.解题策略(1)y＝ Asin(ωx ＋ φ )的基本画法“五点法”作图；(2)求函数解析式时 φ 可采用“代点法” ；(3)三角函数图象每一次变换只针对“ x”而言；(4)利用图象可解决方程解的个数、不等式问题等.1．用“五点法”作函数 y＝ Asin(ωx ＋ φ )(ω 0， φ 0)的图象时，若图象在 x 轴上相邻两交点的距离为 ，则 ω ＝________.π 22．函数 y＝cos x(x∈R)的图象向右平移 个单位后，得到函数 y＝ g(x)的图象，则 g(x)的π 2解析式为________．3．(2015·山东日照一中第三次阶段检测)函数 f(x)＝2sin( ωx ＋ φ )(ω 0，－ 0)的周期是 π，将函数 f(x)的图象沿 x 轴向右平移 个π 8单位，得到函数 y＝ g(x)的图象，则函数 g(x)的解析式为___________________________________．5．(2015·河北沧州 4 月质检)将函数 y＝cos( π－ ωx )(ω 0)的图象向左平移 个单位后，32 π 3得到函数 y＝sin(2 x＋ φ )的图象，则函数 y＝sin(2 x＋ φ )的一个对称中心为________．6．已知函数 f(x)＝ Atan(ωx ＋ φ )(ω 0，| φ |0,00，－ ≤ φ )图象上每一点的横坐标缩短为原来的π 2 π 2一半，纵坐标不变，再向右平移 个单位长度得到 y＝sin x 的图象，则 f ( )＝________.π 6 π 610．函数 y＝ sin 与 y 轴最近的对称轴方程是__________．12 (2x－ π 6)11．函数 f(x)＝cos(2 x＋ )的最小正周期是________．π 412．关于三角函数的图象，有下列命题：① y＝sin| x|与 y＝sin x 的图象关于 y 轴对称；② y＝cos(－ x)与 y＝cos| x|的图象相同；③ y＝|sin x|与 y＝sin(－ x)的图象关于 x 轴对称；④ y＝cos(－ x)的图象关于 y 轴对称．其中正确命题的序号是________．313．函数 y＝cos(2 x＋ φ )(－π≤ φ π)的图象向右平移 个单位后，与函数 y＝sinπ 2的图象重合，则 φ ＝________.(2x＋π 3)14．已知关于 x 的方程 sin(x＋ )＝ k 在[0，π]上有两解，则实数 k 的取值范围是2π 4________．答案解析1．2 2. g(x)＝sin x 3.2，－π 34． g(x)＝3sin(2 x－ )π 45．( ，0) 6.π 6 37. 或π 3 4π3解析 要使方程 f(x)＝ m 在区间[0，π]上有两个不等的实数根，只需函数 f(x)与函数y＝ m 的图象在区间[0，π]上有两个不同的交点，由题图易知，两个交点关于直线 x＝ 或π 6x＝ 对称，因此 x1＋ x2＝2× ＝ 或 x1＋ x2＝2× ＝ .2π3 π 6 π 3 2π3 4π38．①③ 9. 10. x＝－ 11.π 12．②④22 π 613.5π6解析 函数 y＝cos(2 x＋ φ )向右平移 个单位，得到 y＝sin ，π 2 (2x＋ π 3)即 y＝sin 向左平移 个单位得到函数 y＝cos(2 x＋ φ )， y＝sin 向左平移(2x＋π 3) π 2 (2x＋ π 3)个单位，π 2得 y＝sin ＝sin ＝－sin ＝cos ＝cos[2(x＋π 2)＋ π 3] (2x＋ π ＋ π 3) (2x＋ π 3) (π 2＋ 2x＋ π 3)，(2x＋5π6)即 φ ＝ .5π6414．1≤ k 2解析 令 f(x)＝ sin(x＋ )(0≤ x≤π)，2π 4作出函数 f(x)的图象如图中实线部分．则当 1≤ k 时，直线 y＝ k 与函数 f(x)＝ sin(x＋ )(0≤ x≤π)的图象有两个公共点，2 2π 4即当 1≤ k 时，原方程有两解．21【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学 专题 4 三角函数、解三角形 27 三角函数的性质 文训练目标 (1)三角函数的性质；(2)数形结合思想和整体代换思想.训练题型(1)求三角函数的定义域和值域；(2)求三角函数的周期性和对称性；(3)求三角函数的单调性.解题策略(1)讨论三角函数 y＝ Asin(ωx ＋ φ )的性质，可设 ωx ＋ φ ＝ t，结合图象解题；(2)函数 y＝ Asin(ωx ＋ φ )图象的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心( x0,0)一定满足 f(x0)＝0.1．函数 y＝ 的定义域为________________________________________．sin x－ 122．(2015·惠州模拟)下列函数中周期为 π 且为偶函数的是________．① y＝cos(2 x－ )；② y＝sin(2 x＋ )；π 2 π 2③ y＝sin( x＋ )；④ y＝cos( x－ )．π 2 π 23．函数 f(x)＝sin( x＋ )的递减区间是________________________________________．π 64．将函数 y＝sin x 的图象向左平移 个单位，得到函数 y＝ f(x)的图象，则下列说法正确π 2的是________．① y＝ f(x)是奇函数；② y＝ f(x)的周期为 π；③ y＝ f(x)的图象关于直线 x＝ 对称；π 2④ y＝ f(x)的图象关于点(－ ，0)对称．π 25．函数 y＝sin x， x∈[0,2π]的图象与直线 y＝－ 的交点有________个．126．已知 f(x)是 R 上的奇函数，且 f(1)＝2， f(x＋3)＝ f(x)，则 f(8)＝________.7．下列关于函数 y＝tan 的说法正确的是________．(x＋π 3)①在区间 上单调递增；②最小正周期是 π；③图象关于点 成中心对称；(－π 6， 5π6) (π 4， 0)④图象关于直线 x＝ 成轴对称．π 68．已知函数 f(x)＝4sin( －2 x)， x∈[－π，0]，则 f(x)的单调递减区间是π 32__________________________．9．(2015·上海闵行区下学期质量调研考试)函数 y＝sin x 的定义域为[ a， b]，值域为[－1， ]，则 b－ a 的最大值是________．1210．sin 1，sin 2，sin 3 按从小到大排列的顺序为__________．11．(2015·南京模拟)函数 y＝2sin(3 x＋ φ )(|φ |0，则 f(x)的单调递增区间是π 2__________________________________________．14．(2015·山东临沂一中二模)下列说法正确的是________(填上你认为正确说法的序号)．①函数 y＝－sin( kπ＋ x)(k∈Z)是奇函数；②函数 y＝－2sin(2 x＋ )在区间(0， )上是增函数；π 3 π12③函数 y＝cos 2x－sin 2x 的最小正周期为 π；④函数 y＝2tan( ＋ )的一个对称中心是( ，0)．x2 π 4 π 23答案解析1．[2 kπ＋ ，2 kπ＋ ](k∈Z)π 6 5π62．② 3.[ ＋2 kπ， ＋2 kπ]， k∈Zπ 3 4π34．④ 5.2 6.－2 7.②8．[－π，－ π]，[－ ，0] 9.712 π12 4π310．sin 30，π 2函数 y＝ ＝ ＝ ＝ ≤ ＝ ，sin 2x2sin2x＋ 1 2sin xcos x3sin2x＋ cos2x 2tan x3tan2x＋ 1 23tan x＋ 1tan x 223 33当且仅当 3tan x＝ 时等号成立．故最大值为 .1tan x 3313．[ kπ＋ ， kπ＋ π]， k∈Zπ 6 23解析 f(x)＝ asin 2x＋ bcos 2x＝ sin(2x＋ φ )，其中 tan φ ＝ .a2＋ b2ba∵ f(x)≤| f( )|，π 6∴ x＝ 是函数 f(x)的图象的一条对称轴，π 6∴ ＋ φ ＝ ＋ kπ( k∈Z)，即 φ ＝ ＋ kπ， k∈Z.π 3 π 2 π 6又∵ f( )0，π 2∴ φ 的取值可以是－ ，5π64∴ f(x)＝ sin(2x－ )．a2＋ b25π6由 2kπ－ ≤2 x－ ≤2 kπ＋ (k∈Z)，得 kπ＋ ≤ x≤ kπ＋ (k∈Z)．π 2 5π6 π 2 π 6 2π3∴ f(x)的单调递增区间是[ kπ＋ ， kπ＋ π]， k∈Z.π 6 2314．①③④1【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学 专题 4 三角函数、解三角形 28 三角恒等变换 文训练目标 (1)三角函数的和差公式；(2)联系和转化的思想.训练题型(1)三角函数式的求值、化简；(2)辅助角公式 asin α ＋ bcos α ＝ sin(α ＋ φ )的应用；(3)三角变换的应用.a2＋ b2解题策略(1)应用三角函数公式化简求值的三步曲：一角二名三结构；(2)给值求角一定要求出角的范围.1．(2015·西藏拉萨中学上学期第六次月考)已知 α 为第二象限角，sin α ＝ ，则 sin 352α ＝________.2．已知 sin(α － )＝ ，cos 2 α ＝ ，则 sin α ＝________.π 4 7210 7253．化简 cos(45°－ α )cos(α ＋15°)－sin(45°－ α )sin(α ＋15°)＝________.4．(2015·郑州一模)已知 sin( ＋ α )＋sin α ＝ ，则 sin(α ＋ )＝________.π 3 435 7π65．若 cos(α － β )＝ ，则(sin α ＋sin β )2＋(cos α ＋cos β )2＝________.136．已知 cos α ＝ ，cos( α ＋ β )＝－ ，且 α ， β ∈(0， )，则 cos(α － β )＝________.13 13 π 27．函数 f(x)＝sin xsin(x－ )的最大值为________．π 38．(2015·成都一诊)若 sin 2α ＝ ，sin( β － α )＝ ，且 α ∈[ ，π]， β ∈[π，55 1010 π 4]，则 α ＋ β ＝________.3π29. ＝________.cos 10°－ 3sin 10°sin 20°10．已知 ＝ ( cbd 12.113．[－ ， ]13 13解析 a＝3sin( x＋10°)＋4cos( x＋40°)＝3sin( x＋10°)＋4cos[( x＋10°)＋30°]＝3sin( x＋10°)＋4cos( x＋10°)cos 30°－4sin( x＋10°)sin 30°＝2 cos(x＋10°)＋sin( x＋10°)3＝ sin(x＋10°＋ φ )(其中 tan φ ＝2 )，13 3故－ ≤ a≤ .13 13314. －32 12解析 f(a·b)＝ ＝ ＝ |cos θ |＝ cos θ ，a·b－ 1 1＋ cos 2θ 2 2f(c·d)＝ ＝ |sin θ |c·d－ 1 2＝ sin θ ，2f(a·b)＋ f(c·d)＝ (cos θ ＋sin θ )2＝ ＋ .62 22∴cos θ ＋sin θ ＝ ＋ ，32 12∴(cos θ ＋sin θ )2＝1＋ ，32∴sin 2 θ ＝ ，32又 θ ∈(0， )，∴2 θ ∈(0， )，π 4 π 2∴2 θ ＝ ，即 θ ＝ ，π 3 π 6∴cos θ －sin θ ＝ － .32 121【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学 专题 4 三角函数、解三角形 29 三角函数的值域与最值 文训练目标(1)三角函数的值域、最值；(2)和三角函数有关的复合函数的值域、最值问题.训练题型 (1)可化为 y＝ Asin(ωx ＋ φ )型函数的值域；(2)简单复合函数的值域.解题策略(1)求 y＝ Asin(ωx ＋ φ )的值域，可设 t＝ ωx ＋ φ ，利用 y＝sin t 的图象来求函数值域，要注意 t 的取值范围；(2)形如 y＝ asin2x＋ bcos x＋ c(a≠0)型函数可利用配方法转化为二次函数的最值问题.1．函数 f(x)＝sin(2 x－ )在区间[0， ]上的最小值为________．π 4 π 22．(2015·湖北武汉武昌区元月调考)函数 f(x)＝2sin ωx (ω 0)在区间[0， ]上单调递π 4增，且在这个区间上的最大值是 ，那么 ω ＝________.33．函数 y＝cos 2x＋ sin xcos x 在区间 上的值域是________．3 [－π 6， π 4]4．(2015·邢台一模)先把函数 f(x)＝sin( x－ )的图象上各点的横坐标变为原来的 (纵坐π 6 12标不变)，再把新得到的图象向右平移 个单位长度，得到 y＝ g(x)的图象．当 x∈( ， )时，π 3 π 4 3π4函数 g(x)的值域为________．5．函数 y＝ sin 2x＋sin 2x， x∈R 的值域是____________．126．已知函数 f(x)＝sin x＋ acos x 的图象的一条对称轴是 x＝ ，则函数 g(x)＝ asin 5π3x＋cos x 的最大值是________．7．如果函数 f(x)＝ asin x－ bcos x 在 x＝ 处取得最小值－2，那么π 3a＝________， b＝________.8．函数 f(x)＝sin x－ cos x(x∈R)的值域是________．39．函数 y＝3－2cos(2 x－ )， x∈[ ， ]的值域为________．π 3 π 6 π 210．(2015·张家港月考)若 x ，则函数 y＝tan 2 x·tan3x 的最大值为________．π 4 π 211．函数 y＝cos 2 x＋2sin x 的最大值为________．12．在△ ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c.若 a＝3， b＝2，cos( A＋ B)＝ ，则132c＝________.13．函数 y＝2sin x(sin x＋cos x)的最大值为________．14．(2015·肇庆一模)设向量 a＝( a1， a2)， b＝( b1， b2)，定义一种向量积：a b＝( a1， a2) (b1， b2)＝( a1b1， a2b2)．已知向量 m＝( ，4)， n＝( ，0)，点 P 在12 π 6y＝cos x 的图象上运动，点 Q 在 y＝ f(x)的图象上运动，且满足 ＝ m ＋ n(其中 O 为坐OQ→ OP→ 标原点)，则 y＝ f(x)在区间[ ， ]上的最大值是________．π 6 π 33答案解析1．－ 2.22 433.[0，32]解析 y＝cos 2x＋ sin xcos x＝ ＋ ＝sin ＋ .31＋ cos 2x2 3sin 2x2 (2x＋ π 6) 12∵－ ≤ x≤ ，π 6 π 4∴－ ≤2 x＋ ≤ ，π 6 π 6 2π3∴0≤sin ＋ ≤ ，(2x＋π 6) 12 32故所求值域为 .[0，32]4．(－ ，1] 325.[－22＋ 12， 22＋ 12]6.233解析 由题意得 f(0)＝ f( )，10π3∴ a＝－ － ，32 a2∴ a＝－ ， g(x)＝－ sin x＋cos x＝ sin (x＋ )．33 33 233 2π3∴ g(x)max＝ .23347．－ 13解析 由已知，得 f(x)＝ sin(x－ φ )(其中 cos φ ＝ ，sin φ ＝ )，a2＋ b2aa2＋ b2 ba2＋ b2则Error!解得Error!8．[－2,2] 9.[1,4] 10.－811.32解析 y＝1－2sin 2x＋2sin x＝－2(sin x－ )2＋ ，12 32因为－1≤sin x≤1，所以当 sin x＝ 时， ymax＝ .12 3212. 17解析 ∵在△ ABC 中，cos( A＋ B)＝ ，13∴cos C＝－ .13在△ ABC 中， a＝3， b＝2，cos C＝－ ，根据余弦定理，13得 c2＝ a2＋ b2－2 abcos C＝9＋4－2×3×2×(－ )＝17，13∴ c＝ .1713. ＋12解析 ∵ y＝2sin 2x＋2sin xcos x＝1－cos 2 x＋sin 2 x＝ sin(2x－ )＋1，2π 4∴ ymax＝ ＋1.214．4解析 由题意，设点 P 的坐标为( x0，cos x0)，点 Q 的坐标为( x， y)，则 ＝ m ＋ n＝( ，4)( x0，cos x0)＋( ，0)OQ→ OP→ 12 π 6⇒(x， y)＝( x0＋ ，4cos x0)⇒Error!12 π 6即Error! ⇒y＝4cos(2 x－ )，π 3当 x∈[ ， ]时，0≤2 x－ ≤ ⇒ ≤cos(2 x－ )≤1⇒2≤4cos(2 x－ )≤4，π 6 π 3 π 3 π 3 12 π 3 π 35所以函数 y＝ f(x)在区间[ ， ]上的最大值是 4.π 6 π 31【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学 专题 4 三角函数、解三角形 30 三角函数 文训练目标 三角函数图象、性质的综合应用.训练题型(1)三角函数求值、化简问题；(2)三角函数图象及性质；(3)三角函数和其他知识的综合.解题策略(1)三角函数的求值与化简要注意观察角、函数名称、式子结构之间的联系；(2)考虑角的范围；(3) y＝ Asin(ωx ＋ φ )型函数可将 ωx ＋ φ 视为一个整体.1．(2015·安徽)在△ ABC 中， A＝ ， AB＝6， AC＝3 ，点 D 在 BC 边上， AD＝ BD，求 AD3π4 2的长．2．已知函数 f(x)＝ cos 4x－2cos 2(2x＋ )＋1.3π 4(1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)求函数 f(x)在区间[－ ， ]上的取值范围．π 6 π 43．(2015·岳阳一模)设函数 f(x)＝cos(2 x－ )＋2sin 2(x＋ )．π 3 π 2(1)求 f(x)的最小正周期和对称轴方程；(2)当 x∈[－ ， ]时，求 f(x)的值域．π 3 π 44．已知向量 m＝(sin x,1)， n＝( Acos x， cos 2x)(A0)，函数 f(x)＝ m·n 的最大值为3A26.(1)求 A；(2)将函数 y＝ f(x)的图象向左平移 个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，π12 12纵坐标不变，得到函数 y＝ g(x)的图象，求 g(x)在[0， ]上的值域．5π245．已知函数 f(x)＝2 sin(x＋ )cos(x＋ )＋sin 2 x＋ a 的最大值为 1.3π 4 π 4(1)求常数 a 的值；(2)求函数 f(x)的单调递增区间；2(3)若将 f(x)的图象向左平移 个单位，得到函数 g(x)的图象，求函数 g(x)在区间[0， ]π 6 π 2上的最大值和最小值．答案解析1．解 设△ ABC 的内角 A， B， C 所对边的长分别是 a， b， c，由余弦定理得 a2＝ b2＋ c2－2 bccos A＝(3 )2＋6 2－2×3 ×6×cos ＝18＋36－(－36)2 23π4＝90，所以 a＝3 .10又由正弦定理得 sin B＝ ＝ ＝ ，bsin Aa 3310 1010由题设知 00，知 A＝6.(2)由(1)得 f(x)＝6sin(2 x＋ )．π 6将函数 y＝ f(x)的图象向左平移 个单位后得到π12y＝6sin[2( x＋ )＋ ]＝6sin(2 x＋ )的图象；π12 π 6 π 3再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，12得到 y＝6sin(4 x＋ )的图象．π 3因此 g(x)＝6sin(4 x＋ )，又 x∈[0， ]，π 3 5π24所以 4x＋ ∈[ ， ]．π 3 π 3 7π6故 g(x)在[0， ]上的值域为[－3,6]．5π245．解 (1)∵ f(x)＝ sin(2x＋ )＋sin 2x＋ a＝ cos 2x＋sin 2x＋ a＝2sin(2 x＋ )3π 2 3 π 3＋ a≤1，∴2＋ a＝1，∴ a＝－1.(2)由－ ＋2 kπ≤2 x＋ ≤ ＋2 kπ， k∈Z，π 2 π 3 π 2解得－ ＋ kπ≤ x≤ ＋ kπ， k∈Z，5π12 π12∴函数 f(x)的单调递增区间为[－ ＋ kπ， ＋ kπ]， k∈Z.5π12 π124(3)∵将 f(x)的图象向左平移 个单位，得到函数 g(x)的图象，π 6∴ g(x)＝ f(x＋ )＝2sin[2( x＋ )＋ ]－1＝2sin(2 x＋ )－1.π 6 π 6 π 3 2π3∵ x∈[0， ]，∴2 x＋ ∈[ ， ]．π 2 2π3 2π3 5π3∴当 2x＋ ＝ 时，sin(2 x＋ )＝ ，2π3 2π3 2π3 32此时 g(x)取得最大值 －1；3当 2x＋ ＝ 时，sin(2 x＋ )＝－1，此时 g(x)取得最小值－3.2π3 3π2 2π31【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学 专题 4 三角函数、解三角形 31 正弦定理、余弦定理 文训练目标 (1)正弦定理、余弦定理；(2)解三角形.训练题型(1)正弦定理、余弦定理及其应用；(2)三角形面积；(3)三角形形状判断；(4)解三角形的综合应用.解题策略(1)解三角形时可利用正弦、余弦定理列方程(组)；(2)对已知两边和其中一边的对角解三角形时要根据图形和“大边对大角”判断解的情况；(3)判断三角形形状可通过三角变换或因式分解寻求边角关系.1．在△ ABC 中， C＝60°， AB＝ ， BC＝ ，那么 A＝________.3 22．在△ ABC 中，已知 b2－ bc－2 c2＝0， a＝ ，cos A＝ ，则△ ABC 的面积 S＝________.6783．若 ＝ ＝ ，则△ ABC 的形状为________三角形．sin Aa cos Bb cos Cc4．在△ ABC 中， B＝ ， AB＝ ， BC＝3，则 sin A＝________.π 4 25．在△ ABC 中， a＝ ， b＝ ， B＝45°，则 c＝________.3 26．已知△ ABC 中，角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，且 tan B＝ ， ＝ ，2－ 3a2＋ c2－ b2 BC→ ABA→ 12则 tan B＝________.7．在△ ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 S＝ (b2＋ c2－ a2)，则14A＝________.8．锐角三角形的内角分别是 A、 B、 C，并且 AB.下面三个不等式成立的是________．①sin Asin B；②cos Acos A＋cos B.9．在锐角△ ABC 中， a， b， c 分别是角 A， B， C 的对边，已知 a， b 是方程 x2－2 x＋2＝03的两个根，且 2sin(A＋ B)－ ＝0，则 c＝________.310．在△ ABC 中，角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，若 cos A，则△ ABC 的形状为cb________三角形．11．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为 120°的扇形 AOB， C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于 AO 的小路 CD.已知某人从 O 沿 OD 走到 D 用了 2 min，从 D 沿着 DC 走到 C 用了 3 min.若此人步行的速度为 50 m/min，则该扇形的半径为________ m.212．设△ ABC 的三个内角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，且 ＝ ，则acos A csin CA＝________.13．如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍，那么它的顶角的余弦值为________．14．在△ ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 ，， 成等差数列，则函数1a1b 1cy＝sin B＋cos B 的取值范围是________．3答案解析1．45° 2. 3.等腰直角1524.31010解析 由题意得 AC2＝ AB2＋ BC2－2 AB BC cos B＝2＋9－6 ＝5，即 AC＝ ，A2A22 5则 ＝ ， ＝ ，得 sin A＝ .BCsin A ACsin B 3sin A 522 310105. 6.2 － 7. 8.①②③6±22 3 π 49. 6解析 ∵ a， b 是方程 x2－2 x＋2＝0 的两个根，3∴ a＋ b＝2 ， ab＝2.3∵sin( A＋ B)＝ ，32又 sin C＝sin( A＋ B)，∴sin C＝ .32∵△ ABC 是锐角三角形，∴ C∈(0， )， C＝ .π 2 π 3∴根据余弦定理得： c2＝ a2＋ b2－2 abcos C＝( a＋ b)2－3 ab＝6，∴ c＝ (负值舍去)．610．钝角 11.50 12. 13.7π 4 7814．(1， ]2解析 依题意得 ＝ ＋ ，2b 1a 1c4cos B＝ ＝ ≥ ≥ ＝ ，a2＋ c2－ b22ac a2＋ c2－  2aca＋ c 22ac 2ac－  2aca＋ c 22ac 2ac－  2ac2ac 22ac 12当且仅当 a＝ c 时取等号，又 B∈(0，π)，所以 B∈(0， ]，π 3因为 y＝ sin(B＋ )， B＋ ∈( ， ]，sin( B＋ )∈( ，1]，所以 y∈(1， ]2π 4 π 4 π 4 7π12 π 4 22 21【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学 专题 4 三角函数、解三角形 32 解三角形 文训练目标 正弦定理、余弦定理在解三角形中的综合应用.训练题型 (1)解三角形；(2)解三角形的实际应用.解题策略(1)解三角形的关键是关系式的选择，应根据已知边角或关系式特点灵活使用定理；(2)根据实际问题可画出示意图，整合边角关系在适当三角形中求解.1．(2015·河南、河北、山西考前质检)在△ ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 c＝ asin C－ ccos A.3 3(1)求 A；(2)若 a＝2 ，△ ABC 的面积 S＝ ，求 b， c.3 32．设△ ABC 的内角 A， B， C 所对的边长分别为 a， b， c，且满足 a2＋ c2－ b2＝ ac.3(1)求角 B 的大小；(2)若 2bcos A＝ (ccos A＋ acos C)， BC 边上的中线 AM 的长为 ，求△ ABC 的面积．3 73．(2015·陕西)△ ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c.向量 m＝( a， b)与3n＝(cos A，sin B)平行．(1)求 A；(2)若 a＝ ， b＝2，求△ ABC 的面积．74.如图所示， A、 C 两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午 8 时从 A 岛出发，以 10 海里/小时的速度沿北偏东 75°方向直线航行，下午 1 时到达 B 处．然后以同样的速度沿北偏东15°方向直线航行，下午 4 时到达 C 岛．(1)求 A、 C 两岛之间的距离；(2)求∠ BAC 的正弦值．25．(2015·辽宁沈阳四校联考)已知 f(x)＝ sin(π＋ ωx )·sin( π－ ωx )332－cos 2ωx (ω 0)的最小正周期为 T＝π.(1)求 f( )的值；2π3(2)在△ ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若有(2 a－ c)cos B＝ bcos C，求角 B的大小以及 f(A)的取值范围．3答案解析1．解 (1)由条件 c＝ asin C－ ccos A，得 sin C＝sin Asin C－ sin Ccos A.3 3 3 3∵ C∈(0，π)，∴sin C≠0，∴ ＝sin A－ cos A，即 sin Acos －cos Asin ＝ ，sin( A－ )＝ .3 3π 3 π 3 32 π 3 32∵00)，则 BC＝ m，所以 CM＝ m.124在△ AMC 中，由余弦定理可知 AM 2＝ CM 2＋ AC2－2 CM AC cos ，A2π3即( )2＝ m2＋ m2－2 m m (－ )，714 A12 12整理得 m2＝4，解得 m＝2.所以 S△ ABC＝ CA CBsin ＝ ×2×2× ＝ .12 2π3 12 32 33．解 (1)因为 m∥ n，所以 asin B－ bcos A＝0.3由正弦定理，得 sin Asin B－ sin Bcos A＝0.3又因为 sin B≠0，所以 tan A＝ .3因为 0＜ A＜π，所以 A＝ .π 3(2)方法一 由余弦定理，得 a2＝ b2＋ c2－2 bccos A，又因为 a＝ ， b＝2， A＝ ，7π 3所以 7＝4＋ c2－2 c，即 c2－2 c－3＝0，因为 c＞0，所以 c＝3，故△ ABC 的面积为 bcsin A＝ .12 332方法二 由正弦定理，得 ＝ ，7sin π 3 2sin B从而 sin B＝ ，217又由 a＞ b，知 A＞ B，所以 cos B＝ ，277故 sin C＝sin( A＋ B)＝sin ＝sin Bcos ＋cos Bsin ＝ .(B＋π 3) π 3 π 3 32114所以△ ABC 的面积为 absin C＝ .12 3324．解 (1)在△ ABC 中，由已知，得 AB＝10×5＝50(海里)，BC＝10×3＝30(海里)，∠ ABC＝180°－75°＋15°＝120°，由余弦定理，得 AC2＝50 2＋30 2－2×50×30cos 120°＝4 900，5所以 AC＝70(海里)．故 A、 C 两岛之间的距离是 70 海里．(2)在△ ABC 中，由正弦定理，得 ＝ ，BCsin∠ BAC ACsin∠ ABC所以 sin∠ BAC＝BC·sin∠ ABCAC＝ ＝ .30sin 120°70 3314故∠ BAC 的正弦值是 .33145．解 (1)∵ f(x)＝ sin(π＋ ωx )sin( － ωx )－cos 2ωx ＝ sin ωx cos 33π2 3ωx －cos 2ωx＝ sin 2ω x－ cos 2ω x－32 12 12＝sin(2 ωx － )－ ，π 6 12由函数 f(x)的最小正周期为 T＝π，即 ＝π，得 ω ＝1，2π2ω∴ f(x)＝sin(2 x－ )－ ，π 6 12∴ f( )＝sin(2× － )－2π3 2π3 π 6 12＝sin － ＝－1.7π6 12(2)∵(2 a－ c)cos B＝ bcos C，∴由正弦定理可得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，∴2sin Acos B＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin( B＋ C)＝sin A.∵sin A0，∴cos B＝ .12∵ B∈(0，π)，∴ B＝ .π 3∵ A＋ C＝π－ B＝ π，∴ A∈(0， π)，23 23∴2 A－ ∈(－ ， )，π 6 π 6 7π66∴sin(2 A－ )∈(－ ，1]，π 6 12∴ f(A)＝sin(2 A－ )－ ∈(－1， ]．π 6 12 12