（新课标）2017高考数学一轮复习 第1-10章习题（打包72套）.zip

12017 高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第 8 讲 直线与圆锥曲线习题A 组 基础巩固一、选择题1．直线 y＝ x＋3 与双曲线 － ＝1 的交点个数是 ( )ba x2a2 y2b2 导 学 号 25402101A．1 B．2C．1 或 2 D．0[答案] A[解析] 因为直线 y＝ x＋3 与双曲线的渐近线 y＝ x 平行，所以它与双曲线只有 1 个ba ba交点．2．(2015·浙江舟山三模)已知椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1( m＞0)，如果直线 y＝ x 与x216 y2m2 22椭圆的一个交点 M 在 x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点 F，则 m 的值为 ( )导 学 号 25402102A．2 B．2 2C．8 D．2 3[答案] B[解析] 根据已知条件得 c＝ ，则点( ， )在椭圆16－ m2 16－ m222 16－ m2＋ ＝1( m＞0)上，∴ ＋ ＝1，可得 m＝2 .x216 y2m2 16－ m216 16－ m22m2 23．(2015·四川雅安月考)抛物线 y2＝4 x 的焦点为 F，准线为 l，经过 F 且斜率为 的3直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A， AK⊥ l，垂足为 K，则△ AKF 的面积是( )导 学 号 25402103A．4 B．3 3C．4 D．83[答案] C[解析] ∵ y2＝4 x，∴ F(1,0)， l： x＝－1，过焦点 F 且斜率为 的直线3l1： y＝ (x－1)，与 y2＝4 x 联立，解得 A(3，2 )，∴ AK＝4，∴ S△ AKF＝ ×4×2 ＝4 .3 312 3 34．已知抛物线 C： y2＝8 x 与点 M(－2,2)，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于A、 B 两点．若 · ＝0，则 k＝ ( )MA→ MB→ 导 学 号 25402104A. B．12 222C. D．22[答案] D[解析] 如图所示，设 F 为焦点，取 AB 的中点 P，过 A、 B 分别作准线的垂线，垂足分别为 G、 H，连接 MF、 MP，由 · ＝0，知MA→ MB→ MA⊥ MB，则| MP|＝ |AB|＝ (|AG|＋| BH|)，所以 MP 为直角梯形 BHGA 的12 12中位线，所以 MP∥ AG∥ BH，所以∠ GAM＝∠ AMP＝∠ MAP，又|AG|＝| AF|， AM 为公共边，所以△ AMG≌△ AMF，所以∠ AFM＝∠ AGM＝90°，则 MF⊥ AB，所以 k＝－ ＝2.1kMF5．(2015·武汉调研)已知椭圆 E： ＋ ＝1( a＞ b＞0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的x2a2 y2b2直线交 E 于 A、 B 两点．若 AB 的中点坐标为(1，－1)，则 E 的方程为 ( )导 学 号 25402105A. ＋ ＝1 B． ＋ ＝1x245 y236 x236 y227C. ＋ ＝1 D． ＋ ＝1x227 y218 x218 y29[答案] D[解析] 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 ＋ ＝1， ＋ ＝1，两式作差并化简变形得x21a2 y21b2 x2a2 y2b2＝－ ，而 ＝ ＝ ， x1＋ x2＝2， y1＋ y2＝－2，所以y1－ y2x1－ x2 b2 x1＋ x2a2 y1＋ y2 y1－ y2x1－ x2 0－  － 13－ 1 12a2＝2 b2，又因为 a2－ b2＝ c2＝9，于是 a2＝18， b2＝9.故选 D.6．(2015·丽水一模)斜率为 1 的直线 l 与椭圆 ＋ y2＝1 相交于 A、 B 两点，则| AB|的x24最大值为 ( )导 学 号 25402106A．2 B．455C. D．4105 8105[答案] C[解析] 设 A、 B 两点的坐标分别为( x1， y1)，( x2， y2)，直线 l 的方程为 y＝ x＋ t，由Error! 消去 y，得 5x2＋8 tx＋4( t2－1)＝0.则 x1＋ x2＝－ t， x1x2＝ .85 4 t2－ 15∴| AB|＝ |x1－ x2|1＋ k2＝ ·1＋ k2  x1＋ x2 2－ 4x1x23＝ ·2 － 85t 2－ 4×4 t2－ 15＝ · ，425 5－ t2当 t＝0 时，| AB|max＝ .4105二、填空题7．已知抛物线 y2＝8 x，过动点 M(a,0)，且斜率为 1 的直线 l 与抛物线交于不同的两点A、 B，| AB|≤8，则实数 a 的取值范围是____________________. 导 学 号 25402107[答案] －2＜ a≤－1[解析] 将 l 的方程 y＝ x－ a 代入 y2＝8 x，得 x2－2( a＋4) x＋ a2＝0.则| AB|＝ 2[ x1＋ x2 2－ 4x1x2]＝ ≤8，又∵| AB|＞0，32 4＋ 2a∴－2＜ a≤－1.8．(2015·上海静安一模)已知椭圆 C： ＋ ＝1，过椭圆 C 上一点 P(1， )作倾斜x22 y24 2角互补的两条直线 PA、 PB，分别交椭圆 C 于 A、 B 两点．则直线 AB 的斜率为____________________.导 学 号 25402108[答案] 2[解析] 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，同时设 PA 的方程为 y－ ＝ k(x－1)，代入椭圆方2程化简得( k2＋2) x2－2 k(k－ )x＋ k2－2 k－2＝0，显然 1 和 x1是这个方程的两解．因此2 2x1＝ ， y1＝ .由一 k 代替 x1， y1中的 k，得k2－ 22k－ 2k2＋ 2 － 2k2－ 4k＋ 22k2＋ 2x2＝ ， y2＝ ，所以 ＝ .k2＋ 22k－ 2k2＋ 2 － 2k2＋ 4k＋ 22k2＋ 2 y2－ y1x2－ x1 29．(2015·福建福州质检)已知 F1、 F2是双曲线 － ＝1( a＞0， b＞0)的左、右焦点，x2a2 y2b2若双曲线左支上存在一点 P 与点 F2关于直线 y＝ x 对称，则该双曲线的离心率为ba____________________.导 学 号 25402109[答案] 5[解析] 由题意可知双曲线左支上存在一点 P 与点 F2关于直线 y＝ 对称，则 PF1⊥ PF2.又bxa＝ ，联立| PF2|－| PF1|＝2 a，| PF2|2＋| PF1|2＝(2 c)2，可得 b3＋ a2b＝2 c2a.所以|PF2||PF1| bab＝2 a， e＝ .5410．(2015·大连双基测试)过抛物线 y2＝2 px(p＞0)焦点 F 的直线 l 与抛物线交于B、 C 两点， l 与抛物线准线交于点 A，且| AF|＝6， ＝2 ，则| BC|＝___________.AF→ FB→ 导 学 号 25403026[答案] 92[解析] 不妨设直线 l 的倾斜角为 θ ，其中 0＜ θ ＜ ，点 B(x1， y1)， C(x2， y2)，则π 2点 B 在 x 轴的上方．过点 B 作该抛物线的准线的垂线，垂足为 B1，于是有| BF|＝| BB1|＝3，＝ ，由此得 p＝2，抛物线方程是 y2＝4 x，焦点 F(1,0)，|AF||AB| p|BB1|cosθ ＝ ＝ ＝ ＝ ，sin θ ＝ ＝ ，tan θ ＝ ＝2 ，直线p|AF| p6 26 13 1－ cos2θ 223 sinθcosθ 2l： y＝2 (x－1)．由Error! 消去 y，得22x2－5 x＋2＝0， x1＋ x2＝ ，| BC|＝ x1＋ x2＋ p＝ ＋2＝ .52 52 92三、解答题11．(2015·河南洛阳第一次统一考试)已知过点 M( ，0)的直线 l 与抛物线p2y2＝2 px(p＞0)交于 A、 B 两点，且 · ＝－3，其中 O 为坐标原点.OA→ OB→ 导 学 号 25402110(1)求 p 的值；(2)当| AM|＋4| BM|最小时，求直线 l 的方程．[答案] (1) p＝2 (2)4 x± y－4＝02[解析] (1)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，直线 l 的方程为 x＝ my＋ .p2联立Error! 消去 x 得 y2－2 pmy－ p2＝0.∴ y1＋ y2＝2 pm， y1y2＝－ p2.∵ · ＝－3，∴ x1x2＋ y1y2＝－3.又OA→ OB→ x1x2＝ · ＝ ，∴ － p2＝－3⇒ p2＝4.∵ p＞0，∴ p＝2.y212p y22p p24 p24(2)由抛物线定义，得| AM|＝ x1＋ ＝ x1＋1，| BM|＝ x2＋ ＝ x2＋1，p2 p2∴| AM|＋4| BM|＝ x1＋4 x2＋5≥2 ＋5＝9，当且仅当 x1＝4 x2时取等号．4x1x2将 x1＝4 x2代入 x1x2＝ ＝1，得 x2＝ (负值舍去)．p24 12将 x2＝ 代入 y2＝4 x，得 y2＝± ，即点 B( ，± )．12 2 12 25将点 B 代入 x＝ my＋1，得 m＝± .24∴直线 l 的方程为 x＝± y＋1，即 4x± y－4＝0.24 212．(2015·山西第四次诊断)如图，分别过椭圆 E： ＋ ＝1( a＞ b＞0)左、右焦点x2a2 y2b2F1、 F2的动直线 l1、 l2相交于点 P，与椭圆 E 分别交于 A、 B 与 C、 D 不同四点，直线OA、 OB、 OC、 OD 的斜率 k1、 k2、 k3、 k4满足 k1＋ k2＝ k3＋ k4.已知当 l1与 x 轴重合时，|AB|＝2 ，| CD|＝ .3433 导 学 号 25402111(1)求椭圆 E 的方程．(2)是否存在定点 M、 N，使得| PM|＋| PN|为定值？若存在，求出点 M、 N 坐标并求出此定值；若不存在，请说明理由．[答案] (1) ＋ ＝1 (2)存在， M(0，－1)， N(0,1)，定值为 2x23 y22 2[解析] (1)当 l1与 x 轴重合时， k1＋ k2＝ k3＋ k4＝0，即 k3＝－ k4，∴ l2垂直于 x 轴，得| AB|＝2 a＝2 ，| CD|＝ ＝ ，32b2a 433得 a＝ ， b＝ ，∴椭圆 E 的方程为 ＋ ＝1.3 2x23 y22(2)焦点 F1、 F2的坐标分别为(－1,0)、(1,0)．当直线 l1、 l2斜率存在时，设斜率分别为 m1、 m2，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由Error! 得(2＋3 m )x2＋6 m x＋3 m －6＝0，21 21 21∴ x1＋ x2＝－ ， x1x2＝ .6m212＋ 3m21 3m21－ 62＋ 3m21k1＋ k2＝ ＋ ＝ m1( ＋ )＝ m1(2＋ )＝ m1(2－ )＝－ ，y1x1 y2x2 x1＋ 1x1 x2＋ 1x2 x1＋ x2x1x2 2m21m21－ 2 4m1m21－ 2同理 k3＋ k4＝－ .4m2m2－ 2∵ k1＋ k2＝ k3＋ k4，∴ ＝ ，即( m1m2＋2)( m2－ m1)＝0.－ 4m1m21－ 2 － 4m2m2－ 2由题意知 m1≠ m2，∴ m1m2＋2＝0.6设 P(x， y)，则 · ＋2＝0，即 ＋ x2＝1( x≠±1)．yx＋ 1 yx－ 1 y22当直线 l1或 l2斜率不存在时，点 P 坐标为(－1,0)或(1,0)，也满足此方程．∴点 P(x， y)在椭圆 ＋ x2＝1 上，存在点 M(0，－1)和点 N(0,1)，使得| PM|＋| PN|为y22定值，定值为 2 .2B 组 能力提升1．(2015·东北三校)设抛物线 y2＝4 x 的焦点为 F，过点 M(－1,0)的直线在第一象限交抛物线于 A、 B，且满足 · ＝0，则直线 AB 的斜率 k＝ ( )AF→ BF→ 导 学 号 25402112A. B．222C. D．333[答案] B[解析] 依题意，设直线 AB 的方程为 y＝ k(x＋1)( k≠0)，代入抛物线方程 y2＝4 x 并整理，得 k2x2＋(2 k2－4) x＋ k2＝0.因为直线与抛物线有两个不同的交点，所以 Δ ＝(2 k2－4) 2－4 k4＞0.设 A(x1， y1)，B(x2， y2)，则Error!又因为 · ＝0，所以( x1－1)( x2－1)AF→ BF→ ＋ y1y2＝0，( x1－1)( x2－1)＋ k2(x1＋1)( x2＋1)＝0，(1＋ k2)x1x2＋( k2－1)( x1＋ x2)＋ k2＋1＝0.把Error!代入并整理，得 k2＝ .又 k＞0，所以 k＝ ，故选 B.12 222．(2015·山东腾州第五中学上学期第三次阶段性考试)已知椭圆 ＋ ＝1( a＞ b＞0)x2a2 y2b2上一点 A 关于原点的对称点为点 B， F 为右焦点，若 AF⊥ BF，设∠ ABF＝ α ，且 α ∈[ ， ]，π 6 π 4则该椭圆离心率 e 的取值范围为 ( )导 学 号 25402113A．[ ， －1] B．[ ，1)22 3 22C．[ ， ] D．[ ， ]22 32 33 63[答案] A[解析] ∵ B 和 A 关于原点对称，∴ B 也在椭圆上，设左焦点为 F′.根据椭圆定义| AF|＋| AF′|＝2 a.∵| AF′|＝| BF|，∴| AF|＋| BF|＝2 a.①∵ O 是 Rt△ ABF 的斜边 AB 的中点，∴| AB|＝2 c.又| AF|＝2 csinα ，②7|BF|＝2 ccosα ，③②③代入①，得 2csinα ＋2 ccosα ＝2 a，∴ ＝ ＝ ，即 e＝ .ca 1sinα ＋ cosα 12sin α ＋ π 4 12sin α ＋ π 4∵ α ∈[ ， ]，∴ ≤ α ＋ ≤ ， ≤sin( α ＋ )≤1，∴ ≤ e≤ －1.π 6 π 4 5π12 π 4 π 2 6＋ 24 π 4 22 33．(2015·绵阳诊断)已知 A 是抛物线 y2＝4 x 上一点， F 是抛物线的焦点，直线 FA 交抛物线的准线于点 B(点 B 在 x 轴上方)，若| AB|＝2| AF|，则点 A 的坐标为____________________.导 学 号 25402114[答案] (3，－2 )或( ， )313 233[解析] 依题意，①若点 A 位于 x 轴上方，过点 A 作抛物线的准线的垂线，垂足记为A1，则有| AB|＝2| AF|＝2| AA1|，∠ BAA1＝60°，直线 AF 的倾斜角为 120°.又点 F(1,0)，因此直线 AF 的方程为 y＝－ (x－1)．3由Error! 得Error!此时点 A 的坐标是( ， )．13 233②若点 A 位于 x 轴下方，则此时点 F(1,0)是线段 AB 的中点，又点 B 的横坐标是－1，故点 A 的横坐标是 2×1－(－1)＝3，相应的纵坐标是 y＝－ ＝－2 ，点 A 的坐标4×3 3是(3，－2 )．3综上所述，点 A 的坐标是(3，－2 )或( ， )．313 2334．(2015·河北衡水冀州中学上学期第四次月考)已知直线 y＝－ x＋1 与椭圆＋ ＝1( a＞ b＞0)相交于 A、 B 两点.x2a2 y2b2 导 学 号 25402115(1)若椭圆的离心率为 ，焦距为 2，求线段 AB 的长；33(2)若向量 与向量 互相垂直(其中 O 为坐标原点)，当椭圆的离心率 e∈[ ， ]时，OA→ OB→ 12 22求椭圆长轴长的最大值．[答案] (1) (2)835 6[解析] (1)∵ e＝ ，2 c＝2，即 ＝ ， c＝1，∴ a＝ ，则 b＝ ＝ ，33 ca 33 3 a2－ c2 2∴椭圆的方程为 ＋ ＝1.x23 y228将 y＝－ x＋1 代入消去 y，得 5x2－6 x－3＝0.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1＋ x2＝ ， x1x2＝－ ，65 35∴| AB|＝ 1＋  － 1 2 x1＋ x2 2－ 4x1x2＝ ＝ .2 65 2＋ 125 835(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，∵ ⊥ ，∴ · ＝0，即 x1x2＋ y1y2＝0.OA→ OB→ OA→ OB→ 由Error! 消去 y 得( a2＋ b2)x2－2 a2x＋ a2(1－ b2)＝0.由 Δ ＝(－2 a2)2－4 a2(a2＋ b2)(1－ b2)＞0，整理得 a2＋ b2＞1.又 x1＋ x2＝ ， x1x2＝ ，2a2a2＋ b2 a2 1－ b2a2＋ b2∴ y1y2＝(－ x1＋1)(－ x2＋1)＝ x1x2－( x1＋ x2)＋1.由 x1x2＋ y1y2＝0，得 2x1x2－( x1＋ x2)＋1＝0，∴ － ＋1＝0，整理得 a2＋ b2－2 a2b2＝0.2a2 1－ b2a2＋ b2 2a2a2＋ b2将 e2＝1－ 代入上式，得 2a2＝1＋ ，∴ a2＝ (1＋ )．b2a2 11－ e2 12 11－ e2∵ ≤ e≤ ，∴ ≤ e2≤ ，∴ ≤1－ e2≤ ，12 22 14 12 12 34∴ ≤ ≤2，∴ ≤1＋ ≤3，43 11－ e2 73 11－ e2∴ ≤ a2≤ ，满足 a2＋ b2＞1，76 32由此得 ≤ a≤ ，∴ ≤2 a≤ ，426 62 423 6故椭圆长轴长的最大值为 .65．(2015·湖南新化一中上学期期末)已知过抛物线 x2＝4 y 的焦点 F 的直线 l 与抛物线相交于 A、 B 两点. 导 学 号 25402116(1)设抛物线在 A、 B 处的切线的交点为 M，若点 M 的横坐标为 2，求△ ABM 的外接圆方程．(2)若直线 l 与椭圆 ＋ ＝1 的交点为 C、 D，问是否存在这样3y24 3x22的直线 l 使| AF|·|CF|＝| BF|·|DF|？若存在，求出 l 的方程；若不存在，说明理由．[答案] (1)( x－2) 2＋( y－3) 2＝16 (2)存在， y＝1 或 y＝± x＋1[解析] (1)设 A(2t1， t )， B(2t2， t )， kAB＝ ＝ ，21 2t21－ t22t1－ 2t2 t1＋ t229故直线 AB 的方程为 y－ t ＝ (x－2 t1)．21t1＋ t22由直线 AB 过点(0,1)，得－ t1t2＝1，又由 y＝ x2，得 y′＝ x，14 12故 kMA·kMB＝ ×(2t1)× ×(2t2)＝ t1t2＝－1，12 12∴过 A、 B、 M 的圆是以 AB 为直径的圆．又直线 MA 的方程为 y－ t ＝ t1(x－2 t1)，直线 MB 的方程为 y－ t ＝ t2(x－2 t2)，21 2即 t － t1x＋ y＝0，且 t － t2x＋ y＝0，21 2联立两式，解得 xM＝ t1＋ t2＝2， yM＝ t1t2＝－1，故线段 AB 的中点 G 的坐标为(2,3)，| GM|＝4，所求圆的方程为( x－2) 2＋( y－3) 2＝16.(2)设 ＝ ＝ λ ，则 ＝ λ ， ＝ λ .|AF||BF| |DF||CF| AF→ FB→ DF→ FC→ 设直线 l 的方程为 y＝ kx＋1， A(x1， y1)， B(x2， y2)， C(x3， y3)， D(x4， y4)，则Error!⇒Error!又Error! ⇒x2－4 kx－4＝0，∴ x1＋ x2＝4 k， x1x2＝－4.将 x1＝－ λx 2代入，得 ＝4 k2.① λ － 1 2λ由Error! 得(3 k2＋6) x2＋6 kx－1＝0，∴ x3＋ x4＝－ ， x3x4＝－ .2kk2＋ 2 13k2＋ 6将 x4＝－ λx 3代入，得 ＝ .② λ － 1 2λ 12k2k2＋ 2由①②，得 k＝0 或 k2＝1， k＝±1，经检验 k＝0， k＝±1 时， A， B， C， D 四点各异，且满足要求，故直线 l 存在，且方程为 y＝± x＋1 或 y＝1.12017 高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第 9 讲 曲线与方程(理)习题A 组 基础巩固一、选择题1．(2015·长沙一中高三月考)方程(2 x＋3 y－1)( －1)＝0 表示的曲线是x－ 3( )导 学 号 25402131A．两条直线 B．两条射线C．两条线段 D．一条直线和一条射线[答案] D[解析] 原方程可化为Error!或 －1＝0，即 2x＋3 y－1＝0( x≥3)或 x＝4，故原方x－ 3程表示的曲线是一条直线和一条射线．2．到两定点 A(0,0)、 B(3,4)距离之和为 5 的点的轨迹是 ( )导 学 号 25402132A．椭圆 B． AB 所在的直线C．线段 AB D．无轨迹[答案] C[解析] ∵| AB|＝5，∴到 A、 B 两点距离之和为 5 的点的轨迹是线段 AB.3．若点 P 到点 F(0,2)的距离比它到直线 y＋4＝0 的距离小 2，则 P 的轨迹方程为( )导 学 号 25402133A． y2＝8 x B． y2＝－8 xC． x2＝8 y D． x2＝－8 y[答案] C[解析] 由题意知 P 到 F(0,2)的距离比它到 y＋4＝0 的距离小 2，因此 P 到 F(0,2)的距离与到直线 y＋2＝0 的距离相等，故 P 的轨迹是以 F 为焦点， y＝－2 为准线的抛物线，所以 P 的轨迹方程为 x2＝8 y.4．在△ ABC 中，已知 A(－1,0)， C(1,0)，且| BC|，| CA|，| AB|成等差数列，则顶点 B的轨迹方程是 ( )导 学 号 25402134A. ＋ ＝1 B． ＋ ＝1( x≠± )x23 y24 x23 y24 3C. ＋ ＝1 D． ＋ ＝1( x≠±2)x24 y23 x24 y23[答案] D[解析] ∵| BC|，| CA|，| AB|成等差数列，∴| BC|＋| BA|＝2| CA|＝4.∴点 B 的轨迹是以 A， C 为焦点，半焦距 c＝1，长轴长 2a＝4 的椭圆．又 B 是三角形的2顶点， A， B， C 三点不能共线，故所求的轨迹方程为 ＋ ＝1，且 y≠0.x24 y235．(2015·北京朝阳上学期期末)已知正方形的四个顶点分别为 O(0,0)、 A(1,0)、B(1,1)、 C(0,1)，点 D、 E 分别在线段 OC、 AB 上运动，且| OD|＝| BE|，设 AD 与 OE 交于点G，则点 G 的轨迹方程是 ( )导 学 号 25402135A． y＝ x(1－ x)(0≤ x≤1) B． x＝ y(1－ y)(0≤ y≤1)C． y＝ x2(0≤ x≤1) D． y＝1－ x2(0≤ x≤1)[答案] A[解析] 设 D(0， λ )， E(1,1－ λ )，0≤ λ ≤1，所以线段 AD 的方程为x＋ ＝1(0≤ x≤1)，线段 OE 的方程为 y＝(1－ λ )x(0≤ x≤1)，联立方程组Error!( λ 为参yλ数)，消去参数 λ 得点 G 的轨迹方程为 y＝ x(1－ x)(0≤ x≤1)，故 A 正确．6．△ ABC 的顶点 A(－5,0)， B(5,0)，△ ABC 的内切圆圆心在直线 x＝3 上，则顶点 C 的轨迹方程是 ( )导 学 号 25402136A. － ＝1 B． － ＝1x29 y216 x216 y29C. － ＝1( x＞3) D． － ＝1( x＞4)x29 y216 x216 y29[答案] C[解析] 如图，| AD|＝| AE|＝8，| BF|＝| BE|＝2，| CD|＝| CF|，所以| CA|－| CB|＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以 A、 B 为焦点，实轴长为 6 的双曲线的右支，方程为 － ＝1( x＞3)．x29 y216二、填空题7．长为 3 的线段 AB 的端点 A、 B 分别在 x、 y 轴上移动，动点 C(x， y)满足 ＝2 ，AC→ CB→ 则动点 C 的轨迹方程____________________. 导 学 号 25402137[答案] x2＋ ＝1y24[解析] 设 A(a,0)， B(0， b)，则 a2＋ b2＝9.又 C(x， y)，则由 ＝2 ，得( x－ a， y)AC→ CB→ ＝2(－ x， b－ y)．即Error! 即Error!代入 a2＋ b2＝9，并整理，得 x2＋ ＝1.y248．已知△ ABC 的顶点 B(0,0)， C(5,0)， AB 边上的中线长| CD|＝3，则顶点 A 的轨迹方程为____________________. 导 学 号 254021383[答案] ( x－10) 2＋ y2＝36( y≠0)[解析] 方法一：直接法．设 A(x， y)， y≠0，则 D( ， )．x2 y2∴| CD|＝ ＝3. x2－ 5 2＋ y24化简，得( x－10) 2＋ y2＝36.由于 A、 B、 C 三点构成三角形，所以 A 不能落在 x 轴上，即 y≠0.方法二：定义法．如图，设 A(x， y)， D 为 AB 的中点，过 A 作 AE∥ CD 交 x 轴于 E.∵| CD|＝3，∴| AE|＝6，则 E(10,0)，∴ A 到 E 的距离为常数 6.∴ A 的轨迹为以 E 为圆心，6 为半径的圆，即( x－10) 2＋ y2＝36.又 A， B， C 不共线，故 A 点纵坐标 y≠0，故 A 点轨迹方程为( x－10) 2＋ y2＝36( y≠0)．9．设 P 是圆 x2＋ y2＝100 上的动点，点 A(8,0)，线段 AP 的垂直平分线交半径 OP 于 M点，则点 M 的轨迹为____________________. 导 学 号 25402139[答案] 椭圆[解析] 如图，设 M(x， y)，由于 l 是 AP 的垂直平分线，于是|AM|＝| PM|，又由于 10＝| OP|＝| OM|＋| MP|＝| OM|＋| MA|，即|OM|＋| MA|＝10，也就是说，动点 M 到 O(0,0)及 A(8,0)的距离之和是10，故动点 M 的轨迹是以 O(0,0)、 A(8,0)为焦点，中心在(4,0)，长半轴长是 5 的椭圆．10．若过抛物线 y2＝4 x 的焦点作直线与其交于 M、 N 两点，作平行四边形 MONP，则点P 的轨迹方程为____________________. 导 学 号 25402140[答案] y2＝4( x－2)[解析] 设直线方程为 y＝ k(x－1)，点 M(x1， y1)， N(x2， y2)， P(x， y)，由 ＝ ，OM→ NP→ 得( x1， y1)＝( x－ x2， y－ y2)．得 x1＋ x2＝ x， y1＋ y2＝ y.由Error! 联立得 x＝ x1＋ x2＝ .2k2＋ 4k2y＝ y1＋ y2＝ ，消去参数 k，得 y2＝4( x－2)．4kk2三、解答题11．设圆 C：( x－1) 2＋ y2＝1，过原点 O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程. 导 学 号 254021414[答案] ( x－ )2＋ y2＝ (0＜ x≤1)12 14[解析] 方法一：直译法：设 OQ 为过 O 的一条弦， P(x， y)为其中点，则 CP⊥ OP， OC中点为 M( ，0)，12方法二：定义法：∵∠ OPC＝90°，∴动点 P 在以 M( ，0)为圆心 OC 为直径的圆上，| OC|＝1，再利用圆的方程得解．12方法三：相关点法：设 Q(x1， y1)，则Error!⇒Error!又∵( x1－1) 2＋ y ＝1，21∴(2 x－1) 2＋(2 y)2＝1(0＜ x≤1)．方法四：参数法：设动弦 PQ 的方程为 y＝ kx，代入圆的方程得( x－1) 2＋ k2x2＝1，即(1＋ k2)x2－2 x＝0，∴ x＝ ＝ ， y＝ kx＝ 消去 k 即可．x1＋ x22 11＋ k2 k1＋ k2方法五：(参数法)设 Q 点坐标为(1＋cos θ ，sin θ )，∴ P(x， y)的坐标为Error!消 θ 即可．[点拨] 本题中的前四种方法是求轨迹方程的常用方法，我们已在本章的前几节中做过较多的讨论，故解析时只做扼要总结即可．则| MP|＝ |OC|＝ ，得方程( x－ )2＋ y2＝ ，考虑轨迹的范围知 0＜ x≤1.12 12 12 1412．(2015·云南红河州毕业生复习统一检测)在直角坐标系 xOy 中，动点 P 与定点F(1,0)的距离和它到定直线 x＝2 的距离之比是 .22 导 学 号 25402142(1)求动点 P 的轨迹 Γ 的方程；(2)设曲线 Γ 上的三点 A(x1， y1)、 B(1， )、 C(x2， y2)与点 F 的距离成等差数列，线22段 AC 的垂直平分线与 x 轴的交点为 T，求直线 BT 的斜率 k.[答案] (1) ＋ y2＝1 (2)x22 2[解析] (1)设 P(x， y)．由已知，得 ＝ ，两边同时平方，化简得 x－ 1 2＋ y2|x－ 2| 22＋ y2＝1，故动点 P 的轨迹 Γ 的方程是 ＋ y2＝1.x22 x22(2)由已知得| AF|＝ (2－ x1)，| BF|＝ ×(2－1)，22 22|CF|＝ (2－ x2)．因为 2|BF|＝| AF|＋| CF|，225所以 (2－ x1)＋ (2－ x2)＝2× ×(2－1)，22 22 22所以 x1＋ x2＝2.①故线段 AC 的中点坐标为(1， )，y1＋ y22其垂直平分线的方程为 y－ ＝－ (x－1)．②y1＋ y22 x1－ x2y1－ y2因为 A， C 在椭圆上，所以代入椭圆，两式相减，把①代入化简，得－ ＝ y1＋ y2.③x1－ x2y1－ y2把③代入②，令 y＝0，得 x＝ ，所以点 T 的坐标为( ，0)．12 12所以直线 BT 的斜率 k＝ ＝ .22－ 01－ 12 2B 组 能力提升1．(2015·吉林市毕业班检测)设圆 O1和圆 O2是两个定圆，动圆 P 与这两个定圆都外切，则圆 P 的圆心轨迹可能是 ( )导 学 号 25402143A．①②③⑤ B．②③④⑤C．①②④⑤ D．①②③④[答案] A[解析] 当两定圆相离时，圆 P 的圆心轨迹为①；当两定圆外切时，圆 P 的圆心轨迹为②；当两定圆相交时，圆 P 的圆心轨迹为③；当两定圆内切时，圆 P 的圆心轨迹为⑤.2．平面直角坐标系中，已知两点 A(3,1)、 B(－1,3)，若点 C 满足 ＝ λ 1 ＋ λ 2 (OOC→ OA→ OB→ 为原点)，其中 λ 1、 λ 2∈R，且 λ 1＋ λ 2＝1，则点 C 的轨迹是 ( )导 学 号 25402144A．直线 B．椭圆C．圆 D．双曲线[答案] A[解析] 设 C(x， y)，则 ＝( x， y)， ＝(3,1)， ＝(－1,3)，OC→ OA→ OB→ ∵ ＝ λ 1 ＋ λ 2 ，∴Error!，OC→ OA→ OB→ 6又 λ 1＋ λ 2＝1，∴ x＋2 y－5＝0，表示一条直线．3．如图所示，正方体 ABCD－ A1B1C1D1的棱长为 1，点 M 在 AB 上，且AM＝ AB，点 P 在平面 ABCD 上，且动点 P 到直线 A1D1的距离的平方与 P 到点13M 的距离的平方差为 1，在平面直角坐标系 xAy 中，动点 P 的轨迹方程是____________________.导 学 号 25402145[答案] y2＝ x－23 19[解析] 过 P 作 PQ⊥ AD 于 Q，再过 Q 作 QH⊥ A1D1于 H，连接 PH、 PM，可证 PH⊥ A1D1，设 P(x， y)，由| PH|2－| PM|2＝1，得 x2＋1－[( x－ )2＋ y2]＝1，13化简得 y2＝ x－ .23 194．(2015·山东实验中学第三次诊断)已知点 A(－2,0)、 B(2,0)，曲线 C 上的动点 P 满足 · ＝－3.AP→ BP→ 导 学 号 25402146(1)求曲线 C 的方程；(2)若过定点 M(0，－2)的直线 l 与曲线 C 有公共点，求直线 l 的斜率 k 的取值范围；(3)若动点 Q(x， y)在曲线 C 上，求 u＝ 的取值范围．y＋ 2x－ 1[答案] (1) x2＋ y2＝1 (2)(－∞，－ ]∪[ ，＋∞) (3)(－∞，－ ]3 334[解析] (1)设 P(x， y)， · ＝( x＋2， y)(x－2， y)＝ x2－4＋ y2＝－3，得 P 点轨迹AP→ BP→ (曲线 C)方程为 x2＋ y2＝1，即曲线 C 是圆．(2)可设直线 l 的方程为 y＝ kx－2，其一般方程为 kx－ y－2＝0.由直线 l 与曲线 C 有交点，得 ≤1，得 k≤－ 或 k≥ ，|0－ 0－ 2|k2＋ 1 3 3即所求 k 的取值范围是(－∞，－ ]∪[ ，＋∞)．3 3(3)由动点 Q(x， y)，设定点 N(1，－2)，则直线 QN 的斜率 kQN＝ ＝ u，y＋ 2x－ 1又点 Q 在曲线 C 上，故直线 QN 与圆有交点，设直线 QN 的方程为 y＋2＝ u(x－1)，即ux－ y－ u－2＝0.当直线与圆相切时， ＝1，解得 u＝－ .|－ u－ 2|u2＋ 1 347另当 u 不存在时，直线与圆相切，所以 u∈(－∞，－ ]．345．(2015·东北三省三校第一次模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知动圆过点(2,0)，且被 y 轴所截得的弦长为 4.导 学 号 25402147(1)求动圆圆心的轨迹 C1的方程．(2)过点 P(1,2)分别作斜率为 k1、 k2的两条直线 l1、 l2，分别交 C1于 A、 B 两点(点A、 B 异于点 P)．若 k1＋ k2＝0，且直线 AB 与圆 C2：( x－2) 2＋ y2＝ 相切，求△ PAB 的面积．12[答案] (1) y2＝4 x (2)4 2[解析] (1)设动圆圆心坐标为( x， y)，半径为 r.由题可知Error!⇒ y2＝4 x，∴动圆圆心的轨迹方程为 y2＝4 x.(2)设直线 l1斜率为 k，则 l1： y－2＝ k(x－1)， l2： y－2＝－ k(x－1)．点 P(1,2)在抛物线 y2＝4 x 上，由Error! 得 ky2－4 y＋8－4 k＝0.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， Δ ＞0 恒成立，即( k－1) 2＞0，有 k≠1，∴ y1yp＝ ，∵ yp＝2，∴ y1＝ .8－ 4kk 4－ 2kk代入直线方程，得 x1＝ . k－ 2 2k2同理可得 x2＝ ， y2＝ ， 2＋ k 2k2 4＋ 2k－ kkAB＝ ＝ ＝－1.y2－ y1x2－ x14＋ 2k－ k－ 4－ 2kk k＋ 2 2－  k－ 2 2k2不妨设 lAB： y＝－ x＋ b.∵直线 AB 与圆 C2相切，∴ ＝ ，解得 b＝3 或 1.|2－ b|2 22当 b＝3 时，直线 AB 过点 P，舍去；当 b＝1 时，由Error!⇒ x2－6 x＋1＝0.Δ ＝32，| AB|＝ × ＝8，1＋ 1 32P 到直线 AB 的距离 d＝ ，则△ PAB 的面积为 4 .2 212017 高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第 10 讲 导数的概念及运算(理)习题A 组 基础巩固一、选择题1．下列各组函数中导函数相同的是 ( )导 学 号 25400473A． y＝ x2与 y＝2 x B． y＝ln(－ x)与 y＝ln xC． y＝ln x2与 y＝2ln x D． y＝sin xcosx 与 y＝ sin2x12[答案] D[解析] 对于选项 C，(ln x2)′＝ ·2x＝ (x≠0)，(2ln x)′＝ (x＞0)，否定 C．1x2 2x 2x对于选项 A，( x2)′＝2 x，(2 x)′＝2 x·ln2，否定 A．对于选项 B，(ln(－ x))′＝(－ )×(－1)＝ (x＜0)，(ln x)′＝ (x＞0)，否定 B，故1x 1x 1x选 D．2．(2015·宁夏大学附属中学上学期期中)函数 f(x)＝ 的图象在点(1，－2)处lnx－ 2xx的切线方程为 ( )导 学 号 25400474A．2 x－ y－4＝0 B．2 x＋ y＝0C． x＋ y＋1＝0 D． x－ y－3＝0[答案] D[解析] ∵ f(1)＝－2，∴点(1，－2)在函数的图象上．∴ f ′( x)＝ ，∴ f ′(1)＝ ＝1，∴切线方程是 y－(－2)＝1·( x－1)，1－ lnxx2 1－ ln112即 x－ y－3＝0.故选 D．3．(2015·吉林长春十一高中上学期阶段性考试)已知曲线 y＝ －3ln x＋1 的一条切线x24的斜率为 ，则切点的横坐标为 ( )12 导 学 号 25400475A．3 B．2C．1 D．12[答案] A[解析] 设切点为( x0， y0)，则 f ′( x0)＝ － ＝ ，解得 x0＝3 或 x0＝－2.又x02 3x0 12x0＞0，所以 x0＝3.故选 A．24．(2015·福建八县(市)一中上学期联考)函数 f(x)＝e xcosx 的图象在点(0， f(0))处的切线的倾斜角为 ( )导 学 号 25400476A． B．0π 4C． D．13π4[答案] A[解析] f ′( x)＝e xcosx－e xsinx，所以 f ′(0)＝e 0cos0－e 0sin0＝1，所以倾斜角α ＝ .故选 A．π 45．(2015·日照一中检测)已知函数 y＝ f(x)的图象在点(1， f(1))处的切线方程是x－2 y＋1＝0，则 f(1)＋2 f ′(1)的值是 ( )导 学 号 25400477A． B．112C． D．232[答案] D[解析] ∵函数 y＝ f(x)的图象在点(1， f(1))处的切线方程是 x－2 y＋1＝0，∴ f(1)＝1， f ′(1)＝ .∴ f(1)＋2 f ′(1)＝2，故选 D．126．若 P 为曲线 y＝ln x 上一动点， Q 为直线 y＝ x＋1 上一动点，则| PQ|min＝( )导 学 号 25400478A．0 B．22C． D．22[答案] C[解析] 如图所示，直线 l 与 y＝ln x 相切且与 y＝ x＋1 平行时，切点 P 到直线 y＝ x＋1 的距离| PQ|即为所求最小值．(ln x)′＝ ，令1x＝1，得 x＝1.故 P(1,0)．故| PQ|min＝ ＝ .故选 C．1x 22 2二、填空题7．直线 y＝ kx＋ b 与曲线 y＝ ax2＋2＋ln x 相切于点 P(1,4)，则 b 的值为________.导 学 号 25400479[答案] －1[解析] 由点 P(1,4)在曲线上可得 a×12＋2＋ln1＝4，解得 a＝2，故3y＝2 x2＋2＋ln x， y′＝4 x＋ ，从而曲线在点 P 处切线的斜率 k＝ y′| x＝1 ＝4×1＋ ＝5，则1x 11切线方程为 y＝5 x＋ b，由点 P 在切线上得 4＝5×1＋ b，解得 b＝－1.8．设函数 f(x)在(0，＋∞)内可导，且 f(ex)＝ x＋e x，则 f ′(1)＝________.导 学 号 25400480[答案] 2[解析] 方法 1 令 t＝e x，故 x＝ln t，∴ f(t)＝ln t＋ t，即 f(x)＝ln x＋ x，∴ f ′( x)＝ ＋1，∴ f ′(1)＝2.1x方法 2 f ′(e x)＝1＋e x， f ′(1)＝ f ′(e 0)＝1＋e 0＝2.9．(2015·陕西)设曲线 y＝e x在点(0,1)处的切线与曲线 y＝ (x＞0)上点 P 处的切线垂1x直，则 P 的坐标为________. 导 学 号 25400481[答案] (1,1)[解析] y′＝e x，则 y＝e x在点(0,1)处的切线的斜率 k 切 ＝1，又曲线 y＝ (x＞0)上点1xP 处的切线与 y＝e x在点(0,1)处的切线垂直，所以 y＝ (x＞0)在点 P 处的切线的斜率为1x－1，设 P(a， b)，则曲线 y＝ (x＞0)上点 P 处的切线的斜率为 y′| x＝ a＝－ a－2 ＝－1，可1x得 a＝1，又 P(a， b)在 y＝ 上，所以 b＝1，故 P(1,1)．1x10．(2014·安徽)若直线 l 与曲线 C 满足下列两个条件：(ⅰ)直线 l 在点 P(x0， y0)处与曲线 C 相切；(ⅱ)曲线 C 在点 P 附近位于直线 l 的两侧，则称直线 l 在点 P 处“切过”曲线 C． 下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号). 导 学 号 25400482①直线 l： y＝0 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C： y＝ x3②直线 l： x＝－1 在点 P(－1,0)处“切过”曲线 C： y＝( x＋1) 2③直线 l： y＝ x 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C： y＝sin x④直线 l： y＝ x 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C： y＝tan x⑤直线 l： y＝ x－1 在点 P(1,0)处“切过”曲线 C： y＝ln x[答案] ①③④[解析] 对于①， y′＝3 x2， y′| x＝0 ＝0，所以 l： y＝0 是曲线 C： y＝ x3在点 P(0,0)处的切线，画图可知曲线 C： y＝ x3在点 P(0,0)附近位于直线 l 的两侧，①正确；对于②，因为 y′＝2( x＋1)， y′| x＝－1 ＝0，所以 l： x＝－1 不是曲线 C： y＝( x＋1) 2在点 P(－1,0)处的切线，②错误；对于③， y′＝cos x， y′| x＝0 ＝1，在点 P(0,0)处的切线为 l： y＝ x，4画图可知曲线 C： y＝sin x 在点 P(0,0)附近位于直线 l 的两侧，③正确；对于④， y′＝， y′| x＝0 ＝ ＝1，在点 P(0,0)处的切线为 l： y＝ x，画图可知曲线 C： y＝tan x1cos2x 1cos20在点 P(0,0)附近位于直线 l 的两侧，④正确；对于⑤， y′＝ ， y′| x＝1 ＝1，在点 P(1,0)1x处的切线为 l： y＝ x－1，令 h(x)＝ x－1－ln x(x＞0)，可得 h′( x)＝1－ ＝ ，所以 h(x)1x x－ 1xmin＝ h(1)＝0，故 x－1≥ln x，可知曲线 C： y＝ln x 在点 P(1,0)附近位于直线 l 的下侧，⑤错误．三、解答题11．已知函数 f(x)＝ x3＋ x－16. 导 学 号 25400483(1)求曲线 y＝ f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线 l 为曲线 y＝ f(x)的切线，且经过原点，求直线 l 的方程及切点坐标．[答案] (1) y＝13 x－32 (2) y＝13 x，(－2，－26)[解析] (1)可判定点(2，－6)在曲线 y＝ f(x)上．∵ f ′( x)＝( x3＋ x－16)′＝3 x2＋1.∴ f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为 k＝ f ′(2)＝13.∴切线的方程为 y＋6＝13( x－2)，即 y＝13 x－32.(2)设切点坐标为( x0， y0)，则直线 l 的斜率为 f ′( x0)＝3 x ＋1， y0＝ x ＋ x0－16，20 30∴直线 l 的方程为 y＝(3 x ＋1)( x－ x0)＋ x ＋ x0－16.20 30又∵直线 l 过坐标点(0,0)，∴0＝(3 x ＋1)(－ x0)＋ x ＋ x0－16，20 30整理得， x ＝－8，∴ x0＝－2，30∴ y0＝(－2) 3＋(－2)－16＝－26，得切点坐标(－2，－26)， k＝3×(－2) 2＋1＝13.∴直线 l 的方程为 y＝13 x，切点坐标为(－2，－26)．12．(2015·临沂一模)已知函数 f(x)＝ x3－2 x2＋3 x(x∈R)的图象为曲线 C．13导 学 号 25400484(1)求过曲线 C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线 C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线 C 的切点的横坐标的取值范围．[答案] (1)[－1，＋∞) (2)(－∞，2－ ]∪(1,3)∪[2＋ ，＋∞)2 2[解析] (1)由题意得 f ′( x)＝ x2－4 x＋3，5则 f ′( x)＝( x－2) 2－1≥－1，即过曲线 C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线 C 的其中一条切线的斜率为 k，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，Error!解得－1≤ k＜0 或 k≥1，故由－1≤ x2－4 x＋3＜0 或 x2－4 x＋3≥1，得 x∈(－∞，2－ ]∪(1,3)∪[2＋ ，＋∞)．2 2B 组 能力提升1．(2015·福建)若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(0)＝－1，其导函数 f ′( x)满足 f ′( x)＞ k＞1，则下列结论中一定错误的是 ( )导 学 号 25400485A． f( )＜ B． f( )＞1k 1k 1k 1k－ 1C． f( )＜ D． f( )＞1k－ 1 1k－ 1 1k－ 1 kk－ 1[答案] C[解析] 取满足题意的函数 f(x)＝2 x－1，若取 k＝ ，则 f( )＝ f( )＝ ＜ ＝ ，所以32 1k 23 13 23 1k排除 A；若取 k＝ ，则 f( )＝ f( )＝ f(10)＝19＞11＝ ＝ ，所以排除 D；1110 1k－ 1 11110－ 111101110－ 1 kk－ 1取满足题意的函数 f(x)＝10 x－1，若取 k＝2，则 f( )＝ f( )＝4＞1＝ ＝ ，所以排1k 12 12－ 1 1k－ 1除 B．故结论一定错误的是 C．2．(2015·重庆七校联盟联考)已知函数 f(x)在 R 上满足 f(x)＝2 f(2－ x)－ x2＋8 x－8，则曲线 y＝ f(x)在点(1， f(1))处切线的斜率是 ( )导 学 号 25400486A．2 B．1C．3 D．－2[答案] A[解析] 由 f(x)＝2 f(2－ x)－ x2＋8 x－8 两边求导得， f ′( x)＝2 f ′(2－ x)×(－1)－2 x＋8.令 x＝1 得 f ′(1)＝2 f ′(1)×(－1)－2＋8⇒ f ′(1)＝2，故所求切线斜率是 2.3．(2015·江西九江月考)给出定义：若函数 f(x)在 D 上可导，即 f ′( x)存在，且导数 f ′( x)在 D 上也可导，则称 f(x)在 D 上存在二阶导数，记为 f ″( x)＝[ f ′( x)]′，若 f ″( x)＜0 在 D 上恒成立，则称 f(x)在 D 上为凸函数．以下四个函数在(0， )上是凸π 2函数的是________(把你认为正确的序号都填上). 导 学 号 254004876① f(x)＝sin x＋cos x；② f(x)＝ln x－2 x；③ f(x)＝－ x3＋2 x－1；④ f(x)＝ xex.[答案] ①②③[解析] 由①知， f ′( x)＝cos x－sin x，则 f ″( x)＝－sin x－cos x＝－ sin(x＋ )2π 4＜0 在区间(0， )上恒成立；由②知， f ′( x)＝ －2( x＞0)，则 f ″( x)＝－ ＜0 在区π 2 1x 1x2间(0， )上恒成立；由③知， f ′( x)＝－3 x2＋2，则 f ″( x)＝－6 x＜0 在区间(0， )上π 2 π 2恒成立．故①②③中的函数为凸函数．由④知， f ′( x)＝e x＋ xex， f ″( x)＝2e x＋ xex＝e x(x＋2)＞0 在区间(0， )上恒成立，故④中的函数不是凸函数．π 24．设 L 为曲线 C： y＝ 在点(1,0)处的切线.lnxx 导 学 号 25400488(1)求 L 的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线 C 在直线 L 的下方．[答案] (1) y＝ x－1 (2)略[解析] (1)设 f(x)＝ ，则 f ′( x)＝ .lnxx 1－ lnxx2所以 f ′(1)＝1，即 L 的斜率为 1.又 L 过点(1,0)，所以 L 的方程为 y＝ x－1.(2)令 g(x)＝ x－1－ f(x)，则除切点之外，曲线 C 在直线 L 的下方等价于 g(x)＞0(∀ x＞0， x≠1)．g(x)满足 g(1)＝0，且 g′( x)＝1－ f ′( x)＝ .x2－ 1＋ lnxx2当 0＜ x＜1 时， x2－1＜0，ln x＜0，所以 g′( x)＜0，故 g(x)单调递减；当 x＞1 时， x2－1＞0，ln x＞0，所以 g′( x)＞0，故 g(x)单调递增．所以， g(x)＞ g(1)＝0(∀ x＞0 ， x≠1)．所以除切点之外，曲线 C 在直线 L 的下方．5．(2015·河北唐山一中月考)已知函数 f(x)＝ ax3＋3 x2－6 ax－11， g(x)＝3 x2＋6 x＋12 和直线 m： y＝ kx＋9，且 f ′(－1)＝0. 导 学 号 25400489(1)求 a 的值；(2)是否存在 k，使直线 m 既是曲线 y＝ f(x)的切线，又是曲线 y＝ g(x)的切线？如果存在，求出 k 的值；如果不存在，请说明理由．[答案] (1) a＝－2 (2) k＝0[解析] (1)由已知得 f ′( x)＝3 ax2＋6 x－6 a，7∵ f ′(－1)＝0，∴3 a－6－6 a＝0，∴ a＝－2.(2)存在．由已知得，直线 m 恒过定点(0,9)，若直线 m 是曲线 y＝ g(x)的切线，则设切点为( x0,3x ＋6 x0＋12)．20∵ g′( x0)＝6 x0＋6，∴切线方程为 y－(3 x ＋6 x0＋12)＝(6 x0＋6)( x－ x0)，20将(0,9)代入切线方程，解得 x0＝±1.当 x0＝－1 时，切线方程为 y＝9；当 x0＝1 时，切线方程为 y＝12 x＋9.由(1)知 f(x)＝－2 x3＋3 x2＋12 x－11，①由 f ′( x)＝0 得－6 x2＋6 x＋12＝0，解得 x＝－1 或 x＝2.在 x＝－1 处， y＝ f(x)的切线方程为 y＝－18；在 x＝2 处， y＝ f(x)的切线方程为 y＝9，∴ y＝ f(x)与 y＝ g(x)的公切线是 y＝9.②由 f ′( x)＝12 得－6 x2＋6 x＋12＝12，解得 x＝0 或 x＝1.在 x＝0 处， y＝ f(x)的切线方程为 y＝12 x－11；在 x＝1 处， y＝ f(x)的切线方程为 y＝12 x－10，∴ y＝ f(x)与 y＝ g(x)的公切线不是 y＝12 x＋9.综上所述， y＝ f(x)与 y＝ g(x)的公切线是 y＝9，此时 k＝0.