1、12017 高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第 8 讲 直线与圆锥曲线习题A 组 基础巩固一、选择题1直线 y x3 与双曲线 1 的交点个数是 ( )ba x2a2 y2b2 导 学 号 25402101A1 B2C1 或 2 D0答案 A解析 因为直线 y x3 与双曲线的渐近线 y x 平行，所以它与双曲线只有 1 个ba ba交点2(2015浙江舟山三模)已知椭圆 C 的方程为 1( m0)，如果直线 y x 与x216 y2m2 22椭圆的一个交点 M 在 x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点 F，则 m 的值为 ( )导 学 号 25402102A2 B2 2C8 D2 3答案 B
2、解析 根据已知条件得 c ，则点( ， )在椭圆16 m2 16 m222 16 m2 1( m0)上， 1，可得 m2 .x216 y2m2 16 m216 16 m22m2 23(2015四川雅安月考)抛物线 y24 x 的焦点为 F，准线为 l，经过 F 且斜率为 的3直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A， AK l，垂足为 K，则 AKF 的面积是( )导 学 号 25402103A4 B3 3C4 D83答案 C解析 y24 x， F(1,0)， l： x1，过焦点 F 且斜率为 的直线3l1： y (x1)，与 y24 x 联立，解得 A(3，2 )， AK4， S AKF
3、 42 4 .3 312 3 34已知抛物线 C： y28 x 与点 M(2,2)，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于A、 B 两点若 0，则 k ( )MA MB 导 学 号 25402104A. B12 222C. D22答案 D解析 如图所示，设 F 为焦点，取 AB 的中点 P，过 A、 B 分别作准线的垂线，垂足分别为 G、 H，连接 MF、 MP，由 0，知MA MB MA MB，则| MP| |AB| (|AG| BH|)，所以 MP 为直角梯形 BHGA 的12 12中位线，所以 MP AG BH，所以 GAM AMP MAP，又|AG| AF|， AM 为公共边，
4、所以 AMG AMF，所以 AFM AGM90，则 MF AB，所以 k 2.1kMF5(2015武汉调研)已知椭圆 E： 1( a b0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的x2a2 y2b2直线交 E 于 A、 B 两点若 AB 的中点坐标为(1，1)，则 E 的方程为 ( )导 学 号 25402105A. 1 B 1x245 y236 x236 y227C. 1 D 1x227 y218 x218 y29答案 D解析 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 1， 1，两式作差并化简变形得x21a2 y21b2 x2a2 y2b2 ，而 ， x1 x22， y1 y22，所以
5、y1 y2x1 x2 b2 x1 x2a2 y1 y2 y1 y2x1 x2 0 13 1 12a22 b2，又因为 a2 b2 c29，于是 a218， b29.故选 D.6(2015丽水一模)斜率为 1 的直线 l 与椭圆 y21 相交于 A、 B 两点，则| AB|的x24最大值为 ( )导 学 号 25402106A2 B455C. D4105 8105答案 C解析 设 A、 B 两点的坐标分别为( x1， y1)，( x2， y2)，直线 l 的方程为 y x t，由Error! 消去 y，得 5x28 tx4( t21)0.则 x1 x2 t， x1x2 .85 4 t2 15|
6、AB| |x1 x2|1 k2 1 k2 x1 x2 2 4x1x23 2 85t 2 44 t2 15 ，425 5 t2当 t0 时，| AB|max .4105二、填空题7已知抛物线 y28 x，过动点 M(a,0)，且斜率为 1 的直线 l 与抛物线交于不同的两点A、 B，| AB|8，则实数 a 的取值范围是_. 导 学 号 25402107答案 2 a1解析 将 l 的方程 y x a 代入 y28 x，得 x22( a4) x a20.则| AB| 2 x1 x2 2 4x1x2 8，又| AB|0，32 4 2a2 a1.8(2015上海静安一模)已知椭圆 C： 1，过椭圆 C
7、 上一点 P(1， )作倾斜x22 y24 2角互补的两条直线 PA、 PB，分别交椭圆 C 于 A、 B 两点则直线 AB 的斜率为_.导 学 号 25402108答案 2解析 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，同时设 PA 的方程为 y k(x1)，代入椭圆方2程化简得( k22) x22 k(k )x k22 k20，显然 1 和 x1是这个方程的两解因此2 2x1 ， y1 .由一 k 代替 x1， y1中的 k，得k2 22k 2k2 2 2k2 4k 22k2 2x2 ， y2 ，所以 .k2 22k 2k2 2 2k2 4k 22k2 2 y2 y1x2 x1 29(
8、2015福建福州质检)已知 F1、 F2是双曲线 1( a0， b0)的左、右焦点，x2a2 y2b2若双曲线左支上存在一点 P 与点 F2关于直线 y x 对称，则该双曲线的离心率为ba_.导 学 号 25402109答案 5解析 由题意可知双曲线左支上存在一点 P 与点 F2关于直线 y 对称，则 PF1 PF2.又bxa ，联立| PF2| PF1|2 a，| PF2|2| PF1|2(2 c)2，可得 b3 a2b2 c2a.所以|PF2|PF1| bab2 a， e .5410(2015大连双基测试)过抛物线 y22 px(p0)焦点 F 的直线 l 与抛物线交于B、 C 两点， l
9、 与抛物线准线交于点 A，且| AF|6， 2 ，则| BC|_.AF FB 导 学 号 25403026答案 92解析 不妨设直线 l 的倾斜角为 ，其中 0 ，点 B(x1， y1)， C(x2， y2)，则 2点 B 在 x 轴的上方过点 B 作该抛物线的准线的垂线，垂足为 B1，于是有| BF| BB1|3， ，由此得 p2，抛物线方程是 y24 x，焦点 F(1,0)，|AF|AB| p|BB1|cos ，sin ，tan 2 ，直线p|AF| p6 26 13 1 cos2 223 sincos 2l： y2 (x1)由Error! 消去 y，得22x25 x20， x1 x2 ，
10、| BC| x1 x2 p 2 .52 52 92三、解答题11(2015河南洛阳第一次统一考试)已知过点 M( ，0)的直线 l 与抛物线p2y22 px(p0)交于 A、 B 两点，且 3，其中 O 为坐标原点.OA OB 导 学 号 25402110(1)求 p 的值；(2)当| AM|4| BM|最小时，求直线 l 的方程答案 (1) p2 (2)4 x y402解析 (1)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，直线 l 的方程为 x my .p2联立Error! 消去 x 得 y22 pmy p20. y1 y22 pm， y1y2 p2. 3， x1x2 y1y23.又OA
11、 OB x1x2 ， p23 p24. p0， p2.y212p y22p p24 p24(2)由抛物线定义，得| AM| x1 x11，| BM| x2 x21，p2 p2| AM|4| BM| x14 x252 59，当且仅当 x14 x2时取等号4x1x2将 x14 x2代入 x1x2 1，得 x2 (负值舍去)p24 12将 x2 代入 y24 x，得 y2 ，即点 B( ， )12 2 12 25将点 B 代入 x my1，得 m .24直线 l 的方程为 x y1，即 4x y40.24 212(2015山西第四次诊断)如图，分别过椭圆 E： 1( a b0)左、右焦点x2a2 y
12、2b2F1、 F2的动直线 l1、 l2相交于点 P，与椭圆 E 分别交于 A、 B 与 C、 D 不同四点，直线OA、 OB、 OC、 OD 的斜率 k1、 k2、 k3、 k4满足 k1 k2 k3 k4.已知当 l1与 x 轴重合时，|AB|2 ，| CD| .3433 导 学 号 25402111(1)求椭圆 E 的方程(2)是否存在定点 M、 N，使得| PM| PN|为定值？若存在，求出点 M、 N 坐标并求出此定值；若不存在，请说明理由答案 (1) 1 (2)存在， M(0，1)， N(0,1)，定值为 2x23 y22 2解析 (1)当 l1与 x 轴重合时， k1 k2 k3
13、 k40，即 k3 k4， l2垂直于 x 轴，得| AB|2 a2 ，| CD| ，32b2a 433得 a ， b ，椭圆 E 的方程为 1.3 2x23 y22(2)焦点 F1、 F2的坐标分别为(1,0)、(1,0)当直线 l1、 l2斜率存在时，设斜率分别为 m1、 m2，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由Error! 得(23 m )x26 m x3 m 60，21 21 21 x1 x2 ， x1x2 .6m212 3m21 3m21 62 3m21k1 k2 m1( ) m1(2 ) m1(2 ) ，y1x1 y2x2 x1 1x1 x2 1x2 x1 x2x1x
14、2 2m21m21 2 4m1m21 2同理 k3 k4 .4m2m2 2 k1 k2 k3 k4， ，即( m1m22)( m2 m1)0. 4m1m21 2 4m2m2 2由题意知 m1 m2， m1m220.6设 P(x， y)，则 20，即 x21( x1)yx 1 yx 1 y22当直线 l1或 l2斜率不存在时，点 P 坐标为(1,0)或(1,0)，也满足此方程点 P(x， y)在椭圆 x21 上，存在点 M(0，1)和点 N(0,1)，使得| PM| PN|为y22定值，定值为 2 .2B 组 能力提升1(2015东北三校)设抛物线 y24 x 的焦点为 F，过点 M(1,0)的
15、直线在第一象限交抛物线于 A、 B，且满足 0，则直线 AB 的斜率 k ( )AF BF 导 学 号 25402112A. B222C. D333答案 B解析 依题意，设直线 AB 的方程为 y k(x1)( k0)，代入抛物线方程 y24 x 并整理，得 k2x2(2 k24) x k20.因为直线与抛物线有两个不同的交点，所以 (2 k24) 24 k40.设 A(x1， y1)，B(x2， y2)，则Error!又因为 0，所以( x11)( x21)AF BF y1y20，( x11)( x21) k2(x11)( x21)0，(1 k2)x1x2( k21)( x1 x2) k21
16、0.把Error!代入并整理，得 k2 .又 k0，所以 k ，故选 B.12 222(2015山东腾州第五中学上学期第三次阶段性考试)已知椭圆 1( a b0)x2a2 y2b2上一点 A 关于原点的对称点为点 B， F 为右焦点，若 AF BF，设 ABF ，且 ， ， 6 4则该椭圆离心率 e 的取值范围为 ( )导 学 号 25402113A ， 1 B ，1)22 3 22C ， D ， 22 32 33 63答案 A解析 B 和 A 关于原点对称， B 也在椭圆上，设左焦点为 F.根据椭圆定义| AF| AF|2 a.| AF| BF|，| AF| BF|2 a. O 是 Rt A
17、BF 的斜边 AB 的中点，| AB|2 c.又| AF|2 csin ，7|BF|2 ccos ，代入，得 2csin 2 ccos 2 a， ，即 e .ca 1sin cos 12sin 4 12sin 4 ， ， ， sin( )1， e 1. 6 4 512 4 2 6 24 4 22 33(2015绵阳诊断)已知 A 是抛物线 y24 x 上一点， F 是抛物线的焦点，直线 FA 交抛物线的准线于点 B(点 B 在 x 轴上方)，若| AB|2| AF|，则点 A 的坐标为_.导 学 号 25402114答案 (3，2 )或( ， )313 233解析 依题意，若点 A 位于 x
18、轴上方，过点 A 作抛物线的准线的垂线，垂足记为A1，则有| AB|2| AF|2| AA1|， BAA160，直线 AF 的倾斜角为 120.又点 F(1,0)，因此直线 AF 的方程为 y (x1)3由Error! 得Error!此时点 A 的坐标是( ， )13 233若点 A 位于 x 轴下方，则此时点 F(1,0)是线段 AB 的中点，又点 B 的横坐标是1，故点 A 的横坐标是 21(1)3，相应的纵坐标是 y 2 ，点 A 的坐标43 3是(3，2 )3综上所述，点 A 的坐标是(3，2 )或( ， )313 2334(2015河北衡水冀州中学上学期第四次月考)已知直线 y x1
19、 与椭圆 1( a b0)相交于 A、 B 两点.x2a2 y2b2 导 学 号 25402115(1)若椭圆的离心率为 ，焦距为 2，求线段 AB 的长；33(2)若向量 与向量 互相垂直(其中 O 为坐标原点)，当椭圆的离心率 e ， 时，OA OB 12 22求椭圆长轴长的最大值答案 (1) (2)835 6解析 (1) e ，2 c2，即 ， c1， a ，则 b ，33 ca 33 3 a2 c2 2椭圆的方程为 1.x23 y228将 y x1 代入消去 y，得 5x26 x30.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 ，65 35| AB| 1
20、 1 2 x1 x2 2 4x1x2 .2 65 2 125 835(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， ， 0，即 x1x2 y1y20.OA OB OA OB 由Error! 消去 y 得( a2 b2)x22 a2x a2(1 b2)0.由 (2 a2)24 a2(a2 b2)(1 b2)0，整理得 a2 b21.又 x1 x2 ， x1x2 ，2a2a2 b2 a2 1 b2a2 b2 y1y2( x11)( x21) x1x2( x1 x2)1.由 x1x2 y1y20，得 2x1x2( x1 x2)10， 10，整理得 a2 b22 a2b20.2a2 1 b2a2
21、 b2 2a2a2 b2将 e21 代入上式，得 2a21 ， a2 (1 )b2a2 11 e2 12 11 e2 e ， e2 ， 1 e2 ，12 22 14 12 12 34 2， 1 3，43 11 e2 73 11 e2 a2 ，满足 a2 b21，76 32由此得 a ， 2 a ，426 62 423 6故椭圆长轴长的最大值为 .65(2015湖南新化一中上学期期末)已知过抛物线 x24 y 的焦点 F 的直线 l 与抛物线相交于 A、 B 两点. 导 学 号 25402116(1)设抛物线在 A、 B 处的切线的交点为 M，若点 M 的横坐标为 2，求 ABM 的外接圆方程(
22、2)若直线 l 与椭圆 1 的交点为 C、 D，问是否存在这样3y24 3x22的直线 l 使| AF|CF| BF|DF|？若存在，求出 l 的方程；若不存在，说明理由答案 (1)( x2) 2( y3) 216 (2)存在， y1 或 y x1解析 (1)设 A(2t1， t )， B(2t2， t )， kAB ，21 2t21 t22t1 2t2 t1 t229故直线 AB 的方程为 y t (x2 t1)21t1 t22由直线 AB 过点(0,1)，得 t1t21，又由 y x2，得 y x，14 12故 kMAkMB (2t1) (2t2) t1t21，12 12过 A、 B、 M
23、 的圆是以 AB 为直径的圆又直线 MA 的方程为 y t t1(x2 t1)，直线 MB 的方程为 y t t2(x2 t2)，21 2即 t t1x y0，且 t t2x y0，21 2联立两式，解得 xM t1 t22， yM t1t21，故线段 AB 的中点 G 的坐标为(2,3)，| GM|4，所求圆的方程为( x2) 2( y3) 216.(2)设 ，则 ， .|AF|BF| |DF|CF| AF FB DF FC 设直线 l 的方程为 y kx1， A(x1， y1)， B(x2， y2)， C(x3， y3)， D(x4， y4)，则Error!Error!又Error! x2
24、4 kx40， x1 x24 k， x1x24.将 x1 x 2代入，得 4 k2. 1 2由Error! 得(3 k26) x26 kx10， x3 x4 ， x3x4 .2kk2 2 13k2 6将 x4 x 3代入，得 . 1 2 12k2k2 2由，得 k0 或 k21， k1，经检验 k0， k1 时， A， B， C， D 四点各异，且满足要求，故直线 l 存在，且方程为 y x1 或 y1.12017 高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第 9 讲 曲线与方程(理)习题A 组 基础巩固一、选择题1(2015长沙一中高三月考)方程(2 x3 y1)( 1)0 表示的曲线是x 3(
25、)导 学 号 25402131A两条直线 B两条射线C两条线段 D一条直线和一条射线答案 D解析 原方程可化为Error!或 10，即 2x3 y10( x3)或 x4，故原方x 3程表示的曲线是一条直线和一条射线2到两定点 A(0,0)、 B(3,4)距离之和为 5 的点的轨迹是 ( )导 学 号 25402132A椭圆 B AB 所在的直线C线段 AB D无轨迹答案 C解析 | AB|5，到 A、 B 两点距离之和为 5 的点的轨迹是线段 AB.3若点 P 到点 F(0,2)的距离比它到直线 y40 的距离小 2，则 P 的轨迹方程为( )导 学 号 25402133A y28 x B y
26、28 xC x28 y D x28 y答案 C解析 由题意知 P 到 F(0,2)的距离比它到 y40 的距离小 2，因此 P 到 F(0,2)的距离与到直线 y20 的距离相等，故 P 的轨迹是以 F 为焦点， y2 为准线的抛物线，所以 P 的轨迹方程为 x28 y.4在 ABC 中，已知 A(1,0)， C(1,0)，且| BC|，| CA|，| AB|成等差数列，则顶点 B的轨迹方程是 ( )导 学 号 25402134A. 1 B 1( x )x23 y24 x23 y24 3C. 1 D 1( x2)x24 y23 x24 y23答案 D解析 | BC|，| CA|，| AB|成等
27、差数列，| BC| BA|2| CA|4.点 B 的轨迹是以 A， C 为焦点，半焦距 c1，长轴长 2a4 的椭圆又 B 是三角形的2顶点， A， B， C 三点不能共线，故所求的轨迹方程为 1，且 y0.x24 y235(2015北京朝阳上学期期末)已知正方形的四个顶点分别为 O(0,0)、 A(1,0)、B(1,1)、 C(0,1)，点 D、 E 分别在线段 OC、 AB 上运动，且| OD| BE|，设 AD 与 OE 交于点G，则点 G 的轨迹方程是 ( )导 学 号 25402135A y x(1 x)(0 x1) B x y(1 y)(0 y1)C y x2(0 x1) D y1
28、 x2(0 x1)答案 A解析 设 D(0， )， E(1,1 )，0 1，所以线段 AD 的方程为x 1(0 x1)，线段 OE 的方程为 y(1 )x(0 x1)，联立方程组Error!( 为参y数)，消去参数 得点 G 的轨迹方程为 y x(1 x)(0 x1)，故 A 正确6 ABC 的顶点 A(5,0)， B(5,0)， ABC 的内切圆圆心在直线 x3 上，则顶点 C 的轨迹方程是 ( )导 学 号 25402136A. 1 B 1x29 y216 x216 y29C. 1( x3) D 1( x4)x29 y216 x216 y29答案 C解析 如图，| AD| AE|8，| B
29、F| BE|2，| CD| CF|，所以| CA| CB|826.根据双曲线定义，所求轨迹是以 A、 B 为焦点，实轴长为 6 的双曲线的右支，方程为 1( x3)x29 y216二、填空题7长为 3 的线段 AB 的端点 A、 B 分别在 x、 y 轴上移动，动点 C(x， y)满足 2 ，AC CB 则动点 C 的轨迹方程_. 导 学 号 25402137答案 x2 1y24解析 设 A(a,0)， B(0， b)，则 a2 b29.又 C(x， y)，则由 2 ，得( x a， y)AC CB 2( x， b y)即Error! 即Error!代入 a2 b29，并整理，得 x2 1.y
30、248已知 ABC 的顶点 B(0,0)， C(5,0)， AB 边上的中线长| CD|3，则顶点 A 的轨迹方程为_. 导 学 号 254021383答案 ( x10) 2 y236( y0)解析 方法一：直接法设 A(x， y)， y0，则 D( ， )x2 y2| CD| 3. x2 5 2 y24化简，得( x10) 2 y236.由于 A、 B、 C 三点构成三角形，所以 A 不能落在 x 轴上，即 y0.方法二：定义法如图，设 A(x， y)， D 为 AB 的中点，过 A 作 AE CD 交 x 轴于 E.| CD|3，| AE|6，则 E(10,0)， A 到 E 的距离为常数
31、 6. A 的轨迹为以 E 为圆心，6 为半径的圆，即( x10) 2 y236.又 A， B， C 不共线，故 A 点纵坐标 y0，故 A 点轨迹方程为( x10) 2 y236( y0)9设 P 是圆 x2 y2100 上的动点，点 A(8,0)，线段 AP 的垂直平分线交半径 OP 于 M点，则点 M 的轨迹为_. 导 学 号 25402139答案 椭圆解析 如图，设 M(x， y)，由于 l 是 AP 的垂直平分线，于是|AM| PM|，又由于 10| OP| OM| MP| OM| MA|，即|OM| MA|10，也就是说，动点 M 到 O(0,0)及 A(8,0)的距离之和是10，
32、故动点 M 的轨迹是以 O(0,0)、 A(8,0)为焦点，中心在(4,0)，长半轴长是 5 的椭圆10若过抛物线 y24 x 的焦点作直线与其交于 M、 N 两点，作平行四边形 MONP，则点P 的轨迹方程为_. 导 学 号 25402140答案 y24( x2)解析 设直线方程为 y k(x1)，点 M(x1， y1)， N(x2， y2)， P(x， y)，由 ，OM NP 得( x1， y1)( x x2， y y2)得 x1 x2 x， y1 y2 y.由Error! 联立得 x x1 x2 .2k2 4k2y y1 y2 ，消去参数 k，得 y24( x2)4kk2三、解答题11设
33、圆 C：( x1) 2 y21，过原点 O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程. 导 学 号 254021414答案 ( x )2 y2 (0 x1)12 14解析 方法一：直译法：设 OQ 为过 O 的一条弦， P(x， y)为其中点，则 CP OP， OC中点为 M( ，0)，12方法二：定义法： OPC90，动点 P 在以 M( ，0)为圆心 OC 为直径的圆上，| OC|1，再利用圆的方程得解12方法三：相关点法：设 Q(x1， y1)，则Error!Error!又( x11) 2 y 1，21(2 x1) 2(2 y)21(0 x1)方法四：参数法：设动弦 PQ 的方程为 y k
34、x，代入圆的方程得( x1) 2 k2x21，即(1 k2)x22 x0， x ， y kx 消去 k 即可x1 x22 11 k2 k1 k2方法五：(参数法)设 Q 点坐标为(1cos ，sin )， P(x， y)的坐标为Error!消 即可点拨 本题中的前四种方法是求轨迹方程的常用方法，我们已在本章的前几节中做过较多的讨论，故解析时只做扼要总结即可则| MP| |OC| ，得方程( x )2 y2 ，考虑轨迹的范围知 0 x1.12 12 12 1412(2015云南红河州毕业生复习统一检测)在直角坐标系 xOy 中，动点 P 与定点F(1,0)的距离和它到定直线 x2 的距离之比是
35、.22 导 学 号 25402142(1)求动点 P 的轨迹 的方程；(2)设曲线 上的三点 A(x1， y1)、 B(1， )、 C(x2， y2)与点 F 的距离成等差数列，线22段 AC 的垂直平分线与 x 轴的交点为 T，求直线 BT 的斜率 k.答案 (1) y21 (2)x22 2解析 (1)设 P(x， y)由已知，得 ，两边同时平方，化简得 x 1 2 y2|x 2| 22 y21，故动点 P 的轨迹 的方程是 y21.x22 x22(2)由已知得| AF| (2 x1)，| BF| (21)，22 22|CF| (2 x2)因为 2|BF| AF| CF|，225所以 (2
36、x1) (2 x2)2 (21)，22 22 22所以 x1 x22.故线段 AC 的中点坐标为(1， )，y1 y22其垂直平分线的方程为 y (x1)y1 y22 x1 x2y1 y2因为 A， C 在椭圆上，所以代入椭圆，两式相减，把代入化简，得 y1 y2.x1 x2y1 y2把代入，令 y0，得 x ，所以点 T 的坐标为( ，0)12 12所以直线 BT 的斜率 k .22 01 12 2B 组 能力提升1(2015吉林市毕业班检测)设圆 O1和圆 O2是两个定圆，动圆 P 与这两个定圆都外切，则圆 P 的圆心轨迹可能是 ( )导 学 号 25402143A BC D答案 A解析
37、当两定圆相离时，圆 P 的圆心轨迹为；当两定圆外切时，圆 P 的圆心轨迹为；当两定圆相交时，圆 P 的圆心轨迹为；当两定圆内切时，圆 P 的圆心轨迹为.2平面直角坐标系中，已知两点 A(3,1)、 B(1,3)，若点 C 满足 1 2 (OOC OA OB 为原点)，其中 1、 2R，且 1 21，则点 C 的轨迹是 ( )导 学 号 25402144A直线 B椭圆C圆 D双曲线答案 A解析 设 C(x， y)，则 ( x， y)， (3,1)， (1,3)，OC OA OB 1 2 ，Error!，OC OA OB 6又 1 21， x2 y50，表示一条直线3如图所示，正方体 ABCD A
38、1B1C1D1的棱长为 1，点 M 在 AB 上，且AM AB，点 P 在平面 ABCD 上，且动点 P 到直线 A1D1的距离的平方与 P 到点13M 的距离的平方差为 1，在平面直角坐标系 xAy 中，动点 P 的轨迹方程是_.导 学 号 25402145答案 y2 x23 19解析 过 P 作 PQ AD 于 Q，再过 Q 作 QH A1D1于 H，连接 PH、 PM，可证 PH A1D1，设 P(x， y)，由| PH|2| PM|21，得 x21( x )2 y21，13化简得 y2 x .23 194(2015山东实验中学第三次诊断)已知点 A(2,0)、 B(2,0)，曲线 C
39、上的动点 P 满足 3.AP BP 导 学 号 25402146(1)求曲线 C 的方程；(2)若过定点 M(0，2)的直线 l 与曲线 C 有公共点，求直线 l 的斜率 k 的取值范围；(3)若动点 Q(x， y)在曲线 C 上，求 u 的取值范围y 2x 1答案 (1) x2 y21 (2)(， ，) (3)(， 3 334解析 (1)设 P(x， y)， ( x2， y)(x2， y) x24 y23，得 P 点轨迹AP BP (曲线 C)方程为 x2 y21，即曲线 C 是圆(2)可设直线 l 的方程为 y kx2，其一般方程为 kx y20.由直线 l 与曲线 C 有交点，得 1，得
40、 k 或 k ，|0 0 2|k2 1 3 3即所求 k 的取值范围是(， ，)3 3(3)由动点 Q(x， y)，设定点 N(1，2)，则直线 QN 的斜率 kQN u，y 2x 1又点 Q 在曲线 C 上，故直线 QN 与圆有交点，设直线 QN 的方程为 y2 u(x1)，即ux y u20.当直线与圆相切时， 1，解得 u .| u 2|u2 1 347另当 u 不存在时，直线与圆相切，所以 u(， 345(2015东北三省三校第一次模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知动圆过点(2,0)，且被 y 轴所截得的弦长为 4.导 学 号 25402147(1)求动圆圆心的轨迹 C1的方程(
41、2)过点 P(1,2)分别作斜率为 k1、 k2的两条直线 l1、 l2，分别交 C1于 A、 B 两点(点A、 B 异于点 P)若 k1 k20，且直线 AB 与圆 C2：( x2) 2 y2 相切，求 PAB 的面积12答案 (1) y24 x (2)4 2解析 (1)设动圆圆心坐标为( x， y)，半径为 r.由题可知Error! y24 x，动圆圆心的轨迹方程为 y24 x.(2)设直线 l1斜率为 k，则 l1： y2 k(x1)， l2： y2 k(x1)点 P(1,2)在抛物线 y24 x 上，由Error! 得 ky24 y84 k0.设 A(x1， y1)， B(x2， y2
42、)， 0 恒成立，即( k1) 20，有 k1， y1yp ， yp2， y1 .8 4kk 4 2kk代入直线方程，得 x1 . k 2 2k2同理可得 x2 ， y2 ， 2 k 2k2 4 2k kkAB 1.y2 y1x2 x14 2k k 4 2kk k 2 2 k 2 2k2不妨设 lAB： y x b.直线 AB 与圆 C2相切， ，解得 b3 或 1.|2 b|2 22当 b3 时，直线 AB 过点 P，舍去；当 b1 时，由Error! x26 x10. 32，| AB| 8，1 1 32P 到直线 AB 的距离 d ，则 PAB 的面积为 4 .2 212017 高考数学一
43、轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第 10 讲 导数的概念及运算(理)习题A 组 基础巩固一、选择题1下列各组函数中导函数相同的是 ( )导 学 号 25400473A y x2与 y2 x B yln( x)与 yln xC yln x2与 y2ln x D ysin xcosx 与 y sin2x12答案 D解析 对于选项 C，(ln x2) 2x (x0)，(2ln x) (x0)，否定 C1x2 2x 2x对于选项 A，( x2)2 x，(2 x)2 xln2，否定 A对于选项 B，(ln( x)( )(1) (x0)，(ln x) (x0)，否定 B，故1x 1x 1x选 D2(2
44、015宁夏大学附属中学上学期期中)函数 f(x) 的图象在点(1，2)处lnx 2xx的切线方程为 ( )导 学 号 25400474A2 x y40 B2 x y0C x y10 D x y30答案 D解析 f(1)2，点(1，2)在函数的图象上 f ( x) ， f (1) 1，切线方程是 y(2)1( x1)，1 lnxx2 1 ln112即 x y30.故选 D3(2015吉林长春十一高中上学期阶段性考试)已知曲线 y 3ln x1 的一条切线x24的斜率为 ，则切点的横坐标为 ( )12 导 学 号 25400475A3 B2C1 D12答案 A解析 设切点为( x0， y0)，则
45、f ( x0) ，解得 x03 或 x02.又x02 3x0 12x00，所以 x03.故选 A24(2015福建八县(市)一中上学期联考)函数 f(x)e xcosx 的图象在点(0， f(0)处的切线的倾斜角为 ( )导 学 号 25400476A B0 4C D134答案 A解析 f ( x)e xcosxe xsinx，所以 f (0)e 0cos0e 0sin01，所以倾斜角 .故选 A 45(2015日照一中检测)已知函数 y f(x)的图象在点(1， f(1)处的切线方程是x2 y10，则 f(1)2 f (1)的值是 ( )导 学 号 25400477A B112C D232答
46、案 D解析 函数 y f(x)的图象在点(1， f(1)处的切线方程是 x2 y10， f(1)1， f (1) . f(1)2 f (1)2，故选 D126若 P 为曲线 yln x 上一动点， Q 为直线 y x1 上一动点，则| PQ|min( )导 学 号 25400478A0 B22C D22答案 C解析 如图所示，直线 l 与 yln x 相切且与 y x1 平行时，切点 P 到直线 y x1 的距离| PQ|即为所求最小值(ln x) ，令1x1，得 x1.故 P(1,0)故| PQ|min .故选 C1x 22 2二、填空题7直线 y kx b 与曲线 y ax22ln x 相
47、切于点 P(1,4)，则 b 的值为_.导 学 号 25400479答案 1解析 由点 P(1,4)在曲线上可得 a122ln14，解得 a2，故3y2 x22ln x， y4 x ，从而曲线在点 P 处切线的斜率 k y| x1 41 5，则1x 11切线方程为 y5 x b，由点 P 在切线上得 451 b，解得 b1.8设函数 f(x)在(0，)内可导，且 f(ex) xe x，则 f (1)_.导 学 号 25400480答案 2解析 方法 1 令 te x，故 xln t， f(t)ln t t，即 f(x)ln x x， f ( x) 1， f (1)2.1x方法 2 f (e x
48、)1e x， f (1) f (e 0)1e 02.9(2015陕西)设曲线 ye x在点(0,1)处的切线与曲线 y (x0)上点 P 处的切线垂1x直，则 P 的坐标为_. 导 学 号 25400481答案 (1,1)解析 ye x，则 ye x在点(0,1)处的切线的斜率 k 切 1，又曲线 y (x0)上点1xP 处的切线与 ye x在点(0,1)处的切线垂直，所以 y (x0)在点 P 处的切线的斜率为1x1，设 P(a， b)，则曲线 y (x0)上点 P 处的切线的斜率为 y| x a a2 1，可1x得 a1，又 P(a， b)在 y 上，所以 b1，故 P(1,1)1x10(
49、2014安徽)若直线 l 与曲线 C 满足下列两个条件：()直线 l 在点 P(x0， y0)处与曲线 C 相切；()曲线 C 在点 P 附近位于直线 l 的两侧，则称直线 l 在点 P 处“切过”曲线 C 下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号). 导 学 号 25400482直线 l： y0 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C： y x3直线 l： x1 在点 P(1,0)处“切过”曲线 C： y( x1) 2直线 l： y x 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C： ysin x直线 l： y x 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C： ytan x直线 l： y x1 在点 P(
50、1,0)处“切过”曲线 C： yln x答案 解析 对于， y3 x2， y| x0 0，所以 l： y0 是曲线 C： y x3在点 P(0,0)处的切线，画图可知曲线 C： y x3在点 P(0,0)附近位于直线 l 的两侧，正确；对于，因为 y2( x1)， y| x1 0，所以 l： x1 不是曲线 C： y( x1) 2在点 P(1,0)处的切线，错误；对于， ycos x， y| x0 1，在点 P(0,0)处的切线为 l： y x，4画图可知曲线 C： ysin x 在点 P(0,0)附近位于直线 l 的两侧，正确；对于， y， y| x0 1，在点 P(0,0)处的切线为 l：
51、 y x，画图可知曲线 C： ytan x1cos2x 1cos20在点 P(0,0)附近位于直线 l 的两侧，正确；对于， y ， y| x1 1，在点 P(1,0)1x处的切线为 l： y x1，令 h(x) x1ln x(x0)，可得 h( x)1 ，所以 h(x)1x x 1xmin h(1)0，故 x1ln x，可知曲线 C： yln x 在点 P(1,0)附近位于直线 l 的下侧，错误三、解答题11已知函数 f(x) x3 x16. 导 学 号 25400483(1)求曲线 y f(x)在点(2，6)处的切线的方程；(2)直线 l 为曲线 y f(x)的切线，且经过原点，求直线 l
52、 的方程及切点坐标答案 (1) y13 x32 (2) y13 x，(2，26)解析 (1)可判定点(2，6)在曲线 y f(x)上 f ( x)( x3 x16)3 x21. f(x)在点(2，6)处的切线的斜率为 k f (2)13.切线的方程为 y613( x2)，即 y13 x32.(2)设切点坐标为( x0， y0)，则直线 l 的斜率为 f ( x0)3 x 1， y0 x x016，20 30直线 l 的方程为 y(3 x 1)( x x0) x x016.20 30又直线 l 过坐标点(0,0)，0(3 x 1)( x0) x x016，20 30整理得， x 8， x02，3
53、0 y0(2) 3(2)1626，得切点坐标(2，26)， k3(2) 2113.直线 l 的方程为 y13 x，切点坐标为(2，26)12(2015临沂一模)已知函数 f(x) x32 x23 x(xR)的图象为曲线 C13导 学 号 25400484(1)求过曲线 C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线 C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线 C 的切点的横坐标的取值范围答案 (1)1，) (2)(，2 (1,3)2 ，)2 2解析 (1)由题意得 f ( x) x24 x3，5则 f ( x)( x2) 211，即过曲线 C 上任意一点切线斜率的取值范围是1，)(2
54、)设曲线 C 的其中一条切线的斜率为 k，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，Error!解得1 k0 或 k1，故由1 x24 x30 或 x24 x31，得 x(，2 (1,3)2 ，)2 2B 组 能力提升1(2015福建)若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(0)1，其导函数 f ( x)满足 f ( x) k1，则下列结论中一定错误的是 ( )导 学 号 25400485A f( ) B f( )1k 1k 1k 1k 1C f( ) D f( )1k 1 1k 1 1k 1 kk 1答案 C解析 取满足题意的函数 f(x)2 x1，若取 k ，则 f( ) f( ) ，所以
55、32 1k 23 13 23 1k排除 A；若取 k ，则 f( ) f( ) f(10)1911 ，所以排除 D；1110 1k 1 11110 111101110 1 kk 1取满足题意的函数 f(x)10 x1，若取 k2，则 f( ) f( )41 ，所以排1k 12 12 1 1k 1除 B故结论一定错误的是 C2(2015重庆七校联盟联考)已知函数 f(x)在 R 上满足 f(x)2 f(2 x) x28 x8，则曲线 y f(x)在点(1， f(1)处切线的斜率是 ( )导 学 号 25400486A2 B1C3 D2答案 A解析 由 f(x)2 f(2 x) x28 x8 两边
56、求导得， f ( x)2 f (2 x)(1)2 x8.令 x1 得 f (1)2 f (1)(1)28 f (1)2，故所求切线斜率是 2.3(2015江西九江月考)给出定义：若函数 f(x)在 D 上可导，即 f ( x)存在，且导数 f ( x)在 D 上也可导，则称 f(x)在 D 上存在二阶导数，记为 f ( x) f ( x)，若 f ( x)0 在 D 上恒成立，则称 f(x)在 D 上为凸函数以下四个函数在(0， )上是凸 2函数的是_(把你认为正确的序号都填上). 导 学 号 254004876 f(x)sin xcos x； f(x)ln x2 x； f(x) x32 x1
57、； f(x) xex.答案 解析 由知， f ( x)cos xsin x，则 f ( x)sin xcos x sin(x )2 40 在区间(0， )上恒成立；由知， f ( x) 2( x0)，则 f ( x) 0 在区 2 1x 1x2间(0， )上恒成立；由知， f ( x)3 x22，则 f ( x)6 x0 在区间(0， )上 2 2恒成立故中的函数为凸函数由知， f ( x)e x xex， f ( x)2e x xexe x(x2)0 在区间(0， )上恒成立，故中的函数不是凸函数 24设 L 为曲线 C： y 在点(1,0)处的切线.lnxx 导 学 号 25400488(
58、1)求 L 的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线 C 在直线 L 的下方答案 (1) y x1 (2)略解析 (1)设 f(x) ，则 f ( x) .lnxx 1 lnxx2所以 f (1)1，即 L 的斜率为 1.又 L 过点(1,0)，所以 L 的方程为 y x1.(2)令 g(x) x1 f(x)，则除切点之外，曲线 C 在直线 L 的下方等价于 g(x)0( x0， x1)g(x)满足 g(1)0，且 g( x)1 f ( x) .x2 1 lnxx2当 0 x1 时， x210，ln x0，所以 g( x)0，故 g(x)单调递减；当 x1 时， x210，ln x0，所
59、以 g( x)0，故 g(x)单调递增所以， g(x) g(1)0( x0 ， x1)所以除切点之外，曲线 C 在直线 L 的下方5(2015河北唐山一中月考)已知函数 f(x) ax33 x26 ax11， g(x)3 x26 x12 和直线 m： y kx9，且 f (1)0. 导 学 号 25400489(1)求 a 的值；(2)是否存在 k，使直线 m 既是曲线 y f(x)的切线，又是曲线 y g(x)的切线？如果存在，求出 k 的值；如果不存在，请说明理由答案 (1) a2 (2) k0解析 (1)由已知得 f ( x)3 ax26 x6 a，7 f (1)0，3 a66 a0，
60、a2.(2)存在由已知得，直线 m 恒过定点(0,9)，若直线 m 是曲线 y g(x)的切线，则设切点为( x0,3x 6 x012)20 g( x0)6 x06，切线方程为 y(3 x 6 x012)(6 x06)( x x0)，20将(0,9)代入切线方程，解得 x01.当 x01 时，切线方程为 y9；当 x01 时，切线方程为 y12 x9.由(1)知 f(x)2 x33 x212 x11，由 f ( x)0 得6 x26 x120，解得 x1 或 x2.在 x1 处， y f(x)的切线方程为 y18；在 x2 处， y f(x)的切线方程为 y9， y f(x)与 y g(x)的公切线是 y9.由 f ( x)12 得6 x26 x1212，解得 x0 或 x1.在 x0 处， y f(x)的切线方程为 y12 x11；在 x1 处， y f(x)的切线方程为 y12 x10， y f(x)与 y g(x)的公切线不是 y12 x9.综上所述， y f(x)与 y g(x)的公切线是 y9，此时 k0.
