（新课标）2017版高考数学大一轮复习 第七章 不等式及推理与证明题组 理（打包6套）.zip

1题组层级快练(三十二)1．若 a，b∈R，下列命题中①若|a|＞b，则 a2＞b 2； ②若 a2＞b 2，则|a|＞b；③若 a＞|b|，则 a2＞b 2； ④若 a2＞b 2，则 a＞|b|.其中正确的是( )A．①和③ B．①和④C．②和③ D．②和④答案 C解析 条件|a|＞b，不能保证 b 是正数，条件 a＞|b|可保证 a 是正数，故①不正确，③正确．a2＞b 2⇒|a|＞|b|≥b，故②正确，④不正确．2．下面四个条件中，使 ab 成立的充分而不必要的条件是( )A．ab＋1 B．ab－1C．a 2b2 D．a 3b3答案 A解析 由 ab＋1，得 ab＋1b，即 ab.而由 ab 不能得出 ab＋1，因此，使 ab 成立的充分不必要条件是 ab＋1，选 A.3．已知四个条件，①b0a；②0ab；③a0b；④ab0，能推出 b，ab0⇒ b0，下列各数小于 1 的是( )A．2 a－b B．( )ab12 C．( )a－b D．( )a－bab ba答案 D解析 方法一：(特殊值法)取 a＝2，b＝1，代入验证．方法二：y＝a x(a0 且 a≠1)．2当 a1，x0 时，y1；当 00 时，0b0，∴a－b0， 1，00 B．2 a－b 1C．2 ab2 D．log 2(ab)ac B．c(b－a)0C．cb 20答案 C解析 由题意知 c0，则 A，B，D 一定正确，若 b＝0，则 cb2＝ab 2.故选 C.7．(2016·武汉二中段考)设 a，b∈(－∞，0)，则“ab”是“a－ b－ ”成立的( )1a 1bA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案 C解析 ∵(a－ )－(b－ )＝(a－b)(1＋ )，又 1＋ 0，若 ab，则(a－b)(1＋ )0，所1a 1b 1ab 1ab 1ab以 a－ b－ 成立；反之，若(a－b)(1＋ )0，则 ab 成立．故选 C.1a 1b 1ab8．设 0log a，B 不对；ab0⇒a 2ab，D 不对，故选 C.121239．设 a，b 为实数，则“0b ，∴b1，∴00⇒ac，∴c0，s（ v1－ v2） 2v1v2（ v1＋ v2）故 ＋ ，故乙先到教室．sv1 sv2 4sv1＋ v212．若 12a，log a(a2＋1)1，∴a ，∴ 0，∴abab 2.∵a－ab 2＝a(1－b 2)bc0，x＝ ，y＝ ，z＝ ，则a2＋ （ b＋ c） 2 b2＋ （ c＋ a） 2 c2＋ （ a＋ b） 2x，y，z 的大小顺序是________．答案 zyx解析 ∵abc0，∴y 2－x 2＝b 2＋(c＋a) 2－a 2－(b＋c) 2＝2c(a－b)0，∴y 2x2，即 yx.z2－y 2＝c 2＋(a＋b) 2－b 2－(c＋a) 2＝2a(b－c)0，故 z2y2，即 zy，故 zyx.16．若 a1，b1，b0，∴(1－a)(1－b)0，比较 ＋ 与 ＋ 的大小．ab2 ba2 1a 1b答案 ＋ ≥ ＋ab2 ba2 1a 1b解析 ＋ － ＝ ＋ ＝(a－b) ＝ .ab2 ba2 (1a＋ 1b) a－ bb2 b－ aa2 (1b2－ 1a2) （ a＋ b） （ a－ b） 2a2b2∵a＋b0，(a－b) 2≥0，∴ ≥0.∴ ＋ ≥ ＋ .（ a＋ b） （ a－ b） 2a2b2 ab2 ba2 1a 1b18．已知 a0 且 a≠1，比较 loga(a3＋1)和 loga(a2＋1)的大小．答案 log a(a3＋1)log a(a2＋1)解析 当 a1 时，a 3a2，a 3＋1a 2＋1.又 y＝log ax 为增函数，所以 loga(a3＋1)log a(a2＋1)；当 0log a(a2＋1)．综上，对 a0 且 a≠1，总有 loga(a3＋1)log a(a2＋1)．1．若 abc，a＋2b＋3c＝0，则( )A．abac B．acbcC．abbc D．a|b|c|b|答案 A2．(2016·北京大兴期末)若 a0，设 M＝ ＋ ＋ ，则( )1x 1y 1zA．M0 B．M0，∴x≠0，y≠0，z≠0.又∵x＋y＋z＝0，∴x＝－(y＋z)，M＝ ＋ ＋ ＝1x 1y 1z＝ ＝ ＝ .∵－y 2－z 2－yz＝yz＋ xz＋ xyxyz yz＋ x（ y＋ z）xyz yz－ （ y＋ z） （ y＋ z）xyz － y2－ z2－ yzxyz－[(y＋ z)2＋ z2]0，∴M2 200，9（ x－ 12） 8（ x＋ 19） ， )256x260.7．设 x，y∈R，则“x≥2 且 y≥2”是“x 2＋y 2≥4”的________条件．答案 充分不必要解析 因为 x≥2 且 y≥2⇒x 2＋y 2≥4 易证，所以充分性满足；反之，不成立，如x＝y＝ ，满足 x2＋y 2≥4，但不满足 x≥2 且 y≥2，所以 x≥2 且 y≥2 是 x2＋y 2≥4 的充分74而不必要条件．1题组层级快练(三十三)1．下列不等式中解集为 R的是( )A．－x 2＋2x＋1≥0 B．x 2－2 x＋ 05 5C．x 2＋6x＋100 D．2x 2－3x＋40，x∈Z}＝{x|x2，x∈Z}，∴A∩B＝{3，4}，其真子集个32数为 22－1＝3.3．函数 y＝ 的定义域为( )ln（ x＋ 1）－ x2－ 3x＋ 4A．(－4，－1) B．(－4，1)C．(－1，1) D．(－1，1]答案 C解析 由 解得－10，－ x2－ 3x＋ 40， )4．(2015·天津理)设 x∈R ，则“|x－2|0”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案 A解析 |x－2|0⇔ x1，所以“|x－2|0”充分而不必要条件．5．(2013·重庆文)关于 x的不等式 x2－2ax－8a 20)的解集为(x 1，x 2)，且x2－x 1＝15，则 a＝( )A. B.52 72C. D.154 152答案 A2解析 由条件知 x1，x 2为方程 x2－2ax－8a 2＝0 的两根，则 x1＋x 2＝2a，x 1x2＝－8a 2.故(x2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x2＝(2a) 2－4×(－8a 2)＝36a 2＝15 2，得 a＝ ，故选 A.526．已知不等式 ax2＋bx＋20 的解集为{x|－1 }12 12C．{x|－21}答案 A解析 由题意知 x＝－1，x＝2 是方程 ax2＋bx＋2＝0 的根．由韦达定理 ⇒{－ 1＋ 2＝ － ba，（ － 1） ×2＝ 2a) {a＝ － 1，b＝ 1. )∴不等式 2x2＋bx＋a0 的解集为{x|－2a2a30，则使得(1－a ix)2 }，则 f(10x)012的解集为( )A．{x|xlg2} B．{x|－1－lg2} D．{x|x0的解集为{x|－10等价于－1－1.而 10x0，排除选项 B，选110D.11．已知不等式|x－m|0 的解集为________．答案 {x|x5}解析 2x 2－3|x|－350⇔2|x| 2－3|x|－350⇔(|x|－5)(2|x|＋7)0⇔|x|5 或|x|5 或 x12解析 当 x0时，x ；当 x .1214．二次函数 y＝ax 2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如表：x －3 －2 －1 0 1 2 3 4y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6则不等式 ax2＋bx＋c0 的解集是________．答案 (－∞，－2)∪(3，＋∞)解析 方程的根是对应不等式解集的端点，画草图即可．15．(2013·四川理)已知 f(x)是定义域为 R的偶函数，当 x≥0 时，f(x)＝x 2－4x.那么，不等式 f(x＋2)0 对一切 x∈R 恒成立，则实数 a的取值范围是________．答案 a14解析 不等式可变形为 a ＝( )x－( )x，令( )x＝t，则 t0.2x－ 14x 12 14 12∴y＝( )x－( )x＝t－t 2＝－(t－ )2＋ ，因此当 t＝ 时，y 取最大值 ，故实数 a的取值12 14 12 14 12 14范围是 a .1417．已知(ax－1)(x－1)≥0 的解集为 R，则实数 a的值为________．答案 15解析 原不等式为 ax2－(a＋1)x＋1≥0，∴ ⇒a＝1.{a0，Δ ＝ （ a＋ 1） 2－ 4a≤ 0)18．(2016·衡水中学调研卷)已知不等式组 的解集是不等式{x2－ 4x＋ 3＜ 0x2－ 6x＋ 8＜ 0)2x2－9x＋a＜0 的解集的子集，求实数 a的取值范围．答案 (－∞，9]解析 不等式组 的解集为(2，3){x2－ 4x＋ 31 或 x1 或－112 12答案 B解析 原不等式等价于 或{2x－ 10，1－ |x|0.)∴ 或{x12，x1或 x1 或－10，x2＋ 6x＋ 10，x2－ 2x＋ 1≤ 0) { x0.答案 a1 时，不等式解集为(0， )∪(a 3，＋∞)；1a00(a≠1)，令 logax＝t，则原不等式变为 t2－2t－30，得 t3.∴log ax3.当 a1时，0a3；1a当 0 .1a∴a1 时，不等式解集为(0， )∪(a 3，＋∞)；1a01(a0，当 a2，即 0a1时，解集为{x|2x }．a－ 2a－ 1 a－ 2a－ 1若 ＝2，即 a＝0 时，解集为∅.a－ 2a－ 1若 2，即 a0时，解集为{x| x2}．a－ 2a－ 1 a－ 2a－ 11题组层级快练(三十四)1．不等式(x＋2y＋1)(x－y＋4)≤0 表示的平面区域为( )答案 B解析 方法一：可转化为① 或②{x＋ 2y＋ 1≥ 0，x－ y＋ 4≤ 0 ) {x＋ 2y＋ 1≤ 0，x－ y＋ 4≥ 0.)由于(－2，0)满足②，所以排除 A，C，D 选项．方法二：原不等式可转化为③ 或④{x＋ 2y＋ 1≥ 0，－ x＋ y－ 4≥ 0) {x＋ 2y＋ 1≤ 0，－ x＋ y－ 4≤ 0.)两条直线相交产生四个区域，分别为上下左右区域，③表示上面的区域，④表示下面的区域，故选 B.2．下面给出的四个点中，到直线 x－y＋1＝0 的距离为 ，且位于 表示的22 {x＋ y－ 10)平面区域内的点是( )A．(1，1) B．(－1，1)C．(－1，－1) D．(1，－1)答案 C解析 经验证(1，1)，(－1，1)不在 所表示的平面区域内，而(－1，－1)，{x＋ y－ 10)(1，－1)满足 又点(－1，－1)到直线 x－y＋1＝0 的距离{x＋ y－ 10， )d＝ ＝ ，(1，－1)到直线 x－y＋1＝0 的距离|－ 1＋ 1＋ 1|2 22d＝ ＝ ，∴(－1，－1)满足条件．|1－ （ － 1） ＋ 1|2 3223．(2015·湖南文)若变量 x，y 满足约束条件 则 z＝2x－y 的最小值为( ){x＋ y≥ 1，y－ x≤ 1，x≤ 1， )A．－1 B．0C．1 D．2答案 A解析 画出可行域，如图中阴影部分所示，平移参照直线 2x－y＝0，当直线 2x－y＝z 经2过 x＋y＝1 与 y－x＝1 的交点(0，1)时，z 取最小值为 zmin＝2×0－1＝－1，选 A.4．(2015·广东)若变量 x，y 满足约束条件 则 z＝3x＋2y 的最小值为( ){4x＋ 5y≥ 8，1≤ x≤ 3，0≤ y≤ 2， )A. B．6315C. D．4235答案 C解析 不等式组所表示的可行域如图所示，由 z＝3x＋2y，得 y＝－ x＋ .依题当目标函数直线 l：y＝－ x＋ 经过 A(1， )时，z 取32 z2 32 z2 45得最小值即 zmin＝3×1＋2× ＝ ，故选 C.45 2355．(2015·福建)变量 x，y 满足约束条件 若 z＝2x－y 的最大值为 2，则{x＋ y≥ 0，x－ 2y＋ 2≥ 0，mx－ y≤ 0. )实数 m 等于( )A．－2 B．－1C．1 D．2答案 C解析 如图所示，目标函数 z＝2x－y 取最大值 2 即 y＝2x－2 时，画出表示的区域，由于 mx－y≤0 过定点(0，0)，要使 z＝2x－y 取最大值{x＋ y≥ 0，x－ 2y＋ 2≥ 0， )2，则目标函数必过两直线 x－2y＋2＝0 与 y＝2x－2 的交点 A(2，2)，因此直线 mx－y＝0过点 A(2，2)，故有 2m－2＝0，解得 m＝1.36．(2016·贵阳监测)已知实数 x，y 满足： 则 z＝2x－2y－1 的取值范{x－ 2y＋ 1≥ 0，x0 时，平行直线的倾斜角为锐角，从第一个图可看出，当 a＝－1 时，线段 AC 上的所有点都是最优解；当－a1.{3－ a9－ 7a，3－ a1－ 3a.)16．设 x，y 满足约束条件 则 M(x，y)所在平面区域的面积为________．{x＋ 2y≥ 2，ex－ y≥ 0，0≤ x≤ 2， )答案 e 2－2解析 画出平面区域，如图所示．M(x，y)所在平面区域的面积为 exdx－S △AOB ＝e x 0－ ×2×1＝e 2－e 0－1＝e 2－2.2∫0 |)2 121．(2014·广东文)若变量 x，y 满足约束条件 则 z＝2x＋y 的最大值等于( ){x＋ 2y≤ 8，0≤ x≤ 4，0≤ y≤ 3， )A．7 B．8C．10 D．11答案 C解析 作出约束条件下的可行域如图(阴影部分)，当直线 y＝－2x＋z 经过点 A(4，2)时，z 取最大值为 10.82．(2014·新课标全国Ⅱ理)设 x，y 满足约束条件 则 z＝2x－y 的最大{x＋ y－ 7≤ 0，x－ 3y＋ 1≤ 0，3x－ y－ 5≥ 0， )值为( )A．10 B．8C．3 D．2答案 B解析 作出可行域如图中阴影部分所示，由 z＝2x －y 得 y＝2x－z，作出直线 y＝2x，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点 B(5，2)时，对应的 z 值最大．故zmax＝2×5－2＝8.3．(2014·福建文)已知圆 C：(x－a) 2＋(y－b) 2＝1，平面区域 Ω： 若圆{x＋ y－ 7≤ 0，x－ y＋ 3≥ 0，y≥ 0. )心 C∈Ω，且圆 C 与 x 轴相切，则 a2＋b 2的最大值为( )A．5 B．29C．37 D．49答案 C解析 利用目标函数的几何意义转化为求距离的平方的最大值．作出可行域，如图，由题意知，圆心为 C(a，b)，半径 r＝1，且圆 C 与 x 轴相切，所以b＝1.而直线 y＝1 与可行域的交点为 A(6，1)，B(－2，1)，目标函数 z＝a 2＋b 2表示点 C到原点距离的平方，所以当点 C 与点 A 重合时，z 取到最大值，z max＝37.94．(2016·衡水调研卷)设变量 x，y 满足条件 则点 P(x＋y，x－y)所在区域{x－ y≥ 2，x＋ y≥ 4，x≤ 5， )的面积为( )A．4 B．6C．8 D．10答案 C解析 作出不等式组表示的线性区域如图①所示．可知 x＋y∈[4，8]，x－y∈[2，6]，且当 x＋y＝4 时，x－y 可以取到[2，6]内的所有值；当 x＋y＝8 时，x－y＝2，即△ABC 所表示的区域如图②所示，则 S△ABC ＝ ×4×4＝8，故12C 正确．5．(2014·北京理)若 x，y 满足 且 z＝y－x 的最小值为－4，则 k 的值{x＋ y－ 2≥ 0，kx－ y＋ 2≥ 0，y≥ 0， )为( )A．2 B．－2C. D．－12 12答案 D解析 作出可行域，平移直线 y＝x，由 z 的最小值为－4 求参数 k 的值．10作出可行域，如图中阴影部分所示，直线 kx－y＋2＝0 与 x 轴的交点为 A .(－2k， 0)∵z＝y－x 的最小值为－4，∴ ＝－4，解得 k＝－ ，故选 D 项．2k 126．(2016·贵州七校联考)一个平行四边形的三个顶点的坐标分别为(－1，2)，(3，4)，(4，－2)，点(x，y)在这个平行四边形的内部或边上，则 z＝2x－5y 的最大值是( )A．16 B．18C．20 D．36答案 C解析 平行四边形的对角线互相平分，如图，当以 AC 为对角线时，由中点坐标公式得 AC的中点为( ，0)，也是 BD 的中点，可知顶点 D1的坐标为(0，－4)．同理，当以 BC 为对角32线时，得 D2的坐标为(8，0)，当以 AB 为对角线时，得 D3的坐标为(－2，8)，由此作出(x，y)所在的平面区域，如图中阴影部分所示，由图可知当目标函数 z＝2x－5y 经过点D1(0，－4)时，取得最大值，最大值为 2×0－5×(－4)＝20，故选 C.7．变量 x，y 满足 {x－ 4y＋ 3≤ 0，3x＋ 5y－ 25≤ 0，x≥ 1， )(1)设 z＝ ，求 z 的最小值；yx(2)设 z＝x 2＋y 2，求 z 的取值范围；(3)设 z＝x 2＋y 2＋6x－4y＋13，求 z 的取值范围．答案 (1) (2)[2，29] (3)[16，64]25解析 由约束条件 {x－ 4y＋ 3≤ 0，3x＋ 5y－ 25≤ 0，x≥ 1， )11作出(x，y)的可行域如图所示．由 解得 A(1， )．{x＝ 1，3x＋ 5y－ 25＝ 0， ) 225由 解得 C(1，1)．{x＝ 1，x－ 4y＋ 3＝ 0， )由 解得 B(5，2)．{x－ 4y＋ 3＝ 0，3x＋ 5y－ 25＝ 0， )(1)因为 z＝ ＝ ，yx y－ 0x－ 0故 z 的值即是可行域中的点与原点 O 连线的斜率．观察图形可知 zmin＝k OB＝ .25(2)z＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点 O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin＝|OC|＝ ，d max＝|OB|＝ .2 29则 2≤z≤29.(3)z＝x 2＋y 2＋6x－4y＋13＝(x＋3) 2＋(y－2) 2的几何意义是可行域上的点到点(－3，2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3，2)的距离中，dmin＝1－(－3)＝4，d max＝ ＝8，（ － 3－ 5） 2＋ （ 2－ 2） 2则 16≤z≤64.1题组层级快练(三十五)1．已知 a，b∈(0，1)且 a≠b，下列各式中最大的是( )A．a 2＋b 2 B．2 abC．2ab D．a＋b答案 D解析 只需比较 a2＋b 2与 a＋b.由于 a，b∈(0，1)，∴a 20)的最小值为 2－44x 3D．函数 y＝2－3x－ (x0)的最大值为 2－44x 3答案 D解析 y＝x＋ 的定义域为{x|x≠0}，当 x0 时，有最小值 2，当 x0 时，3x＋ ≥2· ＝4 ，4x 3x·4x 3当且仅当 3x＝ ，即 x＝ 时取“＝” ，4x 233∴y＝2－(3x＋ )有最大值 2－4 ，故 C 项不正确，D 项正确．4x 33．若 00，∴x＋ －2＝－(－x＋ )－2≤－2 －2＝－4，当1x 1－ x （ － x） ·1－ x且仅当－x＝ ，即 x＝－1 时，等号成立．1－ x5．已知函数 g(x)＝2 x，且有 g(a)g(b)＝2，若 a0 且 b0，则 ab 的最大值为( )A. B.12 14C．2 D．4答案 B解析 ∵2 a2b＝2 a＋b ＝2，∴a＋b＝1，ab≤( )2＝ ，故选 B.a＋ b2 146．(2015·湖南文)若实数 a，b 满足 ＋ ＝ ，则 ab 的最小值为( )1a 2b abA. B．22C．2 D．42答案 C解析 解法一：由已知得 ＋ ＝ ＝ ，且1a 2b b＋ 2aab aba0，b0，∴ab ＝b＋2a≥2 ，∴ab≥2 .ab 2ab 2解法二：由题设易知 a0，b－1)的图像最低点的坐标是( )x2＋ 2x＋ 2x＋ 13A．(1，2) B．(1，－2)C．(1，1) D．(0，2)答案 D解析 y＝ ＝(x＋1)＋ ≥2.（ x＋ 1） 2＋ 1x＋ 1 1x＋ 1当且仅当 x＝0 时等号成立．9．(2013·福建文)若 2x＋2 y＝1，则 x＋y 的取值范围是( )A．[0，2] B．[－2，0]C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]答案 D解析 ∵2 x＋2 y≥2 ＝2 (当且仅当 2x＝2 y时等号成立)，2x·2y 2x＋ y∴ ≤ ，∴2 x＋y ≤ ，得 x＋y≤－2，故选 D.2x＋ y12 1410．已知不等式(x＋y)( ＋ )≥9 对任意正实数 x，y 恒成立，则正实数 a 的最小值为( )1x ayA．2 B．4C．6 D．8答案 B解析 (x＋y)( ＋ )＝1＋a· ＋ ＋a≥1＋a＋2 ＝( ＋1) 2，1x ay xy yx a a当且仅当 a· ＝ ，即 ax2＝y 2时“＝”成立．xy yx∴(x＋y)( ＋ )的最小值为( ＋1) 2≥9.1x ay a∴a≥4.11．设实数 x，y，m，n 满足 x2＋y 2＝1，m 2＋n 2＝3，那么 mx＋ny 的最大值是( )A. B．23C. D.5102答案 A解析 方法一：设 x＝sinα，y＝cosα，m＝ sinβ，n＝ cosβ，其中 α，β∈R.3 3∴mx＋ny＝ sinβsinα＋ cosβcosα＝ cos(α－β)．故选 A.3 3 3方法二：由已知(x 2＋y 2)·(m2＋n 2)＝3，即m2x2＋n 2y2＋n 2x2＋m 2y2＝3，∴m 2x2＋n 2y2＋2(nx)·(my)≤3，即(mx＋ny) 2≤3，∴mx＋ny≤.312．若 x，y 是正数，则(x＋ )2＋(y＋ )2的最小值是( )12y 12x4A．3 B.72C．4 D.92答案 C解析 原式＝x 2＋ ＋ ＋y 2＋ ＋ ≥4.xy 14y2 yx 14x2当且仅当 x＝y＝ 时取“＝”号．1213．已知 x，y，z∈(0，＋∞)，且满足 x－2y＋3z＝0，则 的最小值为( )y2xzA．3 B．6C．9 D．12答案 A14．(1)当 x1 时，x＋ 的最小值为________；4x－ 1(2)当 x≥4 时，x＋ 的最小值为________．4x－ 1答案 (1)5 (2)163解析 (1)∵x1，∴x－10.∴x＋ ＝x－1＋ ＋1≥2 ＋1＝5.4x－ 1 4x－ 1 4(当且仅当 x－1＝ .即 x＝3 时“＝”号成立)4x－ 1∴x＋ 的最小值为 5.4x－ 1(2)∵x≥4，∴x－1≥3.∵函数 y＝x＋ 在[3，＋∞)上为增函数，4x∴当 x－1＝3 时，y＝(x－1)＋ ＋1 有最小值 .4x－ 1 16315．若 a0，b0，a＋b＝1，则 ab＋ 的最小值为________．1ab答案 174解析 ab≤( )2＝ ，a＋ b2 145当且仅当 a＝b＝ 时取等号．12y＝x＋ 在 x∈(0， ]上为减函数．1x 14∴ab＋ 的最小值为 ＋4＝ .1ab 14 17416．设 x＞0，y＞0，且(x－1)(y－1)≥2，则 xy 的取值范围为__________．答案 [3＋2 ，＋∞)2解析 (x－1)(y－1)＝xy－(x＋y)＋1≤xy－2 ＋1，xy又(x－1)(y－1)≥2，即 xy－2 ＋1≥2，xy∴ ≥ ＋1，∴xy≥3＋2 .xy 2 217．已知 ab0，求 a2＋ 的最小值．16b（ a－ b）答案 16思路 由 b(a－b)求出最大值，从而去掉 b，再由 a2＋ ，求出最小值．64a2解析 ∵ab0，∴a－b0.∴b(a－b)≤[ ]2＝ .b＋ （ a－ b）2 a24∴a 2＋ ≥a 2＋ ≥2 ＝16.16b（ a－ b） 64a2 a2·64a2当 a2＝ 且 b＝a－b，即 a＝2 ，b＝ 时等号成立．64a2 2 2∴a 2＋ 的最小值为 16.16b（ a－ b）18．已知 lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)，(1)求 xy 的最小值；(2)求 x＋y 的最小值．答案 (1)1 (2)2解析 由 lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)，得 {x0，y0，3xy＝ x＋ y＋ 1.)(1)∵x0，y0，∴3xy＝x＋y＋1≥2 ＋1.xy∴3xy－2 －1≥0，即 3( )2－2 －1≥0.xy xy xy∴(3 ＋1)( －1)≥0.xy xy∴ ≥1.∴xy≥1.xy6当且仅当 x＝y＝1 时，等号成立．∴xy 的最小值为 1.(2)∵x0，y0，∴x＋y＋1＝3xy≤3·( )2.x＋ y2∴3(x＋y) 2－4(x＋y)－4≥0.∴[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0.∴x＋y≥2.当且仅当 x＝y＝1 时取等号．∴x＋y 的最小值为 2.1． “a＝ ”是“对任意的正数 x，2x＋ ≥1”的( )18 axA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案 A解析 令 p：“a＝ ”，q：“对任意的正数 x，2x＋ ≥1” ．18 ax若 p 成立，则 a＝ ，则 2x＋ ＝2x＋ ≥2 ＝1，即 q 成立，p⇒q；18 ax 18x 2x·18x若 q 成立，则 2x2－x＋a≥0 恒成立，解得 a≥ ，∴q⇒/ p.18∴p 是 q 的充分不必要条件．2．(2013·山东文)设正实数 x，y，z 满足 x2－3xy＋4y 2－z＝0，则当 取得最小值时，zxyx＋2y－z 的最大值为( )A．0 B.98C．2 D.94答案 C解析 ＝ ＝ ＋ －3≥2 －3＝1，当且仅当 x＝2y 时等号成立，因此zxy x2－ 3xy＋ 4y2xy xy 4yx xy·4yxz＝4y 2－6y 2＋4y 2＝2y 2，所以 x＋2y－z＝4y－2y 2＝－2(y－1) 2＋2≤2.3．(2016·成都一诊)已知正数 a，b 满足 a＋b＝ab，a＋b＋c＝abc，则 c 的取值范围是( )A．(0， ] B．( ， ]43 12 43C．( ， ] D．(1， ]13 43 437答案 D解析 ∵正数 a，b 满足 a＋b＝ab，∵ab≥2 ⇒( )2－2 ≥0⇒ ≥2⇒ab≥4，当且ab ab ab ab仅当 a＝b＝2 时取等号，由 a＋b＝ab，a＋b＋c＝abc，得c＝ ＝ ＝1＋ ，∵ab≥4，∴ab－1≥3，∴0x1≥35，则100xf(x1)－f(x 2)＝(x 1＋ )－(x 2＋ )100x1 100x2＝ .（ x1－ x2） （ x1x2－ 100）x1x2因为 x2x1≥35，所以 x1－x 2100，即 x1x2－1000.所以 f(x1)－f(x 2)0，即 f(x1)f(x2)．所以 f(x)＝x＋ 在[35，＋∞)上为增函数．100x所以当 x＝35 时，y 2有最小值，约为 10 069.7.此时 y210 989，所以该厂应该接受此优惠条件．7．某商店预备在一个月内分批购入每张价值为 20 元的书桌共 36 张，每批都购入 x 张(x是正整数)，且每批均需付运费 4 元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比，若每批购入 4 张，则该月需用去运费和保管费共 52 元，现在全月只有 48 元资金可以用于支付运费和保管费．(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用 f(x)；(2)能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．答案 (1)f(x)＝4x＋ (0x≤36，x∈N *)144x(2)每批购入 6 张解析 (1)设题中比例系数为 k，若每批购入 x 张，则共需分 批，每批价值为 20x 元．36x由题意，知 f(x)＝ ·4＋k·20x.36x由 x＝4 时，f(4)＝52，得 k＝ ＝ .1680 15∴f(x)＝ ＋4x(0x≤36，x∈N *)．144x9(2)由(1)知 f(x)＝ ＋4x(0x≤36，x∈N *)，144x∴f(x)≥2 ＝48(元)．144x ×4x当且仅当 ＝4x，即 x＝6 时，上式等号成立．144x故只需每批购入 6 张书桌，可以使资金够用．1题组层级快练(三十六)1．(2016·衡水调研卷)两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是( )1 2 36 7 811 12 13窗口… …过道…窗口A.48，49 B．62，63C．75，76 D．84，85答案 D解析 由已知图中座位的排序规律可知，被 5 除余 1 的数和能被 5 整除的座位号靠窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的 4 组座位号知，只有 D 项符合条件．2．如图所示，是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图形，其中第 1 个图形用了 3 根火柴，第 2 个图形用了 9 根火柴，第 3 个图形用了 18 根火柴，……，则第 2 016 个图形用的火柴根数为( )A．2 014×2 017 B．2 015×2 016C．2 015×2 017 D．3 024×2 017答案 D解析 由题意，第 1 个图形需要火柴的根数为 3×1；第 2 个图形需要火柴的根数为 3×(1＋2)；第 3 个图形需要火柴的根数为 3×(1＋2＋3)；……由此，可以推出，第 n 个图形需要火柴的根数为 3×(1＋2＋3＋…＋n)．所以第 2 016 个图形所需火柴的根数为 3×(1＋2＋3＋…＋2 016)＝3×＝3 024×2 017，故选 D.2 016×（ 1＋ 2 016）23．已知 a1＝3，a 2＝6，且 an＋2 ＝a n＋1 －a n，则 a2 016＝( )A．3 B．－32C．6 D．－6答案 B解析 ∵a 1＝3，a 2＝6，∴a 3＝3，a 4＝－3，a 5＝－6，a 6＝－3，a 7＝3，…，∴{a n}是以 6为周期的周期数列．又 2 016＝6×335＋6，∴a 2 016＝a 6＝－3.选 B.4．定义一种运算“*”：对于自然数 n 满足以下运算性质：①1*1＝1，②(n＋1)*1＝n*1＋1，则 n*1 等于( )A．n B．n＋1C．n－1 D．n 2答案 A解析 由(n＋1)*1＝n*1＋1，得 n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝…＝1*1＋(n－1)．又∵1*1＝1，∴n*1＝n.5．给出下面类比推理命题(其中 Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)①“若 a，b∈R，则 a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若 a，b∈C，则 a－b＝0⇒a＝b” ．②“若 a，b∈R，则 a－b0⇒ab”类比推出“若 a，b∈C，则 a－b0⇒ab” ．③“若 a，b，c，d∈R，则复数 a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则 a＋b ＝c＋d ⇒a＝c，b＝d” ．2 2其中类比得到的结论正确的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3答案 C解析 提示：①③正确．6．(2016·济宁模拟)在平面几何中有如下结论：正三角形 ABC 的内切圆面积为 S1，外接圆面积为 S2，则 ＝ ，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体 P－ABC 的内切球体S1S2 14积为 V1，外接球体积为 V2，则 ＝( )V1V2A. B.18 19C. D.164 127答案 D解析 正四面体的内切球与外接球的半径之比为 1∶3，故体积之比为 ＝ .V1V2 1277．已知 x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋ ≥2，x＋ ＝ ＋ ＋ ≥3，x＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ≥4，…，1x 4x2 x2 x2 4x2 27x3 x3 x3 x3 27x33类比有 x＋ ≥n＋1(n∈N *)，则 a＝( )axnA．n B．2nC．n 2 D．n n答案 D解析 第一个式子是 n＝1 的情况，此时 a＝1，第二个式子是 n＝2 的情况，此时 a＝4，第三个式子是 n＝3 的情况，此时 a＝3 3，归纳可以知道 a＝n n.8．已知 an＝( )n，把数列{a n}的各项排成如下的三角形：13a1a2 a 3 a 4a5 a 6 a 7 a 8 a 9……记 A(s，t)表示第 s 行的第 t 个数，则 A(11，12)＝( )A．( )67 B．( )6813 13C．( )111 D．( )11213 13答案 D解析 该三角形所对应元素的个数为 1，3，5，…，那么第 10 行的最后一个数为 a100，第 11 行的第 12 个数为 a112，即 A(11，12)＝( )112.139．已知函数 f(x)＝ ，且数列{a n}满足 f(lnan)＝a n＋1 ，a 1＝ ，则 a2 015＝( )exex＋ 1 14A. B.12 015 12 016C. D.12 017 12 018答案 D解析 解法一：由 f(lnan)＝a n＋1 ，得 ＝a n＋1 ，即 － ＝1，所以{ }是以 ＝4anan＋ 1 1an＋ 1 1an 1an 1a1为首项，1 为公差的等差数列，所以 ＝4＋1×(n－1)＝n＋3，所以 an＝ ，从而 a2 1an 1n＋ 3015＝ ，故选 D.12 018解法二：由 f(lnan)＝a n＋1 ，得 ＝a n＋1 ，由 a1＝ ，得anan＋ 1 144a2＝ ＝ ，a 3＝ ＝ ，…，所以可归纳 an＝ ，从而 a2 015＝ ，故选 D.1414＋ 1 151515＋ 1 16 1n＋ 3 12 01810．(2016·西安八校联考)观察一列算式；1⊗1，1 ⊗2，2 ⊗1，1⊗3，2 ⊗2，3⊗1，1⊗4，2⊗ 3，3 ⊗2，4⊗1，…，则式子 3⊗5 是第( )A．22 项 B．23 项C．24 项 D．25 项答案 C解析 两数和为 2 的有 1 个，和为 3 的有 2 个，和为 4 的有 3 个，和为 5 的有 4 个，和为6 的有 5 个，和为 7 的有 6 个，前面共有 21 个，3⊗5 为和为 8 的第 3 项，所以为第 24项．故选 C.11．(2015·陕西文)观察下列等式：1－ ＝12 121－ ＋ － ＝ ＋12 13 14 13 141－ ＋ － ＋ － ＝ ＋ ＋12 13 14 15 16 14 15 16……据此规律，第 n 个等式可为________．答案 1－ ＋ － ＋…＋ － ＝ ＋ ＋…＋12 13 14 12n－ 1 12n 1n＋ 1 1n＋ 2 12n解析 观察等式知：第 n 个等式的左边有 2n 个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为 1，分母是 1 到 2n 的连续正整数，等式的右边是 ＋ ＋…＋ .1n＋ 1 1n＋ 2 12n故答案为 1－ ＋ － ＋…＋ － ＝ ＋ ＋…＋ .12 13 14 12n－ 1 12n 1n＋ 1 1n＋ 2 12n12．设等差数列{a n}的前 n 项和为 Sn，则 S4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n}的前 n 项积为 Tn，则 T4，______，______， 成等比数列．T16T12答案 ，T8T4 T12T8解析 对于等比数列，通过类比，在等比数列{b n}中前 n 项积为 Tn，则T4＝b 1b2b3b4，T 8＝b 1b2…b8，T 12＝b 1b2…b12，T 16＝b 1b2…b16，因此＝b 5b6b7b8， ＝b 9b10b11b12， ＝b 13b14b15b16，而 T4， ， ， 的公比为 q16，因此T8T4 T12T8 T16T12 T8T4T12T8 T16T125T4， ， ， 成等比数列．T8T4T12T8 T16T1213．设数列{a n}是以 d 为公差的等差数列，数列{b n}是以 q 为公比的等比数列．将数列{a n}的相关量或关系式输入“LHQ 型类比器”左端的入口处，经过“LHQ 型类比器”后从右端的出口处输出数列{b n}的相关量或关系式，则在右侧的“？”处应该是________．答案 B n＝b 1×( )n－1q解析 注意类比的对应关系：＋→×，÷→开方，×→乘方，0→1，所以 Bn＝b 1×( )n－1 .q14．已知 ＝2 ， ＝3 ， ＝2＋ 23 23 3＋ 38 38 4＋ 4154 ，…，若 ＝6 ，(a，t 均为正实数)，类比以上等式，可推测 a，t 的值，则415 6＋ at ata＋t＝________．答案 41解析 根据题中所列的前几项的规律可知其通项应为 ＝n ，所以当 n＝6 时，n＋ nn2－ 1 nn2－ 1a＝6，t＝35，a＋t＝41.15．(2016·山东日照阶段训练)二维空间中圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr 2，观察发现 S′＝l；三维空间中球的二维测度(表面积)S＝4πr 2，三维测度(体积)V＝ πr 3，观察发现 V′＝S.已知四维空间中“超球”的三维测度 V＝8πr 3，猜想其四维43测度 W＝________．答案 2πr 4解析 据归纳猜想可知(2πr 4)′＝8πr 3，所以四维测度 W＝2πr 4.16．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°；②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°；③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；6(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论．答案 (1) (2)sin 2α＋cos 2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝34 34解析 方法一：(1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－ sin30°＝1－ ＝ .12 14 34(2)三角恒等式为 sin2α＋cos 2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝ .34证明如下：sin2α＋cos 2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα) 2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝sin 2α＋ cos2α＋ sinαcosα＋ sin2α－ sinαcosα－ sin2α34 32 14 32 12＝ sin2α＋ cos2α＝ .34 34 34方法二：(1)同解法一．(2)三角恒等式为sin2α＋cos 2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝ .34证明如下：sin2α＋cos 2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝ ＋ －sinα·(cos30°cosα＋sin30°sinα)1－ cos2α2 1＋ cos（ 60°－ 2α ）2＝ － cos2α＋ ＋ (cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－ sinαcosα－ sin2α12 12 12 12 32 12＝ － cos2α＋ ＋ cos2α＋ ·sin2α－ sin2α－ (1－cos2α)12 12 12 14 34 34 14＝1－ cos2α－ ＋ cos2α＝ .14 14 14 341．观察下图中图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )7答案 A解析 表格中的图形都是矩形、圆、正三角形的不同排列，规律是每一行中只有一个图形是空心的，其他两个都是填充颜色的，第三行中已经有正三角形是空心的了，因此另外一个应该是阴影矩形．2．(2014·陕西理)观察分析下表中的数据：多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)三棱柱 5 6 9五棱锥 6 6 10立方体 6 8 12猜想一般凸多面体中 F，V，E 所满足的等式是________．答案 F＋V－E＝2解析 三棱柱中 5＋6－9＝2；五棱锥中 6＋6－10＝2；立方体中 6＋8－12＝2，由此归纳可得 F＋V－E＝2.3．(2016·山东日照模拟)在平面几何中有如下结论：若正三角形 ABC 的内切圆面积为S1，外接圆面积为 S2，则 ＝ .推广到空间几何体中可以得到类似结论：若正四面体 ABCDS1S2 14的内切球体积为 V1，外接球体积为 V2，则 ＝________．V1V2答案 127解析 设正四面体 ABCD 的棱长为 a，高为 h，四个面的面积均为 S，内切球半径为 r，外接球半径为 R，则由 4× Sr＝ Sh，得 r＝ h＝ × a＝ a.13 13 14 14 63 612由相似三角形的性质可得 R＝ a，所以 ＝( )3＝( )3＝ .64 V1V2 rR612a64a 1274．将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥” ，它的侧面和底面分别叫直角三棱锥的“直角面和斜面” ，过三棱锥的顶点及斜面任两边上的中点的截面均称为斜面的“中面”．直角三角形具有性质：“斜边的中线长等斜边边长的一半” ，仿照此性质写出直角三棱锥具有的性质：________．答案 在直角三棱锥中，斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一．解析 在直角三棱锥中，斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一．如图所示，在直角三棱锥 A－BCD 中，AB⊥AC，AC⊥AD，AD⊥AB，E，F 分别是棱 BC，CD 的8中点，则有 AE＝ BC，AF＝ CD，EF＝ BD，∴ ＝ ＝ ＝ .12 12 12 AEBC AFCD EFBD 12∴△AEF∽△CBD，∴ ＝ ，即 S△AEF ＝ S△CBD ，即在直角三棱锥中，斜面的中面面S△ AEFS△ CBD 14 14积等于斜面面积的四分之一．5．已知 P(x0，y 0)是抛物线 y2＝2px(p0)上的一点，过 P 点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在 y2＝2px 两边同时对 x 求导，得 2yy′＝2p，则 y′＝ ，所以过 P 的切线的斜率：k＝ .py py0试用上述方法求出双曲线 x2－ ＝1 在 P( ， )处的切线方程为________．y22 2 2答案 2x－y－ ＝02解析 用类比的方法对 ＝x 2－1 两边同时对 x 求导，得y22yy′＝2x，∴y′＝ ＝ ＝2.2x0y0 2×22∴切线方程为 y－ ＝2(x－ )，∴2x－y－ ＝0.2 2 2