（新课标）2017高考数学一轮复习 第十章 概率(文)习题（打包3套）.zip

12017 高考数学一轮复习 第十章 概率 第 1 讲 随机事件的概率(文)习题A 组 基础巩固一、选择题1．在一次随机试验中，彼此互斥的事件 A， B， C， D 的概率分别为 0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是 ( )导 学 号 25402641A． A∪ B 与 C 是互斥事件，也是对立事件B． B∪ C 与 D 是互斥事件，也是对立事件C． A∪ C 与 B∪ D 是互斥事件，但不是对立事件D． A 与 B∪ C∪ D 是互斥事件，也是对立事件[答案] D[解析] 由于 A， B， C， D 彼此互斥，且 A∪ B∪ C∪ D 是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的韦恩图表示，由图可知，任何一个事件与其余 3 个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．2．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出 2 粒都是黑子的概率为 ，都是白子的17概率是 .则从中任意取出 2 粒恰好是同一色的概率是 ( )1235 导 学 号 25402642A. B．17 1235C. D．11735[答案] C[解析] 设“从中取出 2 煜 都是黑子”为事件 A， “从中取出 2 粒都是白子”为事件B， “任意取出 2 粒恰好是同一色”为事件 C，则 C＝ A∪ B，且事件 A 与 B 互斥．所以 P(C)＝ P(A)＋ P(B)＝ ＋ ＝ .即任意取出 2 粒恰好是同一色的概率为 .17 1235 1735 17353．从存放的号码分别为 1、2、3、…、10 的卡片的盒子中，有放回地取 100 次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10取到次数 13 8 5 7 6 13 18 10 11 9则取到号码为奇数的卡片的频率是 ( )导 学 号 254026432A．0.53 B．0.5C．0.47 D．0.37[答案] A[解析] 取到号码为奇数的卡片的次数为：13＋5＋6＋18＋11＝53，则所求的频率为＝0.53.故选 A.531004．从某校高二年级的所有学生中，随机抽取 20 人，测得他们的身高(单位：cm)分别为：162,153,148,154,165,168,172,171,173,150，151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级的所有学生中任抽一人，估计该生的身高在 155.5 cm～170.5 cm 之间的概率约为 ( )导 学 号 25402644A. B．25 12C. D．23 13[答案] A[解析] 从已知数据可以看出，在随机抽取的这 20 位学生中，身高在 155.5 cm～170.5 cm 之间的学生有 8 人，频率为 ，故可估计在该校高二年级的所有学生中任抽一25人，其身高在 155.5 cm～170.5 cm 之间的概率约为 .255．已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为 ，乙胜的概率为 ，则甲胜的概率和甲不输的12 13概率分别为 ( )导 学 号 25402645A. ， B．，16 16 12 23C. ， D．，16 23 23 12[答案] C[解析] “甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以甲胜的概率为 1－ － ＝ .12 13 16设“甲不输”为事件 A，则 A 可看作是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的和事件，所以 P(A)＝ ＋ ＝ .(或设“甲不输”为事件 A，则 A 可看作是“乙胜”的对立事件，所以16 12 23P(A)＝1－ ＝ )．13 236．若随机事件 A， B 互斥， A， B 发生的概率均不等于 0，且 P(A)＝2－ a， P(B)3＝4 a－5，则实数 a 的取值范围是 ( )导 学 号 25402646A．( ，2) B．( ， )54 54 32C．[ ， ] D．( ， ]54 32 54 43[答案] D[解析] 由题意可知Error!⇒Error!⇒Error!⇒ ＜ a≤ .54 43二、填空题7．据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为 0、1、2 的概率分别为0.4、0.5、0.1，则该企业在一个月内被消费者投诉不超过 1 次的概率为________.导 学 号 25402647[答案] 0.9[解析] 法一：记“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为 0”为事件 A， “该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为 1”为事件 B， “该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为 2”为事件 C， “该食品企业在一个月内被消费者投诉不超过 1 次”为事件 D，由题意知事件 A， B， C 彼此互斥，而事件 D 包含事件 A 与 B，所以 P(D)＝ P(A)＋ P(B)＝0.4＋0.5＝0.9.法二：记“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为 2”为事件 C， “该食品企业在一个月内被消费者投诉不超过 1 次”为事件 D，由题意知 C 与 D 是对立事件，所以 P(D)＝1－ P(C)＝1－0.1＝0.9.8．(2015·潍坊模拟)连续 2 次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6)，记“两次向上的数字之和等于 m”为事件 A，则 P(A)最大时，m＝________. 导 学 号 25402648[答案] 7[解析] m 可能取到的值有 2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12，对应的基本事件个数依次为 1、2、3、4、5、6、5、4、3、2、1，∴两次向上的数字之和等于 7 对应的事件发生的概率最大．9．某城市 2014 年的空气质量状况如下表所示：污染指数 T 30 60 100 110 130 140概率 P 110 16 13 730 215 130其中污染指数 T≤50 时，空气质量为优；50＜ T≤100 时，空气质量为良；100＜ T≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市 2014 年空气质量达到良或优的概率为________.导 学 号 254026494[答案] 35[解析] 由题意可知 2014 年空气质量达到良或优的概率为 P＝ ＋ ＋ ＝ .110 16 13 3510．若 A， B 互为对立事件，其概率分别为 P(A)＝ ， P(B)＝ ，且 x＞0， y＞0，则4x 1yx＋ y 的最小值为________. 导 学 号 25402650[答案] 9[解析] 由题意可知 ＋ ＝1，则 x＋ y＝( x＋ y)( ＋ )＝5＋( ＋ )≥9，当且仅当4x 1y 4x 1y 4yx xy＝ ，即 x＝2 y 时等号成立．4yx xy三、解答题11．有编号为 1、2、3 的三个白球，编号为 4、5、6 的三个黑球，这六个球除编号和颜色外完全相同，现从中任意取出两个球. 导 学 号 25402651(1)求取得的两个球颜色相同的概率；(2)求取得的两个球颜色不同的概率．[答案] (1) (2)25 35[解析] 从六个球中取出两个球的基本事件是：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共计 15 个．(1)记事件 A 为“取出的两个球都是白球” ，则这个事件包含的基本事件是(1,2)，(1,3)，(2,3)，共计 3 个，故 P(A)＝ ＝ ；记“取出的两个球都是黑球”为事件 B，同理可得 P(B)315 15＝ .15记事件 C 为“取出的两个球的颜色相同” ， A， B 互斥，根据互斥事件的概率加法公式，得 P(C)＝ P(A∪ B)＝ P(A)＋ P(B)＝ .25(2)记事件 D 为“取出的两个球的颜色不相同” ，则事件 C， D 对立，根据对立事件概率之间的关系，得 P(D)＝1－ P(C)＝1－ ＝ .25 3512．黄种人人群中各种血型的人数所占的比例见下表： 导 学 号 25402652血型 A B AB O该血型的人数所占的比例 28% 29% 8% 35%已知同种血型的人可以互相输血，O 型血的人可以给任一种血型的人输血，任何人的血5都可以输给 AB 型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是 B 型血，若他因病需要输血，问：(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？[答案] (1)0.64 (2)0.36[解析] (1)任找一人，其血型为 A，B，AB，O 型血分别记为事件A′， B′， C′， D′，它们是互斥的．由已知，有 P(A′)＝0.28， P(B′)＝0.29， P(C′)＝0.08， P(D′)＝0.35.因为 B，O 型血可以输给 B 型血的人，故“任找一个人，其血可以输给小明”为事件B′∪ D′，根据概率加法公式，得 P(B′∪ D′)＝ P(B′)＋ P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.(2)由于 A，AB 型血不能输给 B 型血的人，故“任找一个人，其血不能输给小明”为事件 A′∪ C′，且 P(A′∪ C′)＝ P(A′)＋ P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.B 组 能力提升1．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取 1 件，则其为二等品的概率是 ( )导 学 号 25402653A．0.09 B．0.20C．0.25 D．0.45[答案] D[解析] 由频率分布直方图的性质可知，样本数据在区间[25,30)上的频率为1－5×(0.02＋0.04＋0.06＋0.03)＝0.25，则二等品的频率为 0.25＋0.04×5＝0.45，故任取 1 件为二等品的概率为 0.45.2．设条件甲：“事件 A 与事件 B 是对立事件” ，结论乙：“概率满足 P(A)＋ P(B)＝1” ，则甲是乙的 ( )导 学 号 25402654A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件6D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 若事件 A 与事件 B 是对立事件，则 A∪ B 为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋ P(B)＝1.设掷一枚硬币 3 次，事件 A：“至少出现一次正面” ，事件 B：“3 次出现正面” ，则 P(A)＝ ， P(B)＝ ，满足 P(A)＋ P(B)＝1，但 A， B 不是对立事件．78 183．在一次班级聚会上，某班到会的女同学比男同学多 6 人，从这些同学中随机挑选一人表演节目．若选到女同学的概率为 ，则这班参加聚会的同学的人数为 ( )23 导 学 号 25402655A．12 B．18C．24 D．32[答案] B[解析] 设女同学有 x 人，则该班到会的共有(2 x－6)人，所以 ＝ ，得 x＝12，x2x－ 6 23故该班参加聚会的同学有 18 人．故选 B.4．(2015·福建四地六校联考)现有 7 名奥运会志愿者，其中志愿者 A1、 A2、 A3通晓日语， B1、 B2通晓俄语， C1、 C2通晓韩语．从中随机选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1名，组成一个小组. 导 学 号 25402656(1)列举出所有的基本事件，并求 A1被选中的概率；(2)求 B1和 C1不全被选中的概率．[答案] (1)略， (2)13 34[解析] (1)从 7 人中选出通晓日语、俄语和韩语志愿者各 1 名，所有基本事件为(A1， B1， C1)，( A1， B1， C2)，( A1， B2， C1)，( A1， B2， C2)，( A2， B1， C1)，( A2， B1， C2)，(A2， B2， C1)，( A2， B2， C2)，( A3， B1， C1)，( A3， B1， C2)，( A3， B2， C1)，( A3， B2， C2)．共 12 个基本事件．用 M 表示“ A1恰被选中”这一事件，则它包含的基本事件有(A1， B1， C1)，( A1， B1， C2)，( A1， B2， C1)，( A1， B2， C2)，共 4 个，因而 P(M)＝ ＝ .412 13(2)用 N 表示“ B1， C1不全被选中”这一事件，则其对立事件 表示“ B1， C1全被选中” ，N由于 包含的基本事件：( A1， B1， C1)，( A2， B1， C1)，( A3， B1， C1)，事件 有 3 个基本N N事件组成，所以 P( )＝ ＝ ，由对立事件的概率公式得 P(N)＝1－ P( )＝1－ ＝ .N312 14 N 14 3475．上午 7∶00～7∶50，某大桥通过 100 辆汽车，各时段通过汽车辆数及各时段的平均车速如下表： 导 学 号 25402657时段7∶00～7∶107∶10～7∶207∶20～7∶307∶30～7∶407∶40～7∶50通过车辆数 x 15 20 30 y平均车速(公里/小时) 60 56 52 46 50已知这 100 辆汽车中在 7∶30 以前通过的车辆占 44%.(1)确定 x， y 的值，并计算这 100 辆汽车过桥的平均速度；(2)估计一辆汽车在 7∶00～7∶50 过桥时车速至少为 50 公里/小时的概率(将频率视为概率)．[答案] (1) x＝9， y＝26,51 (2)0.7[解析] (1)由题意有 x＋15＋20＝44,30＋ y＝56，解得 x＝9， y＝26.所求平均速度为 ＝51(公里/小时)9×60＋ 15×56＋ 20×52＋ 30×46＋ 26×50100．(2)车速至少为 50 公里/小时的概率 P＝ ＝0.7.9＋ 15＋ 20＋ 2610012017 高考数学一轮复习 第十章 概率 第 2 讲 古典概型(文)习题A 组 基础巩固一、选择题1．(2015·浙江金丽衢十二校二联)4 张卡上分别写有数字 1、2、3、4，从这 4 张卡片中随机抽取 2 张，则取出的 2 张卡片上的数字之和为偶数的概率为 ( )导 学 号 25402671A. B．12 13C. D．23 34[答案] B[解析] 因为从四张卡片中任取出两张的情况为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共 6 种．其中两张卡片上数字和为偶数的情况为(1,3)，(2,4)共 2 种，所以两张卡片上的数字之和为偶数的概率为 .132．(2015·武汉调研)同时抛掷两个骰子，则向上的点数之差的绝对值为 4 的概率是( )导 学 号 25402672A. B．118 112C. D．19 16[答案] C[解析] 同时抛掷两个骰子，基本事件总数为 36，记“向上的点数之差的绝对值为 4”为事件 A，则事件 A 包含的基本事件有(1,5)，(2,6)，(5,1)，(6,2)，共 4 个，故 P(A)＝ ＝ .436 193．(2015·合肥二模)从 2 名男生和 2 名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( )导 学 号 25402673A. B．13 512C. D．12 712[答案] A[解析] 设 2 名男生记为 A1、 A2,2 名女生记为 B1、 B2，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，共有A1A2， A1B1， A1B2， A2B1， A2B2， B1B2， A2A1， B1A1， B2A1， B1A2， B2A2， B2B112 种情况，而星期2六安排一名男生、星期日安排一名女生共有 A1B1， A1B2， A2B1， A2B24 种情况，则发生的概率为 P＝ ＝ ，故选 A.412 134．(2015·威海一模)从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数 a，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数 b，则向量 m＝( a， b)与向量 n＝(1，－1)垂直的概率为 ( )导 学 号 25402674A. B．16 13C. D．14 12[答案] A[解析] 由题意可知 m＝( a， b)有：(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共 12 种情况．因为 m⊥ n，即 m·n＝0，所以 a×1＋ b×(－1)＝0，即 a＝ b，满足条件的有(3,3)，(5,5)共 2 个，故所求的概率为 .165．(2015·亳州质检)已知集合 M＝{1,2,3,4}， N＝{( a， b)|a∈ M， b∈ M}， A 是集合 N中任意一点， O 为坐标原点，则直线 OA 与 y＝ x2＋1 有交集的概率是 ( )导 学 号 25402675A. B．12 13C. D．14 18[答案] C[解析] 易知过点(0,0)与 y＝ x2＋1 相切的直线为 y＝2 x(斜率小于 0 的无需考虑)，集合 N 中共有 16 个元素，其中使 OA 斜率不小于 2 的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共 4 个，由所求的概率为 ＝ .416 146．在平面直角坐标系 xOy 中，不等式组Error!表示的平面区域为 W，从 W 中随机取点M(x， y)．若 x∈Z， y∈Z，则点 M 位于第二象限的概率为 ( )导 学 号 25402676A. B．16 13C．1－ D．1－π12 π 6[答案] A[解析] 画出平面区域，列出平面区域内的整数点有：(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，共 12 个，其中位于3第二象限的有(－1,1)，(－1,2)，共 2 个，所以所求概率 P＝ .16二、填空题7．(2015·浙江模拟)从 2 男 3 女共 5 名同学中任选 2 名(每名同学被选中的机会均等)，这 2 名都是男生或都是女生的概率等于________. 导 学 号 25402677[答案] 25[解析] 设 2 名男生为 A， B,3 名女生为 a， b， c，则从 5 名同学中任取 2 名的方法有(A， B)，( A， a)，( A， b)，( A， c)，( B， a)，( B， c)，( a， b)，( a， c)，( b， c)，共 10 种，而这 2 名同学刚好是一男一女的有( A， a)，( A， b)，( A， c)，( B， a)，( B， b)，( B， c)共 6种，故所求的概率 P＝1－ ＝ .610 258．(2015·绵阳诊断)如图的茎叶图是甲、乙两人在 4 次模拟测试中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为________. 导 学 号 25402678[答案] 0.3[解析] 依题意，记题中的被污损数字为 x，若甲的平均成绩不超过乙的平均成绩，则有(8＋9＋2＋1)－(5＋3＋ x＋5)≤0， x≥7，即此时 x 的可能取值是 7,8,9，因此甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率 P＝ ＝0.3.3109．(2015·宣武模拟)曲线 C 的方程为 ＋ ＝1，其中 m， n 是将一枚骰子先后投掷两x2m2 y2n2次所得点数，事件 A＝“方程 ＋ ＝1 表示焦点在 x 轴上的椭圆” ，那么 P(A)＝________.x2m2 y2n2导 学 号 25402679[答案] 512[解析] 试验中所含基本事件个数为 36；若想表示椭圆，则 m＞ n，有(2,1)，(3,1)，…，(6,5)，共 1＋2＋3＋4＋5＝15 种情况，因此 P(A)＝ ＝ .1536 51210．设集合 P＝{－2，－1,0,1,2}， x∈ P 且 y∈ P，则点( x， y)在圆 x2＋ y2＝4 内部的概率为________. 导 学 号 25403031[答案] 925[解析] 以( x， y)为基本事件，可知满足 x∈ P 且 y∈ P 的基本事件有 25 个．若点( x， y)在4圆 x2＋ y2＝4 内部，则 x， y∈{－1,1,0}，用列表法或坐标法可知满足 x∈{－1,1,0}且y∈{－1,1,0}的基本事件有 9 个．所以点( x， y)在圆 x2＋ y2＝4 内部的概率为 .925三、解答题11．(2015·洛阳统考)从某工厂抽取 50 名工人进行调查，发现他们一天加工零件的个数在 50 至 350 个之间，现按生产的零件的个数将他们分成六组，第一组[50,100)，第二组[100,150)，第三组[150,200)，第四组[200,250)，第五组[250,300)，第六组[300,350]，相应的样本频率分布直方图如图所示： 导 学 号 25402680(1)求频率分布直方图中的 x 的值；(2)设位于第六组的工人为拔尖工，位于第五组的工人为熟练工，现用分层抽样的办法在这两类工人中抽取一个容量为 6 的样本，从样本中任意取 2 个，求至少有一个拔尖工的概率．[答案] (1) x＝0.0060 (2)35[解析] (1)根据题意，(0.002 4＋0.003 6＋ x＋0.004 4＋0.002 4＋0.001 2)×50＝1，解得 x＝0.006 0.(2)由题知拔尖工共有 3 人，熟练工共有 6 人．抽取容量为 6 的样本，则其中拔尖工有 2 人，熟练工为 4 人．可设拔尖工为 A1、 A2，熟练工为 B1、 B2、 B3、 B4.则从样本中任抽 2 个的可能有：A1B1， A1B2， A1B3， A1B4， A2B1， A2B2， A2B3， A2B4， A1A2， B1B2， B1B3， B1B4， B2B3， B2B4， B3B4，共 15 种，至少有一个是拔尖工的可能有 A1B1， A1B2， A1B3， A1B4， A2B1， A2B2， A2B3， A2B4， A1A2，共 9 种．故至少有一个拔尖工的概率是 ＝ .915 3512．(2015·天津)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为 27、9、18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取 6 名运动员组队参加比赛. 导 学 号 254026815(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；(2)将抽取的 6 名运动员进行编号，编号分别为 A1、 A2、 A3、 A4、 A5、 A6.现从这 6 名运动员中随机抽取 2 人参加双打比赛．(ⅰ)用所给编号列出所有可能的结果；(ⅱ)设 A 为事件“编号为 A5和 A6的两名运动员中至少有 1 人被抽到” ，求事件 A 发生的概率．[答案] (1)3,1,2 (2)(ⅰ)略，(ⅱ)35[解析] (1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为 3,1,2.(2)(ⅰ)从 6 名运动员中随机抽取 2 人参加双打比赛的所有可能结果为{ A1， A2}，{A1， A3}，{ A1， A4}，{ A1， A5}，{ A1， A6}，{ A2， A3}，{ A2， A4}，{ A2， A5}，{ A2， A6}，{A3， A4}，{ A3， A5}，{ A3， A6}，{ A4， A5}，{ A4， A6}，{ A5， A6}，共 15 种．(ⅱ)编号为 A5和 A6的两名运动员中至少有 1 人被抽到的所有可能结果为{ A1， A5}，{A1， A6}，{ A2， A5}，{ A2， A6}，{ A3， A5}，{ A3， A6}，{ A4， A5}，{ A4， A6}，{ A5， A6}，共 9种．因此，事件 A 发生的概率 P(A)＝ ＝ .915 35B 组 能力提升1．(2015·衡水调研卷)现采用随机模拟的方法估计某运动员射击 4 次，至少击中 3 次的概率；先由计算器给出 0 到 9 之间取整数值的随机数，指定 0,1 表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9 表示击中目标，以 4 个随机数为一组，代表射击 4 次的结果，经随机模拟产生了 20 组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计射击运动员射击 4 次至少击中 3 次的概率为 ( )导 学 号 25402682A．0.852 B．0.819 2C．0.8 D．0.75[答案] D[解析] 因为射击 4 次至多击中 2 次对应的随机数组为 7140,1417,0371,6011,7610，共 5 组，所以射击 4 次至少击中 3 次的概率为 1－ ＝0.75，故选 D.5202．从正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于 ( )导 学 号 25402683A. B．110 186C． D．16 15[答案] D[解析] 在正六边形中，6 个顶点选取 4 个，种数为 15.选取的 4 点能构成矩形的，只有对边的 4 个顶点(例如 AB 与 DE)，共有 3 种，∴所求概率为 ＝ .315 153．一个袋子中有 5 个大小相同的球，其中 3 个白球与 2 个黑球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任意取出一个球，则第一次为白球、第二次为黑球的概率为 ( )导 学 号 25402684A. B．35 310C. D．12 625[答案] B[解析] 设 3 个白球分别为 a1、 a2、 a3,2 个黑球分别为 b1、 b2，则先后从中取出 2 个球的所有可能结果为( a1， a2)，( a1， a3)，( a1， b1)，( a1， b2)，( a2， a3)，( a2， b1)，( a2， b2)，(a3， b1)，( a3， b2)，( b1， b2)，( a2， a1)，( a3， a1)，( b1， a1)，( b2， a1)，( a3， a2)，(b1， a2)，( b2， a2)，( b1， a3)，( b2， a3)，( b2， b1)，共 20 种．其中满足第一次为白球、第二次为黑球的有( a1， b1)，( a1， b2)，( a2， b1)，( a2， b2)，( a3， b1)，( a3， b2)，共 6 种，故所求概率为 ＝ .620 3104．(2015·安徽)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问 50 名职工，根据这 50 名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100]. 导 学 号 25402685(1)求频率分布直方图中 a 的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率；7(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取 2 人，求此 2 人的评分都在[40,50)的概率．[答案] (1) a＝0.006 (2)0.4 (3)110[解析] (1)因为(0.004＋ a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以 a＝0.006.(2)由所给频率分布直方图知，50 名受访职工评分不低于 80 分的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以估计该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率为 0.4.(3)受访职工中评分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3(人)，记为 A1、 A2、 A3；受访职工中评分在[40,50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为 B1、 B2.从这 5 名受访职工中随机抽取 2 人，所有可能的结果共有 10 种，它们是{ A1， A2}，{A1， A3}，{ A1， B1}，{ A1， B2}，{ A2， A3}，{ A2， B1}，{ A2， B2}，{ A3， B1}，{ A3， B2}，{B1， B2}，又因为所抽取 2 人的评分都在[40,50)的结果有 1 种，即{ B1， B2}，故所求的概率为 .1105．一汽车厂生产 A、 B、 C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)： 导 学 号 25402686轿车 A 轿车 B 轿车 C舒适型 100 150 z标准型 300 450 600按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆，其中有 A 类轿车 10 辆．(1)求 z 的值；(2)按型号用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本．将该样本看成一个总体，从中任取 2 辆，求至少有 1 辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆，经检测它们的得分如下：9．4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2，把这 8 辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率．[答案] (1) z＝400 (2) (3)710 34[解析] (1)设该厂这个月共生产轿车 n 辆，由题意得 ＝ ，所以 n＝2 000，50n 10100＋ 300则 z＝2 000－100－300－150－450－600＝400.(2)设所抽样本中有 a 辆舒适型轿车，由题意得 ＝ ，则 a＝2.4001 000 a58因此在抽取的容量为 5 的样本中，有 2 辆舒适型轿车，3 辆标准型轿车．用 A1、 A2表示2 辆舒适型轿车，用 B1、 B2、 B3表示 3 辆标准型轿车，用 E 表示事件“在该样本中任取 2 辆，其中至少有 1 辆舒适型轿车” ，则基本事件空间包含的基本事件有(A1， A2)，( A1， B1)，( A1， B2)，( A1， B3)，( A2， B1)，( A2， B2)，( A2， B3)，( B1， B2)，(B1， B3)，( B2， B3)，共 10 个．事件 E 包含的基本事件有(A1， A2)，( A1， B1)，( A1， B2)，( A1， B3)，( A2， B1)，( A2， B2)，( A2， B3)，共 7 个．故 P(E)＝ ，即所求概率为 .710 710(3)样本平均数 ＝ (9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.x18设 D 表示事件“从样本中任取一个数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5”，则基本事件空间中有 8 个基本事件，事件 D 包含的基本事件有 9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0，共 6 个，所以 P(D)＝ ＝ ，即所求概率为 .68 34 3412017 高考数学一轮复习 第十章 概率 第 3 讲 几何概型(文)习题A 组 基础巩固一、选择题1．(2015·重庆一中期中)在[－2,3]上随机取一个数 x，则( x＋1)( x－3)≤0 的概率为( )导 学 号 25402702A. B．25 14C. D．35 45[答案] D[解析] 由( x＋1)( x－3)≤0，得－1≤ x≤3.由几何概型得所求概率为 .452．在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 M，并以线段 AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于 36 cm2与 81 cm2之间的概率为 ( )导 学 号 25402703A. B．14 13C. D．427 415[答案] A[解析] 面积为 36 cm2时，边长 AM＝6 cm；面积为 81 cm2时，边长 AM＝9 cm.∴ P＝ ＝ ＝ .9－ 612 312 143．若在面积为 S 的△ ABC 的边 AB 上任取一点 P，则△ PBC 的面积大于 的概率是S4( )导 学 号 25402704A. B．14 12C. D．34 23[答案] C[解析] 如图，在 AB 边上取点 P′，使 ＝ ，则 P 只能在 AP′上(为包括 P′点)运AP′AB 34动，则所求概率为 ＝ .AP′AB 3424．一只蜜蜂在一个棱长为 3 的正方体内自由飞行，若蜜峰在飞行过程中始终保持与正方体 6 个表面的距离均大于 1，称其为“安全飞行” ，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )导 学 号 25402705A. B．4π81 81－ 4π81C. D．127 827[答案] C[解析] 由已知条件可知，蜜蜂只能在一个棱长为 1 的小正方体内飞行，结合几何概型可得蜜蜂“安全飞行”的概率为 P＝ ＝ .1333 1275．(2014·湖北理)由不等式组Error!确定的平面区域记为 Ω 1，不等式组Error!确定的平面区域记为 Ω 2.在 Ω 1中随机取一点，则该点恰好在 Ω 2内的概率为 ( )导 学 号 25402706A. B．18 14C． D．34 78[答案] D[解析] 由题意作图，如图所示， Ω 1的面积为 ×2×2＝2，图中阴影部分的面积为122－ × × ＝ ，则所求的概率 P＝ ＝ ，选 D.12 22 22 74 742 786．如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA、 OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 ( )导 学 号 254027073A．1－ B． －2π 12 1πC. D．2π 1π[答案] A[解析] 设分别以 OA、 OB 为直径的两个半圆交于点 C， OA 的中点为 D，如图，连接OC， DC.不妨令 OA＝ OB＝2，则 OD＝ DA＝ DC＝1.则以 OA 为直径的半圆中，空白部分面积 S1＝ ＋ ×1×1－( － ×1×1)＝1，π 4 12 π 4 12所以整体图形中空白部分面积 S2＝2.又因为 S 扇形 OAB＝ ×π ×22＝ π ，14所以阴影部分面积为 S3＝ π －2.所以 P＝ ＝1－ .π － 2π 2π二、填空题7．(2015·武汉调研)在区间(0,1)内随机地取出两个数，则两数之和小于 的概率是65________.导 学 号 25402708[答案] 1725[解析] 设随机取出的两个数分别为 x， y，则 0＜ x＜1,0＜ y＜1，依题意有 x＋ y＜ ，65由几何概型知，所求概率为 P＝ ＝ .12－ 12× 1－ 15 × 1－ 1512 17258．已知线段 AC＝16 cm，先截取 AB＝4 cm 作为长方体的高，再将线段 BC 任意分成两4段作为长方体的长和宽，则长方体的体积超过 128 cm3的概率为________. 导 学 号 25402709[答案] 13[解析] 依题意，设长方体的长为 x cm，则相应的宽为(12－ x)cm，由 4x(12－ x)＞128得 x2－12 x＋32＜0,4＜ x＜8，因此所求的概率等于 ＝ .8－ 412 139．(2015·湖北八校二联)记集合 A＝{( x， y)|x2＋ y2≤4}和集合 B＝{( x， y)|x＋ y－2≤0， x≥0， y≥0}表示的平面区域分别为 Ω 1和 Ω 2，若在区域 Ω 1内任取一点M(x， y)，则点 M 落在区域 Ω 2的概率为________. 导 学 号 25402710[答案] 12π[解析] 作圆 O： x2＋ y2＝4，区域 Ω 1就是圆 O 内部(含边界)，其面积为 4π ，区域Ω 2就是图中△ AOB 内部(含边界)，其面积为 2，因此所求概率为 ＝ .24π 12π10．如图所示，图 2 中实线围成的部分是长方体(图 1)的平面展开图，其中四边形 ABCD是边长为 1 的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是 ，则此长方体的体积是________.14 导 学 号 25402711图 1 图 2 [答案] 3[解析] 设长方体的高为 h，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率 P＝ ＝ ，解得 h＝3 或 h＝－ (舍去)，故长方体的体积2＋ 4h 2h＋ 2  2h＋ 1 14 12为 1×1×3＝3.三、解答题11．已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为 0 的小球 1 个，标号为 1的小球 1 个，标号为 2 的小球 n 个．若从袋子中随机抽取 1 个小球，取到标号为 2 的小球的概率是 .12导 学 号 254027125(1)求 n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取 2 个小球，记第一次取出的小球标号为 a，第二次取出的小球标号为 b.(ⅰ)记“ a＋ b＝2”为事件 A，求事件 A 的概率；(ⅱ)在区间[0,2]内任取 2 个实数 x、 y，求事件“ x2＋ y2＞( a－ b)2恒成立”的概率．[答案] (1)2 (2)(ⅰ) ，(ⅱ)1－13 π 4[解析] (1)依题意 ＝ ，得 n＝2.nn＋ 2 12(2)(ⅰ)记标号为 0 的小球为 s，标号为 1 的小球为 t，标号为 2 的小球为 k， h，则取出 2 个小球的可能情况有：( s， t)，( s， k)，( s， h)，( t， s)，( t， k)，( t， h)，( k， s)，(k， t)，( k， h)，( h， s)，( h， t)，( h， k)，共 12 种，其中满足“ a＋ b＝2”的有 4 种：(s， k)，( s， h)，( k， s)，( h， s)．所以所求概率为 P(A)＝ ＝ .412 13(ⅱ)记“ x2＋ y2＞( a－ b)2恒成立”为事件 B，则事件 B 等价于“ x2＋ y2＞4 恒成立” ，(x， y)可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为 Ω ＝{( x， y)|0≤ x≤2,0≤ y≤2， x， y∈R}，而事件 B 构成的区域为 B＝{( x， y)|x2＋ y2＞4，( x， y)∈ Ω }．所以所求的概率为 P(B)＝1－ .π 412．(2015·潍坊一模)甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下： 导 学 号 25402713甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为 15°，边界忽略不计)即为中奖．乙商场：从装有 3 个白球 3 个红球的盒子中一次性摸出 2 个球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是 2 个红球，即为中奖．问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？[答案] 乙商场[解析] 如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘，指针转致力 360°，阴影区域角度为 60°.所以，在甲商场中奖的概率为 P1＝ ＝ .60360 166如果顾客去乙商场，记盒子中 3 个白球为 a1、 a2、 a3,3 个红球为 b1、 b2、 b3，记( x， y)为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：( a1， a2)，( a1， a3)，( a1， b1)，( a1， b2)，(a1， b3)，( a2， a3)，( a2， b1)，( a2， b2)，( a2， b3)，( a3， b1)，( a3， b2)，( a3， b3)，(b1， b2)，( b1， b3)，( b2， b3)，共 15 种，摸到的 2 个球都是红球有( b1， b2)，( b1， b3)，( b2， b3)共 3 个，所以在乙商场中奖的概率为 P2＝ ＝ .315 15由于 P1＜ P2，所以顾客在乙商场中奖的可能性大．B 组 能力提升1．(2015·湖北)在区间[0,1]上随机取两个数 x， y，记 p1为事件“ x＋ y≤ ”的概率，12p2为事件“ xy≤ ”的概率，则 ( )12 导 学 号 25402714A． p1＜ p2＜ B． p2＜ ＜ p112 12C. ＜ p2＜ p1 D． p1＜ ＜ p212 12[答案] D[解析] 如图所示，事件“ x＋ y≤ ”的概率12p1＝ ＝ ＝ ＜ ，事件“ xy≤ ”的概率 p2＝S△ AOGS四 边 形 OBDF 12×12×121×1 18 12 12＝ ＞ ，所以 p1＜ ＜ p2，选 D.S四 边 形 OAEF＋ S曲 边 梯 形 ABCES四 边 形 OBDF 12×1＋ S曲 边 梯 形 ABCE1×1 12 122．(2015·东莞一模)已知 A(2,1)、 B(1，－2)、 C( ，－ )，动点 P(a， b)满足35 150≤ · ≤2，且 0≤ · ≤2，则点 P 到点 C 的距离大于 的概率为 ( )OP→ OA→ OP→ OB→ 14 导 学 号 25402715A．1－ π B． π564 564C．1－ D．π16 π167[答案] A[解析] ∵ · ＝2 a＋ b， · ＝ a－2 b，OP→ OA→ OP→ OB→ 又 0≤ · ≤2，且 0≤ · ≤2，OP→ OA→ OP→ OB→ ∴Error! 表示的区域如图阴影部分所示，点 C 在阴影区域内到各边界的距离大于 .14又| OM|＝ ，255∴所求概率 P＝ ＝1－ π . 255 2－ π  14 2 255 2 5643．(2015·重庆)在区间[0,5]上随机地选择一个数 p，则方程 x2＋2 px＋3 p－2＝0 有两个负根的概率为________. 导 学 号 25402716[答案] 23[解析] 设方程 x2＋2 px＋3 p－2＝0 的两个根分别为 x1、 x2，由题意，得Error!，结合0≤ p≤5，解得 ＜ p≤1 或 2＜ p≤5，所以所求概率 P＝ ＝ .23  1－ 23 ＋  5－ 25 23[点拨] 解答本题时易忽略条件 Δ ＝4 p2－4(3 p－2)≥0，从而造成错解．4．(2015·陕西)随机抽取一个年份，对西安市该年 4 月份的天气情况进行统计，结果如下： 导 学 号 25402717日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴日期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30天气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨(1)在 4 月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；(2)西安市某学校拟从 4 月份的一个晴天开始举行连续 2 天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．8[答案] (1) (2)1315 78[解析] (1)在容量为 30 的样本中，不下雨的天数是 26，以频率估计概率，4 月份任选一天，西安市不下雨的概率为 .1315(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1 日与 2 日，2 日与 3 日等)．这样，在 4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有 16 个，其中后一天不下雨的有 14 个，所以晴天的次日不下雨的频率为 .78以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为 .78[点拨] 利用频率估计概率，在大量统计过程中将频率近似看成概率是估算概率的根本方法．5．(2015·顺义区一模)已知关于 x 的一次函数 y＝ ax＋ b.导 学 号 25402718(1)设集合 A＝{－1，－1,1,2}和 B＝{－2,2}，分别从集合 A 和 B 中随机取一个数作为a、 b，求函数 y＝ ax＋ b 是增函数的概率；(2)若实数 a， b 满足条件Error!求函数 y＝ ax＋ b 的图象不经过第四象限的概率．[答案] (1) (2)12 27[解析] (1)抽取全部结果所构成的基本事件空间为(－2，－2)，(－2,2)，(－1，－2)，(－1,2)，(1，－2)，(1,2)，(2，－2)，(2,2)，共 8 个．设函数是增函数为事件 A，需 a＞0，有 4 个，故所求概率为 P(A)＝ .12(2)实数 a， b 满足条件Error!要函数 y＝ ax＋ b 的图象不经过第四象限，则需使 a， b 满足Error!即Error!对应的图形为正方形，面积为 1，作出不等式组对应的平面区域如图；则根据几何概型的概率公式可得函数 y＝ ax＋ b 的图象不经过第四象限的概率为9＝ ＝ .S正 方 形 OFBCS多 边 形 ABCDE 172 27