（新课标）2017高考数学一轮复习 第五章 数列习题（打包4套）.zip

12017 高考数学一轮复习 第五章 数列 第 1 讲 数列的概念与表示习题A 组 基础巩固一、选择题1．数列 1，，，，，…的一个通项公式 an＝ ( )23354759 导 学 号 25401203A. B.n2n＋ 1 n2n－ 1C. D．n2n－ 3 n2n＋ 3[答案] B[解析] 由已知得，数列可写成 ，，，…，故通项为 .112335 n2n－ 12．数列{ an}的前 n 项积为 n2，那么当 n≥2 时， an＝ ( )导 学 号 25401204A．2 n－1 B.n2C. D． n＋ 1 2n2 n2 n－ 1 2[答案] D[解析] 设数列{ an}的前 n 项积为 Tn，则 Tn＝ n2，当 n≥2 时， an＝ ＝ .TnTn－ 1 n2 n－ 1 23．数列{ an}满足 an＋ an＋1 ＝ (n∈N *)， a2＝2， Sn是数列{ an}的前 n 项和，则 S21为12( )导 学 号 25401205A．5 B.72C. D．92 132[答案] B[解析] ∵ an＋ an＋1 ＝ ， a2＝2，12∴ an＝Error!∴ S21＝11×(－ )＋10×2＝ .故选 B.32 724．在各项均为正数的数列{ an}中，对任意 m， n∈N *，都有 am＋ n＝ am·an.若 a6＝64，则a9等于 ( )导 学 号 254012062A．256 B.510C．512 D．1 024[答案] C[解析] 在各项均为正数的数列{ an}中，对任意 m， n∈N *，都有am＋ n＝ am·an.∴ a6＝ a3·a3＝64， a3＝8.∴ a9＝ a6·a3＝64×8， a9＝512.故选 C.5．已知数列{ an}的前 n 项和为 Sn＝ kn2，若对所有的 n∈N *，都有 an＋1 ＞ an，则实数 k的取值范围是 ( )导 学 号 25401207A．(0，＋∞) B.(－∞，1)C．(1，＋∞) D．(－∞，0)[答案] A[解析] 由 Sn＝ kn2得 an＝ k(2n－1)．因为 an＋1 ＞ an，所以数列{ an}是递增的，因此k＞0，故选 A.6．(2015·吉林长春调研)已知{ an}满足 an＋1 ＝ an＋2 n，且 a1＝33，则 的最小值为ann( )导 学 号 25401208A．21 B.10C. D．212 172[答案] C[解析] 由已知条件可知，当 n≥2 时，an＝ a1＋( a2－ a1)＋( a3－ a2)＋…＋( an－ an－1 )＝33＋2＋4＋…＋2( n－1)＝ n2－ n＋33，又 n＝1 时， a1＝33 满足此式．所以 ＝ n＋ －1.ann 33n令 f(n)＝ ＝ n＋ －1，则 f(n)在[1,5]上为减函数，ann 33n在[6，＋∞)上为增函数，又 f(5)＝ ， f(6)＝ ，535 212则 f(5)＞ f(6)，故 f(n)＝ 的最小值为 ，故选 C.ann 212二、填空题7．已知数列{ }，则 0.98 是它的第________项.n2n2＋ 1 导 学 号 25401209[答案] 73[解析] ＝0.98＝ ，∴ n＝7.n2n2＋ 1 49508．(2014·课标全国Ⅱ，文)数列{ an}满足 an＋1 ＝ ， a11＝2，则 a1＝________.11－ an导 学 号 25401210[答案] 12[解析] 由 a11＝2 及 an＋1 ＝ ，得 a10＝ .11－ an 12同理 a9＝－1， a8＝2， a7＝ ，…12所以数列{ an}是周期为 3 的数列．所以 a1＝ a10＝ .129．已知 an＝ (n∈N *)，则在数列{ an}中的前 30 项中，最大项和最小项分别是第n－ 98n－ 99________项. 导 学 号 25401211[答案] 10,9[解析] an＝ ＝n－ 98n－ 99 n－ 99＋ 99－ 98n－ 99＝1＋ ，99－ 98n－ 99当 1≤ n≤9 时， ＜0 ， an为递减函数．99－ 98n－ 99当 n≥10 时， ＞0， an为递减函数．99－ 98n－ 99∴最大项为 a10，最小项为 a9.10．若数列{ an}的前 n 项和 Sn＝ an＋ ，则{ an}的通项公式是 an＝________.23 13导 学 号 25401212[答案] (－2) n－1[解析] 由 Sn＝ an＋ ，得当 n≥2 时，23 13Sn－1 ＝ an－1 ＋ ，∴当 n≥2 时， an＝－2 an－1 .又 n＝1 时，23 13S1＝ a1＝ a1＋ ， a1＝1，∴ an＝(－2) n－1 .23 13三、解答题11．已知 Sn为正项数列{ an}的前 n 项和，且满足 Sn＝ a ＋ an(n∈N *).122n 124导 学 号 25401213(1)求 a1， a2， a3， a4的值；(2)求数列{ an}的通项公式．[答案] (1) a1＝1， a2＝2， a3＝3， a4＝4 (2) an＝ n[解析] (1)由 Sn＝ a ＋ an(n∈N *)，可得122n 12a1＝ a ＋ a1，解得 a1＝1；1221 12S2＝ a1＋ a2＝ a ＋ a2，解得 a2＝2；122 12同理， a3＝3， a4＝4.(2)Sn＝ a ＋ an，①122n 12当 n≥2 时， Sn－1 ＝ a ＋ an－1 ，②12 2n－ 1 12①－②得( an－ an－1 －1)( an＋ an－1 )＝0.由于 an＋ an－1 ≠0，所以 an－ an－1 ＝1，∴ an＝ a1＋( n－1)×1＝ n.12．已知数列{ an}满足前 n 项和 Sn＝ n2＋1，数列{ bn}满足 bn＝ ，且前 n 项和为2an＋ 1Tn，设 cn＝ T2n＋1 － Tn.导 学 号 25401214(1)求数列{ bn}的通项公式；(2)判断数列{ cn}的增减性．[答案] (1) bn＝Error! (2)递减数列[解析] (1) a1＝2， an＝ Sn－ Sn－1 ＝2 n－1( n≥2)．∴ bn＝Error!(2)∵ cn＝ bn＋1 ＋ bn＋2 ＋…＋ b2n＋1＝ ＋ ＋…＋ ，1n＋ 1 1n＋ 2 12n＋ 1∴ cn＋1 － cn＝ ＋ －12n＋ 2 12n＋ 3 1n＋ 1＝ － ＝ ＜0，12n＋ 3 12n＋ 2 － 1 2n＋ 3  2n＋ 2∴ cn＋1 ＜ cn.∴数列{ cn}为递减数列．B 组 能力提升51．(2015·东北三省三校一联)已知数列{ an}满足 · · ·…· ＝lna12 lna25 lna38 lnan3n－ 1(n∈N *)，则 a10＝ ( )3n＋ 22 导 学 号 25401215A．e 26 B.e29C．e 32 D．e 35[答案] C[解析] 当 n＝10 时， · · … ＝16lna12 lna25 lna38 lna1029当 n＝9 时， · · … ＝lna12 lna25 lna98 lnan26 292两式相除得 ＝ ，∴ln a10＝32，∴ a10＝e 32，故选 C.lna1029 32292．(2015·吉林长春质检二)设数列{ an}的前 n 项和为 Sn，且 a1＝1，{ Sn＋ nan}为常数列，则 an＝ ( )导 学 号 25401216A. B.13n－ 1 2n n＋ 1C. D．6 n＋ 1  n＋ 2 5－ 2n3[答案] B[解析] 由题意知， Sn＋ nan＝2，当 n≥2 时，( n＋1) an＝( n－1) an－1 ，从而 · · ·…· ＝ · ·…· ，a2a1 a3a2 a4a3 anan－ 1 13 24 n－ 1n＋ 1有 an＝ ，当 n＝1 时上式成立，2n n＋ 1所以 an＝ .故选 B.2n n＋ 13．(2015·辽宁大连双基)数列{ an}满足 an－ an＋1 ＝ an·an＋1 (n∈N *)，数列{ bn}满足bn＝ ，且 b1＋ b2＋…＋ b9＝90，则 b4·b6 ( )1an 导 学 号 25401217A．最大值为 99 B.为定值 99C．最大值为 100 D．最大值为 200[答案] B[解析] 将 an－ an＋1 ＝ anan＋1 两边同时除以 anan＋1 ，可得 － ＝1，即1an＋ 1 1anbn＋1 － bn＝1，所以{ bn}是公差为 d＝1 的等差数列，其前 9 项和为 ＝90，所以9 b1＋ b92b1＋ b9＝20，将 b9＝ b1＋8 d＝ b1＋8，代入得 b1＝6，所以 b4＝9， b6＝11，所以 b4b6＝99，选6B.4．(2015·湖北武汉质检)设数列{ an}的前 n 项和为 Sn，数列{ Sn}的前 n 项和为 Tn，满足 Tn＝2 Sn－ n2， n∈N *.导 学 号 25401218(1)求 a1的值；(2)求数列{ an}的通项公式．[答案] (1)1 (2) an＝3·2 n－1 －2， n∈N *[解析] (1)当 n＝1 时， T1＝2 S1－1.因为 T1＝ S1＝ a1，所以 a1＝2 a1－1，求得 a1＝1.(2)当 n≥2 时， Sn＝ Tn－ Tn－1 ＝2 Sn－ n2－[2 Sn－1 －( n－1) 2]＝2 Sn－2 Sn－1 －2 n＋1，所以Sn＝2 Sn－1 ＋2 n－1，①所以 Sn＋1 ＝2 Sn＋2 n＋1.②②－①，得 an＋1 ＝2 an＋2，所以 an＋1 ＋2＝2( an＋2)，即 ＝2( n≥2)，an＋ 1＋ 2an＋ 2求得 a1＋2＝3， a2＋2＝6，则 ＝2.a2＋ 2a1＋ 2所以数列{ an＋2}是以 3 为首项，2 为公比的等比数列，所以 an＋2＝3·2 n－1 ，所以 an＝3·2 n－1 －2， n∈N *.5．(2015·新课标全国Ⅰ) Sn为数列{ an}的前 n 项和，已知 an＞0， a ＋2 an＝4 Sn＋3.2n导 学 号 25401219(1)求{ an}的通项公式；(2)设 bn＝ ，求数列{ bn}的前 n 项和．1anan＋ 1[答案] (1) an＝2 n＋1 (2)n3 2n＋ 3[解析] (1)由 a ＋2 an＝4 Sn＋3，可知 a ＋2 an＋1 ＝4 Sn＋1 ＋3.2n 2n＋ 1可得 a － a ＋2( an＋1 － an)＝4 an＋1 ，即2n＋ 1 2n2(an＋1 ＋ an)＝ a － a ＝( an＋1 ＋ an)(an＋1 － an)．2n＋ 1 2n由于 an＞0，可得 an＋1 － an＝2.又 a ＋2 a1＝4 a1＋3，解得 a1＝－1(舍去)或 a1＝3.21所以{ an}是首项为 3，公差为 2 的等差数列，通项公式为 an＝2 n＋1.(2)由 an＝2 n＋1 可知bn＝ ＝ ＝ ( － )．1anan＋ 1 1 2n＋ 1  2n＋ 3 12 12n＋ 1 12n＋ 3设数列{ bn}的前 n 项和为 Tn，则Tn＝ b1＋ b2＋…＋ bn7＝ [( － )＋( － )＋…＋( － )]12 13 15 15 17 12n＋ 1 12n＋ 3＝ .n3 2n＋ 312017 高考数学一轮复习 第五章 数列 第 2 讲 等差数列及其前 n 项和习题A 组 基础巩固一、选择题1．设 Sn为等差数列的前 n 项和，公差 d＝－2，若 S10＝ S11，则 a1＝ ( )导 学 号 25401242A．18 B.20C．22 D．24[答案] B[解析] 由 S10＝ S11，得 a11＝0.又已知 d＝－2，则 a11＝ a1＋10 d＝ a1＋10×(－2)＝0，解得 a1＝20.2．在等差数列{ an}中，若 a1＋ a5＝10， a4＝7，则数列{ an}的公差为 ( )导 学 号 25401243A．1 B.2C．3 D．4[答案] B[解析] ∵ a1＋ a5＝10＝2 a3，∴ a3＝5.故 d＝ a4－ a3＝7－5＝2.3．已知数列{ an}为等差数列，且前 n 项和为 Sn，若 a3＝6， S3＝12，则公差 d 等于( )导 学 号 25401244A．1 B.53C．2 D．3[答案] C[解析] 由已知得 S3＝3 a2＝12，即 a2＝4，∴ d＝ a3－ a2＝6－4＝2.4．(2015·沧州七校联考)等差数列{ an}的前 n 项和为 Sn，已知 a5＝8， S3＝6，则S10－ S7的值是 ( )导 学 号 25401245A．24 B.48C．60 D．72[答案] B[解析] 设等差数列{ an}的公差为 d，由题意可得Error!解得Error!则S10－ S7＝ a8＋ a9＋ a10＝3 a1＋24 d＝48，选 B.5．(2015·山东临沂质检)在等差数列{ an}中，若 a2＋ a4＋ a6＋ a8＋ a10＝80，则 a7－ a812的值为 ( )导 学 号 25401246A．4 B.62C．8 D．10[答案] C[解析] ∵ a2＋ a4＋ a6＋ a8＋ a10＝5 a6＝80，∴ a6＝16.∴ a7－ a8＝ ＝ ＝8.12 2a7－ a82 a626．(2015·湖南箴言中学)若 Sn是等差数列{ an}的前 n 项和，且 S8－ S3＝10，则 S11的值为 ( )导 学 号 25401247A．12 B.18C．22 D．44[答案] C[解析] ∵数列{ an}是等差数列，且S8－ S3＝10，∴ S8－ S3＝ a4＋ a5＋ a6＋ a7＋ a8＝10，∴5 a6＝10， a6＝2，∴ S11＝ ×11＝a1＋ a11211a6＝22.二、填空题7．(2015·广东)在等差数列{ an}中，若 a3＋ a4＋ a5＋ a6＋ a7＝25，则a2＋ a8＝________. 导 学 号 25401248[答案] 10[解析] 由 a3＋ a4＋ a5＋ a6＋ a7＝25 得 5a5＝25，所以 a5＝5，故 a2＋ a8＝2 a5＝10.8．在等差数列{ an}中， a1＝7，公差为 d，前 n 项和为 Sn，当且仅当 n＝8 时 Sn取得最大值，则 d 的取值范围为________. 导 学 号 25401249[答案] (－1，－ )78[解析] 由题意，当且仅当 n＝8 时 Sn有最大值，可得Error!即 Error!解得－1＜ d＜－ .789．已知等差数列{ an}中， an≠0，若 n≥2 且 an－1 ＋ an＋1 － a ＝0， S2n－1 ＝38，则 n 等于2n________.导 学 号 25401250[答案] 10[解析] ∵2 an＝ an－1 ＋ an＋1 ，又 an－1 ＋ an＋1 － a ＝0，2n∴2 an－ a ＝0，即 an(2－ an)＝0.2n∵ an≠0，∴ an＝2.∴ S2n－1 ＝2(2 n－1)＝38，解得 n＝10.10．已知两个等差数列{ an}和{ bn}的前 n 项和分别为 An和 Bn，且 ＝ ，则使得AnBn 7n＋ 45n＋ 33为整数的正整数 n 的个数是________.anbn 导 学 号 25401251[答案] 5[解析] 由等差数列前 n 项和的性质知： ＝ ＝ ＝ ＝7＋ ，故anbn A2n－ 1B2n－ 1 14n＋ 382n＋ 2 7n＋ 19n＋ 1 12n＋ 1当 n＝1,2,3,5,11 时， 为整数，故使得 为整数的正整数 n 的个数是 5.anbn anbn三、解答题11．(2015·长春调研)设等差数列{ an}的前 n 项和为 Sn，其中 a1＝3， S5－ S2＝27.导 学 号 25401252(1)求数列{ an}的通项公式；(2)若 Sn,2 (an＋1 ＋1)， Sn＋2 成等比数列，求正整数 n 的值．2[答案] (1) an＝2 n＋1 (2)4[解析] (1)设等差数列{ an}的公差为 d，则 S5－ S2＝3 a1＋9 d＝27，又 a1＝3，则 d＝2，故 an＝2 n＋1.(2)由(1)可得 Sn＝ n2＋2 n，又 Sn·Sn＋2 ＝8( an＋1 ＋1) 2，即 n(n＋2) 2(n＋4)＝8(2 n＋4)2，化简得 n2＋4 n－32＝0，解得 n＝4 或 n＝－8(舍)，所以 n 的值为 4.12．已知公差大于零的等差数列{ an}的前 n 项和为 Sn，且满足a3·a4＝117， a2＋ a5＝22. 导 学 号 25401253(1)求 an和 Sn；(2)若数列{ bn}是等差数列，且 bn＝ ，求非零常数 c.Snn＋ c[答案] (1) an＝4 n－3， Sn＝2 n2－ n (2)－12[解析] (1)∵数列{ an}为等差数列，∴ a3＋ a4＝ a2＋ a5＝22.又 a3·a4＝117，∴ a3， a4是方程 x2－22 x＋117＝0 的两实根，又公差 d＞0，∴ a3＜ a4，∴ a3＝9， a4＝13，∴Error! ∴Error!∴通项公式 an＝4 n－3.∴ Sn＝ na1＋ ×d＝2 n2－ n.n n－ 12(2)由(1)知 Sn＝2 n2－ n，∴ bn＝ ＝ ，Snn＋ c 2n2－ nn＋ c∴ b1＝ ， b2＝ ， b3＝ .11＋ c 62＋ c 153＋ c∵数列{ bn}是等差数列，∴2 b2＝ b1＋ b3，4即 ×2＝ ＋ ，∴2 c2＋ c＝0，62＋ c 11＋ c 153＋ c∴ c＝－ 或 c＝0(舍去)，故 c＝－ .12 12B 组 能力提升1．在等差数列{ an}中，设 Sn为其前 n 项和，已知 ＝ ，则 等于 ( )a2a3 13 S4S5 导 学 号 25401254A. B.815 40121C. D．1625 57[答案] A[解析] 由题意可得 ＝ ＝ ＝ .S4S54 a1＋ a425 a1＋ a52 2 a2＋ a35a3 8152．(2015·福建莆田第二次全市模拟)已知正项等差数列{ an}的前 n 项和为 Sn，若S12＝24，则 a6·a7的最大值为 ( )导 学 号 25401255A．36 B.6C．4 D．2[答案] C[解析] 在等差数列{ an}中， S12＝6( a6＋ a7)＝24，∴ a6＋ a7＝4，又a6＞0， a7＞0，∴ a6·a7≤( )2＝4，a6＋ a72即 a6·a7的最大值为 4，故选 C.3．(2015·安徽合肥六中第二次月考)等差数列{ an}的前 n 项和为 Sn，已知＝5， ＝25，则 ＝ ( )S25a23 S45a33 S65a43 导 学 号 25401256A．125 B.85C．45 D．35[答案] C[解析] 根据等差数列前 n 项和的性质可得 S2n－1 ＝(2 n－1) an，则由＝5， ＝25，可得 ＝ ， ＝ ，根据合比定理可得 ＝ ＝ ，所以S25a23 S45a33 a13a23 15 a23a33 59 a33a43 5＋ 49＋ 4 913＝65× ＝65× ＝45，故选 C.S65a43 a33a43 9134．(2015·江苏徐州新沂第二次月考)已知等差数列{ an}的前三项依次为 a,4,3a，前 n项和为 Sn，且 Sk＝110. 导 学 号 254012575(1)求 a 及 k 的值；(2)设数列{ bn}的通项 bn＝ ，证明数列{ bn}是等差数列，并求其前 n 项和 Tn.Snn[答案] (1)2,10 (2)n n＋ 32[解析] (1)由题意得 a1＝ a， a2＝4， a3＝3 a，根据等差数列的性质有 a＋3 a＝8，得 a1＝ a＝2，公差 d＝4－2＝2，所以 Sk＝ ka1＋ ·d＝2 k＋ ×2＝ k2＋ k.k k－ 12 k k－ 12由 Sk＝110，得 k2＋ k－110＝0，解得 k＝10 或 k＝－11(舍去)，故 a＝2， k＝10.(2)由(1)得 Sn＝ ＝ n(n＋1)，则 bn＝ ＝ n＋1，n 2＋ 2n2 Snn故 bn＋1 － bn＝( n＋2)－( n＋1)＝1，即数列{ bn}是首项为 2，公差为 1 的等差数列，所以 Tn＝ ＝ .n 2＋ n＋ 12 n n＋ 325．(2015·云南弥勒模拟)已知公差不为 0 的等差数列{ an}的前 n 项和为 Sn， S7＝70，且 a1， a2， a6成等比数列. 导 学 号 25401258(1)求数列{ an}的通项公式；(2)设{ bn}＝ ，问数列{ bn}的最小项是第几项？并求出该项的值．2Sn＋ 48n[答案] (1) an＝3 n－2 (2) n＝4， b4＝23[解析] (1)设公差为 d，则有Error!即Error! 解得Error!或Error!(舍)，∴ an＝3 n－2.(2)Sn＝ [1＋(3 n－2)]＝ ，n2 3n2－ n2∴ bn＝ ＝3 n＋ －1≥2 －1＝23，3n2－ n＋ 48n 48n 3n·48n当且仅当 3n＝ 时取等号，即 n＝4 时取等号．48n故数列{ bn}的最小项是第 4 项，其值为 23.12017 高考数学一轮复习 第五章 数列 第 3 讲 等比数列及其前 n 项和习题A 组 基础巩固一、选择题1．已知等比数列{ an}的公比为正数，且 a3·a9＝2 a ， a2＝1，则25a1＝ ( )导 学 号 25401281A. B. 12 22C. D．22[答案] B[解析] 因为 a3·a9＝2 a ，则由等比数列的性质有： a3·a9＝ a ＝2 a ，所以 ＝2，25 26 25a26a25即( )2＝ q2＝2.因为公比为正数，故 q＝ .又因为 a2＝1，所以 a1＝ ＝ ＝ .a6a5 2 a2q 12 222．已知{ an}为等比数列， a4＋ a7＝2， a5a6＝－8，则 a1＋ a10＝ ( )导 学 号 25401282A．7 B.5 C．－5 D．－7[答案] D[解析] 设数列{ an}的公比为 q，由Error!得Error!或Error!所以Error!或Error!所以Error!或 Error!所以 a1＋ a10＝－ 7.3．设 Sn是等比数列{ an}的前 n 项和， a3＝ ， S3＝ ，则公比 q＝ ( )32 92 导 学 号 25401283A. B.－ 12 12C．1 或－ D．1 或12 12[答案] C[解析] 当 q＝1 时， a1＝ a2＝ a3＝ ， S3＝ a1＋ a2＋ a3＝ ，符合题意；当 q≠1 时，由题32 92可得Error! 解得 q＝－ .故 q＝1 或 q＝－ .12 124．(2015·浙江湖州一模)设 Sn为等比数列{ an}的前 n 项和，若 8a2－ a5＝0，则 ＝S4S2( )导 学 号 25401284A．－8 B.5 C．8 D．152[答案] B[解析] ∵在等比数列{ an}中，8 a2－ a5＝0，∴公比 q＝2.∴ ＝ ＝5，故选 B.S4S2a1 1－ 241－ 2a1 1－ 221－ 25．(2015·上海黄浦模拟)已知{ an}是首项为 1 的等比数列，若 Sn是数列{ an}的前 n 项和，且 28S3＝ S6，则数列{ }的前 4 项和为 ( )1an 导 学 号 25401285A. 或 4 B. 或 4 158 4027C. D．4027 158[答案] C[解析] 设数列{ an}的公比为 q.当 q＝1 时，由 a1＝1，得 28S3＝28×3＝84. S6＝6，两者不相等，因此不合题意．当 q≠1 时，由 28S3＝ S6及首项为 1，得 ＝ ，解得 q＝3.所以数列{ an}28 1－ q31－ q 1－ q61－ q的通项公式为 an＝3 n－1 .所以数列{ }的前 4 项和为 1＋ ＋ ＋ ＝ .1an 13 19 127 40276．(2015·广东珠海期末)已知公差不为零的等差数列{ an}与公比为 q 的等比数列{ bn}有相同的首项，同时满足 a1， a4， b3成等比， b1， a3， b3成等差，则 q2＝ ( )导 学 号 25401286A. B. 14 16C. D．19 18[答案] C[解析] 设数列的首项为 a，等差数列{ an}的公差为 d，Error!将 a， d， q 代入得Error!化简得( a＋3 d)2＝ a(a＋4 d)，解得 a＝－ d(d≠0)，代入①式得 q2＝ .92 19二、填空题7．(2015·新课标全国Ⅰ)在数列{ an}中， a1＝2， an＋1 ＝2 an， Sn为{ an}的前 n 项和．若Sn＝126，则 n＝________. 导 学 号 25401287[答案] 6[解析] 因为在数列{ an}中， a1＝2， an＋1 ＝2 an，所以数列{ an}是首项为 2，公比为 2 的等比数列，因为 Sn＝126，所以 ＝126，解得 2n＋1 ＝128，所以 n＝6.2－ 2n＋ 11－ 238．等比数列{ an}中， Sn表示前 n 项和， a3＝2 S2＋1， a4＝2 S3＋1，则公比 q 为________.导 学 号 25401288[答案] 3[解析] 由 a3＝2 S2＋1， a4＝2 S3＋1 得a4－ a3＝2( S3－ S2)＝2 a3，∴ a4＝3 a3，∴ q＝ ＝3.a4a39．等比数列{ an}的前 n 项和为 Sn，公比不为 1.若 a1＝1，则对任意的 n∈N *，都有an＋2 ＋ an＋1 －2 an＝0，则 S5＝________. 导 学 号 25401289[答案] 11[解析] 利用“特殊值”法，确定公比．由题意知 a3＋ a2－2 a1＝0，设公比为 q，则 a1(q2＋ q－2)＝0.由 q2＋ q－2＝0 解得 q＝－2 或 q＝1(舍去)，则 S5＝ ＝ ＝11.a1 1－ q51－ q 1－  － 2 5310．(2015·河南十所名校第二次联考)设数列{ an}是等差数列，数列{ bn}是等比数列，记数列{ an}，{ bn}的前 n 项和分别为 Sn， Tn.若 a5＝ b5， a6＝ b6，且 S7－ S5＝4( T6－ T4)，则＝________.a7＋ a5b7＋ b5 导 学 号 25401290[答案] －513[解析] 设等差数列{ an}的公差为 d，等比数列{ bn}的公比为 q.由 a5＝ b5， a6＝ b6，且S7－ S5＝4( T6－ T4)，得Error!解得Error!故＝ ＝ ＝ ＝－ .a7＋ a5b7＋ b5 2a5＋ 2db5q2＋ b5 2a5＋ 2 － 6a525a5＋ a5 － 10a526a5 513三、解答题11．(2015·安徽)已知数列{ an}是递增的等比数列，且 a1＋ a4＝9， a2a3＝8.导 学 号 25401291(1)求数列{ an}的通项公式；(2)设 Sn为数列{ an}的前 n 项和， bn＝ ，求数列{ bn}的前 n 项和 Tn.an＋ 1SnSn＋ 1[答案] (1) an＝2 n－1 (2) Tn＝12n＋ 1－ 1[解析] (1)由题设知 a1a4＝ a2a3＝8，又 a1＋ a4＝9，可解得Error!或Error!(舍去)．设等比数列{ an}的公比为 q，由 a4＝ a1q3得 q＝2，故 an＝ a1qn－1 ＝2 n－1 .4(2)Sn＝ ＝2 n－1，又 bn＝ ＝ ＝ － ，所以a1 1－ qn1－ q an＋ 1SnSn＋ 1 Sn＋ 1－ SnSnSn＋ 1 1Sn 1Sn＋ 1Tn＝ b1＋ b2＋…＋ bn＝( － )＋( － )＋…＋( － )1S1 1S2 1S2 1S3 1Sn 1Sn＋ 1＝ － ＝1－ .1S1 1Sn＋ 1 12n＋ 1－ 112．(2015·安徽滁州高级中学联谊会第一学期期末联考)设 Sn为数列{ an}的前 n 项和，且 a1＝1， nan＋1 ＝( n＋2) Sn＋ n(n＋1)， n∈N *.导 学 号 25401292(1)证明：数列{ ＋1}为等比数列；Snn(2)求 Tn＝ S1＋ S2＋…＋ Sn.[答案] (1)略 (2) Tn＝( n－1)·2 n＋1 ＋2－n n＋ 12[解析] (1)证明 an＋1 ＝ Sn＋1 － Sn， n(Sn＋1 － Sn)＝( n＋2) Sn＋ n(n＋1)，即 nSn＋1 ＝2( n＋1) Sn＋ n(n＋1)，则 ＝2× ＋1，Sn＋ 1n＋ 1 Snn∴ ＋1＝2( ＋1)，故数列{ ＋1}为等比数列．Sn＋ 1n＋ 1 Snn Snn(2)解 由(1)知 ＋1＝( ＋1)·2 n－1 ＝2 n， Sn＝ n·2n－ n，Snn S11Tn＝(1×2＋2×2 2＋…＋ n·2n)－(1＋2＋…＋ n)，设 M＝1×2＋2×2 2＋…＋ n·2n，则 2M＝1×2 2＋2×2 3＋…＋ n·2n＋1 ，∴－ M＝2＋2 2＋…＋2 n－ n·2n＋1 ＝2 n＋1 －2－ n·2n＋1 ，∴ M＝( n－1)·2 n＋1 ＋2，∴ Tn＝( n－1)·2 n＋1 ＋2－ .n n＋ 12B 组 能力提升1．已知正项等比数列{ an}满足 a7＝ a6＋2 a5，若存在两项 am， an使得 ＝4 a1，则aman＋ 的最小值为 ( )1m 4n 导 学 号 25401293A. B. 32 53C. D．不存在256[答案] A[解析] 由题意，可知 a5q2＝ a5q＋2 a5，化简得 q2－ q－2＝0，解得 q＝－1(舍去)或5q＝2，又由已知条件 ＝4 a1，得 a1qm－1 ·a1qn－1 ＝16 a ，所以 qm＋ n－2 ＝16＝2 4，所以aman 21m＋ n＝6.所以 ＋ ＝( ＋ )× ＝ ×(5＋ ＋ )≥ ×(5＋2 )＝ ，当且仅当1m 4n 1m 4n m＋ n6 16 4mn nm 16 4mn×nm 32＝ ，即 n＝2 m 时等号成立．4mn nm2．设 Sn是等比数列{ an}的前 n 项和， S4＝5 S2，则 的值为 ( )a2·a7a24 导 学 号 25401294A．－2 或－1 B.1 或 2 C．±1 或 2 D．±2 或－1[答案] D[解析] 由 S4＝5 S2得 a1＋ a2＋ a3＋ a4＝5( a1＋ a2)，即 a3＋ a4＝4( a1＋ a2)， q2(a1＋ a2)＝4( a1＋ a2)，当 a1＋ a2＝0 时，公比 q＝－1；当 a1＋ a2≠0 时， q＝±2，所以 ＝a2·a7a24＝ q，故选 D.a4·a5a243．(2015·江苏通州高级中学期中)各项均为正数的等比数列{ an}中，a1＝ ， a1·a2·…·am＝8 m(m＞2， m∈N *)，若从中抽掉一项后，余下的 m－1 项之积为(4 )18 2m－1 ，则被抽掉的是第________项. 导 学 号 25401295[答案] 13[解析] 由 a1·a2·a3·…·am＝ a ·q0＋1＋2＋3＋…＋( m－1) ＝ a ·q ，得( )m·qm1 m1m m－ 12 18＝8 m， q＝8 .又 ＝ ＝(4 )m－1 ＝8 (m－1)，则m m－ 12 4m－ 1 a1·a2·…·amak 8kak 2 56ak＝8 ＝ ·qk－1 ， qk－1 ＝8 ，故 8 ＝8 ， ＝ ， k－1＝5＋ m6 18 11＋ m6 4 k－ 1m－ 1 11＋ m6 4 k－ 1m－ 1 11＋ m6，所以 m＝13， k＝13. m－ 1  11＋ m244．(2015～2016 学年天津市静海一中高三月考题)已知等差数列{ an}的公差 d≠0，且a1， a3， a13成等比数列，若 a1＝1， Sn是数列{ an}前 n 项的和，则 的最小值为2Sn＋ 16an＋ 3________.导 学 号 25401296[答案] 4[分析] 由等比中项的性质、等差数列的通项公式列出方程求公差 d，代入等差数列的通项公式、前 n 项和公式求出 an、 Sn，代入 利用分离常数法化简后，利用基本不等2Sn＋ 16an＋ 3式求出式子的最小值．[解析] 因为 a1， a3， a13成等比数列，所以 a ＝ a1a13，236又 a1＝1，所以(1＋2 d)2＝1×(1＋12 d)，解得 d＝2 或 d＝0(舍去)，所以 an＝1＋( n－1)×2＝2 n－1， Sn＝ ＝ n2，n 1＋ 2n－ 12则 ＝ ＝ ＝ ＝( n＋1)＋ －2≥22Sn＋ 16an＋ 3 2n2＋ 162n＋ 2 n2＋ 8n＋ 1  n＋ 1 2－ 2 n＋ 1 ＋ 9n＋ 1 9n＋ 1－2＝4， n＋ 1 ×9n＋ 1当且仅当 n＋1＝ 时取等号，此时 n＝2，且 取到最小值 4，9n＋ 1 2Sn＋ 16an＋ 3故答案为：4.[点拨] 本题考查了等差数列的通项公式、前 n 项和公式，等比中项的性质，基本不等式求最值，解题的关键是利用分离常数法化简式子，凑出积为定值．5．(2015·河北保定第一次调研)已知等差数列{ an}的前 n 项和为 Sn，公差 d≠0，且S3＋ S5＝50， a1， a4， a13成等比数列. 导 学 号 25401297(1)求数列{ an}的通项公式；(2)设{ }是首项为 1，公比为 3 的等比数列，求数列{ bn}的前 n 项和 Tn.bnan[答案] (1) an＝2 n＋1 (2) Tn＝ n·3n[解析] (1)依题意得Error!解得 Error!∴ an＝ a1＋( n－1) d＝3＋2( n－1)＝2 n＋1，即 an＝2 n＋1.(2)∵ ＝3 n－1 ，∴ bn＝ an·3n－1 ＝(2 n＋1)·3 n－1 .bnan∴ Tn＝3＋5×3＋7×3 2＋…＋(2 n＋1)×3 n－1 ，3Tn＝3×3＋5×3 2＋7×3 3＋…＋(2 n－1)×3 n－1 ＋(2 n＋1)×3 n，∴－2 Tn＝3＋2×3＋2×3 2＋…＋2×3 n－1 －(2 n＋1)×3 n＝3＋2× －(2 n＋1)3 n＝－2 n×3n，∴ Tn＝ n·3n.3 1－ 3n－ 11－ 36．(2015·山东)设数列{ an}的前 n 项和为 Sn.已知 2Sn＝3 n＋3. 导 学 号 25401298(1)求{ an}的通项公式；(2)若数列{ bn}满足 anbn＝log 3an，求{ bn}的前 n 项和 Tn.[答案] (1) an＝Error! (2) Tn＝ －1312 6n＋ 34×3n[解析] (1)因为 2Sn＝3 n＋3，所以 2a1＝3＋3，故 a1＝3，7当 n＞1 时，2 Sn－1 ＝3 n－1 ＋3，此时 2an＝2 Sn－2 Sn－1 ＝3 n－3 n－1 ＝2×3 n－1 ，即 an＝3 n－1 ，所以 an＝Error!(2)因为 anbn＝log 3an，所以 b1＝ .13当 n＞1 时， bn＝3 1－ nlog33n－1 ＝( n－1)·3 1－ n.所以 T1＝ b1＝ ；13当 n＞1 时， Tn＝ b1＋ b2＋ b3＋…＋ bn＝ ＋[1×3 －1 ＋2×3 －2 ＋…＋( n－1)×3 1－ n]，13所以 3Tn＝1＋[1×3 0＋2×3 －1 ＋…＋( n－1)×3 2－ n]，两式相减，得2Tn＝ ＋(3 0＋3 －1 ＋3 －2 ＋…＋3 2－ n)－( n－1)×3 1－ n23＝ ＋ －( n－1)×3 1－ n＝ － ，23 1－ 31－ n1－ 3－ 1 136 6n＋ 32×3n所以 Tn＝ － .1312 6n＋ 34×3n经检验， n＝1 时也适合．综上可得 Tn＝ － .1312 6n＋ 34×3n