（新课标）2017高考数学一轮复习 几何证明选讲（课件+习题）（打包4套）选修4-1.zip

走向高考 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索新课标 版 · 高考总复习几何证明选讲选修 4－ 1选 考部分 选 修系列 4第一讲 相似三角形的判定及有关性质 选修 4－ 1知识梳理 ·双基自测1考点突破 ·互动探究2课 时 作 业3知识梳理 ·双基自测1． 平行 线 等分 线 段定理如果一组 ___________在 _____直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论 1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必 ________第三边．推论 2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线 ________另一腰．●知 识 梳理 平行线 一条平分平分2． 平行 线 分 线 段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的 ______线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边 (或两边的延长线 )所得的对应线段成 ________．3． 相似三角形的判定判定定理 1：两角对应 ______，两三角形相似．判定定理 2：两边对应 ________且夹角 _______，两三角形相似．判定定理 3：三边对应 _______，两三角形相似．对应比例相等成比例 相等成比例4． 直角三角形相似的判定定理 1：如果两个直角三角形有一个 ____角对应相等，那么它们相似．定理 2：如果两个直角三角形的两条 _______边对应 ________，那么它们相似．定理 3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的 _______和一条_________对应成比例，那么这两个直角三角形相似．锐直角成比例斜边 直角边5． 相似三角形的性 质 定理(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于 _______比；(2)相似三角形周长的比等于 ______比；(3)相似三角形面积的比等于相似比的 _______；(4)相似三角形外接圆的直径比、周长比等于 ______比，外接圆的面积比等于相似比的 _______．相似相似平方相似平方6． 直角三角形的射影定理和逆定理(1)定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例 _____；两直角边分别是它们在斜边上_______与 _____的比例中项．(2)逆定理：如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的 _________，那么这个三角形是直角三角形．中项 射影 斜边比例中项●双基自 测 (4)在直角三角形 ABC中， AC⊥ BC， CD⊥ 于 D，则 BC2＝ BD·AB.( )(5)若两个三角形的相似比等于 1，则这两个三角形全等． ( )[答案 ] (1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√[答案 ] 8[答案 ] 3考点突破 ·互动探究平行 线 分 线 段成比例定理的 应 用[规 律 总结 ] 平行 线 分 线 段成比例定理及推 论 的 应 用(1)利用平行 线 分 线 段成比例定理来 计 算或 证 明，首先要观 察平行 线组 ，再确定所截直 线 ， 进 而确定比例 线 段及比例式，同 时 注意合比性 质 、等比性 质 的运用．(2)解决此 类问题 往往需要作 辅 助的平行 线 ，要 结 合条件构造平行 线组 ，再 应 用平行 线 分 线 段成比例定理及其推 论转化比例式解 题 ．[答案 ] (1)B (2)3相似三角形的判定及 应 用走向高考 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索新课标 版 · 高考总复习几何证明选讲选修 4－ 1选 考部分 选 修系列 4第二讲 直线与圆的位置关系 选修 4－ 1知识梳理 ·双基自测1考点突破 ·互动探究2课 时 作 业3知识梳理 ·双基自测1． 圆 周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 ______．2． 圆 心角定理圆心角的度数等于 ____________的度数．推论 1：同弧或等弧所对的 ________相等；同圆或等圆中相等的圆周角对的 ____也相等．推论 2：半圆 (或直径 )所对的圆周角是直角； 90°的圆周角对的弦是直径．●知 识 梳理 一半它所对的弧圆周角弧3． 圆 内接四 边 形性 质 定理① ______互补． ② 外角等于它的 ________．判定定理：如果一个四边形的 ______互补，那么这个四边形四个顶点共圆．推论：如果四边形的一个外角等于它的 ________，那么这个四边形四个顶点共圆．对角 内对角对角内对角4． 圆 的切 线(1)切线判定定理：经过半径外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(2)切线性质定理：圆的切线 ______于经过切点的半径．推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必过切点．推论 2：经过切点垂直于切线的直线必经过 ______．(3)弦切角定理：弦切角等于它所夹弦对的圆周角．垂直圆心5． 与 圆 有关的比例 线 段(1)相交弦定理：圆的两条相交弦被交点分成的两条线段长的 ____相等．(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的 ____相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆的交点的两条线段长的__________．(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点连线平分____________．积积比例中项两切线夹角[答案 ] (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×●双基自 测 [答案 ] 2[答案 ] 30°[解析 ] 由弦切角定理，可知 ∠DCA＝ ∠B＝ 60°.又 AD⊥l，故∠DAC＝ 30°.[答案 ] A考点突破 ·互动探究圆 周角与 圆 心角[答案 ] (1)160°， 130°[规 律 总结 ] (1)圆 周角定理是一个十分重要的定理，涉及圆 周角相等的 结论 很 难 用其他 结论 代替．由 圆 周角定理易知，同一条弧所 对 的 圆 心角是它所 对 的 圆 周角的 2倍．(2)三角形的内心是内切 圆 的 圆 心，是三角形三条内角平分 线 的交点．[答案 ] (1)16π (2)0°＜ x＜ 35°圆 的切 线[规 律 总结 ] 与 圆 的切 线 有关的 问题 及 处 理方法(1)证 明直 线 是 圆 的切 线 的常用方法：① 若已知直 线 与 圆 有公共点， 则 需 证 明 圆 心与公共点的 连线 垂直于已知直 线 即可．② 若已知直 线 与 圆 没有明确的公共点， 则 需 证 明 圆 心到直线 的距离等于 圆 的半径．(2)求弦切角的 问题 往往 转 化 为 求同弧上的 圆 周角．(3)求切 线长问题 往往利用切 线长 定理和切割 线 定理．提醒：利用弦切角定理 时 ，一定要注意是弦切角与同弧上的 圆 周角相等．[解析 ] 连 接 OE，由 OE＝ OB，得 ∠OEB＝ ∠OBE.∵∠CBE＝ ∠DBE， ∴∠CBE＝ ∠OEB.∴OE∥BC.又 BC⊥AE， ∴OE⊥AC.∴AC是 ⊙O的切 线 ．圆 内接四 边 形的性 质 与判定(2)∵C、 D、 E、 F四点共 圆 ， ∴GE·GF＝ GC·GD.∵GH是 ⊙O的切 线 ， ∴GH2＝ GC·GD，∴GH2＝ GE·GF.又 GH＝ 6， GE＝ 4， ∴GF＝ 9.∴EF＝ GF－ GE＝ 9－ 4＝ 5.[规 律 总结 ] 证 明四点共 圆 的常用方法(1)若四个点到一定点等距离， 则这 四个点共 圆 ．(2)若一个四 边 形的一 组对 角的和等于 180°， 则这 个四 边形的四个 顶 点共 圆 ．(3)若一个四 边 形的一个外角等于它的内 对 角， 则这 个四边 形的四个 顶 点共 圆 ．(4)若两个点在一条 线 段的同旁，并且和 这 条 线 段的两端连线 所 夹 的角相等，那么 这 两个点和 这 条 线 段的两个端点共圆 ．12017 高考数学一轮复习 几何证明选讲 第 1 讲 相似三角形的判定及有关性质习题 选修 4-1A 组 基础巩固一、选择题1．如图，已知点 A、 D 在直线 BC 上的射影分别为 B、 C，点 E 为线段 AD 的中点，则 BE与 CE 的大小关系为 ( )导 学 号 25402760A． BE＞ CEB． BE＜ CEC． BE＝ CED．无法确定[答案] C[解析] 过点 E 作 EF⊥ BC 于 F，则 AB∥ EF∥ CD.因为 E 为 AD 的中点，所以 F 为 BC 的中点．所以 EF 是 BC 的中垂线，则 BE＝ CE.2．如图， E 是▱ ABCD 的边 AB 延长线上的一点，且 DC∶ BE＝3∶2，则 AD∶ BF＝( )导 学 号 25402761A．5∶3B．5∶2C．3∶2D．2∶1[答案] B[解析] 由题可得△ BEF∽△ CDF，∴ ＝ ＝ ，∴ ＝ ＝ ＋1＝ .DCBE DFEF 32 ADBF DEEF DFEF 523．如图所示，在▱ ABCD 中， BC＝24， E、 F 为 BD 的三等分点，则 BM－ DN＝( )导 学 号 25402762A．6 B．3C．2 D．4[答案] A[解析] ∵ E、 F 为 BD 的三等分点，四边形 ABCD 为平行四边形，∴ M 为 BC 的中点．连CF 交 AD 于 P，则 P 为 AD 的中点，由△ BCF∽△ DPF 及 M 为 BC 中点知， N 为 DP 的中点，2∴ BM－ DN＝12－6＝6，故选 A.4．如图， DE∥ BC， DF∥ AC， AD＝4 cm， BD＝8 cm， DE＝5 cm，则线段 BF 的长为( )导 学 号 25402763A．5 cm B．8 cmC．9 cm D．10 cm[答案] D[解析] ∵ DE∥ BC， DF∥ AC，∴四边形 DECF 是平行四边形．∴ FC＝ DE＝5 cm.∵ DF∥ AC，∴ ＝ .BFFC BDDA即 ＝ ，∴ BF＝10 cm.BF5 845．在 Rt△ ABC 中，∠ CAB＝90°， AD⊥ BC 于 D， AB∶ AC＝3∶2，则 CD∶ BD＝( )导 学 号 25402764A．3∶2 B．2∶3C．9∶4 D．4∶9[答案] D[解析] 射影定理得 AB2＝ BD·BC.AC2＝ DC·BC.∴ ＝ ＝ ，即 CD∶ BD＝4∶9.CD·BCBD·BC AC2AB2 496．(2016·梅州联考)如图所示，在矩形 ABCD 中， AB＝12， AD＝10，将此矩形折叠使点B 落在 AD 边的中点 E 处，则折痕 FG 的长为 ( )导 学 号 25402765A．13 B．635C. D．656 212[答案] C[解析] 过 A 作 AH∥ FG 交 DG 于 H，3则四边形 AFGH 为平行四边形．∴ AH＝ FG.∵折叠后 B 点与 E 点重合，折痕为 FG，∴ B 与 E 关于 FG 对称．∴ BE⊥ FG，∴ BE⊥ AH.∴∠ ABE＝∠ DAH，∴Rt△ ABE∽Rt△ DAH.∴ ＝ .BEAB AHAD∵ AB＝12， AD＝10， AE＝ AD＝5，12∴ BE＝ ＝13.122＋ 52∴ FG＝ AH＝ ＝ .BE·ADAB 656二、填空题7．如图，在△ ABC 中， DE∥ BC， EF∥ CD，若 BC＝3， DE＝2， DF＝1，则 AB 的长为________.导 学 号 25402766[答案] 92[解析] ＝ ＝ ， ＝ ＝ .∵ BC＝3， DE＝2， DF＝1，解得 AB＝ .ADAB DEBC 23 DFAD CEAC 13 928．如图，在 Rt△ ABC 中， CD 为斜边 AB 上的高， CD＝6，且 AD∶ BD＝3∶2，则斜边 AB上的中线 CE 的长为________. 导 学 号 25402767[答案] 562[解析] ∵ CD2＝ BD·AD，设 BD＝2 k，则 AD＝3 k，∴36＝6 k2，∴ k＝ ，∴ AB＝5 k＝5 .6 6∴ CE＝ AB＝ .12 5629．(2011·广东)如图，在梯形 ABCD 中， AB∥ CD， AB＝4， CD＝2， E， F 分别为 AD， BC4上的点，且 EF＝3， EF∥ AB，则梯形 ABFE 与梯形 EFCD 的面积比为________.导 学 号 25402768[答案] 7∶5[解析] (1)在梯形 ABCD 中，过 C 作 CG∥ AD 交 AB 于 G，交 EF 于 H，如图．则 HF＝1， GB＝2.又 EF∥ AB，即 HF∥ GB，∴ ＝ ＝ ，HFGB CFCB 12∴ F 为 CB 的中点，∴ EF 为梯形 ABCD 的中位线．设梯形 EFCD 的高为 h，则梯形 ABCD 的高为 2h.S 梯形 ABCD＝ ＝ ＝6 h， AB＋ CD ·2h2  4＋ 2 ×2h2S 梯形 EFCD＝ ＝ ＝ . CD＋ EF ·h2  2＋ 3 h2 5h2所以 S 梯形 ABCD∶ S 梯形 EFCD＝12∶5，S 梯形 ABFE∶ S 梯形 EFCD＝7∶5.10．(2015·广东梅州联考)如图，在△ ABC 中， BC＝4，∠ BAC＝120°， AD⊥ BC，过 B作 CA 的垂线，交 CA 的延长线于 E，交 DA 的延长线于 F，则 AF＝________.导 学 号 25402769[答案] 433[解析] 设 AE＝ x，∵∠ BAC＝120°，∴∠ EAB＝60°.又 ＝ ＝ ，AEBE x3x 135在 Rt△ AEF 与 Rt△ BEC 中，∠ F＝90°－∠ EAF＝90°－∠ DAC＝∠ C，∴△ AEF∽△ BEC，∴ ＝ .AFBC AEBE∴ AF＝4× ＝ .13 433三、解答题11．如图所示， AD、 BE 是△ ABC 的两条高， DF⊥ AB，垂足为 F，直线 FD 交 BE 于点 G，交 AC 的延长线于 H，求证： DF2＝ GF·HF.导 学 号 25402770[证明] 在△ AFH 与△ GFB 中，因为∠ H＋∠ BAC＝90°，∠ GBF＋∠ BAC＝90°，所以∠ H＝∠ GBF.因为∠ AFH＝∠ GFB＝90°，所以△ AFH∽△ GFB.所以 ＝ ，故 AF·BF＝ GF·HF.HFBF AFGF因为在 Rt△ ABD 中， FD⊥ AB，由射影定理，得 DF2＝ AF·BF.故 DF2＝ GF·HF.12．如图，在 Rt△ ABC 中，∠ BAC＝90°， AD⊥ BC 于 D， DF⊥ AC 于 F， DE⊥ AB 于 E，求证： AD3＝ BC·BE·CF.导 学 号 25402771[证明] 在 Rt△ ABC 中，因为 AD⊥ BC，所以 AD2＝ BD·DC，且 AD·BC＝ AB·AC.在 Rt△ ABD 和 RtADC 中，因为 DE⊥ AB， DF⊥ AC，由射影定理，得 BD2＝ BE·BA， DC2＝ CF·AC.所以 BD2·DC2＝ BE·BA·CF·AC＝ BE·CF·AD·BC＝ AD4.6所以 AD3＝ BC·BE·CF.B 组 能力提升1．如图， AD 是△ ABC 的中线， E 是 CA 边的三等分点， BE 交 AD 于点 F，则 AF∶ FD 为( )导 学 号 25402772A．2∶1 B．3∶1C．4∶1 D．5∶1[答案] C[解析] 要求 AF∶ FD 的比，需要添加平行线寻找与之相等的比．注意到 D 是 BC 的中点，可过 D 作 DG∥ AC 交 BE 于 G，则 DG＝ EC.又 AE＝2 EC，故 AF∶ FD＝ AE∶ DG＝2 EC∶ EC＝4∶1.12 122．如图， M 是平行四边形 ABCD 的边 AB 的中点，直线 l 过点 M 分别交 AD、 AC 于点E、 F，交 CB 的延长线于点 N.若 AE＝2， AD＝6，则 ＝________.AFAC 导 学 号 25402773[答案] 15[解析] 因为 AD∥ BC，所以△ AEF∽△ CNF，所以 ＝ ，AFCF AECN所以 ＝ .AFAF＋ CF AEAE＋ CN因为 M 为 AB 的中点，所以 ＝ ＝1，AEBN AMBM所以 AE＝ BN，所以 ＝ ＝ ＝ .AFAC AFAF＋ CF AEAE＋ BN＋ BC AE2AE＋ BC因为 AE＝2， BC＝ AD＝6，所以 ＝ ＝ .AFAC 22×2＋ 6 153．如图，圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为点 D，且 AD＝2， AC＝2 ，则圆 O 的内5接正方形的面积为________. 导 学 号 254027747[答案] 50[解析] 由题意可得△ ADC∽△ ACB，由相似三角形中对应边成比例可得 ＝ ，即ABAC ACADAB＝ ＝ ＝10.设圆 O 的内接正方形的边长为 x，则由勾股定理得AC2AD  25 22x2＋ x2＝ AB2＝100，所以圆 O 的内接正方形的面积为 x2＝50.4．已知：如图，在△ ABC 中， AB＝ AC，∠ BAC＝90°， D、 E、 F 分别在 AB、 AC、 BC 上，AE＝ AC， BD＝ AB，且 CF＝ BC.13 13 13 导 学 号 25402775求证：(1) EF⊥ BC；(2)∠ ADE＝∠ EBC.[证明] 设 AB＝ AC＝3 a，则 AE＝ BD＝ a， CF＝ a.2(1) ＝ ＝ ， ＝ ＝ .CECB 2a32a 23 CFCA 2a3a 23又∠ C 为公共角，故△ BAC∽△ EFC，由∠ BAC＝90°得∠ EFC＝90°，故 EF⊥ BC.(2)由(1)得 EF＝ ·AB＝ a，FCAC 2故 ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，AEEF a2a 22 ADBF 2a22a 22∴ ＝ ，AEEF ADBF∴△ ADE∽△ FBE，所以∠ ADE＝∠ EBC.5．(2015·东北三省三校第一次联合模拟)如图， PA、 PB 是圆 O 的两条切线， A、 B 是切点， C 是劣弧 AB(不包括端点)上一点，直线 PC 交圆 O 于另一点 D， Q 在弦 CD 上，且∠ DAQ＝∠ PBC.导 学 号 254027768求证：(1) ＝ ；BDAD BCAC(2)△ ADQ∽△ DBQ.[证明] (1)因为 PB 是切线，所以∠ PBC＝∠ BDC，又∠ BPC＝∠ DPB，所以△ PBC∽△ PDB，所以 ＝ ，同理 ＝ .BDBC PDPB ADAC PDPA又因为 PA＝ PB，所以 ＝ ，即 ＝ .BDBC ADAC BDAD BCAC(2)连接 AB.因为∠ BAC＝∠ PBC＝∠ DAQ，∠ ABC＝∠ ADQ，所以△ ABC∽△ ADQ，即 ＝ ，故 ＝ .BCAC DQAQ BDAD DQAQ又因为∠ DAQ＝∠ PBC＝∠ BDQ，所以△ ADQ∽△ DBQ.12017 高考数学一轮复习 几何证明选讲 第 2 讲 直线与圆的位置关系习题 选修 4-1A 组 基础巩固一、选择题1．(2014·天津)如图，△ ABC 是圆的内接三角形，∠ BAC 的平分线交圆于点 D，交 BC于点 E，过点 B 的圆的切线与 AD 的延长线交于点 F.在上述条件下，给出下列四个结论：① BD 平分∠ CBF；② FB2＝ FD·FA；③ AE·CE＝ BE·DE；④ AF·BD＝ AB·BF.则所有正确结论的序号是 ( )导 学 号 25402790A．①② B．③④C．①②③ D．①②④[答案] D[解析] 因为∠ BAD＝∠ FBD，∠ DBC＝∠ DAC，又 AE 平分∠ BAC，所以∠ BAD＝∠ DAC，所以∠ FBD＝∠ DBC，所以 BD 平分∠ CBF，结论①正确；易证△ ABF∽△ BDF，所以 ＝ ，所以ABAF BDBFAB·BF＝ AF·BD，结论④正确；由 ＝ ，得 BF2＝ AF·DF，结论②正确，选 D.AFBF BFDF2．如图，∠ ACB＝90°， CD⊥ AB 于点 D，以 BD 为直径的圆与 BC 交于点 E，则( )导 学 号 25402791A． CE·CB＝ AD·DBB． CE·CB＝ AD·ABC． AD·AB＝ CD2D． CE·EB＝ CD2[答案] A[解析] ∵ CD⊥ AB，∴以 BD 为直径的圆与 CD 相切．∴ CD2＝ CE·CB.2在 Rt△ ABC 中， CD 为斜边 AB 上的高，有 CD2＝ AD·DB，因此 CE·CB＝ AD·DB.3．如图所示，在半径为 2 的⊙ O 中，∠ AOB＝90°， D 为 OB 的中点， AD 的延长线交⊙ O于点 E，则线段 DE 的长为 ( )导 学 号 25402792A. B．55 255C. D．355 32[答案] C[解析] 延长 BO 交圆 O 于点 F，由 D 为 OB 的中点，知 DF＝3， DB＝1.又∠ AOB＝90°，所以 AD＝ .由相交弦定理知 AD·DE＝ DF·DB，即 DE＝ 3×1，解得 DE＝ .5 53554．如图所示， E、 C 分别是∠ A 两边上的点，以 CE 为直径的⊙ O 交∠ A 的两边于 D、 B，若∠ A＝45°，则△ AEC 与△ ABD 的面积比为 ( )导 学 号 25402793A．2∶1 B．1∶2C. ∶1 D． ∶12 3[答案] A[解析] 连接 BE，易知△ ABD∽△ AEC，求△ AEC 与△ ABD 的面积比即求 AE2∶ AB2的值，设 AB＝ a，∵∠ A＝45°， CE 为⊙ O 的直径，∴∠ CBE＝∠ ABE＝90°.3∴ BE＝ AB＝ a，∴ AE＝ a.2∴ AE2∶ AB2＝2 a2∶ a2.∴ AE2∶ AB2＝2∶1，∴ S△ AEC∶ S△ ABD＝2∶1.二、填空题5．(2015·广东)如图， AB 为圆 O 的直径， E 为 AB 延长线上一点，过 E 作圆 O 的切线，切点为 C，过 A 作直线 EC 的垂线，垂足为 D.若 AB＝4， CE＝2 ，则 AD＝________.3导 学 号 25402794[答案] 3[解析] 连接 OC，则 OC⊥ CE，由 AB＝4， CE＝2 得3OE＝ ＝4. AD⊥ ED⇒AD∥ OC，于是△ ADE∽△ OCE，于是 ＝ ⇒AD＝ ×2＝3.OC2＋ CE2ADOC AEOE 646．(2015·湖北)如图， PA 是圆的切线， A 为切点， PBC 是圆的割线，且 BC＝3 PB，则＝________.ABAC 导 学 号 25402795[答案] 12[解析] 因为 PA 是圆的切线， A 为切点， PBC 是圆的割线，由切割线定理，知PA2＝ PB·PC＝ PB(PB＋ BC)．因为 BC＝3 PB，所以 PA2＝4 PB2，即 PA＝2 PB.由△ PAB∽△ PCA，所以 ＝ ＝ .ABAC PBPA 127．(2015·重庆)如图，圆 O 的弦 AB、 CD 相交于点 E，过点 A 作圆 O 的切线与 DC 的延长线交于点 P，若 PA＝6， AE＝9， PC＝3， CE∶ ED＝2∶1，则 BE＝________.导 学 号 25402796[答案] 2[解析] 由切割线定理，知 PA2＝ PC·PD，即 62＝3 PD，解得 PD＝12，所以4CD＝ PD－ PC＝9，所以 CE＝6， ED＝3.由相交弦定理，知 AE·BE＝ CE·ED，即 9BE＝6×3，解得 BE＝2.8．(2015·广州综合测试一)如图， PC 是圆 O 的切线，切点为 C，直线 PA 与圆 O 交于A、 B 两点，∠ APC 的角平分线交弦 CA、 CB 于 D、 E 两点，已知 PC＝3， PB＝2，则 的值为PEPD________.导 学 号 25402797[答案] 23[解析] 由切割线定理，可得 PC2＝ PA·PB⇒PA＝ ＝ ＝ .由于 PC 切圆 O 于点 C，PC2PB 322 92由弦切角定理可知∠ PCB＝∠ PAD，由于 PD 是∠ APC 的角平分线，则∠ CPE＝∠ APD，所以△PCE∽△ PAD.由相似三角形得 ＝ ＝ ＝3× ＝ .PEPD PCPA 392 29 23三、解答题9．(2015·江苏)如图，在△ ABC 中， AB＝ AC，△ ABC 的外接圆⊙ O 的弦 AE 交 BC 于点 D.导 学 号 25402798求证：△ ABD∽△ AEB.[证明] 因为 AB＝ AC，所以∠ ABD＝∠ C.又因为∠ C＝∠ E，所以∠ ABD＝∠ E，又∠ BAE 为公共角，可知△ ABD∽△ AEB.10．(2015·湖南)如图，在⊙ O 中，相交于点 E 的两弦 AB， CD 的中点分别是 M、 N，直线 MO 与直线 CD 相交于点 F.证明： 导 学 号 25402799(1)∠ MEN＋∠ NOM＝180°；5(2)FE·FN＝ FM·FO.[证明] (1)如图所示．因为 M、 N 分别是弦 AB， CD 的中点，所以 OM⊥ AB， ON⊥ CD，即∠ OME＝90°，∠ ENO＝90°，因此∠ OME＋ ENO＝180°.又四边形的内角和等于 360°，故∠ MEN＋∠ NOM＝180°.(2)由(1)知， O、 M、 E、 N 四点共圆，故由割线定理即得 FE·FN＝ FM·FO.11．(2015·陕西)如图， AB 切⊙ O 于点 B，直线 AO 交⊙ O 于 D、 E 两点， BC⊥ DE，垂足为 C.导 学 号 25402800(1)证明：∠ CBD＝∠ DBA；(2)若 AD＝3 DC， BC＝ ，求⊙ O 的直径．2[解析] (1)证明：因为 DE 为⊙ O 的直径，则∠ BED＋∠ EDB＝90°，又 BC⊥ DE，所以∠ CBD＋∠ EDB＝90°，从而∠ CBD＝∠ BED.又 AB 切⊙ O 于点 B，得∠ DBA＝∠ BED，所以∠ CBD＝∠ DBA.(2)由(1)知 BD 平分∠ CBA，则 ＝ ＝3，又 BC＝ ，从而 AB＝3 .BABC ADCD 2 2所以 AC＝ ＝4，所以 AD＝3.AB2－ BC2由切割线定理得 AB2＝ AD·AE，即 AE＝ ＝6，AB2AD故 DE＝ AE－ AD＝3，即⊙ O 的直径为 3.B 组 能力提升1．(2015·湖北黄冈模拟)已知点 C 在圆 O 的直径 BE 的延长线上，直线 CA 与圆 O 相切于点 A，∠ ACB 的角平分线分别交 AB、 AE 于 D、 F 两点，若∠ ACB＝20°，则∠ AFD＝________. 导 学 号 254028016[答案] 45°[解析] 因为 AC 为圆的切线，由弦切角定理，得∠ B＝∠ EAC.又因为 CD 平分∠ ACB，则∠ ACD＝∠ BCD.所以∠ B＋∠ BCD＝∠ EAC＋∠ ACD.根据三角形外角定理，得∠ ADF＝∠ AFD.因为 BE 是圆 O 的直径，则∠ BAE＝90°.所以△ ADF 是等腰直角三角形，所以∠ ADF＝∠ AFD＝45°.2．(2015·广东)如图，已知 AB 是圆 O 的直径， AB＝4， EC 是圆 O 的切线，切点为C， BC＝1.过圆心 O 作 BC 的平行线，分别交 EC 和 AC 于点 D 和点 P，则 OD＝________.导 学 号 25402802[答案] 8[解析] 由题意得 OP＝ BC＝ ， OA＝2，于是 PA＝ CP＝ ＝ .12 12 22－  12 2 152因为∠ DCP＝∠ B＝∠ POA，又∠ DPC＝∠ APO，所以△ DCP∽△ AOP，故 ＝ ，即 PD＝PDPA PCPO× ＝ ，所以 OD＝ ＋ ＝8.15212 152 152 152 12[点拨] 求解本题时首先结合三角形的中位线定理，再结合相似三角形的判断，然后产生结论．3．(2015·新课标全国Ⅱ)如图， O 为等腰三角形 ABC 内一点，⊙ O 与△ ABC 的底边 BC交于 M， N 两点，与底边上的高 AD 交于点 G，且与 AB， AC 分别相切于 E， F 两点.导 学 号 254028037(1)证明： EF∥ BC；(2)若 AG 等于⊙ O 的半径，且 AE＝ MN＝2 ，求四边形 EBCF 的面积．3[解析] (1)证明：由于△ ABC 是等腰三角形， AD⊥ BC，所以 AD 是∠ CAB 的平分线．又因为⊙ O 分别与 AB， AC 相切于点 E， F，所以 AE＝ AF，故 AD⊥ EF.从而 EF∥ BC.(2)由(1)知， AE＝ AF， AD⊥ EF，故 AD 是 EF 的垂直平分线．又 EF 为⊙ O 的弦，所以 O在 AD 上．连接 OE， OM，则 OE⊥ AE.由 AG 等于⊙ O 的半径得 AO＝2 OE，所以∠ OAE＝30°.因此△ ABC 和△ AEF 都是等边三角形．因为 AE＝2 ，所以 AO＝4， OE＝2.3因为 OM＝ OE＝2， DM＝ MN＝ ，所以 OD＝1.12 3于是 AD＝5， AB＝ .1033所以四边形 EBCF 的面积为 ×( )2× － ×(2 )× ＝ .12 1033 32 12 3 32 16334．(2015·贵州遵义四中第五次月考)如图，圆 O1与圆 O2相交于 A、 B 两点， AB 是圆 O2的直径，过 A 点作圆 O1的切线交圆 O2于点 E，并与 BO1的延长线交于点 P， PB 分别与O1、 O2交于 C、 D 两点. 导 学 号 25402804求证：(1) PA·PD＝ PE·PC；(2)AD＝ AE.[证明] (1)∵ PE、 PB 分别是⊙ O2的割线，8∴ PA·PE＝ PD·PB.即 ＝ . ①PAPB PDPE又∵ PA， PB 分别是⊙ O1的切线和割线，∴ PA2＝ PC·PB.即 ＝ . ②PAPB PCPA由①②得 ＝ ，即 PA·PD＝ PE·PC.PDPE PCPA(2)连接 AC， ED，设 DE 与 AB 相交于点 F.∵ BC 是⊙ O1的直径，∴∠ CAB＝90°，∴ AC 是⊙ O2的切线．由(1)知 ＝ ，∴ AC∥ ED，∴ AB⊥ DE，∠ CAD＝∠ ADE.PAPE PCPD又∵ AC 是⊙ O2的切线，∴∠ CAD＝∠ AED.又∠ CAD＝∠ ADE，∴∠ AED＝∠ ADE，∴ AD＝ AE.5．(2015·东北三省三校第一次联合模拟)如图，在△ ABC 中，∠ ABC＝90°，以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于点 E，点 D 是 BC 边的中点，连接 OD 交圆 O 于点 M.导 学 号 25402805(1)求证： DE 是圆 O 的切线；(2)求证： DE·BC＝ DM·AC＋ DM·AB.[证明] (1)连接 OE.因为点 D 是 BC 的中点，点 O 是 AB 的中点，所以 OD∥ AC，且 OD＝ AC，所以∠ A＝∠ BOD，∠ AEO＝∠ EOD.12因为 OA＝ OE，所以∠ A＝∠ AEO，所以∠ BOD＝∠ EOD.在△ EOD 和△ BOD 中，因为 OE＝ OB，∠ EOD＝∠ BOD， OD＝ OD，所以△ EOD≌△ BOD，所以∠ OED＝∠ OBD＝90°，即 OE⊥ ED.因为 E 是圆 O 上一点，所以 DE 是圆 O 的切线．(2)延长 DO 交圆 O 于点 F.因为△ EOD≌△ BOD，所以 DE＝ DB.因为点 D 是 BC 的中点，所以 BC＝2 DB.所以 DE·BC＝ DE·2DB＝2 DE2.因为 AC＝2 OD， AB＝2 OF，所以 DM·AC＋ DM·AB＝ DM·(AC＋ AB)＝ DM·(2OD＋2 OF)＝2 DM·DF.因为 DE 是圆 O 的切线， DF 是圆 O 的割线，所以 DE2＝ DM·DF，9所以 DE·BC＝ DM·AC＋ DM·AB.6．(2015～2016 学年河南省许昌市长葛一中高三月考题)如图，△ ABC 内接于⊙ O， AB是⊙ O 的直径， PA 是过点 A 的直线，且∠ PAC＝∠ ABC.导 学 号 25402806(1) 求证： PA 是⊙ O 的切线；(2)如果弦 CD 交 AB 于点 E， AC＝8， CE ED＝65 ， AE EB＝23 ，求 sin∠ BCE.[答案] (1)略 (2)255[分析] (1)由 AB 为直径，知∠ ACB＝ ，∠ CAB＋∠ ABC＝ ，由此能证明 PA 为圆的切π 2 π 2线．(2)设 CE＝6 k， ED＝5 k， AE＝2 m， EB＝3 m，由 AE·EB＝ CE·ED，得 m＝ k，由△5AEC∽△ DEB，△ CEB∽△ AED，能求出 AB＝10， BD＝4 ，由此能求出 sin∠ BCE.5[解析] (1)证明：∵ AB 为直径，∴∠ ACB＝ ，∠ CAB＋∠ ABC＝π 2 π 2∵∠ PAC＝∠ ABC，∴∠ PAC＋∠ CAB＝ ，π 2∴ PA⊥ AB，∵ AB 为直径，∴ PA 为圆的切线．(2)设 CE＝6 k， ED＝5 k， AE＝2 m， EB＝3 m，∵ AE·EB＝ CE·ED，∴ m＝ k，5∵△ AEC∽△ DEB⇒ ＝ ⇒BD＝4BD8 3m6k 5△ CEB∽△ AED⇒ ＝ ＝( )2⇒m＝2， k＝ ，BC2AD2 25m2－ 6425m2－ 80 3km 255∴ AB＝10， BD＝4 .5在直角三角形 ADB 中，sin∠ BAD＝ ＝ ＝ ，BDAB 4510 255∵∠ BCE＝∠ BAD，∴sin∠ BCE＝ .255[点评] 本题考查与圆有关的比例线线段的应用，解题时要认真审题，注意相交弦定理10和相似三角形性质的合理运用．